第5章 特殊平行四邊形 浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題訓(xùn)練(含答案)

浙教版數(shù)學(xué)八年級下冊第5章特殊平行四邊形微專題——壓軸題訓(xùn)練1.如圖，平行四邊形ABCD的兩對角線將于點O，AC=10，BD=6，E、F是AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．

(1)求證：四邊形DEBF為平行四邊形(E、F相遇時除外)；(2)求當(dāng)t為何值時，四邊形DEBF是矩形；(3)尺規(guī)作圖：在平行四邊形ABCD四邊上求作兩點M、N，使得在E、F運動的過程中(E、F相遇時除外)都能確保四邊形MENF是菱形(請寫出作法，保留作圖痕跡，不必證明)．2.如圖，正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點，AE⊥DP于E，點F在DP的延長線上，且EF=DE，連接AF、BF，∠BAF的平分線交DF于G，連接GC．

(1)求證：∠PAE=∠AFD(2)求證：△AEG是等腰直角三角形

(3)求證：AG+CG=23.如圖(1)，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM與肋相交于點F．(1)求證：OE=OF；(2)如圖(2)，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，AM交OB的延長線于點F，其他條件不變．結(jié)論“0E=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．4.如圖，將?ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊EFGH．

(1)請直接寫出∠HEF的度數(shù)__________．(2)判斷HF與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若∠B=60°，BE=6，BF=8，請求出?ABCD5.如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，并回答問題，保留作圖痕跡．

(1)如圖1，E、F分別在邊AD、BC上，且AE=CF，連接EF，請在EF上截取一點O，使得O為EF的中點，并說明理由；

(2)如圖2，若AB=AD，E為AD上一點，請在CB上截取一點F，使得AE=CF，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，若∠ABC=900，連接BD，點F為BD上的一點，請以已知四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∠EBF的兩邊分別與AD、DC相交于點E、F，且∠EBF=60°．

(1)如圖1，當(dāng)點E是線段AD的中點時，直接寫出線段BE、BF之間的數(shù)量關(guān)系是_________；

(2)如圖2，當(dāng)點E是線段AD上任意一點時(點E不與A、D重合)，求證：BE=BF；

(3)如圖3，AB=4，點E是線段AD的中點，點F是邊AB上一動點(不與點A、B重合)，連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點A落在菱形ABCD內(nèi)部點G處，請求出CG的最小值．(根號內(nèi)數(shù)據(jù)不化簡

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG．

(1)證明：平行四邊形ECFG是菱形；(2)若∠ABC=90°，M是EF的中點，連接BM，線段BM與線段DM有怎樣的關(guān)系，并說明理由．8.如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合)，連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC'，延長QC'交BA的延長線于點M．

(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長；(3)當(dāng)BP=m，PC=n時，求AM的長．9.已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為直線DC、BC上兩點．

(1)如圖1，點E在DC上，點F在BC上，AF⊥BE，求證：AF=BE．

(2)如圖2，點F為BC延長線上一點，作FG//DB交DC的延長線于G，作GH⊥AF于H，求DH的長．

(3)如圖3，點E在DC的延長線上，DE=a4<a<8，點F在BC上，∠BEF=45°，直線EF交AD于P，連接PC，設(shè)?CEP的面積為S，直接寫出S與a10.如圖，直線AP經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，AP從AB開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，點B關(guān)于直線AP的對稱點為點E，連接BE、DE，其中直線DE交直線AP于點F．

(1)如圖1，若∠PAB=30°，則∠ADF的度數(shù)為__________；

(2)如圖2，連接BF，用等式表示線段AB，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖2，當(dāng)AB=3，ED=EB時，請直接寫出△BEF的面積．11.如圖，在線段AB的同側(cè)作射線AC和BD，當(dāng)AC//BD時，若∠CAB與∠DBA的角平分線分別交射線BD、AC于點E、F，兩條角平分線相交于點P，連接EF．(1)試判斷四邊形ABEF的形狀并給予證明；(2)若AB=BF=2，在線段AE上取一點G，點G關(guān)于點P的對稱點為點H，問線段AG的長為多少時？以F、G、B、H為頂點的四邊形是正方形．12.如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F(xiàn)是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設(shè)AE=?x，BF=?y．(1)當(dāng)△BEF是等邊三角形時，求BF的長；(2)求y與x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(3)把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A'處，試探索：△A'BF能否為等腰三角形？如果能，請求出AE的長；如果不能，請說明理由．13.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為DC的延長線和BC邊上的點，連接BE、BD，且DF⊥BE于G．

