2024初一數(shù)學奧賽基礎知識講義

三元一次方程組分析：三元一次方程組轉(zhuǎn)化消元轉(zhuǎn)化消元消元消元一元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組二元一次方程組轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化解：由（２）得：把（４）分別代入（1）、（3）得，由（6）得把（７）代入（５）得：把代入（７）得：把代入（4）得：∴9．字母系數(shù)的二元一次方程組（1）當為何值時，方程組有唯一的解分析：（2）×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5當a≠6時，方程有唯一的解當為何值時，方程組有無窮多解分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4，有無窮多解10．一副三角板按如圖方式擺放，且的度數(shù)比的度數(shù)大，若設的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，則得到的方程組為A．B．C．D．11．為了改善住房條件，小亮的父母考察了某小區(qū)的A、B兩套樓房，A套樓房在第3層樓，B套樓房在第5層樓，B套樓房的面積比A套樓房的面積大24平方米，兩套樓房的房價相同。第3層樓和第5層樓的房價分別是平均價的1.1倍和0.9倍。為了計算兩套樓房的面積，小亮設A套樓房的面積為x平方米，B套樓房的面積為y平方米，根據(jù)以上信息列出下列方程組，其中正確的是（）A．B．C．D．12．某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：購買香蕉數(shù)（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克價格6元5元4元張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？分析：由題意知，第一次購買香蕉數(shù)小于25千克，則單價分為兩種情況進行討論。解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克，由題意0<x<25，（1）當0<x≤20，y≤40時，由題意可得：，解得（2）當0<x≤20，y>40時，由題意可得：，解得(不合題意，舍去)（3）當20<x<25時，則25<y<30，由題意可得：，方程組無解由（1）（2）（3）可知，張強第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克。第十一講：一元一次不等式一、知識鏈接：1．不等式的基本性質(zhì)通過對比不等式和方程的性質(zhì)，使學生學會用類比的方法看問題。性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號方向不改變。若a>b，則a+c>b+c（a-c>b-c）。性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變。若a>b且c>0，則ac>bc。性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變。若a>b且c<0，則ac<bc。2．同解不等式如果幾個不等式的解集相同，那么這幾個不等式稱為同解不等式。3．一元一次不等式的定義：像，等只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0，這樣的不等式叫做一元一次不等式。4．一元一次不等式的標準形式一元一次方程的標準形式：（）或（）。5．一元一次不等式組的解集確定若a>b則（1）當時，則，即“大大取大”（2）當時，則，即“小小取小”（3）當時，則，即“大小小大取中間”（4）當時，則無解，即“大大小小取不了”二、典型例題：1．下列關系不正確的是（）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則2．已知且，為任意有理數(shù)，下列式子中正確的是（）A．B．C．D．3．下列判斷不正確的是（）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，則4．若不等式ax＞b的解集是x＞，則a的范圍是（）A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a＜05．解關于x的不等式解：6．解關于x的不等式。解：2-a>0，即a<2時，2-a<0，即a>2時，2-a=0，即a=2時，不等式即0x<3，不等式有任意解7．若不等式是同解不等式，求m的值。解：另解：因為方程3x-5=0的解是x=所以方程m(x-2)=x+1的解是x=將x=代入，解得m=-88．不等式組的解集為________________.解：9．若不等式組的解是x>3，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．分析：10．關于x的不等式組有四個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．分析：不等式組可化為所以，解得：11．已知關于、的方程組的解適合不等式，求的取值范圍.解法一：由方程組可得∴的取值范圍是。解法二：（1）+（2）：2x-y=3a由題意：3a>1所以12．解下列不等式（1）（2）解：（1）不等式解集為：（2）不等式解集為思考題：解下列含絕對值的不等式。（1）（2）第十二講：一元一次不等式（組）的應用一、能力要求：1．能夠靈活運用有關一元一次不等式（組）的知識，特別是有關字母系數(shù)的不等式（組）的知識解決有關問題。2．能夠從已知不等式（組）的解集，反過來確定不等式（組）中的字母系數(shù)取值范圍，具備逆向思維的能力。3．能夠用分類討論思想解有關問題。4．能利用不等式解決實際問題二、典型例題1．m取什么樣的負整數(shù)時，關于x的方程的解不小于－3.分析：解方程得：x=2m+2由題意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5符合條件的m值為-1，-22．已知、滿足且，求的取值范圍.分析：解方程組得代入不等式，解得3．比較和的大小（作差法比大?。┙猓?．若方程組的解為x、y，且2<k<4，求x-y的取值范圍。分析：用整體代入法更為簡單5．取怎樣的整數(shù)時，方程組的解滿足.6．若2(a-3)＜，求不等式＜x-a的解集分析：解不等式2(a-3)＜得：a<由＜x-a得（a-5）x<-a因為a<所以a-5<0于是不等式＜x-a的解集為x>7．閱讀下列不等式的解法，按要求解不等式.不等式的解的過程如下：解：根據(jù)題意，得eq\o\ac(○,1)或eq\o\ac(○,2)解不等式組eq\o\ac(○,1)，得；解不等式組eq\o\ac(○,2)，得所以原不等式的解為或請你按照上述方法求出不等式的解.分析：典型錯誤解法：由不等式得：或所以原不等式的解為或正確解法：由不等式得：或所以原不等式的解為或8．目前使用手機，有兩種付款方式，第一種先付入網(wǎng)費，根據(jù)手機使用年限，平均每月分攤8元，然后每月必須繳50元的占號費，除此之外，打市話1分鐘付費0.4元；第二種方式將儲值卡插入手機，不必付入網(wǎng)費和占號費，打市話1分鐘0.6元．若每月通話時間為分鐘，使用第一種和第二種付款方式的電話費分別為和，請算一算，哪種對用戶合算．解：若則解得：所以當通話時間小于290分鐘時，第二種方式合算。若則解得：所以當通話時間等于290分鐘時，兩種方式相同。若則解得：所以當通話時間大于290分鐘時，第一種方式合算。9．某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示，現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進行試生產(chǎn)，計劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶，設生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列問題：（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程；（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的關系式，并說明x取何值會使成本總額最低？