《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch2 方陣的行列式

第二章

方陣的行列式第一節(jié)

行列式的概念一、二階與三階行列式例1

用消元法解二元線性方程組解消去未知數(shù)得消去得當(dāng)時,求得方程組的解為

1.二階行列式定義1設(shè)二階方陣稱表達式為二階方陣的(二階)行列式.記為或?qū)蔷€法:例1用消元法解二元線性方程組若記則其中,分母稱為二元線性方程組的系數(shù)行列式.是把的第列的元素用常數(shù)項代替后得到的行列式.例2求解下列二元線性方程組(1)解故(1)(2)解當(dāng)即且時，方程組的解為例2求解下列二元線性方程組(1)(2)當(dāng)即或時，若方程組化為即方程組的解為為任意常數(shù)；若方程組化為即得此為矛盾方程,故原方程組無解.例2求解下列二元線性方程組(1)(2)(2)解2.三階行列式定義2設(shè)有三階方陣定義的三階行列式為令為從中劃去元素所在的第行第列元素后,其他元素位置關(guān)系不變所形成的二階行列式,稱為元素的余子式.又令稱為元素的代數(shù)余子式.則即三階行列式的值等于它的第一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.例3計算三階行列式解三階行列式的對角線展開法:例33.二、三階行列式的幾何意義二階行列式的幾何意義是：行列式的絕對值，等于平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的面積.因為得因此準(zhǔn)確地說,二階行列式是平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的有向面積.3.二、三階行列式的幾何意義二階行列式的幾何意義是：行列式的絕對值，等于平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的面積.類似地,三階行列式就是三個向量在空間上張成的平行六面體的有向體積.當(dāng)構(gòu)成右手系時,體積取正值，當(dāng)構(gòu)成左手系時,體積取負(fù)值.二、階行列式定義3階方陣的行列式(稱為階行列式)定義為其中，這里為中劃去元素所在的第行第列元素后，余下元素按原位置關(guān)系所形成的階行列式.一般地，用表示中劃去元素所在的元素第行第列元素后，余下元素按原位置關(guān)系所形成的階行列式，稱為元素的余子式，稱為元素的代數(shù)余子式.定義3表明，階行列式的值等于它的第一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，也形象地稱之為行列式按第一行展開.注意：（1）一階行列式記為（2）行列式右下方寫一個數(shù)字,是為了強調(diào)行列式的階數(shù).如或時，階行列式的展開式中共有項，不同行不同列的個元素之積，且?guī)д?fù)號的項各占一半.每項都是例4

計算階對角行列式的值，其中省略未寫出的元素均為0.解即：（上）下三角行列式及對角行列式的值都等于其主對角線上元素的乘積.例5計算階行列式的值，它的特點是除右上角到左下角的副對角線上的元素外，其余元素全為零.解用遞推法求之.根據(jù)定義，有即例5計算階行列式的值，解依次遞推可得所以例5計算階行列式的值，第二節(jié)

行列式的性質(zhì)與計算一、行列式的展開與轉(zhuǎn)置行列式定理1設(shè)有階行列式則定理1證明用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)時，結(jié)論顯然正確.(2)設(shè)對于階行列式，結(jié)論是正確的.(3)對于階行列式，定理1證明(3)對于階行列式，證明把含有的組合在一起，并提出后有(3)對于階行列式，把含有的組合在一起，并提出后有而按第一行展開即為上式方括號里的各項之和.把含有的組合在一起，并提出后有即含有的合并在一起之后為同理，含有的合并在一起之后為含有的合并在一起之后為即證明(3)對于階行列式，定理1定理2同時也有階行列式可定義為按任何一行或任何一列展開（而不是只能按第一行展開）.例1計算行列式解將行列式先按第三行展開，將上式再按第三列展開得在行列式中，行和列的地位是相同的記方陣的行列式為將轉(zhuǎn)置矩陣的行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式，記為定理3行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即證明用數(shù)學(xué)歸納法.(1)對2階行列式，結(jié)論顯然成立；(2)假設(shè)對階行列式，結(jié)論正確.記中的代數(shù)余子式為則中，元素的代數(shù)余子式為由定義定理3行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即例2計算階上三角行列式的值.解由定理3知為下三角行列式，由上節(jié)例4知故