(1)如圖(1)，連接CG，求證：DG=BG+(2)如圖(2)，取BD、EF之中點M、N①求MN與BE的夾角；

②若AB=6且CF=13BC，則14.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G、與對角線BD相交于點H．(1)若BD=BF，求EF(2)若∠ADE=2∠BFE，求證：HF=HE+HD．15.在正方形ABCD的外側(cè)作等腰△ABE，已知∠EAB=α，連接ED交等腰△ABE底邊上的高AF所在的直線于點G．

(1)如圖1，若α=30°，求∠AGD的度數(shù)；

(2)如圖2，若90°<α<180°，BE=?82，DE=14，求此時的AE長．16.如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．(1)如圖1，當(dāng)點Q在DC邊上時，探究PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；小明同學(xué)探究此問題的方法是：過P點作PE⊥DC于E點，PF⊥BC于F點，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出PE=PF，再證明△PEQ≌△PFB，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______________；同學(xué)們，小明的證明方法對你有沒有啟示.請發(fā)揮你的聰明才智，探究下面的問題：(2)如圖2，當(dāng)點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．17.如圖，已知矩形ABCD中，F(xiàn)是AC上一點，E是AB中點，且∠BFE=45°，CF=CB

(1)求證：AF=AE；

(2)當(dāng)BF=12時，求AB的長；

(3)猜想并寫出AB與BF所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；18.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)，相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當(dāng)其中一個動點到達終點后，兩個動點都停止運動．

(1)若G，H分別是AB，DC中點，求證：四邊形EGFH始終是平行四邊形．(2)在(1)條件下，當(dāng)t為何值時，四邊形EGFH為矩形．(3)若G，H分別是折線A-B-C，C-D-A上的動點，與E，F(xiàn)相同的速度同時分別從A、C出發(fā)，當(dāng)t為何值時，四邊形EGFH為菱形．

參考答案1.(1)證明：在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OD=OB，∵AE=CF∴OE=OF，∴四邊形DEBF為平行四邊形；(2)要使四邊形DEBF為矩形，則EF=BD=6，①當(dāng)0≤t

<5時，AE=CF=t，EF=10-2t=6，解得：t=2

；

②當(dāng)5<t≤10時，AE=CF=t，EF=2t-10=6，解得：t=8，

∴當(dāng)t=2或t=8時，四邊形DEBF是矩形；(3)作法：作線段AC的垂直平分線，分別交CD、AB于M、N兩點，

此時，在E、F運動的過程中(E、F相遇時除外)都能確保四邊形MENF是菱形．

2.(1)證明：∵DE=EF，AE⊥DP，

∴AF=AD，

∴∠AFD=∠ADF，

∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，

∴∠AFD=∠PAE．

(2)由(1)知∠AFD=∠PAE，

∵AG平分∠BAF，

∴∠FAG=∠GAP．

∵∠AFD+∠FAE=90°，

∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°

∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，

∴△AGE為等腰直角三角形；

(3)證明：如圖，作CH⊥DP，交DP于H點，

∴∠DHC=90°．

∵AE⊥DP，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠DHC．

∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，

∴∠ADE=∠DCH．

∵在△ADE和△DCH中，∠AED=∠DHC∠ADE=∠DCH∴△ADE≌△DCH(AAS)，

∴CH=DE，DH=AE=EG．

∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，

∴GH=CH．

∴CG=2GH．

∵AG=2EG，

∴AG=2DH

3.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

(2)解：OE=OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∵∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

4.解：(1)90°；(2)HF=AD，理由如下：連結(jié)EG，由翻折的性質(zhì)可得：AE=EJ=EB，DG=GK=GC，∵AB?//?CD，AB=CD，∴AE?//?DG，AE=DG，∴四邊形AEGD是平行四邊形，∴EG=AD，又由(1)易得∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，

∴四邊形EFGH是矩形，∴EG=HF，∴HF=AD；(3)過點E作EM⊥HF，在△EMJ中，∠EJM=60°，EJ=EB=6，∴MJ=3，EM=3∵FJ=BF=8，∴MF=5，∴EF=設(shè)AH=x，則MH=3+x，∴EH由EF

