2020-2021學(xué)年山東省濟寧市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）（解析版）

2020-2021學(xué)年山東省濟寧市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=iM為虛數(shù)單位），則z（z+l）=（）

A.-l+iB.1+;C.1-zD.-1-z

2.已知等腰梯形ABC。,現(xiàn)繞著它的較長底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體為（）

A.一個圓臺、兩個圓錐B.一個圓柱、兩個圓錐

C.兩個圓臺、一個圓柱D.兩個圓柱、一個圓臺

3.如圖，已知靛=2而，用示，無表示而，則而等于（）

P

A.B.-1-OA-^OBC.OA-^OBD.-yOA-yOB

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534

石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

5.已知a,B是兩個不同的平面，I,m,"是三條不同的直線，下列條件中，可以得到小a

的是（）

A.Z_Lm,l_Ln,mca,幾uaB.Z±m(xù),m//a

C.a±p,/〃0D.l//m,m.La

6.一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為等，弧長為211的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.2（兀,B.2&兀C.近;-D.我冗

7.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成

兩個質(zhì)數(shù)（素數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴

赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都做出了相當(dāng)

好的成績.若將18拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為

（）

8.購買商品房時，住戶對商品房的戶型結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取

〃名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查，如圖1調(diào)查的所有市民中四居室

共200戶，所占比例為《，二居室住戶占如圖2是用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查

36

的市民中，抽取10%組成一個樣本，根據(jù)其滿意度調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說

法正確的是（）

B.樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C.樣本中對三居室滿意的有15戶

D.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有70戶

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,…，Xn,由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)yi,>2,…，yn,其中y

=尤什/?（其中力=1,2,，f為非零常數(shù)），則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為工i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（）

A.z+zER

B.zG是純虛數(shù)

JTQJT

C.z=cos-^+isin>則團=1

bcb

D.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2

11.從甲袋中摸出一個紅球的概率是《，從乙袋中摸出一個紅球的概率是《，從兩袋各摸出

32

一個球，下列結(jié)論正確的是（)

A.2個球都是紅球的概率為！

6

B.2個球不都是紅球的概率為自

C.至少有1個紅球的概率為暫

D.2個球中恰有1個紅球的概率為￡

12.如圖，在正方體ABC。-481CLDI中，E是棱4S的中點，尸是線段4c（不含端點）

上的一個動點，那么在點尸的運動過程中，下列說法中正確的有（）

A.存在某一位置，使得直線PE和直線相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C.點4與點S到平面P8E的距離總相等

D.三棱錐Ci-P8E的體積不變

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，濟南市各學(xué)校堅持落實“雙測溫兩報告”制度，以

下是某宿舍6名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（單位：℃）,

則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

14.已知向量1=（1,2），寫出一個與向量7方向相反的向量：=.（用數(shù)字

作答）

15.某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分

配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人參與搶紅包，每人

只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為.

16.農(nóng)歷五月初五是中國的傳統(tǒng)節(jié)日--端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽?！?，

故稱“角黍”.同學(xué)們在勞動課上模擬制作“粽子”，如圖（1）的平行四邊形形狀的紙

片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖（2）的粽子

形狀的六面體，則該六面體的體積為；若該六面體內(nèi)有一球，則

該球的體積的最大值為

ft](1)圖⑵

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.“自媒體”是指普通大眾通過網(wǎng)絡(luò)等途徑向外發(fā)布他們本身的事實和新聞的傳播方式.某

“自媒體”作者2020年度在“自媒體”平臺A上發(fā)布了200條事實和新聞，現(xiàn)對其點擊

量進行統(tǒng)計，如表格所示：

點擊量(萬次)[0,1](1,50](50,100](100,200]

條數(shù)201006020

(I)現(xiàn)從這200條事實和新聞中采用分層抽樣的方式選出10條，求點擊量超過50萬

次的條數(shù)；

(II)為了鼓勵作者，平臺A在2021年針對每條事實和新聞推出如下獎勵措施：

點擊量(萬次)[0,1](1,50](50,100](100,200]

獎金(元)02005001000

若該作者在2021年5月份發(fā)布了20條事實和新聞，請估計其可以獲得的獎金數(shù).