因此，上(下)三角行列式及對角行列式的值都等于其主對角線上元素的乘積.例2計算階上三角行列式的值.解由定理3知為下三角行列式，由上節(jié)例4知故

例2二、行列式的初等變換性質(zhì)1.行列式的初等變換由例2可見，上三角行列式可直接等于主對角線上元素的乘積，由于此形狀對應(yīng)的矩陣(也稱為上三角矩陣)是階梯形矩陣，而任何一個階方陣均可以經(jīng)初等變換化為上三角矩陣，所以也可以將一個行列式用初等變換化為上三角行列式而求出其值.例2二、行列式的初等變換性質(zhì)1.行列式的初等變換性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.證明對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.(1)當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.(2)假設(shè)對于階行列式，結(jié)論是正確的.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.(3)對于階行列式假設(shè)互換其第行和第行得行列式將按第行展開得其中，分別表示中元素的代數(shù)余子式.且從而證明對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.證明

推論2若行列式中有一行（列）的元素全為零，則行列式的值為零.推論3若行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為零.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.推論4設(shè)是階方陣，為任一實數(shù)，則性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.性質(zhì)3若行列式的第行（列）的每個元素都可以寫成兩個數(shù)之和，則該行列式可以表示為兩個行列式之和，且這兩個行列式除第行(列)外，其余行（列）與原行列式對應(yīng)行（列）相同，例如證明將行列式按第行展開，得例3計算行列式解由性質(zhì)3，有性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.證明設(shè)將中第行的倍加到第行得推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即證明性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.證明將右邊的行列式按第行展開，得從而證明性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即行列式的代數(shù)余子式性質(zhì)：性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即總結(jié)：（1）若將行列式的任意兩行(列)互換得到行列式則（2）若將行列式的某一行(列)所有元素乘以得到行列式則（3）若將行列式中某一行(列)的倍加到另一行(列)得到行列式則推論6階方陣的秩的充要條件是證明因為任何一個階方陣都可以經(jīng)過若干次初等變換化為對角矩陣注意到初等變換并改變行列式為零或者不為零這一事實.若則均不為零，即從而有若則有即均不為零，從而2.行列式的初等變換的幾何意義（1）若互換兩行得設(shè)對應(yīng)的平行四邊形如圖2-5，則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-6，圖2-5圖2-6其中圖2-5的平行四邊形是由向量沿逆時針方向轉(zhuǎn)到而得，圖2-6的平行四邊形是由向量沿順時針方向轉(zhuǎn)到而得，從而圖2-52.行列式的初等變換的幾何意義(2)若其中的某一行（不妨假設(shè)是第一行）所有元素乘以得則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-7，這個平行四邊形與所對應(yīng)的平行四邊形的高相同，而底邊變?yōu)樵瓉淼谋?，所以圖2-7圖2-52.行列式的初等變換的幾何意義(3)若第一行的倍加到第二行，得則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-8的陰影區(qū)域，圖2-8這個平行四邊形與所對應(yīng)的平行四邊形的底是相同的,高也是相同的，故三、行列式的計算舉例例4

