《高中數(shù)學復習四十三講》(上)

高中數(shù)學總復習

第一講集合的概念和運算

命題點1集合的基本概念

本類考題解答錦囊

解答“集合的基本概念”一類試題，最主要的是注意以下兩點:1.掌握集中的基本

概念和表示方法，注意集合中元素的互異性、無序性和確定性.2.解題時要先化筒集合，井弄清集合中

的元素是什么.具備什么性質(zhì).

1（典型例題）設集合M={x|x=?kWZ},N={x|x=*-CZ},則

A.M=NB.MuN

C.Mz>ND.MnN=<t>

命題目的與解題技巧：本題主要考查集合的相等及集合之間的關系，解決本題的關鍵是理解奇偶數(shù)的概念,

整數(shù)的整除及運算性質(zhì).

［解析］“卜IX=干火eZ},N=卜IX=平,keZ}當kGZ時，2k+1和k+2分別表示所有奇數(shù)和所有整數(shù),

故有MuN,選B

［答案］B

2（典型例題）滿足條件MU{1}={1,2,3}的集合M的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

答案：B指導：滿足條件的有：{1,2,3}、{2,3}.

3（典型例題）設A、B為兩個集合，下列四個命題：

①AB<=>對任意xeA,有x任8②ASu>AcB=巾③AB=A?B④AB。存在xeA使得x任8其中真命

題的序號是（把符合要求的命題序號都填上）

答案：指導：由真子集的定義知，只有④正確.

4（典型例題）若非空集合MN,則“aCM或aGN”是“aCMAN”的

A.充當非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

答案：B指導:注意到"aGM"或"aGN"也就是"aEMUN".

5（典型例題春）設I是全集，非空集合P、Q滿足PQI若含P、Q的一個集合運算表達式，使運算結(jié)果

為空集小，則這個運算表達式可以是（只要寫出一個表達式）

答案：指導:我們用文氏圖來表示.則陰影部分為，顯然，所求表達式是,如右圖所示.

1（2005?黑龍江）設全集U=2,3a2+2a-3},A={|2a-l|,2}A=⑸,求實數(shù)a的值.

命題目的與解題技巧：本題主要考查集合的補集及全集等概念.解決本題的關鍵是理解全集、補集的概念,

也要注意元素的互異性.

［解析］因為A={5},故必有a?+2a-3=5且|2a-l|=3,解得a=2

［答案］a=2

2（2005?石家莊）集合M=（1,2.3,4,5,}的非空真子集個數(shù)是

A.29B.30C.31D.32

答案：B指導:本題是考查子集的概念，由子集的定義.

3（典型例題）設人=以日2-8*+15=0},B={x|ax-l=0,若BA,求實數(shù)a的取值集合.

答案：A={3,5}指導：①當a=O時,B=0,此時BA成立;當a#0時,8=。）由BA得工=3或1=5,即“=■）?或

aaa35

綜合知的取值集合為{0、1}.

4(典型例題)集合S={0,1,2,3,4,5},A是s的一個子集，當xGA時，若有xT1A,x+l9A.則稱x

為A的一個“孤立元素”。那么S中無孤立元素的四元子集的個數(shù)是

A.4B.5C.6D.7

答案：C指導:由題意可知:一個集合中由相鄰數(shù)字構成的元素都不是"孤立元素"，例如1,2,S中無“孤立

元素”的4元子集可分兩類:第一類是子集中的T個元素為相鄰的四個數(shù)字，有{0,1,2,S},{1,2,S,4},{2,3,T,5}三個;

第二類是子集中的T個元素為兩組，每一組的兩個元素為相鄰的兩個數(shù)字，有{0,1,S,T},{0,1,4,5},{1,2,T,5}三個,

一共有6個.

5(典型例題)集合A={(x,Y)|y=23B={(x,y)|y>0,xGR}之間的關系是

A.ABB.ABC.A=BD.ACB=e

答案：A指導：???A表示指數(shù)函數(shù)y=2,的圖象上的點集,B表示x軸上方的點集，...選A.

1含有三個實數(shù)的集合可表示為卜，,1也可表示為?,a+W)},求a*網(wǎng)超期的值.

答案：指導:兩個集合的元素完全相同，而a%0故必有b=0,此時兩個集合為{a,0,1}和-a,0},所以有aVa且

a2=l,所以a=-l.

這時,a”例“。。5=i+o=i.

2已知集合人={0,2,3},B={x|x=a?b,a、b￡A},則集合B的真子集有

A.7個B.8個C.15個D.16個

答案：C指導：?.％、1)2而人={0,2,3},，B={0,4,6,9},其真子集數(shù)個數(shù)為2〔1=15.

