《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch4-1-相似矩陣_第1頁
《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch4-1-相似矩陣_第2頁
《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch4-1-相似矩陣_第3頁
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文檔簡介

定義1

設(shè)為

階方陣,如果存在可逆矩陣則稱方陣和

相似，或

是

的相似矩陣，變?yōu)?/p>

稱為把

的相似變換矩陣.一、相似矩陣，使得(1)稱為

的相似變換，可逆矩陣

記為.定義2

若階方陣

相似于對角矩陣

即存在可逆矩陣，使得則稱方陣可對角化.(2)相似矩陣具有以下性質(zhì)：

(2)對稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;性質(zhì)2

(1)若，則

；

(2)若，則

；

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(2)對稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;證明

(1)由于，故;(2)若，那么存在可逆矩陣，使得所以

；令，則，(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1證明(3)若，則存在可逆矩陣使得

令,有

即從而

，故

.性質(zhì)2

(1)若，則

；

證明

(1)設(shè)階方陣和相似，由定義1從而有，又是可逆矩陣，，使得可知，存在可逆矩陣可得(2)若，則

；

(2)設(shè)階方陣和相似，則存在可逆矩陣，使得

，所以,從而，由此可得.性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣令，由于

是可逆矩陣，也是可逆矩陣，，即.則有性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣從而.性質(zhì)2和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(4)若，且都可逆，則存在可逆矩陣

，使得

，于是

即

證明例1

已知,

求和

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