人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章同步測(cè)試題及答案

最新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章同步測(cè)試題及答案

課時(shí)分層作業(yè)（八）不等關(guān)系與不等式

（建議用時(shí)：60分鐘）

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”.

B.小明的身高xcm,小華的身高”m,則小明比小華矮表示為‘'龍〉y”.

C.某變量x至少是?？杀硎緸椤皒Na”.

D.某變量y不超過。可表示為.

C［對(duì)于A,x應(yīng)滿足xW2000,故A錯(cuò)：對(duì)于B,x,y應(yīng)滿足xVy,故B不正確；

C正確；對(duì)于D,y與。的關(guān)系可表示為yWa,故D錯(cuò)誤.］

2.設(shè)4=3/-x+1,/?=2/+x,xGR,則（）

A.a>bB.a<b

C.a^bD.aWb

C［,：a-b=x1-2x+1=（X-1）2>0,

3.若aW2且bW—l,則加=廿+/—4a+2"的值與一5的大小關(guān)系是（）

A.M>~5B.M<-5

C.M=~5D.不能確定

A（M=（O-2）2+（/?+1）2-5>-5.

故選A.］

4.b克糖水中有?？颂荢>a〉0）,若再添上機(jī)克糖（加〉0）,則糖水變甜了，根據(jù)這

個(gè)事實(shí)提煉的一個(gè)不等式為（）

〃+加aa

A，b+m<bB力+m>。

a-maa—ma

C，b-m<b。0一〃1〉b

B［糖水變甜了，說明糖水中糖的濃度增加了，故在

5.已知c〉l,Kx=y[c+i—y[c,y=-\[c-^c-i,則x,y之間的大小關(guān)系是()

A.x>yB.x=y

C.x<yD.x,y的關(guān)系隨c而定

C[用作商法比較，由題意x,y>0,

..X7c+l-亞立+.

'yy/c—yjc—1yjc+1+y[c，>

二、填空題

6.已知a,。為實(shí)數(shù)，則(a+3)(a—5)3+2)5-4).(填"<”或“=”)

<[因?yàn)?a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)=(4—2a—15)—(a1—2a—8)=—7<0,所以(a+

3)(a—5)<(a+2)(a—4).]

7.一輛汽車原來每天行駛xkm,如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km,那么

在8天內(nèi)它的行程將超過2200km,用不等式表示為.

8(x+19)>2200[因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉矶?9km,所以汽車每天行駛的

路程為(x+19)km,則在8天內(nèi)它的行程為8(x+19)km,因此，不等關(guān)系”在8天內(nèi)它的行

程將超過2200km”可以用不等式8(x+19)>2200來表示.]

8.當(dāng)m>l時(shí)，療與1的大小關(guān)系為.

rtr'>trT-m+1['/m3—(〃/—m+1)

=m3—1=/??2(m—1)+(m—1)

=(〃?一l)(m2+1).

又,.,/%>1,故(加―?1)(〃/+1)>0.]

三、解答題

9.有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛

機(jī)運(yùn)輸效果如下表：

效果方式種類輪船運(yùn)輸量”飛機(jī)運(yùn)輸量〃

糧食300150

石油250100

現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運(yùn)輸2000t糧食和1500t石油.寫出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所

滿足的所有不等關(guān)系的不等式.

[解]設(shè)需要安排x艘輪船和y架飛機(jī).

r300x4-150^^2000,

250x+100y^l500,

則《

xGN,

、y￡N,

"6x+3y240,

5x+2y230,

即《

xGN,

、yWN.

10-x￡R且xw—1，比較由與Lx的大小?