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=4,c=J§，2=30°.

(1)求sinC的值；

(2)麗=入標(biāo)且NAOC=120°，求正實數(shù)人的值?

19.如圖，在三棱柱4B1C1中，F(xiàn)為AC中點.

(1)求證：AS〃平面8PG.

(2)若此三棱柱為正三棱柱，且AiA=&A[C[,求/EBG的大小;

20.某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機訪問50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)

生對個性化作業(yè)的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間［40,

50),［50,60),…，［80,90),［90,100］,

(I)求頻率分布直方圖中a的值；

(II)估計該中學(xué)學(xué)生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率；

(III)從評分在［40,60)的受訪學(xué)生中，隨機抽取2人，求此2人評分都在［50,60)的

概率.

21.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為正方形，PAL底面ABC。，PA=AB=4,

E為PB的中點，尸為線段8c上的點，且8尸=‘8C.

(1)求證：平面AE/LL平面P8C；

(2)求點尸到平面PC。的距離.

22.某中學(xué)在2020年高考分數(shù)公布后對高三年級各班的成績進行分析.經(jīng)統(tǒng)計，某班有50

名同學(xué)，總分都在區(qū)間［600,700］內(nèi)，將得分區(qū)間平均分成5組，統(tǒng)計頻數(shù)、頻率后，得

到了如圖所示的“頻率分布”折線圖.

(1)請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該班級

的平均分；

(2)經(jīng)過相關(guān)部門的計算，本次高考總分大于等于680的同學(xué)可以獲得高校T的“強基

計劃”入圍資格.高校T的“強基計劃”?？挤譃閮奢?第一輪為筆試，所有入圍同學(xué)

都要參加，考試科目為數(shù)學(xué)和物理，每科的筆試成績從高到低依次有A+，A,B,C四個

等級，兩科中至少有一科得到A+,且兩科均不低于8,才能進入第二輪，第二輪得到“通

過”的同學(xué)將被高校T提前錄取.

已知入圍的同學(xué)參加第一輪筆試時，總分高于690分的同學(xué)在每科筆試中取得A+,A,B,

C的概率分別為三，士，士；總分不超過690分的同學(xué)在每科筆試中取得A+,A,

361212

B,C的概率分別為工，4-3；進入第二輪的同學(xué)，若兩科筆試成績均為A+,則

免面試，并被高校T提前錄??；若兩科筆試成績只有一個A+,則要參加面試，總分高于

690分的同學(xué)面試“通過”的概率為"I，總分不超過690分的同學(xué)面試“通過”的概率為

■I，面試“通過”的同學(xué)也將被高校T提前錄取.

5

若該班級考分前10名都已經(jīng)報考了高校T的“強基計劃”,且恰有2人成績高于690分.求

①總分高于60分的某位同學(xué)沒有進入第二輪的概率尸1；

②該班恰有兩名同學(xué)通過“強基計劃”被高校T提前錄取的概率尸2.

參考答案

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=，0為虛數(shù)單位），貝UzG+i）=（）

A.-1+iB.1+zC.1-zD.-1-z

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，即可求

解.

解：'.'z=i,

,,z=-i,

z（z+l）=，（-i+1）=l+「

故選：B.

2.已知等腰梯形ABCZ）,現(xiàn)繞著它的較長底。所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得的幾何體為（）

A.一個圓臺、兩個圓錐B,一個圓柱、兩個圓錐

C,兩個圓臺、一個圓柱D.兩個圓柱、一個圓臺

【分析】先考慮兩個全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成

的幾何體，再考慮一個矩形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，即可得到答

案.

解：等腰梯形的底8較長，繞其所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，

相當(dāng)于兩個全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成兩個圓

錐，

還有一個矩形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓柱，

所以所得的幾何體為一個圓柱、兩個圓錐.

故選：B.

3.如圖，已知屈=2而，用示，無表示而，則而等于（）

P

A

O

A.-^-OA^OBB.-yOA+yOBC.-^-QA+^OBD.-^-QA^'OB

【分析】利用向量的加法法則和平面向量基本定理可以求解.

解：：屈=2而，

.,...1.—?1/..、3.1.

