正態(tài)分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

選修三

《第七章隨機變量及其分布》

正態(tài)分布2.二項分布：3.超幾何分布：1.兩點分布：知識回顧

引

入生活中還有許多隨機變量不是離散型的隨機變量，例如：①小明上學(xué)途中等公交車的時間X；②實驗中測量某零件尺寸的誤差Y；③某電器的使用壽命；...你還能舉出幾個這樣的例子嗎？連續(xù)型隨機變量：

如果隨機變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類變量為連續(xù)型隨機變量。（1）如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？（2）如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？頻率分布直方圖問題1

自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位:g)的觀測值如下:

隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，頻率分布直方圖的輪廓會發(fā)生什么變化？n=107

隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.我們稱此曲線為正態(tài)密度曲線．質(zhì)量誤差的概率密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：新知1：正態(tài)密度函數(shù):如圖所示，若隨機變量

X

的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為

X~N(μ，σ2).

特別地，當(dāng)

μ=0，σ=1時，稱隨機變量

X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

若X~N(u,σ2)，則X取值不超過

x

的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X<b)為區(qū)域B的面積.面積即為概率！1.如圖所示，是一個正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的均值和方差．鞏固新知1探究：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，正態(tài)曲線有哪些特點？特點：(1)非負(fù)性：對?x∈R，f(x)>0，圖象在x軸上方;(2)對稱性：曲線是單峰的，關(guān)于直線x=μ對稱;(3)最大值：曲線在x=μ處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1;(5)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.探究：一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征?（1）當(dāng)參數(shù)σ取定值時，觀察μ對正態(tài)分布曲線的影響.

若

σ

固定,函數(shù)圖像隨μ

值的變化而沿x軸平移,故μ

稱為位置參數(shù)；

參數(shù)

μ

反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計，故有E(X)=μ.探究一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征?（2）當(dāng)參數(shù)μ取定值時，觀察σ對正態(tài)分布曲線的影響.

σ反映了隨機變量分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計，故有D(X)=σ2.

若

μ

固定,σ

大時,曲線“矮胖”；σ

小時,曲線“瘦高”,故稱

σ

為形狀參數(shù)。3、(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是(

)A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同BCD典例李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎單車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(1)估計X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；解：(1)隨機變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6，

隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2，

用樣本均值估計參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計參數(shù)σ，

可得X~N(30，62)，Y~N(34，22).李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎單車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?

如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解：(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22).若有38min可用，則騎單車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎單車；若只有34min可用，則坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).生活中的正態(tài)分布

正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐之中.

在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布.例如，某些物理量的測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量，自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)，某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態(tài)分布.3σ原則

盡管正態(tài)變量X的取值范圍是R，但X的取值幾乎總是落在區(qū)間[

-3

,

+3

]內(nèi)；取值落在此區(qū)間以外的概率大約只有0.0027，為小概率事件，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.3

原則：在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,2)的隨機變量X只取(

-3

,

+3

)之間的值.鞏固新知2正態(tài)分布的概率計算某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，隨機選擇一名本市高二年級的男生，求下列事件的概率：(1)P(165<X≤175)=___________(2)P(X≤165)=__________(3)P(X>175)=__________0.68270.158650.15865練習(xí).在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從一個正態(tài)分布N(90，100)，若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在[80，100]間的考生大約有________人.析：2000×0.6827=1365練習(xí).某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考