原料名稱飲料名稱甲乙A20克40克B30克20克分析：（1）據(jù)題意得：解不等式組，得因為其中的正整數(shù)解共有21個，所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種。（2）由題意得：整理得：因為y隨x的增大而減小，所以x=40時，成本額最低10．某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析決定調(diào)整生產(chǎn)方案，準備每周（按120個工時計算）生產(chǎn)空調(diào)器，彩電，冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)40臺，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)器彩電冰箱工時（個）產(chǎn)值（萬元/臺）0.40.30.2問：每周應生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是多少萬元？解：設每周應生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別是臺、臺、臺，設此時的產(chǎn)值為P萬元。根據(jù)題意得：由（1）和（2）知……（5）把（5）代入（3）得：解得：＝＝要使P最大，只需最小當時P最大＝108－0.05×40＝106(萬元)此時（臺）（臺）答：每周應生產(chǎn)空調(diào)器20臺、彩電300臺、冰箱40臺，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是106萬元第十三講——方程與不等式的應用一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組是初一數(shù)學的重難點內(nèi)容，也是數(shù)學學科的重要基礎。本講我們主要探究利用方程與不等式解決綜合性問題，利用類比轉(zhuǎn)化的思想研究不定方程（組）及含絕對值的一元一次方程問題。一、不等式與方程的綜合題例1．已知關于x的方程組的解滿足x＞y，求p的取值范圍。解：（1）×3+（2）×（-2）：x=p+5，將x=p+5代入（1），得y=-p-7因為x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p>-6另解：（整體代入）（2）-（1）：x+y=-2（3）把（3）代入（1），x=p+5，將x=p+5代入（1），得y=-p-7因為x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p>-6例2．若，，、、皆為非負數(shù)，求的取值范圍。解：（1）+（2）：4x+2y=80,y=40-2x（3）把（3）代入（1）：z=x-10（4）所以：M=-x+140即x=140-M（5）分別將（5）代入（3）（4）：解得所以二、不定方程（組）在實際生活中，我們還會遇到未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（組），這種方程（組）叫不定方程（組）不定方程或不定方程組若對解不加限制，則有無窮多個解，若對解加以限制，則不定方程（組）的解有三種可能：仍有無窮多解，只有有限個解、無解。我們常常研究不定方程（組）的整數(shù)解或正整數(shù)解的情況。例3．若干只6腳蟋蟀和8腳蜘蛛，共有46只腳，問蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：設有只蟋蟀，只蜘蛛，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負整數(shù)解由①得：……②∵∴∴用＝0，1，2，3，4，5代入②式：當＝0時，不為整數(shù)，舍去當＝1時，不為整數(shù)，舍去當＝2時，為非負整數(shù)，符合條件當＝3時，不為整數(shù)，舍去當＝4時，不為整數(shù)，舍去當＝5時，為非負整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負整數(shù)解為或例4．有一根長38米的鐵絲，全部分成5米和3米長的鐵絲，要求沒有剩余，問有多少種不同的分法？解：設分成5米長的有條，分成3米長的有條，則有：（稱之為不定方程）……①下面求此方程的非負整數(shù)解由①得：……②∵∴∴最大取7用＝0，1，2，3，4，5，6，7代入②式：當＝0時，不為整數(shù)，舍去當＝1時，為非負整數(shù)，符合條件當＝2時，不為整數(shù)，舍去當＝3時，不為整數(shù)，舍去當＝4時，為非負整數(shù)，符合條件當＝5時，不為整數(shù)，舍去當＝6時，不為整數(shù)，舍去當＝7時，為非負整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負整數(shù)解為，，例5．某人用15元錢買了20張郵票，其中有1元，8角，2角的郵票。問他可能有多少種不同的買法？解：設買一元郵票張，8角郵票張，2角郵票張。根據(jù)題意得：（此方程組稱為不定方程組，即未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)）下面我們求此不定方程組的正整數(shù)解由（2）得：……（3）由（3）－（1）得：∵∴∴的最大整數(shù)取13經(jīng)驗證當＝1，4，7，10，13時，取正整數(shù)∴原方程組的正整數(shù)解為：，，，，所以共有5種不同的買法。三、含絕對值的一元一次方程：（一）形如方程的解法例6．解下列方程（1）解法1：（分類討論）當5x-2>0時，即x>，5x-2=3，5x=5，x=1因為x=1符合大前提x>，所以此時方程的解是x=1當5x-2=0時，即x=，得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當5x-2<0時，即x<，5x-2=-3，x=因為x=符合大前提x<，所以此時方程的解是x=綜上，方程的解為x=1或x=注：求出x的值后應注意檢驗x是否符合條件解法2：（整體思想）聯(lián)想：時，a=±3類比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1或x=（2）解：即：所以，方程的解為x=6或x=-6例7．解方程解法1：當4x+20時，即x，4x+2=x-1，x=-1因為x=-1不符合大前提x>，所以此時方程無解當4x+2<0時，即x<，4x+2=x-1，x=因為x=不符合大前提x<，所以此時方程無解綜上，原方程無解解法2：4x+2=x-1或4x+2=-1解得x=-1或x=因為x-10即x1所以原方程無解解法3：因為x-10即x1，此時4x+2>0所以4x+2=x-1，x=-1，不符合條件x1所以原方程無解例8解方程解：方法一：去掉絕對值符號，是解決這類問題的關鍵，而絕對值的中的代數(shù)式的值的正負性決定去掉絕對值后的形式，因而要分類討論，兩個絕對值分正負討論，共有下面四中組合（1）且（2）且（3）且（4）且可見，即使不討論絕對值等于0的情形，就已經(jīng)很復雜。我們一般采用下面的方法（零點分段法）方法二：解：令解得：解得：表示－3和2的點把數(shù)軸分成三部分，如下圖所示當時，，原方程可化為：解得：∵滿足∴是原方程的一個解。當時，，原方程可化為：可化為：此方程無解當時，，原方程可化為：解得：∵滿足∴是原方程的一個解。綜上所述：原方程的解是或例9．解方程解法1：當時，原方程可化為：-（x-4）-(x+3)=7解得：x=-3，舍去當時，原方程可化為：-(x-4)+x+3=7即7=7所以當x>4時，原方程可化為x-4+x+3=7x=4舍去綜上所述：原方程的解是解法2：利用絕對值與距離的關系即x與4的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與4之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。