?-0P=OB+BP=OB+yAB=OB+y（OB-0A）=yOB-yOA-

故選：C.

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534

石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論.

解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1534義居仁169石，

254

故選：B.

5.已知a,0是兩個不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線，下列條件中，可以得到/J_a

的是（）

A.ZXm,l_Lnfmca,〃uaB.l_Lmfm//a

C.a±p,/〃0D.l//m,m_La

【分析】對于A,/與a相交、平行或/ua；對于氏/與a相交、平行或/ua；對于C,I

與a相交、平行或/ua；對于。，由線面垂直的判定定理得La.

解：由a,B是兩個不同的平面，/,m,〃是三條不同的直線，知：

對于A,l_Ln,mca,幾ua,貝!J/與a相交、平行或/ua,故A錯誤；

對于機，m//a,貝!!/與a相交、平行或/ua,故5錯誤；

對于Ca_L0,/〃0,則/與a相交、平行或/ua,故C錯誤；

對于O,l//m,m±a,則由線面垂直的判定定理得/_La,故。正確.

故選：D.

6.一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為號，弧長為2Tt的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.2料兀B.2&兀C.爽_nD.&冗

33

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為廣，由弧長公式求出/,利用弧長等于底面圓的

周長，求出r,由勾股定理求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求解即可.

解：設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為廠，

由弧長公式可得2兀得二?1，解得/=3,

又2nr=2ir,解得r=1,

所以圓錐的高h=Vl2-r2=2近，

則該圓錐的體積為丫（xnx12x2歷/*兀.

故選：A.

7.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成

兩個質(zhì)數(shù)（素數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴

赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都做出了相當(dāng)

好的成績.若將18拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為

（）

A.—B.—C.—D.—

172917

【分析】將18拆成兩個正整數(shù)的和，所有的和式共有17個，利用列舉法求出其中，事

件“所拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)”所包含的基本事件有4個，由此能求出拆成的

和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率.

解：將18拆成兩個正整數(shù)的和，所有的和式共有17個，

其中，事件“所拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)”所包含的基本事件有：

5+13、7+11、13+5、11+7,共4個，

因此所求概率為P哈.

故選：D.

8.購買商品房時，住戶對商品房的戶型結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取

w名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查，如圖1調(diào)查的所有市民中四居室

共200戶，所占比例為《，二居室住戶占如圖2是用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查

的市民中，抽取10%組成一個樣本，根據(jù)其滿意度調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說

法正確的是（）

B.樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C.樣本中對三居室滿意的有15戶

D.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有70戶

【分析】利用扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的性質(zhì)，分別判斷各選項即可.

解：對于4???圖1調(diào)查的所有市民中四居室共200戶，

所占比例為4，?..市民共有600戶，

..?用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查的市民中，抽取10%組成一個樣本，

樣本容量為〃=600X10%=60,故A錯誤；

對于8,樣本中三居室住戶共抽取了：600X(1-4-4)義10%=30戶，故B錯誤；

36

對于C,樣本中對三居室滿意的有：600X(1----)X10%X50%=15戶，故C正

36

確；

對于。，根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有：200X20%=40戶，故。錯誤.

故選：C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,尤2,…，X”,由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)力，”，…，其中9

=xM(其中i=l,2,…，%，為非零常數(shù))，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差的定義直接判斷即可.

解：樣本數(shù)據(jù)xi,X2,---,xn,新樣本數(shù)據(jù)yi,”，…，yn,其中yi=xi+f；

對于A,第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為彳，則第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7+f,平均數(shù)不同；

對于3,第一組數(shù)據(jù)的方差為s2,則第二組數(shù)據(jù)的方差也是s2,方差相同；

對于C,第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x,則第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x+f,中位數(shù)不同；

對于D,第一組數(shù)據(jù)的極差為X,mx-Xmin,第二組數(shù)據(jù)的樣本極差是（Xmax-。-（而加

-f）=Xmax~Xmin）極差相同.

故選：BD.

10.設(shè)復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)為工，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（）

A.z+zER

B.zG是純虛數(shù)

IT9TT

C.若z=cos-^+isin，匚，貝1J|z|=l

D.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)模公式和復(fù)數(shù)的幾何意義，即

可求解.