3已知集合A{1.2,3),且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有

A.6個B.5個C.4個D.3個

答案：B指導：當A中含有一個奇數(shù)時有{1}、{1,2}、{3}、{3,2}四種，當A中含有兩個奇數(shù)時有{1,

3}、{1,2,3}兩種，但A

［1,2,3}.

命題點2集合的基本運算

解題的一般方法是：

1.先弄清集合中的元素是什么(是數(shù)?是點?)而且弄清楚集合的幾何意義.

2.當集合有較明顯的幾何背景時，常利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行集合的運算：一般抽象集合問題往往

借助于文氏圖求解；常集之間的運算常用數(shù)軸直觀顯示；點集可畫出滿足條件的點構成的圖形(直線或圓

錐曲線或區(qū)域等)進行求解.

3.因集合運算的題目多以選擇題的形式出現(xiàn)在高考中，所給集合又常常是非具體的集合，因此特例法也

是解決這類問題的常用方法之一.

1(典型例題)設全集是實數(shù)集R,M={x|-2WxW2},N={x|x<l},則MAN等于

A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<l}

C.{x|x<l}D.{x|-2Wx<}

命題目的與解題技巧：本題主要考查集合的基本運算.正確解決本題的關鍵是注意應用數(shù)形結(jié)合的思想方

法，在數(shù)軸上正確的表示相應的集合，并注意端點的取舍.

［解析］已知集合是數(shù)集，可利用數(shù)軸進行集合的運算.結(jié)合圖形知答案N『M.|

［答案］A

2(典型例題)設A、B、I均為非空集合，且滿足A=BuI,則下列各式中錯誤的是

A.(A)UB=I

B.(A)U(B)=1

C.AH(B)=4>

D.(A)n(B)=B

答案：B指導：由于AuB0,畫出文氏圖，結(jié)合圖形知只有B是錯的.

3(典型例題)已知集合M={0,1,2},N={x型=2a,aSM},則集合MCN等于

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{012}

答案：D指導：由題意N={0,2,4},所以MCN={0,2}.

4(典型例題)設集合M={(x,y)|x2+y2=l,xdR,ydR},N={(x,y)|x2-y=0,xeR,yGR},則集合MAN

中元素的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

答案：B指導：如右圖：集合M、N有較明顯的幾何背景，故可畫出對應的圖形，用數(shù)形結(jié)合的方

法求解.

222

集合”表示的圖形是圓x+y=l,集合M表示的圖形是拋物線x-y=0,如右圖，圓和拋、產(chǎn)

物線有兩個公共點，所以MCN中元

素的個數(shù)為2.—十

5(典型例題)設集合八={5,1。82匕+3)},集合B=a,b}.若ACB={2}.則AUB=

答案：指導：由題意，log2(a+3)=2,所以a=l,所以b=2.故集合A={5,2},集合B{1,2},則AUB={I,2,

5).

6(典型例題)設集合P={1,2,3,4,5,6},Q={xGR|2WxW6},那么下列結(jié)論正解的是

A.PAQ=PB.PCQ?Q

C.PUQ=QD.PCQP

答案：D指導：由題意，PCIQ={2,3,4,5,6},PUQ={x|2WxW6或x=l}

7(典型例題)設人=心反=屈1,kGN},B={x型W6,xWQ},則APB等于

A.{1,4}B.{1,6}C.{4,6}D.{1,4,6}

答案：D指導：由于B中元素是不大于6的有理數(shù)，易得4CB={1,4,6}

1BftlA={xIy=x,xeR},B={y|y=x2,xSR},則ADB等于

A.{xlxGR}B.{y|y20}

C.{(0,0),(1,1)}D.<t>

命題目的與解題技巧：本題主要考查集合的基本運算.正確解決本題的關鍵是首先弄清集合中的元素是什

么，還應注意應用數(shù)形結(jié)合的思想方法，在數(shù)軸上正確的表示出相應的集合，并注意端點的取舍.

［解析］A={xixGR},B={y|y20},己知集合是數(shù)集，可利用數(shù)軸進行集合的運算.易得ACB={y|y20},

故選B

［答案］B

2(2005?淄博)設集合1={a,b,c,d,e},M={c,d,e},N={a,b,e},那么集合{a,b}可以表示為

A.MANB.MANC.MAND.MAN

答案：B指導：畫出文氏圖如下，易得{a,b}=MC!N

3(2005?宣武質(zhì)檢)已知全集U=R,集合A={x|<-2或x>l},B={x|-lWx〈0},則AU

(B)=

A.{x［x<-2或x>l}B.{x|xWT或x>0}

C.{x|x〈T或x20}D.{x|x〈T或x>0}

答案：C指導：B={x［x<-1或x》O},...選C

4(典型例題、黃岡)已知集合P={(x,y)||x+|y|=l),Q={(x,y)|x'+yMl},則

A.PQB.P=QC.PQD.PAQ=Q

答案：指導：分四類討論化簡方程|x|+|y|=l得點集戶表示的圖形如左下圖中的正

方形，而點集Q表示單位圓面如下右圖....P是Q的的真子集.

