高二數(shù)學人選修課件函數(shù)的極值與導數(shù)

高二數(shù)學人選修課件函數(shù)的極值與導數(shù)匯報人：XX20XX-01-16XXREPORTING目錄函數(shù)極值概述導數(shù)在函數(shù)極值中應用多元函數(shù)極值與偏導數(shù)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)極值和導數(shù)不等式約束下最優(yōu)化問題及其解法總結與展望PART01函數(shù)極值概述REPORTINGXX設函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某鄰域$U(x_0)$內有定義。如果對于$x_0$去心鄰域內的任一$x$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），那么就稱$f(x_0)$是函數(shù)$f(x)$的一個極大值（或極小值）。極值定義極值點必須是函數(shù)在其定義域的某個局部區(qū)域（而非整個定義域）內的最大值或最小值點。極值點處的函數(shù)值稱為極值。極值性質極值定義與性質一階導數(shù)條件若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處可導，且在$x_0$處取得極值，則必有$f'(x_0)=0$。二階導數(shù)條件若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處二階可導，且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)neq0$，則當$f''(x_0)>0$時，$f(x_0)$為極小值；當$f''(x_0)<0$時，$f(x_0)$為極大值。極值存在條件通過觀察函數(shù)圖像或表達式，判斷函數(shù)在哪些點處可能取得極值。觀察法求出函數(shù)的一階導數(shù)，并令其等于零，解出可能的極值點。然后利用極值的定義或二階導數(shù)條件判斷這些點是否為極值點。一階導數(shù)法求出函數(shù)的二階導數(shù)，并判斷其符號。若在某點處二階導數(shù)由正變負，則該點為極大值點；若由負變正，則該點為極小值點。二階導數(shù)法極值求解方法PART02導數(shù)在函數(shù)極值中應用REPORTINGXX當函數(shù)在某區(qū)間內可導時，若導數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內單調遞增；若導數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內單調遞減。導數(shù)與函數(shù)單調性拐點是函數(shù)圖像凹凸性發(fā)生改變的點，即在該點處二階導數(shù)存在且等于0。拐點與導數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調性關系首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后判斷導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調區(qū)間。在函數(shù)的單調區(qū)間內，分別求出各區(qū)間端點和駐點的函數(shù)值，比較大小即可得到函數(shù)的極大值和極小值。利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性并求極值求函數(shù)極值判斷函數(shù)單調性求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的極值。首先求出$f'(x)=3x^2-6x$，然后令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$。接著判斷$f'(x)$的正負，得到$f(x)$在$(-infty,0)$和$(2,+infty)$上單調遞增，在$(0,2)$上單調遞減。因此，$f(x)$在$x=0$處取得極大值$f(0)=4$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=0$。案例一求函數(shù)$g(x)=frac{1}{3}x^3-x^2+1$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。首先求出$g'(x)=x^2-2x$，然后令$g'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$。接著判斷$g'(x)$的正負，得到$g(x)$在$[-1,0]$和$[2,3]$上單調遞增，在$[0,2]$上單調遞減。因此，$g(x)$在$x=0$處取得極小值$g(0)=1$，在$x=3$處取得最大值$g(3)=frac{1}{3}times3^3-3^2+1=1$。所以，$g(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值為1，最小值為1。案例二案例分析：利用導數(shù)求函數(shù)極值問題PART03多元函數(shù)極值與偏導數(shù)REPORTINGXX設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某鄰域$U(P_0)$內有定義。若對于$U(P_0)$內的任意點$P(x,y)$，都有$f(x,y)leqf(x_0,y_0)$（或$f(x,y)geqf(x_0,y_0)$）成立，則稱函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$取得極大值（或極小值），統(tǒng)稱為極值。多元函數(shù)極值定義多元函數(shù)的極值是局部性質，即只在某點的鄰域內討論；極值點處函數(shù)值與其周圍點的函數(shù)值有明顯的差異。多元函數(shù)極值性質多元函數(shù)極值定義及性質偏導數(shù)定義設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某一鄰域內有定義，當$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$處有增量$Deltax$時，相應地函數(shù)有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，則稱此極限為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處對$x$的偏導數(shù)，記作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f'_x(x_0,y_0)$。