1-(1-/)

..1

(l—x)=

,1+x1+x1+x'

1

當(dāng)x=0時(shí),=1—X；

1+x

X2

當(dāng)i+xvo,即xv—i時(shí)，~rr-<o,

1+x

x

當(dāng)l+x＞。且V。，即一IVxV?；?。時(shí)，不＞0,

-＞1-X.

l+x

［等級(jí)過關(guān)練］

1.足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場(chǎng)為中國(guó)隊(duì)加油，現(xiàn)

有A、3兩個(gè)出租車隊(duì)，A隊(duì)比8隊(duì)少3輛車.若全部安排乘A隊(duì)的車，每輛車坐5人，

車不夠，每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊(duì)的車，每輛車坐4人，車不

夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿.則A隊(duì)有出租車()

A.11輛B.10輛

C.9輛D.8輛

B［設(shè)A隊(duì)有出租車x輛，則8隊(duì)有出租車(x+3)輛，由題意得

C1

x<ll^

〃5xV56,

6A>56,X>9T

<解得q3

4(x+3)<56,

x<ll

<5(x+3)>56.

x>

而x為正整數(shù)，故x=10.]

2.將一根長(zhǎng)5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為xm,若兩段繩子長(zhǎng)度之差

不小于1m,則尤所滿足的不等關(guān)系為()

2x—521(5—2x21

A<B?

'[0<x<5\0<x<5

\2x~5\^\

C.2x—521或5—2x21D<「

0<x<5

D[由題意，可知另一段繩子的長(zhǎng)度為(5—x)m,因?yàn)閮啥卫K子的長(zhǎng)度之差不小于1m,

|x—(5一x)|21,

所以，

[0<x<5,

12x—5閆，

即I]

[0<A-<5.

3.一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的上底面有一點(diǎn)A,下底面有一點(diǎn)8,則A、B兩點(diǎn)間的距

離d滿足的不等式為.

2W4W2小[最短距離是棱長(zhǎng)2,最長(zhǎng)距離是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)2小.故2WdW2小J

4.某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、8兩類共50件電子器件，每類每件所需人

員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：

今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，最高產(chǎn)值為萬

元.

Y50—x

20330[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)8類電子器件(50—x)件，則]+1—

W20,解得x〈20.

由題意，得總產(chǎn)值y=7.5x+6X(50—x)=300+1.5xW330,

當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)，y取最大值330.

所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元.]

5.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)8地，甲車一半時(shí)間的速度為a,另一半時(shí)間的

速度為6乙車用速度。行走一半路程，用速度人行走另一半路程，若。工從試判斷哪輛

車先到達(dá)8地？

［解］設(shè)A,8兩地路程為2$,甲車走完A地到8地的路程所用時(shí)間為力，則生

-4s

=25，「帝，

乙車走完A她至〔JB地的路程所用的時(shí)間為女，

則t2=~+7.

ab

_4sss

又t\~h=~T7~~~T

1za+bab

4$ab-sb(a+Z?)—sa(a+Z?)

=ab(a+b)

2

-s(a—b)

=-,；,，v<O(Va^Z?,a>0,b>0,5>0),

ab(a+b)

?ZiV/2，即甲車先到達(dá)B地.

課時(shí)分層作業(yè)(九)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

(建議用時(shí)：60分鐘)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.已知：a,b,c,JGR,則下列命題中必成立的是()

A.若a>b,c>b,則a>c

B.若a〉一b,則c—a<c+Z?

ab

C.若a>b,c<d,則］>)

D.若a?>",則一“<一〃

B［選項(xiàng)A,若a=4,h=2,c=5,顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，

如4b>0,cVOVd時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有。>5>0時(shí)才可以.否則如。=一1,b=0

時(shí)不成立，故選B.］

2.設(shè)a>l泌>一1,則下列不等式中恒成立的是()

1111

B

A.a-<Tb->Tab

C./現(xiàn)D.a>b2

D[A錯(cuò)，例如a=2,0=—：時(shí)，-=1,；=—2,此時(shí)，1>:;B錯(cuò)，例如a=2,b

=：時(shí)，；=1,7=2,此時(shí)，^<7：C錯(cuò)，例如a=[,人=得時(shí)，?2=77?2/?=T7,此時(shí)42<2。：

C4<xV1(czIvJJLvxJIyJ

2

由a>\,后<1得a>b9故D正確.]

3.已知心江則下列不等式：①〃>/；吟點(diǎn)③六[.其中不成立的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

D[雖然已知a〉b,但并不知道a、。的正負(fù)，如有2>—3,但22<(—3)2,故①錯(cuò)；2>

—3=>|>—②錯(cuò)；若有a=l,b=—2,則-=T,-=L故③錯(cuò).]