解：設(shè)z—a+bi,a,beR,

則z=。-bi，z+z=2aCR，故A選項正確，

當(dāng)z為實數(shù)，zG是實數(shù)，故B選項錯誤，

兀..3兀

右z=cosin-，

則|z|=Jcos2^~+si.n23}#1,故C選項錯誤,

V55

若|z-i|=l,設(shè)z=a+bi,a,ZJGR,

即。2+（b-1）2=1,則|z|表示圓上的點到原點的距離，其最大值為2,故。選項正確.

故選：AD.

11.從甲袋中摸出一個紅球的概率是《，從乙袋中摸出一個紅球的概率是《，從兩袋各摸出

32

一個球，下列結(jié)論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為!

B.2個球不都是紅球的概率為￡

C.至少有1個紅球的概率為日

D.2個球中恰有1個紅球的概率為J

【分析】設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件4,

則P（Ai）=2,P（A2）=《，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.

解：設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件A2,

則P（A1）=—,P（人2）=—,

32

對于A選項，2個球都是紅球為4欣2,其概率為二＞＜《=4，故A選項正確，

326

對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為1-4

6

=?,故B選項錯誤，

對于C選項，2個球至少有一個紅球的概率為1-P匹）P忘）=故C

選項正確，

對于。選項，2個球中恰有1個紅球的概率為故。選項正確.

32322

故選：ACD.

12.如圖，在正方體ABC。-AIBCLDI中，E是棱4小的中點，尸是線段4C（不含端點）

上的一個動點，那么在點尸的運動過程中，下列說法中正確的有（）

B

A.存在某一位置，使得直線尸E和直線8所相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C.點Ai與點Bi到平面PBE的距離總相等

D.三棱錐Ci-P2E的體積不變

【分析】選項A,可證尸￡與直線8無異面，從而可判定；選項8,連接即交4C于點

P,可證BC〃平面ADE,從而可判定選項&選項C,過點4與點21作平面P2E的垂

線，垂足分布為H,Hi,有△BiHE■絲△AiME,從而可得結(jié)論；選項D,Vf-PBE=Vp-C】EE，

SzkJBE為定值，結(jié)合AC〃平面所以「到平面CbBE的距離為定值，從而可得

結(jié)論.

解：選項A：P是線段4C（不含端點）上的一個動點，PEC平面A8Bi4=E,

而E釗Bi,由異面直線的判定定理可知PE與直線BBi異面，

所以不存在某一位置，使得直線PE和直線BBi相交，故選項A不正確；

選項&連接即交4c于點P,面APE即為面ADE,止匕時BC〃A。，

而平面AOE,A￡）c?ADE,所以8c〃平面AOE,即8C〃平面AEP,故選項8正

確；

選項C：如圖過點Ai與點Bi作平面PBE的垂線,垂足分布為H,Hi,有ABiHEgAAiHiE,

所以8H=4印，即點4與點Bi到平面尸8￡的距離總相等，故選項C正確；

選項D：因為Vc.-PBE=Vp-C.EE，Sac^BE為定值，連接BC交于點尸，連接EF,

^AiC//EF,AiCU平面CiBE,EFu平面C12E,

所以4c〃平面CiBE,所以P到平面CiBE的距離為定值，

所以三棱錐G-P2E的體積不變，故選項。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，濟南市各學(xué)校堅持落實“雙測溫兩報告”制度，以

下是某宿舍6名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（單位：℃）,

則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為366c.

【分析】先把6個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，再計算并確定該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù).

解：由題意知，6個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：

36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7；

且6X80%=4.8,

所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第5個數(shù)，為36.6(℃).

故答案為：36.6℃.

14.已知向量i=(1,2)＞寫出一個與向量：方向相反的向量1=(-2,-4).(用

數(shù)字作答)

【分析】直接利用相反向量的定義，求解即可.

解：當(dāng)向量7=(-2,-4)時，財^=-2]

與向量彳方向相反的向量7=(-2,-4),

故答案為：(-2,-4).

15.某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分

配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人參與搶紅包，每人

只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為4.