1定義A-B={x|xGA,且xB},若4={2,4,6,8,10},B=

A.{4,48,8}則A-B等于B.{1,2,6,10)

C.|1|D.⑵6,10}

答案：D指導：A-B={x|xeA,且xGB}={2,6,10).

2如圖所示，u是全集，M、P、S是U的三個子集，則陰影部分所表示的集合是

A.(MPP)ns

B.(MPP)US

C.(MAP)n(,S)

D.(MAP)U(S)

答案：C指導：由圖知，陰影部分表示的集合是MAP與S的補集的交集.

命題點3集合與不等式

解答“集合與不等式”一類測題，主要注意以下幾點

1.能化筒的集合先化簡，以便使問題進一步明朗化，掌握不等式的解法，如串根法、落

點分區(qū)間法、平方法、轉(zhuǎn)化法等.

2.在進行集合的運算時，不等式解集端點的合理取舍是難點之一，可以采用驗證的方法進行取舍.

3.合理運用數(shù)形結(jié)合思想，是解決此類問題的關鍵之一.弄清集合中的元素是什么，然后分別用文氏圖、

數(shù)：軸或坐標平面表示出相應集合.

4.要注意檢驗和分類討論，分類的關鍵在于確定分類標準，使所分的各類不重復不遺漏.

1(典型例題)記函數(shù)f(x)=F|||的定義域為A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-X)](a<l)的定義域為B

(1)求A；

(2)若B=A,求實數(shù)a的取值范圍.

命題目的與解題技巧：本題主要考察函數(shù)定義域的求法、分式不等式與含參數(shù)的整式不等式的解法、集合

之間的包含關系.解決本題的關鍵在于含參數(shù)不等式的正確求解，合理運用數(shù)軸來表示集合是解決這類問

題的重要技巧.

[解答]⑴2-遼王0,得工!■NO,x<T或x》l即A=(-8,-1)U[1,+°°],

1x+\

(2)由(x-a-1)(2a-X)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.

Va<l,Aa+l>2a,：.B=(2a,a+1).

；BuA,.?.2a2l或a+lWT,即a“或aW-2,而a<lWa〈l或aW-2,故當B=A時,實數(shù)a的取

22

.M

值范圍是(-8,-2)U[Ll]二一T

2——^—6---------------------------------------------------------------6----------?

2(典型例題)已知集合后{xIx\4},N={x|x-2x—3<0},則集合MAN等于

A.{x|x<-2}B.{x|x>3}

C.{x|-Kx<2}D.{x|2<x<3}

答案：C指導：①化簡集合M和N,M={x}-2<x<2},N={x[-l<x<3②利用數(shù)軸求交集MCN{x[T<x<2}

3(典型例題)設集合P={m|-Km<o},Q={meR|mx-+4mx-4<0對任意實數(shù)x恒成立},則下列關系中成立的是

A.PQB.QPC.P=QD.PnQ=<|>

答案：A指導：由題意，P=(in|-l<ni<0},Q={m|T〈mW0},則PQ

4(典型例題)設全集U=R

(1)解關于x的不等式:|x-11+a-l>0(aGR)

(2)記A為(1)中不等式的解集，集合B={x|sin("-?)+6cos⑶-0=0),若AAB恰有3個元素，求a

的取值范圍

答案：⑴由|x-l|+a-l>0|x?l|4a當a>l時,解集是R；

當aWl時,解集是{x|x<a或x>2-a}.

(2)當a>l時，=,不符合題意；

當aWl時;A={x|a^x^2-a}.

因sin(joe--)+V3cos(^x-

3

=2[sin⑶--)+73cosg--)

3S

=2sin/zx.

由sinx=0,得(kez).即B=kGZ,所以B=z.

當(A)AB恰有S個元素時，a就滿足

a<1,

-2<2-a<3>ff-l<?<0.

-l<?<0

1(典型例題海淀)已知關于X的不等式鏟<0的解集為M

x~-a

(1)當a=4時，求集合M

(2)若3GM且5GM,求實數(shù)a的取值范圍.

命題目的與解題技巧：本題主要考查分式不等式的解法以及元素與集合的關系.解決此題的關鍵是準確的

利用串根法求得不等式的解集，準確把條件3WM且5WM轉(zhuǎn)化為關于。的不等式組.

［解答］(D當a=4時，原不等式可化為學3〈0

X2-4

解得x-2或<x<2.故M=(-8,-2)U(A,2).

4

⑵由33得言<。，由5史”得罟，。解之得：：］U⑼25).

