2020-2021學(xué)年江蘇省徐州一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年江蘇省徐州一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.采用斜二測畫法作一個五邊形的直觀圖，則其直觀圖的面積是原來五邊形面積的（）

A./倍B.1倍C.亨倍D.4倍

2.滿足條件|z-1|=|3+的的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

3.在二項式（1+x）1。的展開式中任取一項，則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是（）

.2?4?5「6

A.—B.-C.-----D.----

5111111

4.化學(xué)平衡是指在一定條件下，可逆反應(yīng)的正反應(yīng)速率和逆反應(yīng)速率相等時，體系所處的

狀態(tài).根據(jù)計算系統(tǒng)的吉布斯自由能變化SG）的熱力學(xué)公式Gibbs-X劭泌方程和

Van'tHoff方程,可以得到溫度（T）與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)（K）的關(guān)系式：

-TAS=AG=-RTlnK

式中△以為焰變（在一定溫度變化范圍內(nèi)視為定值），為焙變，R為氣體常數(shù).利用

上述公式，我們可以處理不同溫度下，有關(guān)多重可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)之間關(guān)系的計算.已

知當(dāng)溫度為Ti時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為K；當(dāng)溫度為公時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為

△H（T,-Tn）AHdn-TJ

A--------------------B----------.......-

'RT/2'RT/2

△sd，-TJASdn-TJ

C.---------i——D.-----------2——!—

RR

5.已知Z，4是非零向量且滿足（之-2芯）±7-<b-2則之與己的夾角是（）

6.在2022年北京冬奧會籌辦工作匯報會上指出，建設(shè)體育強(qiáng)國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化

國家的一個重要目標(biāo).某學(xué)校為貫徹落實教育部新時代體育教育精神，面向全體學(xué)生開

設(shè)了體育校本課程.該校學(xué)生小烷選完課程后，其他三位同學(xué)根據(jù)小烷的興趣愛好對他

選擇的課程進(jìn)行猜測.

甲說：“小烷選的不是足球，選的是籃球.”

乙說：“小烷選的不是籃球，選的是羽毛球.

丙說：“小烷選的不是籃球，也不是乒乓球.”

已知三人中有一個人說的全對，有一個人說的對了一半，剩下的一個人說的全不對，由

此推斷小烷選擇的課程()

A.可能是乒乓球B.可能是足球

C.可能是羽毛球D.一定是籃球

7.已知平面a與0所成的二面角為80°,尸為a、0外一定點(diǎn)，過點(diǎn)尸的一條直線與a、0

所成的角都是30°,則這樣的直線有且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

8.已知函數(shù)/(x)在(0,1)上恒有(無)>2f(x),其中/(%)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)

數(shù)，若a,0為一個銳角三角形的兩個內(nèi)角，則()

A.sin2|3/,(sina)>sin2q/(sin0)

B.cos2|3f(sina)>sin2^(cos0)

C.cos?9(cosa)>cos2a/'(cosp)

D.sin?叩(cosa)>sin2a/'(cos0)

二、選擇題(共4小題).

9.對任意A,BCR,記xiAHB],并稱A十B為集合A,B的對稱差.例

如，若4={1,2,3},B={2,3,4),則A十2={1,4},下列命題中，為真命題的是

()

A.若A,8UR且A十8=8,則A=0

B.若A,BUR且4十8=0,則A=B

C.若A,8UR且A十8UA,貝!)418

D.存在A,B￡R,使得A十3=CRA十CRB

10.已知拋物線爐=2*(p>0)上三點(diǎn)A(xi,yi),8(1,2),C(x2,y2),尸為拋物

線的焦點(diǎn)，則()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.FA+FB+FC=0-則1而1，|FBI，|而I成等差數(shù)列

C.若A,F,C三點(diǎn)共線，貝打1》2=-1

D.若14cl=6,則AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2

sinJix

11.設(shè)函數(shù)f(x)=一^-----,則()

X-x+1

4

A.f（x）的最大值為年

o

B.，（x）|W5|x|

C.曲線＞=/（無）存在對稱軸

D.曲線y=/（x）存在對稱中心

12.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易

傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華

傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生

過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,

40,50,…….記大衍數(shù)列為｛斯｝,其前〃項和為S”,nGN*,則（）

e

太極

用M

*.N少總+R走楫

TTTTITTV

A.420=220

111,,1505

B----p----F--+…H-------------

a3a5a7@20211011

C.523=2156

D.。2+〃4+〃6+—，+448=9800

三、填空題（共4小題）.

