2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題2分，共16分）

1.（2分）一元二次方程2?+x-5=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,5

2.（2分）下列四個(gè)圖形中，是中心對稱圖形的是（）

A.y=/+3B.>=7-3C.y—（x+3）2D.y=（x-3）2

4.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-2,-3)

5.(2分)用配方法解方程f+4x=l,變形后結(jié)果正確的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2)2=2C.(%-2)2=5D.(%-2)2=2

6.（2分）中國象棋文化歷史久遠(yuǎn)，在圖中所示的部分棋盤中，“焉”的位置在“…”（圖中

虛線）的下方，“焉”移動(dòng)一次能夠到達(dá)的所有位置已用“制標(biāo)記，則“，患”隨機(jī)移動(dòng)一

次，到達(dá)的位置在“…”上方的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

7.（2分）如圖，PA,PB是。O的切線，4,8為切點(diǎn)，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，若NACB=70°,

則NP的度數(shù)為（）

C.20°D.40°

8.（2分）如圖，線段AB=5,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)4出發(fā)，沿線段AB

運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8.以點(diǎn)A為圓心，線段AP的長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,點(diǎn)P,

B之間的距離為y,。4的面積為S.則y與r,S與f滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.正比例函數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)關(guān)系

B.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

D.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

二、填空題（每題2分，共16分）

9.（2分）拋物線y=-3（x-1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

10.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/+級+,〃=0的一根為-1,則機(jī)的值是.

11.（2分）請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,2）的拋物線的表達(dá)式：.

12.（2分）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里，裝有20個(gè)除

顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球.將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的

頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概

率為.

“摸出黑球的頻率

1.0-

0.8-

0.6-

().4-

0.2-***...................

_______IIIIIIIIII

O5010()15020()250300350400450500摸球柏的總次數(shù)

13.（2分）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走

長征路”主題教育活動(dòng).據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參

觀人數(shù)增加到12.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為.

14.（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,若ND4E=110°,ZB=40°,

則NC的度數(shù)為.

15.（2分）斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（huan）

其外，旁有龐（tiao）焉意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)

同心圓.”如圖所示.問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“龐

旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形

16.（2分）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，E,尸分別是邊DC,CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始

終滿足DE=CF,AE,DF交于點(diǎn)P,則的度數(shù)為；連接CP,線段CP

的最小值為.

三、解答題（共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）

17.（5分）解方程：？-2x-8=0.

18.（5分）如圖，A8為。0的弦，OCLAB于點(diǎn)M,交。0于點(diǎn)C.若00的半徑為10,

OM：MC=3：2,求AB的長.

19.（5分）下面是小明設(shè)計(jì)的“作圓的內(nèi)接等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。（如圖1）.

求作：。0的內(nèi)接等腰直角三角形A8C.

作法：如圖2.

①作直徑A8；

②分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于」的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M；

2

③作直線MO交于C,。兩點(diǎn)；

④連接AC,BC.

所以AABC就是所求作的等腰直角三角形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接M4,MB.

"：MA=MB,OA=OB,

：.MO是AB的垂直平分線.

又：直線MO交。。于點(diǎn)C,

是直徑，

AZACB=（）（填寫推理依據(jù)）.

.?.△ABC是等腰直角三角形.

20.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。），中，拋物線y=a?+2x+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0,

-3）,B（1,0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時(shí)，x的取值范圍.

21.（5分）如圖.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，AOAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為。（0,0）,A（5,

0）,8（4,-3）.將△048繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAb,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)

為4.

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA5,并寫出點(diǎn)4'的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)8經(jīng)過的路徑88'的長（結(jié)果保留TT）.

的方式確定兩人.抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片

的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名

字，再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下名字.

(1)“A志愿者被選中”是事件(填“隨機(jī)”、“不可能”或“必然”);

(2)用畫樹狀圖或列表的方法求出A,8兩名志愿者同時(shí)被選中的概率.

23.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程(A+4)x+4A=0.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若該方程有一個(gè)根小于2,求k的取值范圍.

24.(6分)為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長為25m)的空地上修建

一個(gè)矩形小花園A8CD小花園一邊靠墻，另三邊用總長40%的柵欄圍住，如圖所示.設(shè)

矩形小花園A8邊的長為XM7,面積為州長.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，小花園的面積最大？最大面積是多少？

/《//////////

AD

BC.