因為-3與4之間的距離為7，所以當時，x與4之間的距離加上x與-3之間的距離等于7，所以原方程的解是第十四講——含字母系數(shù)的一次不等式一元一次不等式（組）是我們熟知的內(nèi)容，但對于含字母系數(shù)和含絕對值的不等式（組）還比較陌生，本講我們將學習含字母系數(shù)的不等式（組）的解法。例1．解下列關于x的不等式（1）（2）解：（1）（2）因為所以因為所以所以例2．答案：（1）當時，此不等式解集為：（2）當時，此不等式解集為：（3）當時，原不等式可化為：，此時，原不等式無解。說明：解含字母系數(shù)的不等式欲解含數(shù)字系數(shù)的不等式的方法、步驟是一樣的，所不同的是，前者在最后一步要根據(jù)題中附加條件、隱含條件去判斷未知數(shù)系數(shù)的正負，從而確定不等號是否反向的問題。例3．下面四個結論中，正確的個數(shù)有（B）①，當時解為②，當時解為③，當時解集為④的解集是A．1個B．2個C．3個D．4個例4．（逆用不等式解集的定義）關于的不等式的解集有沒有可能是（2）有沒有可能是（3）有沒有可能是分析：由得：（1）得：所以，沒有可能；（2）得：所以，有可能；（3）得：所以，有可能；例5．討論關于x的不等式的解的情況解：（3）（4）（5）類比：如何解關于x的不等式解：（1）（2）（3）（4）（5）思考：如何解關于x的不等式解：（1）（2）（3）（4）（5）例6．已知、是實數(shù)，若不等式和是同解不等式，則不等式的解是什么？解：解不等式，得由不等式得由題意解得：所以則：，因為a-4b>0所以得：例7.解關于解：（1）（2）（3）（4）（5）例8．如果適合不等式的正整數(shù)為1，2，3，那么k的取值范圍是_______________.分析：解不等式得觀察數(shù)軸得到所以第十五講——含絕對值的一次不等式思考：聯(lián)系你所學習的知識，試試你能解決下面的問題嗎？（1）解關于的不等式（）（2）解關于的不等式（）例1．解下列不等式（1）（2）解：（1）當x>0時,x≤5，此時不等式的解集為0<x≤5；當x=0時，0≤5，此時x=0當x<0時,x≥-5，此時不等式的解集為-5≤x<0綜上所述，不等式解集為：（2）當x>0時,x>2，此時不等式的解集為x>2當x=0時，0>2，此時不等式無解當x<0時,x<-2，此時不等式的解集為x<-2綜上所述，不等式解集為：另解：我們還可以利用絕對值的幾何意義得出上兩題的解集。（1）不等式解集為：（2）不等式解集為說明：一般地，如果a>0，不等式的解集為x>a或x<-a，的解集為-a<x<a；如果a<0，不等式的解為有任意解，的解集為無解。例2．解下列含絕對值的不等式。（1）（2）（3）解：（1）當2x-1>0，即x>時,2x-1<3，x<2,此時不等式的解集為<x<2當2x-1=0,即x=時，0<3，此時x=當2x-1<0,即x<時,-(2x-1)<3，x>-1，此時不等式的解集為-1<x<綜上所述，不等式解集為-1<x<2另解：因為，所以，解得說明：顯然方法1較繁，方法2利用了絕對值的幾何意義來解則十分簡單。（2）當，即x>時,，,此時不等式的解集為當，即x=時,，此時不等式無解，當，即x<時,，,此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為或另解：因為，所以或，解得不等式解集為或（3）由得當，即時，，，此時不等式的解集為當，即時，，此時當，即時，，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由得，所以解得不等式解集為例3．解：當，即時，，，此時不等式的解集為當，即時，，此時當，即時，，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為另解：由題意解得所以不等式解集為例4．解：當，即時，，，此時不等式無解當，即時，，此時不等式無解當，即時，，，此時不等式的解集為綜上所述，不等式解集為例5．（利用“零點”分段法求解）解：當時，，，此時不等式無解當時，，，此時不等式解集為當時，，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為例6．解：當時，，，此時不等式解集為當時，，，此時不等式無解當時，，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為或另解：利用絕對值與距離的關系即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-1的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與-1之間的距離。因為-1與2之間的距離為3，所以當或時，x與2之間的距離加上x與-1之間的距離大于3，即原不等式的解集為或例7．解不等式組解：由（1）得：，即；由（2）得：或所以，原不等式組可化為兩個不等式組：或解得原不等式組的解集為：或例8．解：當時，，，此時不等式無解當時，，，此時不等式解集為：當時，，，此時不等式解集為綜上所述，不等式解集為初一數(shù)學競賽培訓第一講：有理數(shù)的巧算方法一：把正、負數(shù)分別結合相加例1：計算：－25+29－26+17－33+34方法二：把相加得0的數(shù)分別結合相加例2：計算：=例3：計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2005+2006-2007-2008+2009方法三：分數(shù)相加，湊整相加例4：計算：例5：計算：方法四：先適當變形，再結合相加例6：28+19-49-997+9996例7：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999例8：方法五：巧添輔助數(shù)相加例9：或方法六：巧用和逆用乘法分配律例10：例11：第二講有理數(shù)的運算要注意什么方法一：乘除做得好，需要講技巧1.先觀察有沒有因數(shù)“0”2.先定、先寫符號3.除法統(tǒng)一成乘法，小數(shù)化為分數(shù)，帶分數(shù)化為假分數(shù)，然后整體運算4.運用乘法分配律簡便運算方法二：混合運算要細心，順序、符號要分清先看運算順序：確定先算什么，后算什么，最好每一步用橫線標記。其次看運算符號：(1)加減的符號：例：-8-6(2)乘除的符號：例：(3)冪的符號：例：與與一、要注意運算順序：例1：計算：(1)(2)(3)(4)二、要注意運算符號：例2：計算：(1)(2)三、靈活運用運算律；(1)(2)(3)(4)第四講有理數(shù)一、有理數(shù)的概念及分類。二、有理數(shù)的計算：善于觀察數(shù)字特征；2、靈活運用運算法則；3、掌握常用運算技巧（湊整法、分拆法等）。三、例題示范1、數(shù)軸與大小例1.已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么滿足條件的點B與原點O的距離之和等于多少？滿足條件的點B有多少個？例2.將這四個數(shù)按由小到大的順序，用“”連結起來。提示1：四個數(shù)都加上1不改變大小順序；提示2：先考慮其相反數(shù)的大小順序；提示3：考慮其倒數(shù)的大小順序。觀察圖中的數(shù)軸，用字母a、b、c依次表示點A、B、C對應的數(shù)。試確定三個數(shù)的大小關系。分析：由點B在A右邊，知b-a0，而A、B都在原點左邊，故abs0,又c10,故要比較的大小關系，只要比較分母的大小關系。在有理數(shù)a與b(ba)之間找出無數(shù)個有理數(shù)。提示：P=（n為大于是的自然數(shù)）注：P的表示方法不是唯一的。符號和括號在代數(shù)運算中，添上（或去掉）括號可以改變運算的次序，從而使復雜的問題變得簡單。在數(shù)1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：兩個相反數(shù)的代數(shù)和為零。3、算對與算巧計算123…200020012002提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首項+末項)項數(shù)2。計算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002提示：仿例5，造零。結論：2003。