2(典型例題)兩個集合A與B之差記作A/B”,定義為：A/B={x|xeA,且xeB}},如果集合A={x|log2X<l,

xWR),集合B={x||x-2|<l,xGR},那么，A/B=

A.{x|xWl}B.{x|x23}

C.{x|lWx〈2}D.{x|0<x<l}

答案：D指導：A={x10<x<2,xGR},B={x|l<x<3,xGR,A/B={x|0<xWl,xGR}

3(典型例題)已知集合乂={a,0}N={X|2X2-5X<0,XGZ),若MAN#。，則a等于

A.1B.2

C.1或2D.1或2

2

答案：C指導：N={x|0<,*《2}={1,2},因乂。1\1彳0,所以有2=1或2

4(2005?浙江)已知全集1>七集合M={x|x》l},N={x|立120,則(MCN)等于

x—2

A.{x|x<2}B.{x|xW2}

C.{x|-l<x^2}D.{x-l^x<2}

答案：B指導：M={x|x21},N={x|x〈-l或x>2},則￡u(MGN)={x|x<2}

5（2005?天津）已知集合人=心|-2卜+6心<~-3},B={x|-k<x<k）,AB,求實數(shù)A的取值范圍.

答案：指導：VAB,.\k>-k=>A>0.

—2k=k+6>-k[-2k+6>-k

k--3<k

2

k>0

=，0<kW5叵或0<1<<止恒={|<|0<|<<:[!]叵}.

222

1設集合A={x|(x+2)(x-5)W0},B={x|a+lWxW2a-l},若B^A,則實數(shù)a的取值范圍是

答案：指導：A={x|-2WxW5},因BqA,所以J+

[2a-1<5

得-3WaW3

2已知集合乂=心||x-l|Wl},Z為整數(shù)集，則Mnz=

A.[1,2}B.{0,1,2}

C.<1>D.{-b0}

答案：B指導：M={x|10WxW2},所以MClZ={0,1,2)

3設集合A={x1x2-a<0},B={x|<2},若ACB=A則實數(shù)a的取值范圍是

A.a<4B.aW4

C.(KaW41).0<a<4

答案：B指導：：AnB=AB①aWO時，不符合②當a>0,時.若aB.則aW4..?.選B.

命題點4集合與函數(shù)和方程

解答“集合與函數(shù)和方程”一類試題，注意以下幾點：

1.解決集合與方程、函數(shù)的綜合問題時,，要注意靈活運用集合的相關知識，掌握函數(shù)值域、定義域的求

法信方程的解法；

2.要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法；

3.要弄清集合中元素是什么？

4.對于含參數(shù)的方程問題，一般需要對參數(shù)進行討論，要特別注意檢驗集合的元素是否滿足“三性”，還

要提防“空集”這一隱性陷阱.

1(典型例題)設函數(shù)f(x)--—(xGR),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x￡M},則使M=N成立

的實數(shù)對(a,b)有

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)多個

命題目的與解題技巧：本小題主要考查集合的表示和相等，函數(shù)值域等知識，解題的關鍵是掌握函數(shù)值

域的基本求法，理解集合相等的概念等.

[解析]

（方法一）f（x）=，Ox=0

/("、一/%乃

YRT

由此可知x>0時f(x)<0；x=0時f(0)=0；x<0時f(x)>0.二當xWO時f(x)的定義域

M與值域N不可能相等，而x=0時，定義域為{0},不存在a,b且a>b,使得[a,b]中僅含0元素，故選

A

(方法二)由f(-X)=二—二一/⑴知f(x)為奇函數(shù)，過原點；同時易證f(x)在xER上單調(diào)遞減，故f(x)

1+lxl

與y=x,y=-x僅有原點一個交點.而一個函數(shù)f(x)若想定義域與值域相等，則f(X)與y=x或y=-x應有兩

個交點.故本題中不存在(a,b)使得M=N,選A

[答案]A

2(典型例題)若集合乂={丫|丫=2月,集合P={y|y=W},則MPP=

A.{y|>l}B.{y|yel}C.{y|y>0}D.{y|yeO}

答案：C指導：M={y|y>O},P={y|yNO},則MUP={y|y>0}.故選C

3(典型例題?理)函數(shù)f(x)=f”P'其中P,M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x

GA/,

eP}f(M)={y|y=f(x),xGM}.給出下列四個判斷:

①若pnM=?則f(P)nf(M)=@；②若pnM=e,則f(P)nf(M)=4>；能PUM=R，則nP)uf(M)=R；

④若PUMWR,則f(P)Uf(M)WR其中正確判斷有

A.1個B.2個C3個D.4個

答案：B指導：由題意知函數(shù)f(P)f(M)的圖象如下圖所示.