25.(6分)如圖，AC是。。的弦，過點(diǎn)。作OP_LOC交AC于點(diǎn)P,在0P的延長線上取

點(diǎn)、B,使得=

(1)求證：A8是0。的切線；

(2)若。。的半徑為4,PC=2娓,求線段AB的長.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,機(jī))和(2,〃)在拋物線y=-f+fev上.

(1)若膽=0,求該拋物線的對稱軸；

(2)若切〃<0,設(shè)拋物線的對稱軸為直線尤=r.

①直接寫出/的取值范圍；

②已知點(diǎn)(-1,yi),(3,>2),(3,yj)在該拋物線上，比較yi,”的大小，并說

明理由.

27.(7分)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP,CP,將線

段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP,連接PP,BP'.

(1)用等式表示3P與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)當(dāng)NBPC=120°時(shí),

①直接寫出NP8P的度數(shù)為;

②若M為BC的中點(diǎn)，連接PM,用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中.。。的半徑為1,對于直線I和線段AB,給出如下

定義：若將線段關(guān)于直線/對稱，可以得到OO的弦A'B1(A',B1分別為A,B

的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段A8是的關(guān)于直線/對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線

段AB是。O的關(guān)于直線/對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖2,點(diǎn)4,Bi,A2,B2,A3,B3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段AiBi,A2B2,A3B3中，。0的關(guān)于直線y=x+2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是；

②若線段A2B2,43B3中，存在。。的關(guān)于直線y=-x+m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則

m=；

(2)己知直線)，=-返^+6(b>0)交x軸于點(diǎn)C,在AABC中，AC=3,AB=1.若

3_

線段AB是。。的關(guān)于直線>=-返葉6(6>0)對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出b的最

3

大值和最小值，以及相應(yīng)的BC

長

圖1圖2

2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題2分，共16分）

1.（2分）一元二次方程2?+x-5=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,5

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)和單項(xiàng)式的系數(shù)定義得出答案即可.

【解答】解：一元二次方程U2+彳-5=0的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別是2,

1,-5,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了單項(xiàng)式的系數(shù)定義，多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義和一元二次方程的一般形式,

注意：找多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)帶著前面的符號.

2.（2分）下列四個(gè)圖形中，是中心對稱圖形的是（）

的mi

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，

這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心.

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意：

D.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與原圖重合.

3.（2分）將拋物線y=/向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）

A.y=7+3B.>=7-3C.尸（x+3）2D.尸（%-3）2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)而得出變化后解析式.

【解答】解：..?拋物線y=/向上平移3個(gè)單位，

平移后的解析式為：y=7+3.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質(zhì)，熟練記憶平移規(guī)律是解題

關(guān)鍵.

4.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（3,2）D.（-2,-3）

【分析】兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反.由此可求點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱的

點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：???點(diǎn)A（2,3）,

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（-2,-3）,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

5.（2分）用配方法解方程7+4X=1,變形后結(jié)果正確的是（）

A.G+2）2=5B.（x+2）2=2C.（%-2）2=5D.（%-2）2=2

【分析】兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【解答】解：/+4x=l,

貝Uf+4x+4=l+4,即（x+2）2=5,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本題的關(guān)鍵.

6.（2分）中國象棋文化歷史久遠(yuǎn)，在圖中所示的部分棋盤中，“禹”的位置在“…”（圖中

虛線）的下方，“焉”移動(dòng)一次能夠到達(dá)的所有位置已用“v標(biāo)記，則“焉”隨機(jī)移動(dòng)一

次，到達(dá)的位置在“…”上方的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

【分析】用“——"（圖中虛線）的上方的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)除以所有黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求得答案.

【解答】解：觀察“焉”移動(dòng)一次能夠到達(dá)的所有位置，即用標(biāo)記的有8處，

位于“——"（圖中虛線）的上方的有2處，

所以“焉”隨機(jī)移動(dòng)一次，到達(dá)的位置在“——”上方的概率是2=工，

84

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有"種可能，而且這些

事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（4）=&,難度

適中.

7.（2分）如圖，物，PB是的切線，4,8為切點(diǎn)，點(diǎn)C為OO上一點(diǎn)，若NACB=70°,

則/尸的度數(shù)為（）

C.20°D.40°

【分析】連接OB,根據(jù)圓周角定理求出/AO8,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAL以,

OBVPB,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360。計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接08,

；NAC8=70°,

AZAOB=2ZACB=140°,

尸2是OO的切線，

：.OArPA,OBLPB,

—360°-90°-90°-140°=40°,

故選：D.

c

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

是解題的關(guān)鍵.