25a—b5a

4.若abcd<0,且a>0,b>c,d<0,貝U()

A.〃<0,c<0B.Z?>0,c>0

C./?>0,c<0D.0<c</?或cy/?<0

D[由〃>0,d<0,且abcd<0,知bc>0,又,：b>c,.??0<c<》或c<b<0.]

5.若a,b,c￡R,a>b,則下列不等式成立的是()

11

/7〉9

Aa-<7bB.Zr

ab

D.a\c\>b\c\

C[對(duì)A,若。>0>江則>>0,、V0,

此時(shí):>[,.，.A不成立；

對(duì)B,若a=l,b=~2,則

AB不成立；

對(duì)c,vc2+i^i,且。恒成立，，c正確；

對(duì)D,當(dāng)c=0時(shí)，a\c\=b\c\,，D不成立.]

二、填空題

6.給出以下四個(gè)命題：

①a〉〃今a"〉//'("￡N*)；②a〉|例WN*)；③a<b<oJ〉，@a<b<O^-^r

a"cii)

〉L其中真命題的序號(hào)是.

②③[①中取。=-1,b=-2,n=2,不成立；②加，得a>0,；.a">b"成立;

③aVbVO,得5A：成立；

@a<b<0,得a-〃V0,且。一匕>。，故」yV」，④不成立.]

a-ba

7.設(shè)x〉l,-1<y<0,試將羽y,一y按從小到大的順序排列如下：.

y<—y<x[V_l<y<0,/.O<-y<1,.e.y<-y,又x>l,.*.y<—y<x.]

x

8.右8<x<10,2<><4,則;的取值范圍是

x]]1

2<-<5[V2勺<4,/.4<-<2.

V8<x<10,/.2<-<5.]

y

三、解答題

9.(1)。<〃<0,求證：

(2)已知a>〃，-<p求證：ah>0.

[證明]⑴由于(一『寧

(〃+〃)(〃—二)

=ab，

a<b<0,

.??/?+a<0,b—a>0,ab>Q,

.(b+aXb-a)ba

故一<￡?

>?ab><uab

⑵o.

A--1<0

ab

cb~a

即

而cob,

:?b—a〈0,

:.ab>0.

10.已知：3<a+b<4,0<b<\,求下列各式的取值范圍.

(l)a；(2)a~b；(3)p

［解］(l)：3Va+8V4,又「OV^Vl,

/.-1<-/?<0,

：.2<a+b+(~b)<4,

即2V4V4.

又'、〈女%

/.1<a—Z?<4.

(3)VO</?<1,吊>1,

又?.?2VaV4,：.j>2.

b

［等級(jí)過關(guān)練］

1.a>b>c,且a+b+c=O,下列不等式恒成立的是()

A.ac>bcB.ab>ac

C.a\b\>c\b\D.a2>b1>c1

B「.％+/?+，=()且a>b>c,

.?.a>0,cVO,，A不正確.

對(duì)于B,">acBaS-c)>0又8一c>0,a>0,故B正確；由于|加有可能為0,故C

不正確，若a=2,b=\,c=-3,顯然a+b+c=O,但Y)/且力2<02,故D不正確.］

jrJr

2.若a,4滿足一］<a<夕<5，則2a一4的取值范圍是()

A.-jc<2a—/?<0B.—n<2a一4<兀

3兀71

C.—~^<2a-/3<2D.0<2a-/3<7t

7171

C［V-2<a<2>?.-7i<2a<7t.

,."一［v)V、,.,.一］<：一4V；,―一孚V2a-￡V苧又a-<V0,av［2a~/i<^.

故一多V2a一4V宗］

3.已知一lWx+yW4,且2Wx—yW3,則z=2x—3y的取值范圍是.

3WzW8「.,z=-g(x+y)+￡(x—y),

-2W—g(x+y)W，5W，-y)W號(hào)，

/.3W—；(x+y)4-1(x—y)<8,

.?.3WzW8.]

4.設(shè)a,。為正實(shí)數(shù)，有下列命題：

①若"一/=],則a—*1；

②若A[=l，則a-XI；

③若|也一亞1=1,則|a—勿<1；

④若|/一陰=1,則|a—加<1.