13.若一個圓錐的軸截面是面積為第的等邊三角形，則該圓錐的表面積為.

14.函數(shù)/（x）滿足以下條件：

①/（無）的定義域是R,且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

@f（x）是偶函數(shù)；

@f（%）在（0,+°°）不是單調(diào)函數(shù)；

@f（無）恰有2個零點(diǎn).

請寫出函數(shù)/（尤）的一個解析式.

15.2020年12月31日，國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布，國藥集團(tuán)中國生物的新冠病毒滅活疫

苗已獲國家藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市.在新冠病毒疫苗研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小

鼠進(jìn)行動物實驗.現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對某種新冠病毒疫苗進(jìn)行實驗，得到

如下2X2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染總計

注射疫苗1050

未注射疫苗30

總計a100

表中a的值為；計算可知，在犯錯誤的概率最多不超過的前提下，可認(rèn)

為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防新冠病毒感染的效果”.

心_______n(ad-bc)2

參考公式:幾=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2^0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

16.已知E,尸2分別為雙曲線E：4-號l（a〉O,b>0）的兩個焦點(diǎn)，E上的點(diǎn)P到

原點(diǎn)的距離為b,且sin/PF2尸i=3sin/PBF2,則雙曲線E的漸近線方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB,AC互相垂直，則AF+AC2nBC2.”

拓展到空間，類比平面幾何中的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,

可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐P-A8C中的三個側(cè)面PAB,PBC,尸AC兩兩相互

垂直，則—.”

請將上述結(jié)論補(bǔ)充完整，并給出證明.

18.在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70,100）.已

知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名.

（I）試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

（II）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可

共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①（xo）—P（尤<無0）

X00123456789

1.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9316

1.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

19.如圖，在正四棱柱中，AB=1,AAi=2,點(diǎn)E為CCi中點(diǎn)，點(diǎn)F為

BD\中點(diǎn).

（1）求異面直線BDi與CCi的距離；

（2）求直線BA與平面ME所成角的正弦值;

（3）求點(diǎn)尸到平面8DE的距離.

20.地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是一個橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點(diǎn)，每單位時間地球公

轉(zhuǎn)掃過橢圓內(nèi)區(qū)域的面積相同.我國古代勞動人民根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗總結(jié)創(chuàng)立了二十

四節(jié)氣，將一年（地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)一周）劃分為24個節(jié)氣，規(guī)則是：任意2個相鄰節(jié)

氣地球與太陽的連線成15°.地球在小寒前約三四天到達(dá)近日點(diǎn)，在小暑前約三四天到

達(dá)遠(yuǎn)日點(diǎn).

（1）從冬至到小寒與從夏至到小暑，哪一段時間更長？并說明理由.

（2）以立春為始，排在偶數(shù)位的12個節(jié)氣又稱為中氣，農(nóng)歷規(guī)定沒有中氣的那個月為

閏月.經(jīng)統(tǒng)計，1931年至2050年間，閏月最多的3個月份是：閏4月7次，閏5月9

次，閏6月8次；閏月最少的3個月份是：閏11月1次，閏12月0次，閏1月0次.為

什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？請說明理由.

21.設(shè)數(shù)列｛斯｝,｛仇｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列,數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=a〃+瓦，"6N*.

（1）若斯=2",為=3",是否存在常數(shù)也使得數(shù)列｛C“+1-日”為等比數(shù)列？若存在，求

上的值；若不存在，說明理由；

(2)證明：｛Cn｝不是等比數(shù)列.

22.已知函數(shù)/(x)=ax-elogaX-e,其中a>l.

(1)討論/(x)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

(2)當(dāng)eWa〈e2時，證明：f(x)20.

參考答案

一、選擇題（共8小題）.

1.采用斜二測畫法作一個五邊形的直觀圖，則其直觀圖的面積是原來五邊形面積的（)

A.a倍B.1倍C.亨倍D.呼■倍

解：水平放置的平面圖形的面積與斜二測畫法所得直觀圖的面積之比是2、歷，

所以用斜二測畫法作一個五邊形的直觀圖，其直觀圖的面積是原來五邊形面積的1]

倍，

即g倍.