~2~

【分析】甲、乙兩人搶到的金額之和包含的基本事件有個數(shù)%=C：=6,利用列舉法求

出甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元包含的基本事件有3個，由此能求出甲、乙二

人搶到的金額之和不低于8元的概率.

解：某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共

4份，

甲、乙、丙、丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，

甲、乙兩人搶到的金額之和包含的基本事件有個數(shù)m=C：=6,

甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元包含的基本事件有：

(3.5,4.75),(3.5,5.37),(4.75,5.37)，共3個，

甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率P=-=^-.

62

故答案為：

16.農(nóng)歷五月初五是中國的傳統(tǒng)節(jié)日--端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽粒”，

故稱“角黍”.同學(xué)們在勞動課上模擬制作“粽子”，如圖(1)的平行四邊形形狀的紙

片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖(2)的粽子

形狀的六面體，則該六面體的體積為返；若該六面體內(nèi)有一球，則該球的體積的

—6―

最大值為一嚕

ft](1)圖(2)

【分析】該六面體由兩個棱長為1的正四面體組合而成，故體積為正四面體體積的兩倍；

由對稱軸性知球心為正四面體底面三角形的外心，半徑為外心到球面的距離.

作出圖象，結(jié)合平面幾何的知識求解.

解：由題意知，該六面體由兩個棱長為1的正四面體組合而成.

如圖，在正四面體P-A8C中，O是底面A8C的外心，則尸O,平面A8C,

所以P03三彳=口^^~

所以Vp-ABCV'?T'l'亨）'除‘0''故六面體的體積為平■?

當(dāng)球與六面體的各個側(cè)面相切時，體積最大.

由對稱軸性知球心為O,取中點。，連接PD過。點作OEJ_PD垂足為E,則。￡

為球的半徑.

因為PD坐，0D=嚕，所以O(shè)E氣詈普.

所以球的體積為9兀?（返）34^-冗.

39729

故答案為：返；蠣兀.

6729

p

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.“自媒體”是指普通大眾通過網(wǎng)絡(luò)等途徑向外發(fā)布他們本身的事實和新聞的傳播方式.某

“自媒體”作者2020年度在“自媒體”平臺A上發(fā)布了200條事實和新聞，現(xiàn)對其點擊

量進行統(tǒng)計，如表格所示：

點擊量（萬次）[0,1](1,50](50,100](100,200]

條數(shù)201006020

（I）現(xiàn)從這200條事實和新聞中采用分層抽樣的方式選出10條，求點擊量超過50萬

次的條數(shù)；

（II）為了鼓勵作者，平臺A在2021年針對每條事實和新聞推出如下獎勵措施：

點擊量（萬次）[0,1](1,50](50,100](100,200]

獎金（元）02005001000

若該作者在2021年5月份發(fā)布了20條事實和新聞，請估計其可以獲得的獎金數(shù).

【分析】（I）利用抽取的比例相同，列出比例關(guān)系，求解即可；

(II)分別計算出各獎金對應(yīng)的條數(shù)，然后由平均數(shù)計算公式求解即可.

解：(I)設(shè)被抽取的點擊量(萬次)在[0,1],(1,50],(50,100],(100,200]

的事實和新聞的條數(shù)分別為如n,p,q,

'201006020200

所以相=1,n—5,p—3,q—1,

則點擊量超過50萬次的條數(shù)為4條；

(II)由題意知，根據(jù)2020年度的頻率估計得出：

獎金(元)02005001000

條數(shù)(元)21062

貝U200X10+500X6+1000X2=7000,

所以估計該作者在2021年5月可以得到的獎金為7000元.

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知。=4,cfB，8=30°.

(1)求sinC的值；

(2)而=入標(biāo)且/4￡^=120。，求正實數(shù)人的值.

【分析】(1)由已知在△ABC中利用由余弦定理可求b的值，進而根據(jù)正弦定理即可

sinC的值.

(2)由題意可求為直角三角形，可求2。的值，進而即可求解入的值.