計算提示1：湊整法，并運用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n1。計算提示：字母代數(shù)，整體化：令，則計算（1）；（2）提示：裂項相消。常用裂項關系式：（1）；（2）；（3）；（4）。例9計算（n為自然數(shù)）例10、計算1+2+22+23+…+22000提示：1、裂項相消：2n=2n+12n；2、錯項相減：令S=1+2+22+23+…+22000，則S=2SS=220011。例11、比較與2的大小。提示：錯項相減：計算。第五講有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數(shù)的有關概念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．1．括號的使用在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．例1計算：分析中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號．因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．注意在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算．例2計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．說明加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．例3計算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”．如果按照將第一、第二項，第三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需對n的奇偶性進行討論：當n為偶數(shù)時，上式是n／2個(-1)的和，所以有當n為奇數(shù)時，上式是(n-1)／2個(-1)的和，再加上最后一項(-1)n+1·n=n，所以有例4在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，…1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1．現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．這啟發(fā)我們將1，2，3，…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非負數(shù)是1．說明本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．2．用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．例5計算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例6計算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．例7計算：分析與解直接計算繁．仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347．可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9計算：分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本題就是一個例子．通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．例10計算：我們用一個字母表示它以簡化計算．3．觀察算式找規(guī)律例11某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們的總分與平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為90+(-1)÷20=89.95．例12計算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+…+3+1．②將①，②兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500個2000)=2000×500．從而有S=500000．說明一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．例13計算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．解設S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，說明如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．例14計算：分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．練習：1．計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(6)1+4+7+…+244；2．某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均分?1，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第六講數(shù)學計算的智巧數(shù)學計算不僅要遵守四則運算法則，更重要的是要運用機智尋找到一種巧妙合理的算法.機智來自細心的觀察和大膽的探索，因此在學習數(shù)學中要努力學會觀察和分析，培養(yǎng)積極探索的精神.1．倒過來寫例1求和1+2+3+…+999.分析在高速計算機上解決這個問題太容易了，但人不是計算機！你能找到一種巧妙的算法嗎？觀察公式:例2試證不等式.2.添加括號例3計算S=1-2+3-4+…+分析不難看出這個算式的規(guī)律——任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”.如果按照將1、2項，3、4項，…，分別編組的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣而取“加括號”之法得S=（1-2）+（3-4）+…+比“加括號”更一般的思想方法是“分組求和”.例4在七數(shù)-1，-2，-3，1，2，3，4中任選一個數(shù)、兩個數(shù)手只、三個數(shù)的積、…、七個數(shù)的積，試求它們的和.解（1）任選一個數(shù)的和：1+（-1）+2+（-2）+3×(-3)+4=4.(2)任選二個數(shù)的積(由于4×(-3)與4×3,…成對出現(xiàn),這些積的和為0)的和為:1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=-14.（3）.任選三個數(shù)的積(由于4×(-3)×(-2)與4×3×(-2),…成對出現(xiàn)，這些積的和為0)的和為：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-56.（4）任選四、五、六、七個數(shù)的積的和分別為：