4

故選：D.

2.滿足條件|z-1|=|3+4，|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

解：z=x+yi,由|z-1|=|3+4力,

可得I（x-1）+yi|=|3+4i|,即J）2+y2=V32+42'

兩邊同平方可得（x-1）2+y占25,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以（1,0）為圓心，5為半徑的圓.

故選：B.

3.在二項式（1+x）1。的展開式中任取一項，則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是（）

2口4「5「6

AA.—B.----C.----D.----

5111111

【分析】本題是一個等可能事件的概率，在二項式（X+1）1°的展開式中任取一項有11

種結(jié)果，1和X系數(shù)都為1,只考慮二項式系數(shù)即可，寫出二項式系數(shù)為1,10,45,120,

210,252,210,120,45,10,1得到奇數(shù)4個，得到概率.

解：有題意知本題是一個等可能事件的概率，

在二項式（x+1）1。的展開式中任取一項有11種結(jié)果，

1和尤系數(shù)都為1,我們只考慮二項式系數(shù)即可.

二項式系數(shù)為1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1得到奇數(shù)4個，

...任取一項，該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率〃=宣

故選：B.

4.化學(xué)平衡是指在一定條件下，可逆反應(yīng)的正反應(yīng)速率和逆反應(yīng)速率相等時，體系所處的

狀態(tài).根據(jù)計算系統(tǒng)的吉布斯自由能變化（AG）的熱力學(xué)公式Gibbs-Helmholtz方程和

Van'tHoff方程,可以得到溫度（T）與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)（K）的關(guān)系式：

△H-TAS=AG=-RTlnK

式中△以為焰變（在一定溫度變化范圍內(nèi)視為定值），為崎變，R為氣體常數(shù).利用

上述公式，我們可以處理不同溫度下，有關(guān)多重可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)之間關(guān)系的計算.已

知當(dāng)溫度為Ti時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為K；當(dāng)溫度為公時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為

△H（Ti-T。△H（T2-TI）

A--------------------B--------------------

'RT—2'RT/2

△sd,-Tn）AS（T?-TJ

RR

解：溫度（T）與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)（K）的關(guān)系式：AH-TAS=AG=-RTlnK,

'T^S-AH

，lnK1=

AH-T1AS=-RT1lnK1—布

由題意可得△『△-啊皿’則有T2AS-AH-

K,TiAS-AHT9AS-AHAHCTI-TJ

則有l(wèi)nK7=lnKl-lnK2=Rf；RT^=~RTJ2-

故選：A.

5.已知W，E是非零向量且滿足（之-2臺±7-<b-2a）則之與式的夾角是（）

兀兀「空5兀

ABD.

T--336

解：:（a-2b）-L（b-2a）

（a-2b），a=a-2a*b=0,

（b-2a）*b=b2-2a,b=0>a2=b2=2a?b，設(shè)Z與式的夾角為6-

a?ba，ba?b_1

則由兩個向量的夾角公式得cose-*2_,?n

IaI-IbIa2a*b2

.?.0=60°，

故選:B.

6.在2022年北京冬奧會籌辦工作匯報會上指出，建設(shè)體育強(qiáng)國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化

國家的一個重要目標(biāo).某學(xué)校為貫徹落實教育部新時代體育教育精神，面向全體學(xué)生開

設(shè)了體育校本課程.該校學(xué)生小烷選完課程后，其他三位同學(xué)根據(jù)小烷的興趣愛好對他

選擇的課程進(jìn)行猜測.

甲說：“小烷選的不是足球，選的是籃球.”

乙說：“小烷選的不是籃球，選的是羽毛球.”

丙說：“小烷選的不是籃球，也不是乒乓球.”

已知三人中有一個人說的全對，有一個人說的對了一半，剩下的一個人說的全不對，由

此推斷小烷選擇的課程（）

A.可能是乒乓球B.可能是足球

C.可能是羽毛球D.一定是籃球

【分析】依次假定小烷的選擇，逐一驗證得到答案.