設設限+8],M=(-8,Xi)],|x2|<|xi|.

f(P)=(f(x2),+°°],f(M)=[f(Xi),+°°],PAM=0.

而f(P)Cf(M)=[f(Xi,+8)#0,

同理可知④正確.故①錯誤，同理可知②正確.

設P=[X1，+8),M=(-8,X2)],|x2|<|Xi|,則PUM=R

f(P)=[f(xJ，+8],f(M)=[f(x2),+8]

f(P)Uf(M)=[f(x2),+8—R,故③錯誤.同理可知④正確.

4(典型例題)記函數(shù)f的定義域為A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-X)](a<l)的定義域為B

Vx+1

⑴求A；

(2)若BuA,求實數(shù)。的取值范圍.

答案：⑴由2-9*0,得320,門<-1或唧A(-8,+8).

x+\x+1

(H)由(x-a-)(2a-x)>0,得(x-a-l)(x-2a)<0.Va<1,.*.a+l>2a,/.B=(2a,a+1).

VBGA,.?.2a2l或a+lW-1,即a"或aW-2,

2

而a〈l,或aW-2.故當BA時，實數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)U[,1].

2

1設集合M={(x,y)|y=J16-/,yWO),N={(x,y)|y=x+a},若MDNW"，求實數(shù)m的取值圍.

命題目的與解題技巧：本小題主要考查集合的概念和運算，解題的關鍵是要弄清集合中的元素是函數(shù)圖像

的點集，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想方法求得答案.

[解析]集合M,N有較明顯的幾何背景，故可畫出對應的圖形，用數(shù)形結(jié)合的方法求解.集合M表示的圖

形是園/+『=16在x軸上方的部分，集合N表示的圖形是直線y=x+a,如圖，若MCNW<I>,即半圓(不含

端點)與直線沒有公共點.當直線與半圓相切時。a=4后，當直線過A時，a=-4,故。的取值范圍是

[答案](-8,-4)U(4A/2,+8)

2(2005?合肥)若人={&,y)|x+y=3},B={(x,y)x-y=l},則ACB等于

A.{(1,2)}yTv一

B.⑵i}zy*

C.{(2,1))

D.中

答案：C指導:.?.由f+廣：得F=7"B={2I}

Qy=i[y=]

3(典型例題)已知集合人={&,丫)，爐=2?^力[0團},13={h丫}、=1?+1<+1},若八門13含有兩個元素，則

[y=sin6^

ke_________

答案：指導：???『=28^W0劃,=上+、2=1(0力41)把丫=|0<+|<+1代入得

[y=sin94

(1+k2)x2+(2k2+2k)x+k2+2k=0,由△=()得k=0或k=2.又直線y=kx+k+l恒過點(T,1),其與(-2,0)

43

連線的斜率為i,與(2,o)連線斜率為-由數(shù)形結(jié)合可得答案.[2,1])U[-2,0]

333

4(典型例題四月)設f(x)=x:集合A={x|f(x)=x,xGR},B={x|f[f(x)]=x,xGR},則A與B的關系

A.AHB=AB.ACB=e

C.AUB=RD.AUB={-1,0,1}

答案:A指導：由f(x)=x得x2=x,，A={0,1},由f[f(x)]=x得<=x,，B={0,1}；.ACB=A,選A

5(典型例題)求：&|丫=1記(4*2-4)}A{y|y=2x?-3}=

答案：[-3,-l]U(l+°o)指導：原式={x|4x2-4>0}n{y|y》-3}={xlx>l或x<-l}n{y|y》-3}=[-3,+°°).

1已知集合人=以，-5*+6=0},B={x|mx+l=0},月.AUB=A,則實數(shù)m組成的集合為

A.{-1,-1}B.{0,1}C.{1,1}D.{0,-1,-1}

2322323

答案：D指導：A={2,3},由AUB二A,知BA,若BW。，則m#O,此時x=-L

m

2

,:BcA,:.---GA,:.(---)-5(---)+6=0.則機=一"!"，或m=---,

tntntn2tn

故m組成的集合是{O,-g,-g}

2集合A二{x|x"3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-l)=0},C={x|x2-mx+2=0},已知AUB=A,AClC=C,求a,m的值.

答案:由仁言酒匕消卻

得x2+(m-l)x+l=0.

VAnB=0

.??方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個實數(shù)解.

由△、()，得mW-1或m23.當mW-l時，

由Xi+X2=-(m-l)>0及X|X2=l>0知，方程①至少有一個根在區(qū)間［0,2］內(nèi)，滿足要求;

當m，3時，由Xi+X2=-(m-l)<0及X［X2=l>0知，方程①有兩種負根，不符合要求.

綜上，m的取值范圍是mW(-81-1).