1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=1961×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=-36；1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=144.所以，所求的和為-1.3.一分為二例5（1978年上海中學生數(shù)學競賽題）比較（n為任意自然數(shù)）與2的大小.分析關鍵是將寫成宜于與2比較的簡單的式子（直接的計算幾乎不可能）.現(xiàn)依次稱的各項分別為第1項，第2項，…，第n項，對第k項變形4.畫一個圖為了求和S＇=1+2+…+10，可作一個階梯形（如圖1-1中陰影部分），圖中每個小方格為一個面積單位，可見S＇為階梯形的面積，將兩個同樣的階梯形拼在一起得一個11×10的矩形，此矩形面積的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，畫圖的好處由此可見一斑.例6（第19屆國際數(shù)學競賽題）有限個實數(shù)（可以重復）按一定順序排成一列，任意連續(xù)七個數(shù)之和為負，任意連續(xù)十一個數(shù)之和為正，確定這些實數(shù)最多有幾個，分析文字信息有使人墜入五里霧中之感，將這有限個實數(shù)依次編號為①、②，…，如圖1-2所示.把圖中的數(shù)字同時向前挪一位，挪二位，…，便可以看出，從第12個數(shù)起，任意連續(xù)三數(shù)之和為負；從第15個數(shù)起，每一個數(shù)都為正，因編號為15、16、17的三個正數(shù)之和不可能是負的，故這些實數(shù)最多有16個，例如可以驗證（）5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5這一列數(shù)滿足題設條件，表可以看成是一種特殊的圖.例7，對于n個連續(xù)的自然數(shù)1，2，3，…，n，作出其一切可能的和數(shù)（被加數(shù)的個數(shù)從1到n），證明得到的和數(shù)中至少有個兩兩互不相同，分析從聯(lián)想到例1的推廣了的結論，即=1+2+…+n，觸發(fā)猜想：所述和數(shù)至少可以分成n批，第一批一個，第二批兩個，…，第n批n個，則問題獲得解決，注意到1＜2＜3＜…＜n-1＜n，取出若干和數(shù)列成下表：此表中恰有個和數(shù)，顯然它們兩兩互不相等.練習：1.填空題（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99等于_______.（2）1至100所有不能被9整除的自然數(shù)的和等于_______.（3）計算：（（4）計算：2.選擇題(1)乘積等于().(A)(B)(C)(D)(2)(第36屆美國中學數(shù)學競賽題)從和式中,必須除去(),才能使余下的項的和等于1(A)(B)(3)設a、b、c為互相等的整數(shù)，滿足的數(shù)組（a、b、c）有（）個.（A）2（B）無數(shù)多（C）1（D）3（4）分母是1001的最簡真分數(shù)共有（）個.（A）720（B）693（C）692（D）7213.求和S=1·1+2·2·1+3·3·2·1+…n·n(n-1)…·2·1.4.一串數(shù)：中，（1）是第幾個分數(shù)？（2）第400個分數(shù)是幾分之幾？5.（1）8個乒乓球隊員進行循環(huán)賽，需要比賽多少場？（2）從全班50名學生中，選出三人分別擔任班長、學習委員、文娛委員的選法有多少種？6.已知求的值.7.從1到100這100個自然數(shù)中取10個，使它們倒數(shù)和等于1.8.（第5屆美國數(shù)學邀請賽）非負整數(shù)有序數(shù)對（m,n），若在求和m+n時無需進位（十進制下），則稱它為“簡單”的，求所有和為1492的簡單的非負整數(shù)有序數(shù)對的個數(shù).9.（“華羅庚金杯”全國第二屆少年數(shù)學邀請賽（決賽）題）用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？10.數(shù)字3可以有四種表示為一個或多個正整數(shù)之和，即3，1+2，2+1，1+1+1，數(shù)n有多少種這樣的表示法？初一數(shù)學競賽培訓第二講絕對值知識要點1.絕對值的代數(shù)意義；2.絕對值的幾何意義：（1）|a|、（2）|a-b|；3.絕對值的性質(zhì)：（1）|-a|=|a|,|a|0,|a|a；（2）|a|2=|a2|=a2；（3）|ab|=|a||b|；（4）（b0）；4.絕對值方程：（1）.最簡單的絕對值方程|x|=a的解：（2）解題方法：換元法，分類討論法。二、絕對值問題解題關鍵：（1）去掉絕對值符號；（2）運用性質(zhì)；（3）分類討論。三、例題示范例1已知a0，化簡|2a-|a||。提示：多重絕對值符號的處理，從內(nèi)向外逐步化簡。例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，則a+b=，滿足條件的a有幾個？例3已知a、b、c在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖，化簡：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例4已知a、b、c是有理數(shù)，且a+b+c=0，abc0，求的值。注：對于輪換對稱式，可通過假設使問題簡化。已知：例6已知，化簡：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范圍。提示：1、根軸法；2、幾何法。例8是否存在數(shù)x,使|x+3|-|x-2|7。提示：1、根軸法；2、幾何法。例9m為有理數(shù)，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。提示：結合幾何圖形，就m所處的四種位置討論。結論：最小值為8。例10（北京市1989年高一數(shù)學競賽題）設x是實數(shù)，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.則f（x）的最小值等于___6_______.例11（1986年揚州初一競賽題）設T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.對于滿足p≤x≤15的x的來說，T的最小值是多少？解由已知條件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.∵當p≤x≤15時，上式中在x取最大值時T最??；當x=15時，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12

若兩數(shù)絕對值之和等于絕對值之積，且這兩數(shù)都不等于0.試證這兩個數(shù)都不在-1與-之間.證

設兩數(shù)為a、b，則|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.同理可證|a|＞1.∴a、b都不在-1與1之間.例13某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15、7、11、3、14臺，現(xiàn)在為使各校電腦數(shù)相等，各調(diào)幾臺給鄰校：一小給二小、二小給三小、三小給四小、四小給五小、五小給一小。若甲小給乙小3臺，即為乙小給甲小三臺，要使電腦移動的總臺數(shù)最少，應怎樣安排？例14解方程（1）|3x-1|=8（2）||x-2|-1|=（3）|3x-2|=x+4（4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中學生競賽題）求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實數(shù)解.分析

解絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，令x+3=0,x-1=0，分別得x=-3,x=1,-3,1將全部實數(shù)分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去絕對值符號解方程，例如，當x＜-3時，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5滿足x＜-3，故是原方程的一個解，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=-3，x=1叫做零點.第二講絕對值絕對值是初中代數(shù)中的一個基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時，經(jīng)常會遇到含有絕對值符號的問題，同學們要學會根據(jù)絕對值的定義來解決這些問題．下面我們先復習一下有關絕對值的基本知識，然后進行例題分析．一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．即絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認識，它與距離的概念密切相關．在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值．結合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相反數(shù)．反之，相反數(shù)的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結論：任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)．例1:a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，則a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．例2:設有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由圖1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根據(jù)有理數(shù)加減運算的符號法則，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根據(jù)絕對值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3:已知x＜-3，化簡：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號．解因為abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)當a，b，c均大于零時，原式=3；(2)當a，b，c均小于零時，原式=-3；(3)當a，b，c中有兩個大于零，一個小于零時，原式=1；(4)當a，b，c中有兩個小于零，一個大于零時，原式=-1．說明本例的解法是采取把a，b，c中大于零與小于零的個數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用．例5:若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因為｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)當y=2時，x+y=-1；(2)當y=-2時，x+y=-5．所以x+y的值為-1或-5．例6:若a，b，c為整數(shù)，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，試計算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應為整數(shù)，且｜a-b｜19，｜c-a｜99為兩個非負整數(shù)，和為1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．無論①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反數(shù)的意義有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因為任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8化簡：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本題是兩個絕對值和的問題．解題的關鍵是如何同時去掉兩個絕對值符號．若分別去掉每個絕對值符號，則是很容易的事．例如，化簡｜3x+1｜，只要考慮3x+1的正負，即可去掉絕對值符號．這里我們?yōu)槿齻€部分(如圖1－2所示)，即這樣我們就可以分類討論化簡了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即說明解這類題目，可先求出使各個絕對值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個分界點，然后在數(shù)軸上標出這些分界點，這樣就將數(shù)軸分成幾個部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零點分段法”將y化簡，然后在各個取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者．解有三個分界點：-3，1，-1．(1)當x≤-3時，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)當-3≤x≤-1時，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)當-1≤x≤1時，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)當x≥1時，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．綜上可知，當x=-1時，y取得最大值為6．例10設a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本題也可用“零點分段法”討論計算，但比較麻煩．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的幾何意義來解題，將顯得更加簡捷便利．解設a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，D，X，則｜x-a｜表示線段AX之長，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分別表示線段BX，CX，DX之長．現(xiàn)要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點X，使該點到A，B，C，D四點距離之和最?。驗閍＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列應如圖1－3所示：所以當X在B，C之間時，距離和最小，這個最小值為AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值．分析與解要使原式對任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含x項相加為零，即x的系數(shù)之和為零．故本題只有2x-5x+3x=0一種情況．因此必須有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x應滿足的條件是此時原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．練習:1．x是什么實數(shù)時，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化簡下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化簡｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．設T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，對于滿足p≤x≤15的x來說，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B點應為()．(A)在A，C點的右邊；(B)在A，C點的左邊；(C)在A，C點之間；(D)以上三種情況都有可能．初一數(shù)學競賽培訓相反數(shù)和倒數(shù)一、有關知識與要點1.相反數(shù)指絕對值相同而符號相反的兩個數(shù)，兩個互為相反數(shù)的和等于0。2.1除以一個數(shù)（0除外）的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)，如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則這兩個數(shù)的積等于1。