解：若小烷選的是乒乓球，則甲對一半，乙對一半，丙對一半，不符合題意；

若小烷選的是足球，則甲全不對，乙對一半，丙全對，符合題意；

若小烷選的是羽毛球，則甲對一半，乙全對，丙全對，不符合題意；

若小烷選的是籃球，則甲全對，乙全不對，丙對一半，符合題意，

故小烷選擇的課程可能是足球和籃球，

故選：B.

7.已知平面a與0所成的二面角為80°,P為a、0外一定點(diǎn)，過點(diǎn)尸的一條直線與a、0

所成的角都是30°,則這樣的直線有且僅有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【分析】過尸作平面A垂直于a、0的交線/,并且交/于點(diǎn)0,連接尸。，則P。垂直于

I,過點(diǎn)尸在A內(nèi)做。尸的垂線，，以尸。為軸在垂直于尸。的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動L',根據(jù)三垂

線定理可得有兩條直線滿足題意.以尸點(diǎn)為軸在平面A內(nèi)前后轉(zhuǎn)動根據(jù)三垂線定理

可得也有兩條直線滿足題意.

解：首先給出下面兩個結(jié)論

①兩條平行線與同一個平面所成的角相等.

②與二面角的兩個面成等角的直線在二面角的平分面上.

(1)如圖1,過二面角a--0內(nèi)任一點(diǎn)作棱/的垂面AOS交棱于點(diǎn)。，與兩半平面

于。4,0B,則NAOB為二面角a-/-0的平面角，ZAOB=80°

設(shè)。Pi為/AO8的平分線，則NPiOA=NPO8=40°,與平面a,0所成的角都是30°,

此時過P且與OPi平行的直線符合要求，當(dāng)OP以。為軸心，在二面角a-/-p的平分

面上轉(zhuǎn)動時，OPi與兩平面夾角變小，會對稱的出現(xiàn)兩條符合要求成30°情形.

(2)如圖2,設(shè)。P2為/A08的補(bǔ)角/AO夕的平分線，則/己。4=/尸2。3=50°,

與平面a,0所成的角都是50°.當(dāng)。尸2以。為軸心，在二面角a-/-0'的平分面上

轉(zhuǎn)動時，

0P2與兩平面夾角變小，對稱地在圖中OP2兩側(cè)會出現(xiàn)30°情形，有兩條.此時過P且

與。尸2平行的直線符合要求，有兩條.

綜上所述，直線的條數(shù)共有4條.

8.已知函數(shù)/(無)在(0,1)上恒有對7(x)>2f(x),其中/(%)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)

數(shù)，若a,0為一個銳角三角形的兩個內(nèi)角，則()

A.sin?k(sina)>sin2a/'(sinp)

B.cos2P/(sina)>sin2a/'(cos0)

C.cos2Pf(cosa)>cos2af(cos0)

D.sin2[3/*(cosa)>sin2a/?(cos0)

f()

【分析】根據(jù)題意，設(shè)g(X)=「x一，求出其導(dǎo)數(shù)，分析可得函數(shù)g(X)在(0,1)

X

上為增函數(shù)，分析a、P的關(guān)系可得sina>cos[3以及cosaVsinB，結(jié)合g(x)的單調(diào)性

分析可得答案.

f(x)

解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=「一，

X

甘且?r，r、f'(x)-x2-(x2)yf(x)Xf'(x)-2f(x)

其導(dǎo)數(shù)(x)--------------7------------=3，

XX

又由在區(qū)間(0,1)上恒有城(x)>2f(x),

即城(x)-2f(x)>0,則有g(shù)'(無)>0,

則函數(shù)g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，

又由a,0為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則a+0>；,變形可得

7T兀

則有sina>sin-0)=cos0以及cosaVcos(”--B)=sin0,

若sina>cos0,則有g(shù)(sina)>g(cosp),

f(sinCL)f(cosP)*,.