?2得52+27+(3+x)2=(8+x)2，解得x=12∴?ABCD的周長

5.解：(1)如圖：連接AC交EF與點O，點O即為所求．

理由：連接AF，CE，AC．

∵ABCD為平行四邊形，

∴AE//FC．

又∵AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴OE=OF，

∴點O是線段EF的中點．

(2)如圖，連接AC，BD交于點0，連接EO延長EO交BC于M，點M即為所求。

理由：四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD//BC，OA=OC，

∴∠AEO=∠CMO，

∵∠AOE=∠COM，

∴△AEO≌△CMO(AAS)，

∴AE=CM；

(3)如圖3中，連接AC交BD于0，延長AF交CD于M，連接MO，延長MO交AB于N，連接CN交BD于K，連接AK，CK，CF，則四邊形AKCF是菱形。

同法可證：AM=AN，

∵AN/CM，

∴四邊形ANCM是平行四邊形，

∴AF//CK，

∴∠AFO=∠CKO，

∵OA=OC，∠A0F=∠COK，

∴△AOF≌△COK(AAS)，

∴AF=CK，

∵AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，BF=BF，

∴△ABF≌△CBF(SAS)，

∴AF=CF，同法可證：AK=CK，

∴AF=FC=CK=AK，

∴四邊形AKCF是菱形．

6.解：(1)BE=BF；

(2)證明：連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，DC//AB，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB，∠ABD=∠DAB=60°，

∵DC//AB，

∴∠CDB=∠DBA=60°，

∵∠EBF=60°，

∴∠EBA=∠FBD，

在△ABE和△DBF中

∠EAB=∠FDBAB=DB∠EBA=∠FBD,

∴△ABE≌△DBF，

∴BE=BF；

(3)當(dāng)E，G，C三點共線時，CG最小．

作EH⊥CD，垂足在CD的延長線上，交CD的延長線于點H，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，

∴AD=CD=4，

∵點E是線段AD的中點，

∴ED=AE=2，

∵DC//AB，

∴∠EDH=∠A=60°，

∵EH⊥CD，

∴∠DHE=90°，

∴∠DEH=30°，

∴DH=1，

∴EH=ED2-DH2=22-12=3，

∵CH=CD+DH=5，

∴7.解：(1)證明：

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AB//CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四邊形ECFG是平行四邊形，

∴四邊形ECFG為菱形；

(2)如圖3中，連接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，

∠ECF=90°，

∴四邊形ECFG為正方形．

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M為EF中點，

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵BE=CD∠BEM=∠DCMEM=CM,

∴△BME≌△DMC(SAS)，

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME．

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，8.解：(1)AP=BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

∠PAB=∠CBQAB=BC∠ABP=∠BCQ，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

(2)過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP=AB2+PB2=32+22=13，

∴BH=BQ2-QH2=13-9=2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC//AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折疊可得∠C'QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C'QB，

∴MQ=MB．

設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x-2．

在Rt△MHQ中，

根據(jù)勾股定理可得x2=(x-2)2+32，

解得x=134．

∴QM的長為134；

(3)過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n9.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠BAF+∠ABE=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

∴△ABF≌△BCE(ASA)，

∴AF=BE；

(2)解：延長GH交AD的延長線于P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠CBD=∠CDB=45°，