其中正確的命題為(寫出所有正確命題的序號(hào)).

①?[對(duì)于①，由題意a,b為正實(shí)數(shù)，則a2-/?2=1-b=~z^a-b>0^a>b>0,

則由2今這與。，〉矛盾，故。

故a+b>a——6>0.若a——1,+?i0

一b<\成立.

3

對(duì)于②，取特殊值，。=3,〃=?則a—b>l.

對(duì)于③，取特殊值，4=9,6=4時(shí),\a-b\>\,

對(duì)于④，???|/一/|=1,。>0,b>3

:?a手b,不妨設(shè)a>b>0.

?'?+。。+力2>。2_2ab+。2>0,

(a-/7)(/++/)>(a—b)(a—/?)2.

33

即a?—b>(a-b)>09

???1=|/一/|>3一份3>0,

0<a—b<\,

即|〃一臼<1.因此正確.]

5.已知二次函數(shù)y=??+公+。滿足以下條件.

(1)該函數(shù)圖象過原點(diǎn)；

(2)當(dāng)％=—1時(shí)，y的取值范圍為大于等于1且小于等于2；

(3)當(dāng)x=l時(shí)，y的取值范圍為大于等于3旦小于等于4；

求當(dāng)x=-2時(shí)，y的取值范圍.

［解］,二次函數(shù)〉=/+笈+0圖象過原點(diǎn)，

.*.c=0,

^y=a^-}-bx,

又???當(dāng)x=-l時(shí)，1W〃一/7W2.①

當(dāng)x=l時(shí)，3W〃+bW4,②

???當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a—2b.

設(shè)存在實(shí)數(shù)機(jī)，幾,使得

4a-2b=m(a+b)+n(a—b)9

而4a-2b=(m+n)a+{m-n)b,

m+n=4,

「J解之得777=1,〃=3,

m—n=-2,

4a—2h=(a+h)+3(a—b).

由①②可知3WQ+0W4,3W3(Q—A)W6,

「?3+3W4a—2/?W4+6.

即6W4a-2〃W10,

故當(dāng)x=-2時(shí)，y的取值范圍是大于等于6且小于等于10.

課時(shí)分層作業(yè)(十)基本不等式

(建議用時(shí)：60分鐘)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.設(shè)f=a+2As=a+/+l,則f與s的大小關(guān)系是()

A.s^tB.s>t

C.sWfD.s<t

A［'：b2+l^2b,.?.a+2"Wa+〃+L］

2.下列不等式中正確的是()

4oo

〃十-。。

A.a24B.'4

D.*+予22小

4

Dgvo,則Q+,24不成立，故A錯(cuò)；

Q=1,b=1,a2+b2<4ab,故B錯(cuò)；

a=4,分=16,則加〈美與故C錯(cuò);

由基本不等式可知D項(xiàng)正確.］

3.已知a>0,匕>0,則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）

A.abWB.abW-2-

r±>^2

"ah^c^+b1扁

D［由基本不等式知A、C正確，由重要不等式知B正確，由巴苧-2ab得，

21r2Y.

，二茄，故選叩

4.若。〉?！?,則下列不等式成立的是（）

a+bI-

A.a>b>—^—>y]ab

a+bi-

B.a>—^~>yjab>b

ci~\~bi—

C.a>—2—>b>yjah

Icih

D.a>y]ab>~^~>b

B[a=~^~>~~^^>y[ah>ylh-b=h9因此只有B項(xiàng)正確.]

5.若?！?,b〉0,且。+。=4,則下列不等式恒成立的是（）

111

>

茄--

〃

A.。+-

11

D22W-

Q+力8

D［由得abW4,

烹斗故A錯(cuò)；

B中，那和,故B錯(cuò)；

由。+。=4,得故C錯(cuò);

...懸/《，D正確.]