8.（2分）如圖，線段AB=5,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB

運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)&以點(diǎn)A為圓心，線段AP的長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,點(diǎn)P,

B之間的距離為y,OA的面積為S.則y與r,S與r滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.正比例函數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)關(guān)系

B.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

D.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，即可判斷函數(shù)的類型.

【解答】解：y=5-/,屬于一次函數(shù)關(guān)系，

S=TTP,屬于二次函數(shù)關(guān)系，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題2分，共16分）

9.（2分）拋物線y=-3（x-1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,2）.

【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：??》=-3（x-1）2+2是拋物線的頂點(diǎn)式，

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）.

故答案為（1,2）.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y

—a（x-/?）2+左中，對稱軸為x=/2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）.

10.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程7+右+,“=0的一根為-1,則一的值是1.

【分析】先把x=-l代入方程，可得關(guān)于，"的一元一次方程，解即可.

【解答】解：把X=-1代入方程，得

（-1）2+2X（-1）+777=0,

解得m—\.

故答案是：1.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是代入后正確的計(jì)算，難度不大.

11.（2分）請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,2）的拋物線的表達(dá)式：y=/+2.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫出的函數(shù)解析式。是正數(shù)，c=2即可.

【解答】解：開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,2）的拋物線的表達(dá)式為y=/+2,

故答案為：y=?+2（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

12.（2分）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里，裝有20個(gè)除

顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球.將盒子里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的

頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象，如圖所示，經(jīng)分析可以推斷“摸出黑球”的概

率為0.2.

“摸出黑球的頻率

1.0-

（）.8-

0.6-

0.4-

0.2-***...................

______IIIIIIIIII

O5010015020025030()35040()450500摸球柏的總次數(shù)

【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率即可得出“摸出黑球”的概率.

【解答】解：由圖可知，隨著“摸球游戲”的次數(shù)增多，“摸出黑球”的頻率逐漸穩(wěn)定在

0.2左右，

所以，“摸出黑球”的概率為0.2,

故答案為：0.2.

【點(diǎn)評】本題主要考查用頻率估計(jì)概率，需要注意的是試驗(yàn)次數(shù)要足夠大，次數(shù)太少時(shí)

不能估計(jì)概率.

13.（2分）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走

長征路”主題教育活動(dòng).據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參

觀人數(shù)增加到12.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為10（l+x）2

=12.1.

【分析】利用5月份的參觀人數(shù)=3月份的參觀人數(shù)X（1+月平均增長率）2,即可得出

關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：10（1+x）2=12.1.

故答案為：10（1+x）2=12.1.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

14.（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AQE,若ND4E=110°,NB=40°,

則/C的度數(shù)為30°.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ND4E=N8AC,由三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：將aABC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AOE,

：.ZDAE^110°,

VZB=40°,

AZC=180°-ZB-ZBAC=180°-40°-110°=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是本題的關(guān)鍵.

15.（2分）斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載：“斛底，方而圜（hudn）

其外，旁有龐（tiao）焉意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)

同心圓.”如圖所示.問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“龐

旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形

的邊長為尺.

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定△CQE為等腰直角三角形，CE為直徑，根據(jù)題意求出正

方形外接圓的直徑CE,求出8,問題得解.

【解答】解：如圖，

?.?四邊形CDEF為正方形,

；./。=90°,CD=DE,

為直徑，NECD=45°,

由題意得AB=2.5,

：.CE=2.5-0.25X2=2,

：.CD=近CE=M.

2

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了正方形外接圓的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出正

方形對角線為其外接圓直徑.

16.（2分）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，E,尸分別是邊。C,CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始

終滿足OE=CF,AE,OF交于點(diǎn)P,則NAPD的度數(shù)為90°；連接CP,線段CP

的最小值為_-1

【分析】根據(jù)“邊角邊”證明aAOE和△OCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/

DAE=/CDF,然后求出/APO=90°,取40的中點(diǎn)O,連接0P,根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半可得點(diǎn)P到AQ的中點(diǎn)的距離不變，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

短可得C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，然后根據(jù)勾股定理列式求出CO,再求

解即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

：.AD=CD,ZADE=ZDCF=90°,

在△AOE和△OCF中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD>

DE=CF

A^ADE^/\DCF(SAS),

：.ZDAE=ZCDF,

,/ZCDF+ZADF^/AZ)C=90°,

/.ZADF+ZDAE=90°,

，NAP￡>=90°,

取4D的中點(diǎn)。，連接OP,則OP=」/Z)=』X2=1(不變)，

22

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，

在RtZkCO。中，根據(jù)勾股定理得，CO=7CD2OD2=V22+12=A/5,

所以，CP=CO--1.