偏導數(shù)在多元函數(shù)極值中的應用通過求解偏導數(shù)，可以找到多元函數(shù)的駐點（即偏導數(shù)等于零的點），這些駐點可能是極值點或鞍點；進一步通過二階偏導數(shù)判斷駐點的類型（極大值、極小值或鞍點）。偏導數(shù)在多元函數(shù)極值中應用案例分析：多元函數(shù)極值問題求解求函數(shù)$z=x^2+y^2-2x-4y+5$的極值。首先求偏導數(shù)$frac{partialz}{partialx}=2x-2$和$frac{partialz}{partialy}=2y-4$，令偏導數(shù)等于零得到駐點$(1,2)$。進一步判斷該駐點為極小值點，因此函數(shù)在$(1,2)$處取得極小值$-4$。案例一求函數(shù)$z=xy-x^2-y^2+1$的極值。首先求偏導數(shù)$frac{partialz}{partialx}=y-2x$和$frac{partialz}{partialy}=x-2y$，令偏導數(shù)等于零得到駐點$(0,0)$。進一步判斷該駐點為極大值點，因此函數(shù)在$(0,0)$處取得極大值$1$。案例二PART04隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)極值和導數(shù)REPORTINGXX隱函數(shù)是一種不直接給出因變量與自變量之間關系的函數(shù)，而是將這種關系隱含在一個方程中。例如，$x^2+y^2=r^2$是一個圓的隱函數(shù)方程。隱函數(shù)參數(shù)方程是一種通過引入一個或多個參數(shù)來表示因變量與自變量之間關系的方程。例如，$x=cost,y=sint$是圓的參數(shù)方程，其中$t$是參數(shù)。參數(shù)方程隱函數(shù)和參數(shù)方程具有一些重要的性質，如連續(xù)性、可微性等，這些性質在求解函數(shù)的極值和導數(shù)時非常重要。性質隱函數(shù)和參數(shù)方程基本概念及性質隱函數(shù)求極值對于隱函數(shù)，可以通過對方程兩邊同時求導，得到因變量對自變量的導數(shù)，進而利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值點。參數(shù)方程求極值對于參數(shù)方程，可以先將參數(shù)消去，得到因變量與自變量之間的直接關系式，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值點；也可以直接將參數(shù)方程代入到目標函數(shù)中，通過求導得到極值點。利用隱函數(shù)和參數(shù)方程求函數(shù)極值方法010203案例一利用隱函數(shù)求極值。例如，對于隱函數(shù)$x^2+y^2-xy=0$，可以通過求導得到$y'$，進而判斷函數(shù)的單調性和極值點。案例二利用參數(shù)方程求極值。例如，對于參數(shù)方程$x=t^2,y=t^3$，可以先消去參數(shù)得到$y=x^{3/2}$，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值點；也可以直接將參數(shù)方程代入到目標函數(shù)中，通過求導得到極值點。案例三綜合應用。例如，對于由隱函數(shù)和參數(shù)方程共同確定的復雜函數(shù)，可以先將隱函數(shù)轉化為顯函數(shù)或參數(shù)方程形式，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值點；也可以結合數(shù)值方法或圖形分析等方法進行求解。案例分析PART05不等式約束下最優(yōu)化問題及其解法REPORTINGXX最優(yōu)化問題中，除了等式約束外，常常還包含不等式約束，這些約束限制了變量的取值范圍。不等式約束最優(yōu)化目標實際應用在不等式約束條件下，尋找使得目標函數(shù)取得最大值或最小值的變量取值。不等式約束下最優(yōu)化問題在實際生活中廣泛應用，如經(jīng)濟學、金融學、工程學等領域。030201不等式約束下最優(yōu)化問題概述

拉格朗日乘數(shù)法在不等式約束最優(yōu)化中應用拉格朗日函數(shù)將不等式約束條件與目標函數(shù)結合，構造拉格朗日函數(shù)，該函數(shù)包含了原問題的所有信息。乘數(shù)法原理通過引入拉格朗日乘子，將不等式約束條件轉化為等式約束，從而簡化問題的求解過程。求解步驟首先構造拉格朗日函數(shù)，然后求解該函數(shù)關于變量和乘子的偏導數(shù)，并令其為零，最后解出變量和乘子的取值。案例分析：不等式約束下最優(yōu)化問題求解以經(jīng)濟學中的生產(chǎn)問題為例，探討如何在成本預算的限制下最大化產(chǎn)量。將生產(chǎn)問題轉化為不等式約束下的最優(yōu)化問題，建立目標函數(shù)和約束條件。應用拉格朗日乘數(shù)法，構造拉格朗日函數(shù)并求解偏導數(shù)方程組，得到最優(yōu)解。根據(jù)最優(yōu)解分析生產(chǎn)策略，給出在給定成本預算下最大化產(chǎn)量的建議。案例介紹問題建模求解過程結果分析PART06總結與展望REPORTINGXX知識點梳理通過本課程的學習，我們深入了解了函數(shù)的極值與導數(shù)的相關概念，包括極值的定義、判定方法，導數(shù)的定義、計算和應用等。重點難點解析課程中重點講解了如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值，以及極值在實際問題中的應用。同時，對于難以理解的部分，如復合函數(shù)的求導法則、高階導數(shù)的計算等，進行了詳細的解析和舉例。學習方法指導在學習過程中，我們采用了多種方法，如課前預習、課后復習、獨立思考、小組討論等，有效地提高了學習效率和成績。課程總結回顧不足之處分析在學習過程中，我發(fā)現(xiàn)自己在某些方面存在不足，如對于某些復雜函數(shù)的求導不夠熟練，需要加強練習和鞏固。學習成果展示通過本課程的學習，我掌握了函數(shù)的極值與導數(shù)的基本知識，能夠獨立完成相關習題，對于復雜的問題也能夠進行分析和解決。改進措施與目標為了改進自己的不足，我將加強相關知識的練習和鞏固，同時積極尋求老師和同學的幫助和指導，爭