二、填空題

6.已知a〉》〉c,則小。一人)3—c)與區(qū)]/的大小關(guān)系是

a

y/(a—b)(b—c)W2a>b>c9

.?.〃一。>0,b—c>0,

，yl(a-b)(b—c)W=~2~^

7.某工廠第一年的產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為處第三年的增長(zhǎng)率為4則這兩年

的平均增長(zhǎng)率X與增長(zhǎng)率的平均值中的大小關(guān)系為.

[用兩種方法求出第三年的產(chǎn)量分別為

4(l+a)(l+b),A(1+X)2,則有(l+x)2=(l+a)(l+b).

I—-—1+a+1+/?a-\'b

Al+x=q(l+a)(l+b)W----2----=1+~T~,

...jcwgA當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.]

8.已知函數(shù)_/(x)=4x+f(x>0,a〉0)在x=3時(shí)取得最小值，則a=.

36[f(x)=4A-+->2A(4X--=4y[a(x>Q,a>Q),當(dāng)且僅當(dāng)4x=",即》=年時(shí)等號(hào)成立,

XXX乙

此時(shí)“X)取得最小值4g.又由已知X=3時(shí)，/U)min=4g,

\a

「?2=3,即。=36.]

三、解答題

9.已知a,〃，c,為正實(shí)數(shù)，且a+/?=l.求證：，如4.

、日11a+ha+b

[證明]L廠丁+丁

=1+*+1

=2+/件2+2，'ba

k4-

當(dāng)且僅當(dāng)4=力時(shí)成立.

,、i一皿匕+c——。,c-\-a~b,

10.已知4、b、。為正數(shù)，求證：~+石+~23.

［證明］左邊=￡+，y+>+"2

=（鋁h）+（汽）+修+*3

ab

,：a,b,c為正數(shù),

hn

...￡+'22（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

：十222（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取

Ch

計(jì)念2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“='j.

從而t+?）+!}+猾b'6（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）.

ab

北+骷（汽a）+（迸6）tr

0b

門b+c~a,c+a-b,a+/7——c、

即F-+--+F—2

［等級(jí)過關(guān)練］

1.下列不等式一定成立的是（）

X2+2t-

A.x+》2B,耳奉N

?+3、4

D.2—3x一—22

。小壽2X

B［A項(xiàng)中當(dāng)x<0時(shí)，x+5<0<2,，A錯(cuò)誤.

y+2____

B項(xiàng)中，qy+2=++2=啦'，B正確.

X2+3

而對(duì)于C,

V?+4

x2+33

當(dāng)x=Q時(shí),|<2,顯然選項(xiàng)C不正確.

山2+4

4

D項(xiàng)中取》=1,2—3%一不2,，D錯(cuò)誤.]

2.已知a20,b^O,且a+b=2,則（）

A.abwgB.ab》；

C.D./十代3

C['：a^0,b20,且a+b=2,：.ab^\^~j=1,

而4=3+與2=/+/?2+2"忘2(。2+/),

.,./+6222.]

3.若f+y2=4,則w的最大值為.

J?+J2

2[xy^~^~=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”.]

4.設(shè)a,〃為非零實(shí)數(shù)，給出不等式：

件2出件2件牛冷備毓+評(píng).

其中恒成立的不等式是.

①②[由重要不等式可知①正確；

a1-\-b22(/+/)

^^=-4-

(a?+/)+(a2+/)、M\+2ab

=4-4

="*"故②正確；對(duì)于③，當(dāng)a=0=—1時(shí)，不等式的左邊為幺孕

1,右邊為坐：=一4，可知③不正確；令a=l,。=一1可知④不正確.]

a+b2

5.已知〃、b、c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a+b+c>y^+y[bc+y[ca.

［證明］Va>0,b>0,c>0,

.ci"4"bIhH-cI-cH-cir—.a+h.h+c,c+a

^yl^+y［hc+yl~ca

??2ab,22??212129

即瓦+4%.由于a、b、c不全相等，

，等號(hào)不成立，

^.a+h+c>y[ab-]-yjbc+yfca.

課時(shí)分層作業(yè)(十一)基本不等式的應(yīng)用

（建議用時(shí)：60分鐘）

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.若?！?,則。+吉的最小值是（）

A.2B.aC.2ID.3

a—1

D[a>1,'.a—1>0,―—1+~~+1^2A/（a-1）-~~卜1=3.]

a—1a—1，a—1

2.已知於）=x+：-2（x<0）,則於）有（）

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為一4D.最小值為一4

C「.”<0,-2<-2-2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)一x二即x=

-1時(shí)取等號(hào).]