即；~2>2"D-'變形可得cos?9(sina)>sin2a/,(cosp),8正確,

sinacosP

若cosaVsin0,則有g(shù)(cosa)Vg(sin0),

f(cosQ.)f(sinB)

即2V；~-'變形可得sir?曠(cosa)<sin2a/,(cosp),￡>錯誤,

cosasinp

無法判斷A、C是否正確，

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

9.對任意A,BCR,記A十3={X|XEAU3,xgAHB),并稱A十3為集合A,5的對稱差.例

如，若4={1,2,3},B={2,3,4},則4},下列命題中，為真命題的是

()

A.若A,8UR且A十3=3,則A=0

B.若A,BUR且A十8=0,則A=3

C.若A,BUR且A十8UA,貝(

D.存在A,BCR,使得A十5=CRA十CR5

【分析】理解集合的新定義，然后結(jié)合韋恩圖逐一判斷A、B、C選項；對于。選項，舉

出特例，例如R={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4),然后分別算出A十8

和CRA十CRB,即可得解.

解：對于A選項，因為A十8=8,所以8={x|xeAUB,xCAHB},所以AuB,且8中的

元素不能出現(xiàn)在ACB中，因此A=0,即選項A正確；

對于3選項，因為A十2=0,所以0={x|xeAU8,x^AdB],即AUB與是相同的，

所以A=B,即選項B正確；

對于C選項，因為A十8UA,所以{x|xeAUB,x^A^B]^A,所以814,即選項C錯誤；

對于。選項，設(shè)尺={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4},則4研8={1,

4},CRA={4,5,6},CRB={1,5,6),

所以CR4十CR8={1,4},因此A十8=CRA十CR3即。正確.

故選：ABD.

10.已知拋物線儼=2px(p>0)上三點(diǎn)ACxi,yi),8(1,2),C(檢，”)，尸為拋物

線的焦點(diǎn)，則()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.FA+FB+FC=0-則lEl，|FBI，|前I成等差數(shù)列

C.若A,F,C三點(diǎn)共線，貝仃1》2=-1

D.若|AC|=6,則AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2

【分析】將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出p的值，從而得拋物線的方程為爐=4尤.

A,由拋物線準(zhǔn)線的定義即可判斷；

B,由題可知，尸為△ABC的重心，由重心坐標(biāo)公式可得的+尤2=2,再結(jié)合拋物線的定義，

分別求出|FB|W|FA1+lFCb觀察結(jié)果即可判斷；

C,設(shè)直線AC的方程為x="+l,將其與拋物線的方程聯(lián)立，消去x,再結(jié)合韋達(dá)定理即

可得解；

D,\AF]+\CF\^\AC\^6,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、尸三點(diǎn)共線時，等號成立，由拋物線的定義可

知，\AF\+\CF\—XI+X2+2^6,即無I+尤224,再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得解.

解：把B(1,2)代入拋物線儼=2"得，4=2p,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=

4x.

選項A,準(zhǔn)線方程為x=^=-l，即A正確；

X1+X9+1

—=1

選項B,因為前+而+標(biāo)=3，所以F為△ABC的重心，所以，,解得

Yi+y+2

X[+X2=2

丫1+丫2=-2‘

由拋物線的定義可知，|荏|+|而|=X]+xz+p=2+2=4,IFB|=1+^-=1+1=2,

所以2|而|=|而|+|箴|，即8正確；

x=ty+l

選項C,因為A,F,C三點(diǎn)共線，所以可設(shè)直線AC的方程為無=。+1,聯(lián)立《,

Ly=4x

得y2-4/y-4=0,

所以yU2=-4,即C錯誤；

選項。，由題可知，\AF]+\CF]^\AC\=6,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、尸三點(diǎn)共線時，等號成立,

由拋物線的定義可知，|AF|+|CF|=xi+X2+p=xi+X2+2,所以尤1+及+226,即陽+垃24,

所以AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為^^號=2，即。正確.

故選：ABD.

sj'Jix

11.設(shè)函數(shù)f(x)=‘-------,則()

X-x+1

4

A.f(x)的最大值為￡

o

B.\f(x)|<5|R

C.曲線y=f(x)存在對稱軸

D.曲線y=/(x)存在對稱中心

【分析】利用當(dāng)■時，函數(shù)表達(dá)式的分子取得最大值的同時分母取得最小值，即可判

斷選項A,構(gòu)造|號-|，判斷I號-|與5的大小即可判斷選項B,利用分子和分母

對應(yīng)的函數(shù)都關(guān)于x=^?對稱，即可判斷選項C,假設(shè)/(x)存在對稱中心，則判斷了(x)