考場熱身

1已知集合M={x|x=m+，,mGZ},N={x|x=---,nEZ},P={x|x=-^-+-,pGz),則M、N、P滿足關系

62326

A.M=NPB.MN=P

C.MNPD.NPM

答案：B指導：對于集合M：

E

{xIx=eZ}對于集合N:jxlx=~^~^PZ卜于集合P:

卜U=等l,pwz}由于3(n-l)+l和S都表示被除余1的數(shù)，而6m+l表示被6除余1的數(shù)，故MN

2設集合P二{3,4,5},Q={4,5,6,7},定義：P*Q={(a,b)|aeP,beQ},則P*Q中元素的個數(shù)為

A.3B.7C.10D.12

答案：D指導：P:Q的元素有SX4=12,故選D.

3已知集合A={(x,y)Ix'mx-y+ZR}和B={(x,y)|x-y+l=0,0WxW2},如果ACBH6,求實數(shù)表的取值

范圍.

答案：由卜2+mx-y+2=(X消去乂得了+5一1)1+1=0.

［x-y+l=0(0<x<2),

???ACB=,?,?方程①在區(qū)間［0.2］上至少有一個實數(shù)解.

由△》()，得m〈-l,或m23.當m〈?l時、

由Xi+X2=-(m-l)>0及XM=1>0知，方程①至少有一個根在區(qū)間［0,2］內(nèi)，滿足要求；

當m》3時,由Xi+x2=-(m-l)>0及xix2=l>0知,

方程①有兩負根，不符合要求.

綜上，m的取值范圍是(-8,-1).

4已知P={(x,y)|(x+2)、(y-3)W4},Q={(x,y)|(x+l)2+(y-m)2<-},且PGQ二Q,求m的取值范圍.

4

答案：根據(jù)題意知，

點集P表示以01，(-2,3)為圓心，以2為半徑的圓面(包含邊界圓)，

點集Q表示以。2(-1，m)為圓心，以‘為半徑的圓面(不包含邊界圓).

2

為使PCQ=Q,應使圓02內(nèi)含或切于圓。1.故有|。1。2|2忘?？?)2，

即(-l+2)2+(m-3)2w(2-J)2

解得s_^v,”vs+3.

22

5已知集合M二{x,xy,lg(xy)},N={0,Ix|,y),并且M=N,求&+')+(*2+-!7)?3+3*??+6"型網(wǎng)也)

yyy

的值.

答案：因為{x,xy,lg(xy)}二{0,|x|,y},

所以lg(xy)=0(因為當x,y之一為0時lg(xy)無意義).

即xy=l時,再由集合N和|x|=l,或y=L當y=l時,由xy=l得x=l,根據(jù)元素的互異性知y=l不可能.

當岡二1時，同理，由元素的互異性可知，x=l不可能.故只能取x=-l,由xy=l得y二-L

由X=l,y=-l,知X?n=y2n,x2n-l二y2n-l(n￡N+).所以

(X+—)+(X2+—+(X3+4r)+-??+(X2(XH+(-1-1)+(1+1)+(-l-l)+*--+(l+l)=0.

>2y2y3y2004

6已知R為全集,A={x|log,=(3-x)》-2},B={x=_》l},求AAB

—x+2

2

答案：由已知log?(3-x)2log］4,丁丫=叫］x為減函數(shù)，，S-xW40'~^=>-l<x<3

——o-x>0

222l

即A={x|-2<x^3},又由一二21得B={x|-2〈xW3},.,.AAGB={x|-2<x<-l,或x=3}

x+2

7設集合A={x|21gx=lg(8x-15),xeR),B={x|cos土>0,x￡R}.則AAB的元素個數(shù)為________個.

2

答案:由已知集合A,得Igx2=lg(8x-15),???X2?8X+15=0.

解得Xi=3,X2=5./.A={x|xi=3,X2=5}.

又由集合B,得cos->0.

2

A2kJt--<-<2kn+i,kGZ.

222

.,.4kJt-Jt〈x〈妹n+n.

B={x|4kJt+Jt.,keZ}

(1)當k=0時，.?.AClB={x|x=3};

(2)當k=l時?，3n<x<5n,."^03=^;

(3)當k=-l時，-5n<x<-3n,.*.AnB=0.

故ACB的元素個數(shù)為1個.

第二講簡易邏輯

命題點1真假命題及四種命題的概念

本類考題解答錦囊

解答“真假命題及四種命題的概念”一類試題，主要掌握以下幾點：L對數(shù)學概念要有準確的記憶和深

層次的理解；

2.掌握真值表是判斷真假的前提；

3.判斷一個命題真假，可根據(jù)定義直接判斷，也可利用原命題與其逆否命題的等價關系求解；證明一個

結(jié)論成立時，也常轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題成立.