解：(1)：。=4,c=?,8=30°,

.,.在△ABC中，由余弦定理知，抉=°2+02-2℃COSB=16+3-2X4XX^^=7,

CSinB

由正弦定理知，sinC=

b14

(2)VZA￡)C=120°,

：.ZADB=60°,

又8=30°,

...△A3。為直角三角形，BD=-^-=2-

COSD

又癡=人皮，BC=4,

19.如圖，在三棱柱ABC-中，F(xiàn)為AC中點.

(1)求證：ABi〃平面BFCi.

（2）若此三棱柱為正三棱柱，且AiA=&A[C[,求/EBG的大小;

【分析】（1）取4cl中點E,連接BE,EF,AE,推導(dǎo)出四邊形EEBBi是平行四邊形,

進一步得到平面ABiE〃平面BFCi,再利用面面平行的性質(zhì)，證明ABi〃平面BFCi即可.

（2）設(shè)AiCi=?,則AAi=2,分別求出BEBCi,CiF,利用余弦定理能求出/EBG

的大小.

解：（1）證明：取4G中點E,連接3E,EF,AE,

:在三棱柱中，E,尸是中點，則EF2AAi2BB],

四邊形EFBBi是平行四邊形，/〃8F,

平面BFCi,BFu平面BFCi,

〃平面BFCi,

:E,尸是中點，ECi^AF,.?.四邊形APC1E是平行四邊形，.”石〃。/,

平面BPCi,CiBu平面8尸Ci,BFCi,

:BiEDAE=E,平面A8iE〃平面BFCi,

：A8iU平面ABiE,.?.481〃平面BFCi.

(2)設(shè)AiG=&,則44i=2,

在正△ABC中，BF

在RtZXBCG中，BC=a，CC1=2,

.,.BCj=7274=76)-1?C1F=^P4=1-V2-

BF^BC^-FC,2

cosZFBCi=------------i----------L_

2-BF-BCj2號正工

，ZFBCi的大小為?

20.某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機訪問50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)

生對個性化作業(yè)的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間［40,

50),［50,60),…，［80,90),［90,100］.

(I)求頻率分布直方圖中a的值；

(II)估計該中學(xué)學(xué)生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率；

(III)從評分在［40,60)的受訪學(xué)生中，隨機抽取2人，求此2人評分都在［50,60)的

概率.

(II)估計頻率分布直方圖計算學(xué)生評分在［70,100］中的頻率即可；

(III)計算出評分在［40,50),［50,60］中的人數(shù)，再對每位同學(xué)進行標(biāo)記，計算即可

解決此問題.

解：(I)因為(0.004+O+0.018+0.022X2+0.028)X10=l,

所以a=0.006.

(II)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪學(xué)生評分不低于70的頻率為

(0.028+0.022+0.018)X10=0.68,

所以該中學(xué)學(xué)生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率的估計值為0.68.

（Ill）受訪學(xué)生評分在［50,60）的有50X0.006X10=3（人），即為4,A2,A3;

受訪學(xué)生評分在［40,50）的有：50X0.004X10=2（人），即為9,

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是：

{Ai,Ai},{Ai,A3},{Ai,B\］,{Ai,&},{A2,A3},

{A2,Bi},{A2,Bi},{A3,Bi},{A3,Bi},{Bi,82}.

又因為所抽取2人的評分都在［50,60）的結(jié)果有3種，即{Ai,AI}9{AI,A3},{Ai,A3］,

故所求的概率為p*.

21.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為正方形，ABCD,PA=AB=4,

E為依的中點，尸為線段BC上的點，且2尸=32心

（1）求證：平面A所，平面P8C；

（2）求點尸到平面PCD的距離

【分析】（1）證明BC_L平面PA2得出A&L8C,結(jié)合AE_LPB得出AE_L平面P8C,故

而平面AEF_L平面PBC；

（2）取尸。中點G,證明AGL平面PCDA3〃平面PC。，則點2到平面PC。的距離

為AG的長，利用斯=38C,即可求得點F到平面PC。的距離.

【解答】(1)證明：：PA_L平面ABC。，8Cu平面ABCZ),

：.PA±BC,XBCLAB,PAHAB^A,

：.BC±^PAB,又AEu面PAB,：.BC±AE,

'：PA^AB,E為尸3中點，J.AE1PB,又BCCPB=B,