故答案為：90°,V5-1.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，確定出點(diǎn)P到AD的中點(diǎn)的距離是定值是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）

17.（5分）解方程：？-2x-8=0.

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解：（x-4）（x+2）=0,

x-4=0或x+2=0,

所以X1=4,X2—-2.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

18.（5分）如圖，AB為。。的弦，OCLAB于點(diǎn)M,交。O于點(diǎn)C.若。。的半徑為10,

OM-.MC=3：2,求AB的長.

【分析】先求出OM的值，再根據(jù)垂徑定理求出何，再根據(jù)勾股定理求出AM即

可.

【解答】解：設(shè)OM=3x,MC=2x,

的半徑為10,

/.3x+2x=10,

解得：x=2,

即OM=6,

連接。4,

VOC±AB,0c過圓心0,

：.AM=BM,NAMO=90°,

由勾股定理得：BM=AM=7QA2-0M2=V102-62=8,

."8=8+8=16.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題

的關(guān)鍵.

19.（5分）下面是小明設(shè)計(jì)的“作圓的內(nèi)接等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：Q0（如圖1）.

求作：。。的內(nèi)接等腰直角三角形A8C.

作法：如圖2.

①作直徑AB-,

②分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于LB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M；

2

③作直線M0交。。于C,0兩點(diǎn)；

④連接AC,BC.

所以aABC就是所求作的等腰直角三角形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接M4,MB.

'：MA=MB,0A=。8,

.?.歷。是4B的垂直平分線.

又；直線交。。于點(diǎn)C,

：.AC=BC.

是直徑,

，NACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填寫推理依據(jù)）.

.'.△ABC是等腰直角三角形.

【分析】（1）根據(jù)題干要求的步驟依次求解即可;

（2）根據(jù)圓周角定理求解即可.

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）證明：連接MA,MB.

'：MA=MB,OA=OB,

是A8的垂直平分線.

又直線MO交于點(diǎn)C,

：.AC^BC.

\'AB是直徑，

AZACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

...△ABC是等腰直角三角形.

故答案為：BC、90°,直徑所對的圓周角是直角.

【點(diǎn)評】本題主要考查作圖一復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖

和圓周角定理.

20.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線），=—+〃+,的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0,

-3）,B（1,0）.

（1）求該拋物線的解析式;

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出yVO時(shí)，x的取值范圍.

【分析】(1)通過待定系數(shù)法求解.

(2)求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，通過拋物線開口向上求解.

【解答】解：(1)將A(0,-3),B(1,0)代入y=o?+2x+c得卜"c,

I0=a+2+c

解得卜=1,

1c=-3

.'.y—x2+lx-3.

(2)令/+2x-3=0,

解得x=-3或x=1,

，拋物線經(jīng)過(-3,0),(1,0),

：拋物線開口向上，

；.yV0時(shí)，-3Vx<l.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二

次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

21.(5分)如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(5,

0),B(4,-3).將△04B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA5,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)

為A'.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△O4B，，并寫出點(diǎn)4'的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑的長(結(jié)果保留7T).

iy

（2）根據(jù)弧長公式求解即可.

【解答】解：（1）如圖所示，△OA'B'即為所求.

（2）由圖知，ZAOA'=90°,OB=^32+42=5,

...點(diǎn)8在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑長B8'=9°兀*5=且匚

1802

【點(diǎn)評】本題主要考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)及弧

長公式.

22.（5分）2021年6月17日，神舟十二號成功發(fā)射，標(biāo)志著我國載人航天踏上新征程.某

學(xué)校舉辦航天知識講座，需要兩名引導(dǎo)員，決定從A,B,C,。四名志愿者中通過抽簽

的方式確定兩人.抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片

的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名

字，再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下名字.