二、例題例1①你能找到兩個數(shù)，它們互為相反數(shù)，它們的倒數(shù)也互為相反數(shù)嗎？②你能找到兩個有理數(shù)，它們既互為相反數(shù)，又互為倒數(shù)嗎？如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的和的倒數(shù)與它們的倒數(shù)的和也互為倒數(shù)嗎？為什么？已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值等于1，求a+b+x2-cdx的值。若a、c、d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a+b=c,b+c=d,c+d=a那么a+b+c+d的最大值是（）A、－1B、0C、1D－5設y=ax17+bx13+cx11－5，其中a、b、c為常數(shù)，已知當x=－7時，y=7則x=7時，y的值等于（）A、－17B、－7C、14D、21E、不能唯一確定若（x2-x+1）6=a12x12+a11x11+……+a2x2+a1x+a0,求a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0的值練習：一個有理數(shù)的相反數(shù)與自身的絕對值的和()A、可能是負數(shù)B、必為正數(shù)C、必為非負數(shù)D、必為0兩個質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是()A、B、C、D、E、以上結論都不對一個數(shù)的倒數(shù)小于2，且大于－3，則這個數(shù)a的取值范圍是()A、B、C、D、這樣的a不存在若互為相反數(shù)，則x=,y=_________.若a>0，則的大小關系是_________________.若互為相反數(shù)，則mn=_________.若(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0－a1+a2－a3+a4－a5=已知y=ax5+bx3+cx+665，且當x=365時，y=－665，求x=－365時，y的值。已知：的值。初一數(shù)學競賽培訓第二章整式第一講數(shù)與式1.已知:單項式是五次單項式,則m=_______2.當k=______時，-與的和是單項式.3.已知:單項式是一個關于x,y的單項式,且系數(shù)為2,次數(shù)為5,則a=_____,n=______4.已知:單項式是一個關于x,y的五次單項式,則m_____,n______5.如果多項式是關于x的三次多項式，那么a=___,b=___。6.如果多項式是關于x的三次三項式,則k=________7.如果多項式x4-(a-1)x3+5x2+(b+3)x-1不含x3和x項，則a=_____,b=___________.8.代數(shù)式-3+(x-a)2的最小值為_______，這時x=_______.9.如果0.65x2y2a-1與–0.25xb-1y3是同類項，求a,b的值.10.如果-4x2my3與2x4ym+n是同類項，求m,n的值.11.如果關于字母x的二次多項式-3x2+mx+nx2-x+3的值與x無關，求m、n的值.12.如果關于字母x的多項式-mx4-2x3+2nx2+mx3+x2-3x+n合并后不含x3及x2項，求m、n的值.求當x=-1時多項式的值.13.已知:A=2x2+4xy-2x-3,B=-x2+xy+2且3A+6B的值與x無關，你能求出字母y的值嗎?第二講求代數(shù)式的值1.若a2+a=0則2a2+2a+2009=________2.代數(shù)式3x2-4x+6的值為9,則的值是_________3.若當x=1時,多項式ax3+bx+1的值是5,則當x=-1時,多項式ax3+bx+1的值是_____,多項式的值是____________.4.若當x=2時,多項式ax3+bx+4的值是8,則當x=-2時,多項式ax3+bx+4的值是_____,多項式2ax3+2bx+4的值是_________.5.若a2+bc=14,b2-2bc=-6,則3a2+4b2-5bc=______________6.若a+b+c=0,則(a+b)(b+c)(c+a)+abc=______________7.若a+19=b+9=c+8,則(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=________________8.如果關于x的多項式與3xn+5x是同次多項式，求的值.9.先化簡，再求值.，其中a=-5,b=-3.10.在計算代數(shù)式（2x3－3x2y－2xy2）－(x3－2xy2+y3)+(-x3+3x2y－y3)的值，其中x=0.5,y=－1時，甲同學把x=0.5錯抄成x=－0.5，但他計算的結果也是正確的.試說明理由，并求出這個結果.11.先化簡，再求值：(4x2-3x)+(2+4x-x2)-(2x2+x+1),其中x=-2.12.已知x2+y2=7,xy=-2.求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.13.已知A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2+xy-1,且3A+6B的值與x無關，求y的值.14.若，求：值.15.規(guī)定一種新運算：a＊b=ab+a-b,求a＊b+(b-a)＊b.16.已知多項式x2+2axy-xy2與多項式3xy-axy2-y3的和不含xy項,求多項式a3-2a2-a+1-2a3+a-5的值.17.已知代數(shù)式的值為7，求代數(shù)式的值.18.當時，求代數(shù)式的值.初一數(shù)學競賽培訓整體思想的應用重視基礎知識，突出能力考察的一年一度的“希望杯”全國數(shù)學邀請賽，展示了許許多多活而不難，巧而不偏，富有創(chuàng)造性，有較寬的思維空間且不雷同的數(shù)學問題，對豐富學校的數(shù)學教學內(nèi)容，提高同學們的思維和創(chuàng)造能力起了很好的作用。本文介紹在歷屆“希望杯”賽題(包括培訓題)中如何運用整體思想的內(nèi)容，以幫助同學們提高數(shù)學水平。1.湊整運算將算式中的分數(shù)湊成整數(shù)；整數(shù)湊成整十、整百、整千等進行運算。例1用簡便方法計算：7+97+997+9997+99997。解原式=(10-3)+(100-3)+(1000-3)+(10000-3)+(100000-3)=111110-3×5=111095。2.整體求解視所求問題為一整體，根據(jù)條件的結構特征，合理變形，直接得問題的答案。例2已知代數(shù)式當x=1時值為1，那么該代數(shù)式當x=-1時的值（）。（A）1（B）-1（C）0（D）2解因為當x=1時值為1，所以，即。那么，當x=-1時，原式=。故選(B)。3.整體代換巧設某整體為輔助元或未知元。例3一個六位數(shù)的3倍等于，則這個六位數(shù)是。解設=x，則3(200000+x)=10x+9，解得x=85713。故所求六位數(shù)是285713。4.整體代入據(jù)已知字母的值，先求其一中間代數(shù)式的值，再將該代數(shù)式的值，整體代入求值式中。例4已知x=-1,那么=_________________解因為x=-1，，所以。因此原式=。5.整體變形將條件等式整體相加減，得新的關系式，以助解題進行。例5已知a-b=2①，b-c=-3②，c-d=5③。則(a-c)(b-d)÷(a-d)=_______________解由已知條件，得a-c=-1，b-d=2，a-d=4。所以(a-c)(b-d)÷(a-d)=(-1)·2÷4=-。6.整體判斷據(jù)已知條件整體判斷出求值式中部分代數(shù)式的取值(范圍)。例6角α、β、γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已給出，在計算(α+β+γ)的值時，全班得出23.5°、24.5°、25.5°這樣三種不同結果，其中確有正確的答案，那么α+β+γ=_________________解不妨設0°<α<90°，0°<β<90°，90°<γ<180°，所以90°<α+β+γ<360°，所以6°<(α+β+γ)<24°。因為23.5°、24.5°、25.5°確有正確答案，所以(α+β+γ)=23.5°，所以α+β+γ=352.5°。 