5.3.1 正方形的判定 浙教版八年級數(shù)學下冊素養(yǎng)提升練習(含解析)

第5章特殊平行四邊形5.3正方形第1課時正方形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1正方形的定義1.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=BC,則下列條件中,能使四邊形ABCD是正方形的是()A.AC與BD互相平分B.AB∥CDC.AB=ADD.AB⊥BC第1題圖第2題圖2.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,試補充一個條件:,使四邊形ABCD是正方形.

知識點2正方形的判定3.(2023浙江杭州上城東城實驗中學期中)下列命題錯誤的是()A.如果一個菱形的對角線相等,那么它一定是正方形B.如果一個四邊形的對角線互相垂直平分,那么它一定是菱形C.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.四條邊相等,且有一個角是直角的四邊形是正方形4.【一題多變·線段垂直且相等,證正方形】【十字架模型】已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊CD、AD上的點,AE⊥BF,且AE=BF.求證:矩形ABCD是正方形.[變式1·角平分線+垂直,證矩形內(nèi)正方形]如圖,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,與AD相交于點E,EF⊥BC,垂足為F.求證:四邊形ABFE是正方形.[變式2·角平分線+垂直,證矩形外正方形]如圖,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC的延長線于點E,過點E作EF⊥AB,垂足F在邊AB的延長線上.求證:四邊形ADEF是正方形.5.【教材變式·P124例1】如圖,在四邊形ABCD中,點E是線段AD上的任意一點(E與A,D不重合),G、F、H分別是BE、BC、CE的中點.連結(jié)EF,若BE⊥EC,EF⊥BC,說明:四邊形EGFH是正方形.6.如圖,已知菱形ABCD,E、F是對角線BD所在直線上的兩點,且∠AED=45°,DF=BE,連結(jié)CE、AE、AF、CF.求證:四邊形AECF是正方形.能力提升全練7.(2022浙江紹興中考,8,★★☆)如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是對角線BD上的動點,且BE=DF,M,N分別是邊AD,BC上的動點.下列四種說法:①存在無數(shù)個平行四邊形MENF;②存在無數(shù)個矩形MENF;③存在無數(shù)個菱形MENF;④存在無數(shù)個正方形MENF.其中正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.48.如圖,AD是△ABC的中線,過點A、B分別作BC、AD的平行線,兩平行線相交于點E.(1)求證:AE=CD.(2)當AB、AC滿足什么條件時.①四邊形AEBD是矩形?請說明理由.②四邊形AEBD是菱形?請說明理由.③四邊形AEBD是正方形?請說明理由.素養(yǎng)探究全練9.【推理能力】如圖,在△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC,MN交∠ACB的平分線于點E,交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F.(1)探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)當點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?請說明理由.

第5章特殊平行四邊形5.3正方形第1課時正方形的判定答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,在平行四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.故選D.2.答案AB∥CD(答案不唯一)解析答案不唯一.補充條件為AB∥CD.∵AB=CD,AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵∠A=90°,AB=BC,∴?ABCD是正方形.3.C對角線相等的菱形是正方形,所以A正確,不符合題意;對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,所以B正確,不符合題意;一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形,不能保證兩組對邊分別平行或兩組對邊分別相等,所以這個四邊形不一定是平行四邊形,所以C錯誤,符合題意;四條邊相等的四邊形是菱形,有一個角是直角的菱形是正方形,所以這個四邊形是正方形,所以D正確,不符合題意.故選C.4.證明∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°,∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE,在△ABF和△DAE中,∠∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.[變式1]證明∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥AD,∴∠AEF=∠BFE=90°,∴四邊形ABFE是矩形,∵AE∥BF,∴∠AEB=∠EBF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴四邊形ABFE是正方形.[變式2]證明∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°,∵AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°,∵EF⊥AB,∴∠D=∠DAF=∠F=90°,∴四邊形ADEF是矩形,∵∠EAF=45°,∴∠AEF=45°,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF,∴矩形ADEF是正方形.5.證明如圖,連結(jié)GH,∵G、F分別是BE、BC的中點,∴GF∥EC,同理可證FH∥BE,∴四邊形EGFH是平行四邊形,∵G、H分別是BE、CE的中點,∴GH∥BC,∵EF⊥BC,∴EF⊥GH,又∵四邊形EGFH是平行四邊形,∴四邊形EGFH是菱形,∵BE⊥EC,∴菱形EGFH是正方形.6.證明如圖,連結(jié)AC,交BD于點O,∵四邊形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,∵BE=DF,∴BE+OB=DF+DO,∴EO=FO,∴EF與AC垂直且互相平分,∴四邊形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF,又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,∴菱形AECF是正方形.能力提升全練7.C如圖,連結(jié)AC交BD于點O,過點O作直線MN,交AD于點M,交BC于點N.序號理由判斷①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,易證△DOM≌△BON,∴OM=ON,∴四邊形MENF是平行四邊形,∵點E,F是BD上的動點,點M,N分別是邊AD,BC上的動點,∴存在無數(shù)個平行四邊形MENF正確②當MN=EF時,四邊形MENF是矩形,∵點E,F是BD上的動點,點M,N分別是邊AD,BC上的動點,∴存在無數(shù)個矩形MENF正確③當MN⊥EF時,四邊形MENF是菱形,∵點E,F是BD上的動點,∴存在無數(shù)個菱形MENF正確④當MN=EF,MN⊥EF時,四邊形MENF是正方形,易知只存在一個正方形MENF錯誤故選C.8.解析(1)證明:∵AE∥BD,AD∥BE,∴四邊形AEBD是平行四邊形,∴AE=BD,∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD,∴AE=CD.(2)①當AB=AC時,四邊形AEBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,AD是△ABC的中線,∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∵四邊形AEBD是平行四邊形,∴四邊形AEBD是矩形.②當AB⊥AC時,四邊形AEBD是菱形.理由如下:∵AB⊥AC,AD是△ABC的中線,∴BD=AD,∵四邊形AEBD是平行四邊形,∴四邊形AEBD是菱形.③當AB=AC,且AB⊥AC時,四邊形AEBD是正方形.理由如下:∵AB=AC,且AB⊥AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵AD是△ABC的中線,∴BD=AD,BD⊥AD,∵四邊形AEBD是平行四邊形,∴四邊形AEBD是正方形.素養(yǎng)探究全練9.解析(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分線,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵CF是∠ACD的平分線,∴∠OCF=∠FCD,∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF.(2)當點O運動到AC的中點,且△A