（1）“A志愿者被選中”是隨機(jī)事件（填“隨機(jī)”、“不可能”或“必然”）；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法求出A,8兩名志愿者同時(shí)被選中的概率.

【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中A,B兩名志愿者同時(shí)被選中的結(jié)果有2

種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）“A志愿者被選中”是隨機(jī)事件，

故答案為：隨機(jī)；

（2）畫樹狀圖如下:

開始

ZANZBN/CNZDN

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中A,B兩名志愿者同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，

B兩名志愿者同時(shí)被選中的概率為2=工.

126

【點(diǎn)評】此題考查的是樹狀圖法求概率以及隨機(jī)事件的概念.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺

漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回

試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程）-（k+4）x+4k=0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個(gè)根小于2,求女的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)根的判別式：△=[-（Z+4）產(chǎn)-i6Z=F-8k+16=（Z-4）220,即

可得到結(jié)論；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出xi=4、X2=k,根據(jù)方程有一根小于2,

即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍.

【解答】（1）證明：-（A+4）164=必-8%+16=（h4）2》0,

無論k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：Vx2-（什4）x+4A=0,

:.（x-4）（x-k）=0,

??xi=4,x2=k.

???方程有一根小于2,

：.k<2,

的取值范圍為A<2.

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，

解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)△》()時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；(2)利用因式分解法解一

元二次方程結(jié)合方程一根小于2,找出關(guān)于k的一元一次不等式.

24.(6分)為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長為25根)的空地上修建

一個(gè)矩形小花園A8CD小花園一邊靠墻，另三邊用總長40皿的柵欄圍住，如圖所示.設(shè)

矩形小花園A8邊的長為m2，面積為

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，小花園的面積最大？最大面積是多少？

///////////、/

AD

BC.

【分析】(1)根據(jù)矩形的面積公式寫出函數(shù)解析即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解答】解：(1)由題意得：y=x(40-2x)=-2X2+40X,

：0V40-2xW25,

.,.生Wx〈20,

2

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2?+40x(」立《20)；

2

(2)由(1)知，y=-2/+40x=-2(x-10)2+200,

；-2<0,生《20,

2

...當(dāng)x=10時(shí)，y有最大值，最大值為200,

答：當(dāng)x=10時(shí),小花園的面積最大,最大面積是200"/.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.

25.(6分)如圖，AC是。。的弦，過點(diǎn)。作OPLOC交AC于點(diǎn)P,在。尸的延長線上取

點(diǎn)8,使得=

(1)求證：AB是的切線；

(2)若。。的半徑為4,PC=2通,求線段A8的長.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC=NOAC,ZBPA=ZBAP,求得NCPO=

NBAP,推出N8AO=90°,根據(jù)切線判定定理得到A3是。。的切線；

（2）根據(jù)勾股定理得到0「=加?2—℃2=寸（2＞海）2.42=2,設(shè)3A=4P=x,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：VOA=OC,

AZC=ZOAC,

?:PB=BA,

:.NBg=NBAP,

9：ZCPO=ZBPAr

：.ZCPO=ZBAPt

「OP.LOC,

：.ZCOP=90°,

???NC+NCPO=90°,

??.NC4O+NA4P=90°,

即NBAO=90°,

???0A是OO的半徑，

???AB是。。的切線；

(2)解：'：ZCOP=90Q,OC=4,PC=2娓,

?■?OP=VPC2-OC2=V(2V5)2-42=2>

設(shè)BA=BP=x,

VZBAO=90°,

：.AB2+AO1=OB2,

AX2+42=(2+X)2,

.”=3,

，線段AB的長為3.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,山）和（2,〃）在拋物線y=-f+fcc上.

（1）若%=0,求該拋物線的對稱軸；

（2）若團(tuán)〃＜0,設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=f.

①直接寫出f的取值范圍；

②已知點(diǎn)（-1,yi）,（3,＞2）,（3,y?）在該拋物線上，比較yi,”，”的大小，并說

2

明理由.

【分析】（1）把點(diǎn)（1,0）代入y=-f+bx求得b的值，即可根據(jù)對稱軸公式求得答案；

（2）①分類討論b的正負(fù)情況，根據(jù)mn＜Q可得對稱軸在與直線x=\之間；②

2

根據(jù)各點(diǎn)到對稱軸的距離判斷），值大小.