3.設(shè)x〉0,則丁=3-3尤一（的最大值是（）

A.3B.-372C.3-2小D.-1

C「.”>0,二）=3—（3》+/3-2\^311=3-2小.當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)=3,

且x>0,即x

=乎時(shí)，等號(hào)成立.]

_I4

4.若x〉0,y〉0,且1+,=1,則x+y的最小值是（）

A.3B.6C.9D.12

x=3

即<時(shí)等號(hào)成立，故x+y的最小值為9.]

j=6

5.已知龍〉0,y>0,且x+y=8,則(l+x)(l+y)的最大值為()

A.16B.25C.9D.36

一「(1+x)+(i+y)T

B[(l+x)(l+y)^[-一僅--

=[-25,

因此當(dāng)且僅當(dāng)1+尤=l+y,即x=y=4時(shí)，

(l+x>(l+y)取最大值25,故選B.]

二、填空題

6.函數(shù)》=無+^^(》20)的最小值為.

[答案]1

7.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72

dnA圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm,左右空白各寬1dm,則四

周空白部分面積的最小值是dm2.

72

56[設(shè)陰影部分的高為xdm,則寬為:dm,四周空白部分的面

積是ydm2.

由題意，得y=(x+4)f，+2)—72

(]44、/~144°

=8+2^+—J^8+2X2A/A--=56(dm2).

144

當(dāng)且僅當(dāng)xuq-,即x=12dm時(shí)等號(hào)成立.]

8.若a,0GR+,滿足a+b+3=a8，則a+8的取值范圍是.

...(“+份2―4(a+o)-]22O,解之a(chǎn)+b》6,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=3時(shí)取等號(hào).]

三、解答題

9.當(dāng)x1時(shí)，求函數(shù)y=x+2t3的最大值，

183

-手-

-32

2+X

83

2-X-

2

2)

3

???當(dāng)xv］時(shí)，3-2x>0,

3—2x,8、，3—2x8—,3—2x81,_

-52—+z3一—2丁%22、\］/—2-3-Q—一2丁x'=4，當(dāng)且僅當(dāng)-25—3一~2丁x，即x=—不2時(shí)取寺

355

號(hào).于是yW—4+］=—5，故函數(shù)有最大值一］.

10.為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程，按合同規(guī)定在4

個(gè)月內(nèi)完成.若提前完成，則每提前一天可獲2000元獎(jiǎng)金，但要追加投入費(fèi)用；若延期

完成，則每延期一天將被罰款5000元.追加投入的費(fèi)用按以下關(guān)系計(jì)算：6x+筌784一118(千

x十3

元)，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問提前多少天，才能使公司獲得最大附加效益？(附

加效益=所獲獎(jiǎng)金一追加費(fèi)用)

［解］設(shè)城建公司獲得的附加效益為y千元，由題意得

,784.八(,784、

y=2x—|6x+而—118)=118—

784

=118—［4(x+3)+干一⑵

784

=130—[4（尤+3）+在亍

784

<130-2-4a+3）?二^=130—112=18（千元）,

A-IJ

784

當(dāng)且僅當(dāng)4(x+3)=而'即kll時(shí)取等號(hào).

所以提前11天，能使公司獲得最大附加效益.

［等級(jí)過關(guān)練］

A:2—2x+2

1.若一4<x<l,貝ljy=2x-2'）

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值一1D.有最大值一1

x2—2x+211

嚏

DD=2x—2=2（x—D+一1'

又—4<x<l，Ax—1<0.—（X—1）>0.

]一

故y=_d_（L1HW—1.

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=口,即X=°時(shí)等號(hào)成立.]