4.解這類問題要弄清邏輯連結(jié)詞和簡單命題及復合命題的構成形式，準確地運用真值表進行判斷.

1(2005?上海)設數(shù)列{a,,)的前n項和為s?(nGN*),則關于數(shù)歹列a?}有下列三個命題:

⑴若題}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則a“=aa(nGN*)；

⑵若s產(chǎn)an=bn(a,bGR),則{a“}為等差數(shù)列；

(3)s?=l-(-l)",則{aj是等比數(shù)列.

這些命題中正確命題的序號是

命題目的與解題技巧：本題以“命題”為工具，主要考查等差、等比數(shù)列的基礎知識.解決本題的關犍是

準確掌握等差、等比數(shù)列的定義，a“和s.的關系等知識.說明命題為真命題需要證明，說明一個命題為

假命題只需單一個反例.

［解析］(l)；{a?}為等差數(shù)列，設公差為d,則由題意a“-d,a“，a0+d為等比數(shù)列，念(a「d)(a.+d),

所以d=0正確，...(1)正確.

(2)當n=l時，ai=si=a+b；當n22時,a>=sn-sn-i=2an-a+b；因n=l適合上式，所以an=Sn-s?T=2an-a+b(fu

a?「a0=2a(常數(shù))，所以⑸}為等差數(shù)列.(3)同⑵得&=(T嚴?2,而&旦=-1(常數(shù)).所以{aj為等

比數(shù)列.

［答案］⑴

2(典型例題)在空間中：

①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；

②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線.

以上兩個命題中，逆命題為真命題的是

答案：②指導：①中的逆命題是：若四點任何三點都不共線，則這四點不共面.用正方體AC】做模型來

觀察：上底面AiBiCiDi

中任何三點都不共線，但Ai、Bi、Ci、6四點共面，所以①中逆命題不真.②中逆命題是：若兩條直線

是異面直線，則兩條

直線沒有公共點，所以②中逆命題是真命題.

3(典型例題)已知函數(shù)y=f(x)(定義域為1),值城為A)有反函數(shù)y=f-'(x),則f(x)=O有根為a且f(x)>x(x

eD)的充要條件是y=f-(x)滿足________

答案：P(O)=a,且產(chǎn)(x)<x(xGA),或丫=尸3圖象在直線y=x的下方，且與y軸的交點為(0,a)

指導：因為y=f(x)有反函數(shù)，貝ijy=f(x)必為單調(diào)函數(shù)，由方程y=f(x)=0有解x=a,貝ijy=f(a)=0.

又y=f(x)>x,說明在定義域D內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的圖象在直線y=x的上方.而y=f(x)的反函數(shù)y=「(x)與y=f(x)

的圖象關于直線y=x對稱.因此,從代數(shù)角度回答有y=fT(0)=a,且丫=『我)?@打八)；從幾何角度回

答有y=f'(x)圖象在直線y=x的下方，且與y軸的交點為(0,a).

4(典型例題)a,B是兩個不同的平面，m、n是平面a及B之外的兩條不同直線.給出四個論斷：①②

a±0③nJ.B④m_La以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命

題：________

答案：指導：以m上n作為結(jié)論，其余S個論斷作為前提條件，檢查命題是否正確：因為夕所以

n//a或nua.當nua時,加_La得加_L”當n//a時，過作一平面與平面a相交于直線M則由前證知，根據(jù)

線面平行性質(zhì)這時n〃iY故得mIn.

a_L_L0,m_La=_L

5(典型例題)命題p：若a、bWR貝IJ|a|+|b|>l是|a+b|>l的充分而不必要條件.命題q函數(shù)y=Jlx-11-2的

定義域是(-8,-1］U［3,+8).則

A."P或q”為假B.“p且q”為真

C.“p真q假”D.“p假q真”

答案：D指導：：|a+b|W|a|+|b|,...|a|+|b|>l是|a+b|>l的必要而不充分條件，即p假；由|x-l|-220,

得xW-1,

或x23,即q真....選D.

II題點經(jīng)典類型題

1(2005?合肥)給出命題：p：323,命題q：函數(shù)f(x)=1\x20x<0在R上是連續(xù)函數(shù)，則在下

列三個復合命題：“P且q”“P或q”“非P”中,真命題的個數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

命題目的與解題技巧：本題主要考查連續(xù)函數(shù)的概念及復合函數(shù)真值表.解決本題的關鍵是準確連續(xù)函數(shù)

的定義及基本知識.要判斷三個復合命題的真假，必須先判斷P與叮的真假，再結(jié)合復合函數(shù)的真值表進

行判斷.

［解析］要判斷三個復合命題的真假，先必須判斷P與q的真假，再結(jié)合復合命題的真假表作出判斷，P：3

Z3為真命題，而q：f(x)在R上是連續(xù)函數(shù)是假命題，則這P或q為真，P且q為假，p

為假命題.