由上數(shù)例不難看出，用整體思想解題不僅解題過程簡捷明快，而且富有創(chuàng)造性。練習：1．如果，則=．2.若則_______.3.代數(shù)式的值為9,則的值是_________.4.若當x=1時,多項式的值是5,則當x=-1時,多項式的值是_____,多項式的值是____________.5.若當x=2時,多項式的值是8,則當x=-2時,多項式的值是_____,多項式的值是_________.6.若a2+bc=14,b2-2bc=-6,則3a2+4b2-5bc=______________7.設，則（）A.-32B.32C.1024D.-10248.已知x2+y2=7,xy=-2.求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.9.當時，求代數(shù)式的值.10.已知代數(shù)式的值為7，求代數(shù)式的值.11.如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．12.已知ab=5，ab=1，求(2a+3b2ab)(a+4b+ab)(3ab+2b2a)的值。13.已知：，，求的值。14.已知：，求多項式的值。15.已知：，求的值。16.已知：.（1）求的值。（2）求的值。17.當時，多項式的值為7，求當時這個多項式的值。18.當時，關于小x的二次多項式的值為-17，試求x=-2時該代數(shù)式的值。初一數(shù)學競賽培訓零的特性一.零既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是介于正數(shù)和負數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1.零是表示具有相反意義的量的基準數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高收支衡可記作結存0元。2.零是判定正、負數(shù)的界限。若a＞0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則a＞0記作a＞0a是正數(shù)讀作a＞0等價于a是正數(shù)b<0b是負數(shù)c≥0c是非負數(shù)（即c不是負數(shù)，而是正數(shù)或0）d0d是非正數(shù)(即d不是正數(shù)，而是負數(shù)或0)e0e不是0（即e不是0，而是負數(shù)或正數(shù)）3.在一切非負數(shù)中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數(shù)都是非負數(shù)，它們的最小值都是0。記作：|a|≥0，當a=0時，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（當a=0時）。4.在一切非正數(shù)中有一個最大值是0。例如－|X|≤0，當X＝0時，－|X|值最大，是0，（∵X≠0時都是負數(shù)），－（X－2）20，當X＝2時，－（X－2）2的值最大，是0。二.零具有獨特的運算性質(zhì)1.乘方：零的正整數(shù)次冪都是零。2.除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0沒有倒數(shù)，分數(shù)的分母不能是0。3.乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即a×0＝0，反過來如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。要使等式xy=0成立,必須且只需x=0或y=0。4.加法互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。反過來也成立。即a、b互為相反數(shù)a+b=05.減法兩個數(shù)a和b的大小關系可以用它們的差的正負來判定，若a-b=0,則a=b;若a-b＞0,則a＞b;若a-b＜0,則a＜b。反過來也成立，當a=b時，a-b=0；當a>b時,a-b>0；當a<b時,a-b<0.三.在近似數(shù)中，當0作為有效數(shù)字時，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過5厘米；后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米?？捎貌坏仁奖硎酒渲捣秶缦拢?.55近似數(shù)1.6<1.651.595≤近似數(shù)1.60<1605例題：例1．兩個數(shù)相除，什么情況下商是1？是－1？例2．絕對值小于3的數(shù)有幾個？它們的和是多少？為什么？例3．要使下列等式成立X、Y應取什么值？為什么？①X（Y－1）＝0，②｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0練習：1.有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示:b0a比較下列左邊各數(shù)與0的大?。ㄓ茫?、＜、＝號連接）2a0,－3b0,0,－0，－a20,－b30,a+b0,a－b0,ab0,(－2b)30,0,02.a表示有理數(shù)，下列四個式子，正確個數(shù)是幾個？答：＿＿個。｜a|>a,a2>－a2,a>－a,a+1>a3.x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：＿＿句。①（x－2）2有最小值0，③－｜x+3|有最大值0，2－x2有最大值2，④3＋｜x－1｜有最小3。4.絕對值小于5的有理數(shù)有幾個？它們的積等于多少？為什么？5.要使下列等式成立，字母X、Y應取什么值？①＝0，②X（X－3）＝0，③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝06.下列說法正確嗎？為什么？①a的倒數(shù)是②方程（a－1）X＝3的解是X＝n表示一切自然數(shù)，2n－1表示所有的正奇數(shù)如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有理數(shù))7.X取什么值時，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？①X（X－1）②X（X＋1）（X＋2）初一數(shù)學競賽培訓數(shù)學符號數(shù)學符號是表達數(shù)學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學符號一般可分為：1.元素符號：通常用小寫字母表示數(shù)，用大寫字母表示點，用⊙和△表示園和三角形等。2.關系符號：如等號，不等號，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。3.運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4.邏輯符號：略5.約定符號和輔助符號：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)部份記作Z（），而它的余數(shù)記作R（），那么Z（）＝3，R（）＝1；又如設表示不大于x的最大整數(shù)，那么＝5，＝－6，＝0，＝－3。注意：1.正確使用符號的關健是明確它所表示的意義（即定義）2.對題設中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。3.在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確的定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。例1設表示不大于Z的最大整數(shù)，＜n>為正整數(shù)n除以3的余數(shù)計算：①〔4.07〕＋〔－〕－〈13;〉＋〈2004〉②〈〔14.7〕〉＋〔〕。例2①求19871988的個位數(shù)②說明19871989－19931991能被10整除的理由解：設N（x）表示整數(shù)x的個位數(shù)，N（19871988）＝N（74×497