∵FG//GB，

∴∠CGF=∠CDB，∠CFG=∠CBD，

∴∠CGF=∠CFG=45°，

∴CF=CG，∴BF=DG，

∵GH⊥AF，

∴∠FHG=∠GCF=90°，

∴∠BFA=∠DGP，

∵∠FBA=∠GDP=90°，

∴△GDP≌△FBA(ASA)，

∴DP=AB=AD，

∵∠AHP=90°，

∴DH=AP=AD=4；

(3)過B作BL⊥PE交CD于L，交PE于K，

則BK=KE，

∴△BKF≌△EKL(ASA)，

∴KF=KL，

∴CK平分∠LCF，

∴△CKD≌△CKB(SAS)，

∴DK=BK=EK，

∴PK=BK=EK，

∴△PBE為等腰直角三角形，

∴△ABP≌△CBE(SAS)，

∴CE=AP=a-4，

∴PD=4-(a-4)=8-a，

∴S△CEP=10.解：(1)15°

(2)2AB2=DF2+EF2，理由如下：

∵AP垂直平分BE，

∴AE=AB，F(xiàn)E=FB，

∵FA=FA，

∴△FAB≌△FAE，

∴∠FBA=∠FEA，

在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°

，

∴AD=AE，

∴∠ADE=∠FEA，

∴∠ADE=∠ABF，

∵∠1=∠2，

∴∠DFB=180°-∠1-∠ADE=180°-∠2-?∠ABF=∠DAB=90°

11.(1)解：四邊形ABEF是菱形，

理由：∵AC//BD，

∴∠CAB+∠DBA=180°，

又∵∠CAB與∠DBA的角平分線交于點P，

∴∠PAB+∠PBA=90°，

∴AE⊥BF，

在△ABP和△EBP中，

∵∠APB=∠EPB，PB=PB，∠ABP=∠EBP，

∴△ABP≌△EBP，

∴AP=PE，

同理可證BP=PF，

∴四邊形ABEF是菱形。

(2)解：∵AB=BF=2，以F、G、B、H為頂點的四邊形是正方形，點G關(guān)于點P的對稱點為點H，

∴PG=PH=12HG=12BF=1，

∴AP=12.解：(1)當(dāng)△BEF是等邊三角形時，∠ABE=30°．∵AB=12，∴AE=4∴BF=BE=8(2)作EG⊥BF，垂足為點G，根據(jù)題意，得EG=AB=12，F(xiàn)G=y-x，EF=y，∴y∴所求的函數(shù)解析式為y=x(3)∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，∴點A'落在EF上，∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，∴y-x=12．∴x整理得x2解得x=-12±12經(jīng)檢驗：x=-12±12但x=-12-12當(dāng)AE=122-12

13.解：(1)∵DF⊥BE于G，

∴∠BGF=90°，

∴∠2+∠1=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠DCB=90°，

∴∠4+∠3=90°，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

作CH⊥CG交DG于點H，垂足為C，則∠HCG=90°，

∴∠BCG+∠HCB=90°，

∵∠DCH+∠HCB=90°，

∴∠DCH=∠BCG，

在△DCH和△BCG中，

∠4=∠1(已證)CD=BC(已證)∠DCH=∠BCG(已證)，

∴△DCH≌△BCG(ASA)

∴DH=BG，CH=CG，

∴△HCG是等腰直角三角形，

∴HG=2CG，

∴DG=DH+HG=BG+2CG；

(2)①由(1)可得：∠1=∠4，CD=BC，∠BCD=∠BCE=90°，

∴△DCF≌△BCE，

∴DF=BE，

如圖，取BF中點P，連MP、NP；

∴MP//DF,MP=12DF，NP//BE,NP=12BE，

∴∠BPM=∠DFB，∠BQM=∠PNM，∠CPN=∠1，PM=PN，

∵∠MPB=∠DFB=90°+∠4，

∴∠MPC=90°-∠4=∠3=∠2，

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=∠2+∠1=90°14.解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，且FD⊥DE，

∴∠ADE=90°-∠EDC=∠CDF，AD=DC，∠A=∠DCF=90°，

在△DAE和△DCF中，

∠ADE=∠CDF∠A=∠DCFAD=DC

，

∴Rt△DAE≌Rt△DCF(AAS)，

∴AE=CF∵BD=BF=2

∵CF=BF-BC=BD-BC=2-1，

∴BE=AB-AE=1-(2-1)=2-2

EF2=BE2+BF2=(2)2+(2-2)2=8-42；

(2)證明：在HF上取一點P，使FP=EH，連接DP，

由(1)Rt△DAE≌Rt△DCF得△EDF是等腰直角三角形，

∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，

∴△DEH≌△DFP(SAS)，

∴DH=DP，∠EDH=∠FDP，

在△DHE和△FHB中，

∵∠DEF=∠HBF=45°，

15.解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵∠EAB=30°，∴∠EAD=120°，∵AE=AB，∴AE=AD，∴∠AED=30°，∵AF⊥EB，∴∠EAF=1∴∠AGD=30°+15°=45°；(2)如圖，連接BG、BD，∵AE=AB，AF⊥BE，∴GE=GB，∵GA=GA，∴△GAE≌△GAB，∴∠GEA=∠GBA，∵AD=AD=AE，∴∠GEA=∠GDA，∴∠GDA=∠GBA，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠GDB+∠GBD=90°，∴∠EGB=∠DGB=90°，設(shè)GD=x，則GE=GB=14-x，∵BE=8∴214-x解得：x=6，∴GD=6，GB=8，∴DB∴2AB∴AB=5∴AE=5

16.(1)PB=PQ(2)證明：過P作PE⊥BC的延長線于E點，PF⊥CQ于F點，

∵AC是正方形的對角線，

∴?PA平分∠DCB，

∴∠DCA=∠ACB

，

∵∠ACB=∠PCE，∠DCA=∠FCP∴∠PCE=∠FCP∴PC平分∠FCE，又∵PE⊥BC，PF⊥CQ，∴?PF=PE，∵PE⊥BC，PF⊥CQ，BC⊥DC∴∠ECF=∠CEP=∠CFP?=?90°=∠QFP

∴四邊形CEPF是矩形，

∴∠EPF=90°

∴∠BPF+∠BPE=90°，

∵∠BPF+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，在△PEB和△PFQ中，∴△PEB≌△PFQ(ASA)，∴

P