［答案］B

2(2005?南開中學)今有命題p、q,若命題m為“p且q,則“p或，q”是“m”的

A.充分不必要條件D.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C指導：“p且q”的否定為“1p或1q，“1p或1q”是“rm”的充要條件.

3(典型例題)定義在R上且不恒為0的函數(shù)f(x),滿足f(x)滿足f(x+』)+f(x)=0,且函數(shù)f(x-2)為奇函

24

數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)f(x)的最小正周期是3；②函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(-3,0)對稱；③函

24

數(shù)尸f(x)的圖象關于y軸對稱.其中真命題的個數(shù)是

A.3B.2C.1D.0

答案:B指導：:f(x+-|)=(x+y+-|)=-/(x+-|)=f(x).

，最小1E周期為3；Yy=f(x-3)為奇函數(shù).，函數(shù)y二f對稱中心為原點，，函數(shù)y=f(x)以點

4

(-20)為對稱中心????y=f(x-3)為奇函數(shù).

44

f(-x-當=-f(x-，以X-4代入得y==-/(X-當①

4442

又由-f(x+}=/(x)=-f(x+-|)=f(x)=-f(x+$=~f(x~9

比較①②得f(-x)=f(x)....y=f(x)為偶數(shù)..?.命題②、③正確，①錯誤.?.選B.

4(典型例題)已知原命題：“若m>0,則關于x的方程x2+x-m=0有實根”，下面結(jié)論中正確的是

A.原命題和逆否命題都是真命題

B.原命題和逆否命題都是假命題

C.原命題是真命題，逆否命題是假命題

D.原命題是假命題，逆否命題是假命題

答案：A指導：對于方程x2+x-m=O的△=4m+l,當m>0時△>(),...方程有實根，即原命題是真命題，

而逆否命題與原命題是等價命題，故選A.

m新高考命題探究

1已知命題p=不等式式|+|x-l|>m的解集為R,命題q=函數(shù)f(x)=-(5-2m),是減函數(shù)，若p或q為真命題、

P且q為假命題，則實數(shù)m的取值是______.

答案：［1,2］指導：不等式|x|+|x-l|>m的解集為R,則m<l,函數(shù)f(x)=-(5-2m)x是減函數(shù)，則m<2,又

由P或q為真命題、P且q為假命題，則實數(shù)m的取值lWmW2.

2已知函數(shù)f(x)=x-+(a+l)x+lg|a+2|(a￡R,且aW-2).

(1)若f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；

(2)命題P；函數(shù)f(x)在區(qū)間［(a+l)z,+8］上是增函數(shù)；命題Q；函數(shù)g(x)是減函數(shù)，如果命題p、0有且

僅有一個是真命題，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，比較f(2)與3-lg2的大小.

(l)Vy=f(x)=g(x)+h(x),

g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),

/.f(-x)=-g(x)+h(x).

g(x)+h(x)=x-(a+l)x+1gIa+2I,

一g(x)+4(x)=x2-(a+l)x+1gIa+21

解得g(x)=(a+l)x,h(x)=x2+lg|a+2|.

(2；?函數(shù)y=f(x)=(x+"l)2——)2一色業(yè)i+ig"+2l在區(qū)間［(a+2)2,+8］上是增函數(shù)，，(a+i)2N一史

2242

解得a2?l或且aW-2.

2

又由函數(shù)g(x)=(a+l)x是減函數(shù)，得a+<0,

*,?3<-1且aW-2.

命題Q為真的條件是：a<-l,???命題P為真的條件是：

a2-l或且aW-2.

2

又??,命題P、Q有且僅有一個是真命題，???a>-3

2

(3)由題意得f(2)=2a+lg|a+21+6.

又.>--Af(2)=2a+lg|a+21+2|+6.

a2

設函數(shù)v(a)=2a+18(a+2)+6>

.".v'(a)=2+-^—lnl0>0

?+l

二函數(shù)v(a)在區(qū)間［_?,+8］上為增函數(shù).

2

又?.?v(_J)=3Tg2,...當a>-3時，v(a)>(--),即又2)>3Tg2.

222

命題點2充要條件

本類考題解答錦囊

解答“充要條件”類試題主要掌握以下幾點：

1.判斷充要條件要從兩方面考慮：一是：解這類問題必須明確哪個是條件，哪個是結(jié)論；二是再看是由

條件推出吉論，還是由結(jié)論推出條件，應用充分不必要、必要不充分、充要條件的定義加以征明.

2.判斷充分條件，必要條件，充要條件，既不充分也不必要條件，最根本的方法是根據(jù)定義，運用“n”

號：

若p=