是否是周期函數(shù)，即可判斷選項D

解：對于A,因為當(dāng)x=，?時，函數(shù)y=simtx取得最大值1,同時函數(shù)y=

x2-x+l=(xT)2+?取得最小值條所以/(X)的最大值為母，故選項A正確；

f(x)?l=i|-sin冗x幾_isin^x?兀A

對于3,考慮-7-^rFT旨下=1邛孑＜4八v,

故，（x）151，故選項8正確;

對于C,函數(shù)y=sirmx的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)y=x2-x+Y（x［）?的圖象

-224

也關(guān)于X=，■對稱，所以曲線y=/（尤）存在對稱軸x=/,故選項C正確；

對于。，若/（尤）存在對稱中心，則結(jié)合C可知，/（%）為周期函數(shù)，而原函數(shù)了（無）

的分母在■時遞增至+8,而分子是有界的，故不是周期函數(shù)，所以/（x）不存在對

稱中心，故選項D錯誤.

故選：ABC.

12.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易

傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華

傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生

過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為。，2,4,8,12,18,24,32,

40,50,…….記大衍數(shù)列為｛斯｝,其前〃項和為S”"6N*,則（）

A.420=220

B--1--F-1---F-1--,+、-,-H---1------5-0-5--

a3a5a7@20211011

C.&3=2156

D.42+。4+〃6+—+448=9800

【分析】根據(jù)數(shù)列中的項，分n為奇數(shù)和偶數(shù)，歸納出數(shù)列｛板｝的通項公式，將〃=20

代入通項公式即可判斷選項4利用裂項相消法求和即可判斷選項B,利用分組求和即可

判斷選項C,利用偶數(shù)項的通項公式進(jìn)行求和即可判斷選項D

解：數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項為0,4,12,24,40,

即lizl,32-l52-l72Ig2-i

-

2222"I

2_1

所以a=二3（"為正奇數(shù)），

n2

,2426282102

數(shù)列｛3｝的偶數(shù)項為2,8,18,32,50,…，即上一,---，---，---，----

22222

2

所以a=—"為正偶數(shù)），

n2

2

n-l1

n為正奇數(shù)

2

故a”

2

n

n為正偶數(shù)

I2

2

對于A,20—二200，故選項A錯誤;

a20=-2

21

對于B因為當(dāng)〃為正奇數(shù)時,n-l

an"-2-

所以4=—2211

ann2_](n+1)(n-l)n-ln+1)

:1

所以—+'…+

7a2021

11

+???+()

20202022

11505

,故選項8正確;

220221011

121n2Q2H232

對于C，S23=(-^^)干+(~3-節(jié))+…+(?

2

loo9

=y(l+2+-+23)-12Xy

23X24X47

x-6=2156-故選項C正確;

i6

對于〃2+〃4+〃6+…+。48

22424821

X(22+42+---+482)

222

48X25X49

=9800，故選項。正確.

7X3

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若一個圓錐的軸截面是面積為以他的等邊三角形，則該圓錐的表面積為127r.

【分析】設(shè)等邊三角形的邊長為m根據(jù)三角形的面積求出。的值，再計算該圓錐的表面

積.

解：設(shè)等邊三角形的邊長為a,

則等邊三角形的面積為之Xa2xsin60。=華七2=4近，解得。=4,

所以該圓錐的底面圓半徑為r=2,母線長為/=4,

所以圓錐的表面積為S—S底面+S惻=n?產(chǎn)+Ti〃=n><22+7tX2X4=12n.

故答案為：12m

14.函數(shù)/(x)滿足以下條件：

①/'(無)的定義域是R,且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

@f(x)是偶函數(shù)；

③/(尤)在(0,+8)不是單調(diào)函數(shù)；

◎(x)恰有2個零點(diǎn).

請寫出函數(shù)/G)的一個解析式f(x)=N-2國-3(答案不唯一).

【分析】根據(jù)題意，分析可得則/(x)可以由二次函數(shù)變換得到，由此可得答案.