【解答】解：（1）若m=0,則點(diǎn)（1,0）在拋物線y=-7+fev上，

/.0=-\+b,解得6=1,

拋物線的對稱軸為直線》=-————=-2=工；

2X（-1）-22

（2）①，.,=-^+bx,

拋物線開口向下且經(jīng)過原點(diǎn)，

當(dāng)人=0時(shí)丁拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，龍＞0時(shí)y隨x增大而減小，0＞加＞〃不滿足題意，

當(dāng)6V0時(shí)，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，0＞"＞機(jī)不滿足題意，

當(dāng)力＞0時(shí)，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，1=1時(shí)機(jī)＞0,1=2時(shí)〃V0,

即拋物線和x軸的2個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為（0,0）,另外一個(gè)在1和2之間，

拋物線對稱軸在直線?與直線X=1之間，

2

即UfV1；

2

②；點(diǎn)（-1,yi）與對稱軸距離（-1）<2,

2

點(diǎn)（旦，絲）與對稱軸距離g-yi,

2-22

點(diǎn)（3,”）與對稱軸距離2<3-<立

2

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌

握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解.

27.（7分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)尸為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP,CP,將線

段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP',連接尸P,BP,.

（1）用等式表示8P與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明：

（2）當(dāng)NCPC=120°時(shí)，

①直接寫出/PBP的度數(shù)為60°；

②若M為BC的中點(diǎn)，連接PM,用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）利用SAS證明△ABPNaACP,即可得出答案；

（2）①由三角形內(nèi)角和定理知N8+N6=180°-/BPC=60°,再利用角度之間的轉(zhuǎn)化

對NPBP進(jìn)行轉(zhuǎn)化，ZP'BP=Z4+Z7=Z5+600-Z8=60°-Z6+60°-Z8,從而

解決問題；

②延長PM到N,使PM=MN,連接BN,CN,得出四邊形P8NC為平行四邊形，貝lj8N

〃CP且BN=CP,再利用SAS證明△P8P畛△N8P,得PP=PN=2PM.

【解答】解：（1）BP,=CP,

證明：:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,/BAC=60°,

.*.Z2+Z3=60o

:將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至！|AP',

：.AP=AP',4p=60°,

，N1+N2=6O°,

AZ1=Z3,

A(SAS),

：.BP'=CP；

(2)①當(dāng)N5PC=120°時(shí)，

貝|JN8+N6=18O0-ZBPC=60°,

△ABPNaACP,

N4=N5,

???NP3P=N4+N7

=Z5+600-Z8

=60°-N6+600-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°,

故答案為：60°；

②AP=2PM,理由如下：

延長PM到N,使PM=MN,連接BN,CN,

?「M為5。的中點(diǎn)，

:?BM=CM,

???四邊形P8NC為平行四邊形,

:?BN〃CP旦BN=CP,

：?BN=BP,Z9=Z6,

XVZ8+Z6=60°,

???N8+N9=60°,

：.ZPBN=600-ZP'BP,

又,：BP=BP,PB=BN,

:./XP'BPW/XNBP(SAS),

:.PP'=PN=2PM,

又???△APP為正三角形，

：.PP'=AP,

：.AP=2PM.

【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，利用倍長中線構(gòu)造平行四

邊形是解題的關(guān)鍵.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中.。。的半徑為1,對于直線/和線段給出如下

定義:若將線段AB關(guān)于直線/對稱，可以得到。。的弦A'B1(A',B1分別為A,B

的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段AB是。0的關(guān)于直線/對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線

段AB是。。的關(guān)于直線/對稱的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖2,點(diǎn)4,Bi,A2,B2,A3,&的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段AiBi,A282,MB3中，。。的關(guān)于直線y=x+2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是A\B\；

②若線段AiBi,A2B2,A3B3中，存在。。的關(guān)于直線丫=-x+〃?對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則

"?=2或3；

(2)已知直線y=-?">0)交x軸于點(diǎn)C,在△ABC中，AC=3,AB=\.若

3_

線段A8是。。的關(guān)于直線丫=-率+6對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出匕的最

大值和最小值，以及相應(yīng)的BC

長

圖1圖2

【分析】（1）①分別畫出線段AiBi,A2B2,43B3關(guān)于直線y=x+2對稱線段，如圖，即

可求解；

②從圖象性質(zhì)可知，直線y--x+m與x軸的夾角為45°,而線段AiBi_1_直線y—-x+m,

線段A1B1關(guān)于直線了=-x+m