21

2.已知x>0,y>0,且三+7=L若％+2)>/恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.mW—2啦或根22吸B.mW—4或ln22

C.—2〈〃z<4D.^2y(2<m<2yf2

21

D[Vx>0,y>0且1，

.?.x+2y=a+2y)停++4+￥+5

24+2、件「=8,當(dāng)且僅當(dāng)"=X,

\lxyxy

即x=4,y=2時(shí)取等號(hào)，

，(x+2y)min=8,要使x+2y>m2恒成立，

只需(x+2y)min>〃/恒成立，

即8>加2,解得一2p<m<2?]

3.若x〉0,y>0,且x+4y=l,則孫的最大值為.

"[1=x+4y^2\[4x)>=4ylxy,

，九戶春當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=；時(shí)等號(hào)成立?]

4.若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.

[x2+),2+xy=(x+y)2—xy=1,(x+^)2=xj+K+!.?,?^(x+y)2^1.

???x+yw￥，當(dāng)且僅當(dāng)x=)，=乎時(shí)等號(hào)成立.]

5.在下面等號(hào)右側(cè)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母方塊處，各填上一個(gè)正整數(shù)，并且使這兩個(gè)正整

19

數(shù)的和最小，1==+3，試求這兩個(gè)數(shù).

19

-十-

4人a,

.*.6z+/?=（?+/?）-1=（〃+"）（，+g

=1+9+一+7

ab

b9a_

210+2ab

=10+2X3=16,

b9〃

當(dāng)且僅當(dāng)一=7，即h=3a時(shí)等號(hào)成立.

ab

1919

又G+廣匕???￡+正b=12.

這兩個(gè)數(shù)分別是4,12.

課時(shí)分層作業(yè)（十二）一元二次不等式及其解法

（建議用時(shí)：60分鐘）

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.不等式9/+6x+lW0的解集是（）

〃1

A.ix-

C.0

D[(3X+1)2<0,

3x+1=0,.,.x=—

2.若集合A={H(2x+l)(x—3)<0},2={x|x￡N*,xW5},則A05等于()

A.{1,2,3}B.{1,2}

C.{4,5}D.{1,2,3,4,5}

B[(2x+l)(x-3)<0,.-.-1<x<3,

又xGN*且xW5,則x=l,2.]

3.若0<f<l,則不等式(x—f)(D<0的解集為(

)

11\

Ap-<x<trB.jx或-

C.|x或x>r'D.xt<x<^,

D[OVfVl時(shí)，t<y,二解集為.]

4.一元二次方程以2+法+C=0的兩根為一2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集為()

A.{x|x>3或xv—2}B.{x|x>2或冗<一3}

C.{九2<x<3}D.[x\—3<x<2]

hc

C[由題意知，-2+3=-1—2X3=~,：.b=—a,c=~6a,

ax+Z?x+c=ax1~ax-6a>0,

Va<0.Ax2-x_6<0>

(x—3)(x+2)<0,—2<x<3.]

5.在R上定義運(yùn)算“O"：aQb=ab+2a+b,則滿足尤)(x—2)<0的實(shí)數(shù)x的取值

范圍為()

A.0<x<2B.-2<x<l

C.x<-2或無>1D.-l<x<2

B[根據(jù)給出的定義得，xO(x—2)=x(x—2)+2x+(x—2)=f+x—2=(x+2)(x—1),又

x0(x-2)<O,則(x+2)(x-l)<0,故不等式的解集是一2VxVL]

二、填空題

6.不等式一3X+4>0的解集為.

{x|—4<x<1}[由一x2—3x+4>0得f+Bx—4<0,解得一4<x<L]

7.若關(guān)于x的不等式一首+級(jí)〉/^的解集是{x[0<x<2},則實(shí)數(shù)加的值是.

1[將原不等式化為;X2+(〃L2)XV0,即X(X+2〃L4)V0,故0,2是對(duì)應(yīng)方程X(X+2〃?

—4)=0的兩個(gè)根，代入得m=1.]

8.已知集合A={x|3x—2—/<0},8={x|x—a<0}，且則a的取值范圍為.

{a|aWl}[A={x|3x-2-x2<0}={x|x2-3x+2>0}={x\x<1x>2},B={x\x<a}.

若SNA,如圖，則aWL

012x］

三、解答題

9.求下列不等式的解集：

(l)?-5x+6>0；

1,

(2)—m2+3x—5>0.