解：根據(jù)題意，要求函數(shù)/(x)滿足4個條件，

則/(無)可以由二次函數(shù)變換得到，比如/(x)=N-2|X|-3,

故答案為：/(x)=N-2|x|-3(答案不唯一)

15.2020年12月31日，國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布，國藥集團(tuán)中國生物的新冠病毒滅活疫

苗已獲國家藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市.在新冠病毒疫苗研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小

鼠進(jìn)行動物實驗.現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對某種新冠病毒疫苗進(jìn)行實驗，得到

如下2X2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染總計

注射疫苗1050

未注射疫苗30

總計a100

表中。的值為30；計算可知，在犯錯誤的概率最多不超過的前提下，可認(rèn)為

“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防新冠病毒感染的效果”.

參考公式：蜉=「zn=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(爛2依)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【分析】根據(jù)題意補(bǔ)充列聯(lián)表，求出表中。的值，計算蜉，對照附表得出結(jié)論.

解：根據(jù)題意，補(bǔ)充2X2列聯(lián)表如下：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染總計

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

總計3070100

所以表中a的值為10+20=30；

計算號二迎X&0X哲理X皿=罌乂762>3.841,

50X50X30X7021

所以在犯錯誤的概率最多不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗

能起到預(yù)防新冠病毒感染的效果”.

故答案為：30,0.05.

22

16.已知￡分別為雙曲線E：々-牙l(a〉0,b>0)的兩個焦點(diǎn)，E上的點(diǎn)P到

原點(diǎn)的距離為b,且sinZPF2Fi=3sinZPFiF2,則雙曲線E的漸近線方程為y=±

叵

2-,

【分析】通過sin/PBB=3sin/PAF2,得至?。輡尸人|=3|陛2|,結(jié)合雙曲線的定義求出1PBi

=3a,|PFz|=a,利用|OP|=6,設(shè)P(加，n),求出尸的坐標(biāo)，把尸點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲

線方程轉(zhuǎn)化求解漸近線方程.

22

VFi,仍分別為雙曲線七-勺l(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn)，

不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,-c)、B(0,c),

sinZPF2Fi=3sinZPFiF2,所以|PB|=3|PB|,\PFi\-\PF2\=2a,

|PFi|=3a,\PF^a,雙曲線上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離為6,所以|。尸|=6,

'.\OFT\=C,c2—a2+b2,

：.ZOPF2=90°,

過尸作/WLOF2,垂足為H,

,22,22

：.\PH\=^-,|O//|=Jb-^-=--

cVc2c

_1.i2

設(shè)尸(m,〃),.\\m\=---,n----,

cc

,42,2,4_4,2_2

把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得:=1,

cacbcaa

即b=\[2a,

.?.該雙曲線的漸近線方程y=土烏.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)AABC的兩邊A8,AC互相垂直，則入所+人^二^。.”

拓展到空間，類比平面幾何中的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，

可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐P-ABC中的三個側(cè)面PAB,PBC,PAC兩兩相互

垂直，則—.”

請將上述結(jié)論補(bǔ)充完整，并給出證明.

【分析】斜邊的平方等于兩個直角邊的平方和，可類比到空間就是斜面面積的平方等于

三個直角面的面積的平方和，邊對應(yīng)著面.

解：線的關(guān)系類比到面的關(guān)系，猜測：SABCD2=SAABC2+>S'AACD2+SAAD52.

證明如下：

如圖作AE1.CD連BE,則BE±CD.

A

E

C

SABCD2=—CD2?=-CD-(.AB-+AE2)

44

=—(AC2+AD2)(A￥+A￥)

4

=—(AC^AB^+AD2AB^ACAe+AIyAE2)

4

=—(AC^AB^+AD^AB^+CD^AE2)

4

=SAABC2+SAACD2+5AADB2,

故答案為：SABCD2—SAABC2+SAACD2+SAADB2.

18.在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N(70,100).已

知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12名.

(I)試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(II)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可

共查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中(xo)=P(x<xo)

xo0123456789

1.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9316

1.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

【分析】(/)設(shè)出參賽人數(shù)的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)成績在90分以上(含

90分)的學(xué)生有12名，列出大于90分的學(xué)生的概率，成績在90分以上(含90分)的

學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%,列出比例式，得到參賽的總?cè)藬?shù).

(〃)設(shè)出設(shè)獎的分?jǐn)?shù)，根據(jù)獲獎的人數(shù)和總體的人數(shù)得到獲獎的概率，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

表中查出0.9049對應(yīng)的x