計算行列式

解

例5計算行列式解

例6

計算階行列式解將第行元素都加到第行上，得例7

計算階行列式解按第列展開，即得例8

計算階行列式解按第1行展開，有即解逐次遞推，可得而故例8

計算階行列式例9

證明階范德蒙德(Vandermonde)行列式其中的連乘積是指所有滿足條件的因子的乘積，即證明用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，結(jié)論成立.假設(shè)階范德蒙德行列式則對階范德蒙德行列式從第行起，依次用上一行的倍加到該行，得證明證明由歸納假設(shè)可得證明利用互換兩行及某一行的倍加到另一行上去，將化為上三角矩陣，設(shè)則其中分別為中互換兩行的次數(shù).將化為上三角矩陣的方法，依次用到上，則有四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則證明于是則其中分別為中互換兩行的次數(shù).將化為上三角矩陣的方法，依次用到上，則有推論7設(shè)有分塊對角矩陣其中均為方陣，省略未寫出的子塊均為零矩陣，則四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則例10設(shè)求解記則由推論7，定理5設(shè)與都是階方陣，則證明構(gòu)造階行列式則設(shè)即下面對依次作下列初等變換：（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：則第行的元素變成：此時（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：則第行的元素變成：此時再依次作初等變換得所以推論：因此，兩個同階方陣和相乘，不一定相等，即但它們?nèi)×诵辛惺娇偸窍嗟鹊?例如：則即但定理5設(shè)與都是階方陣，則第三節(jié)

行列式的應(yīng)用一、克拉默(Cramer)法則定理1(克拉默法則)如果線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式(稱為系數(shù)行列式)那么方程組（9）有唯一解，（9）并且其中是將系數(shù)行列式中的第列換成所成的行列式，例如，（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）證明記其中記則線性方程組（9）可表示為證明記即（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）證明同理可得（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）即證明同理可得即方程組有唯一解（9）（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）例1求解線性方程組解系數(shù)行列式且且解系數(shù)行列式例1求解線性方程組且解系數(shù)行列式故方程組有唯一解例1求解線性方程組齊次線性方程組（10）總有零解但不一定有非零解.定理2齊次線性方程組(10)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式例2當(dāng)取何值時，齊次線性方程組有非零解.解方程組有非零解的充要條件是故當(dāng)或時有非零解.例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個將上式看作關(guān)于的齊次線性方程組，不同的根，即有其系數(shù)行列式例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個將上式看作關(guān)于的齊次線性方程組，不同的根，即有是階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置行列式，其值為于是方程組只有零解，其系數(shù)行列式例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個不同的根，即有即矛盾.故至多只有個不同的根.例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個不同的根，即有二、伴隨矩陣與逆矩陣公式定義1設(shè)是元素的代數(shù)余子式，稱為的伴隨矩陣.例4

已知試求解由代數(shù)余子式得矩陣的伴隨矩陣定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而同理也有定理4

設(shè)則可逆的充要條件是證明必要性：若可逆，即存在，則從而故充分性：若由定理3，有若可逆，則二階矩陣若則有若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則知例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例6設(shè)可逆，證明（1）（2）證明（1）因若可逆，則有即同時也有即從而（2）因從而三、矩陣的秩定義2階矩陣中任取行列，位于這行列交叉點上的元素按原位置次序構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的一個階子式.如：二階子式：如：二階子式：等如：三階子式：三階子式：等如：如：四階子式：四階子式：等如：定義3矩陣中階數(shù)最高的非零子式稱為的最高階非零子式.如：一階子式二階子式三階子式即為階數(shù)最高的非零子式。定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明（1）若經(jīng)過得到這時或者是的一個階非零子式，或者是經(jīng)過互換兩行后成為的一個階非零子式，故（2）若經(jīng)過得到當(dāng)不含有的第行時，為矩陣的一個階非零子式；當(dāng)含有第行時，則為的一個階非零子式，即也有定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明（3）若經(jīng)過得到即（i）若不含有的第行，則仍為的一個階非零子式，此時定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明（ii）若含有的第行，也含有第行，由行列式的性質(zhì)知，中與相同位置對應(yīng)元素形成的階子式不為零，此時（3）若經(jīng)過得到即定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).（iii）若含有的第行，不含有第行，記中與相同位置對應(yīng)元素形成的階子式為即證明（3）若經(jīng)過得到即如果則得為的一個階非零子式，從而如果可將進行適當(dāng)?shù)男薪粨Q后使其成為的一個不含第行元素的階非零子式，亦是的一個階非零子式，綜上所述，綜上所述，定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明等于的最高階非零子式的階數(shù).因為矩陣也可以經(jīng)過一個初等行變換化為故也有從而有的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).對初等列變換同理也可以得到相應(yīng)結(jié)論.定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明