［解］(1)方程/-5*+6=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根修=2,也=3,又因?yàn)楹瘮?shù)y=7-5x

+6的圖象是開口向上的拋物線，且拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為(2,0)和(3,0),其圖

象如圖(1).根據(jù)圖象可得不等式的解集為屏僅>3或尤<2}.

(2)原不等式可化為/一6%+10<0,對(duì)于方程無2—6X+10=0,因?yàn)?=(-6)2—40<0,

所以方程無解，又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2—6x+10的圖象是開口向上的拋物線，且與x軸沒有交

點(diǎn)，其圖象如圖(2).根據(jù)圖象可得不等式的解集為。.

10.解關(guān)于x的不等式尤J(3“一l)x+(2/—2)>0.

[解]原不等式可化為

[x-(a+l)][x—2(a—1)]>0,

討論。+1與2(。一1)的大小

(1)當(dāng)a+1>2(“一1),即a<3時(shí)，x>a+1或x<2(a—1).

(2)當(dāng)a+l=2(a-l),即a=3時(shí)，xW4.

(3)當(dāng)a+l<2(a-1),即a>3時(shí)，x>2(a—1)或x<a+1,

綜上：當(dāng)a<3時(shí)，解集為{x[x>a+l或x<2(a一d)},

當(dāng)a=3時(shí)，解集為{x|x#4},

當(dāng)a>3時(shí)，解集為{x|x>2(a—1)或x<a+1}.

[等級(jí)過關(guān)練]

1.不等式加？一辦―1〉0(〃2〉0)的解集可能是()

A.卜x<-1或懸|B.R

C.|x|—]D.0

A[因?yàn)镴=a2+4/M>0>所以函數(shù)y=mx1—ax—1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又加>0,

所以原不等式的解集不可能是B、C、D,故選A.]

2.關(guān)于x的不等式—+陵+2>0的解集為{川一1令<2},則關(guān)于x的不等式法2一?

-2>0的解集為()

A.{x|-2<x<\}

B.{x[x>2或x<—1}

C.{x[x>l或％<—2}

D.{小v—1或x>l}

C[VOX2+/?X+2>0的解集為{X|-14<2},

.齊一2,

J,

a

a=-1,

解得,?

[b=l,

J.bj^^ax—2>0,即JC+X—2>0,

解得x>l或x<—2.]

3.已知不等式加一法一120的解集是卜一,貝!J不等式f—。式一。<0的

解集是.

{x|2<x<3}[由題意知一；，一；是方程o?一云一i=o的根，且。<0,由根與系數(shù)的

關(guān)系，得

(-+(―3)x(-g)=-5解得a=_6,b=5,不等式bx—aVO,

即為x2—5x+6V0的解集為{%|2VxV3}.]

4.設(shè)不等式/-2辦+。+2<0的解集為A,若A={x|lWxW3},則。的取值范圍為

-l<a<y[設(shè)丫=/-2辦+。+2,因?yàn)椴坏仁?-2如+。+2?0的解集為A,且

A={x|K},

所以對(duì)于方程X2—2or+a+2=0.

若A=0,則/=4q2—4(a+2)V0,

即/一。一2<0,解得一1V0V2.

若AW。，

^=4a2~4(a+2)^0,

I2—2a+a+220,

則，

32~3X2a+a+2^0,

J

"aN2或—1,

aW3,

即RJ

J

所以ZWaW?.

綜上，a的取值范圍為一IVaW?.］

5.已知M是關(guān)于x的不等式2?+(3a—7)x+3+a—2a2<。的解集，且M中的一個(gè)元

素是0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并用。表示出該不等式的解集.

［解］原不等式可化為(2%—a—l)(x+2a—3)<0,

由x=0適合不等式得m+l)(2a—3)>0,

■3

所以a<—1或a>y

若a<—1,則一2〃+3—~2—='(—〃+1)>5,

。+1

所以3—2a>-2-，

此時(shí)不等式的解集是X受a<3—2a，；

若由一2。+3——2-=,(—〃+

。+1

所以3—2〃<—■2~，

此時(shí)不等式的解集是