2022年中考數(shù)學二輪復習之圖形的變化（含解析及考點卡片）

2022年中考數(shù)學二輪復習之圖形的變化

一、選擇題（共10小題）

1.（2021?商河縣校級模擬）如圖，AABC與關于直線MV軸對稱，則以下結論中錯

誤的是（）

AD

△A

cF

,V

A.AB//DFB.ZB=/E

C.AB=DED.A￡＞所連的線段被MN垂直平分

2.（2021?婁底模擬）一平面鏡以與水平面成45。角固定在水平面上，如圖所示，一個小球

以lm/s的速度沿桌面向點O勻速滾去，則小球在平面鏡中的像是（）

A.以1H7/S的速度，做豎直向上運動

B.以l〃z/s的速度，做豎直向下運動

C.以迫，”/s的速度運動，且運動路線與地面成45。角

2

D.以2m/s的速度，做豎直向下運動

3.（2021?海淀區(qū)校級模擬）下列圖形中，是軸對稱圖*形的是（）

A.B.

4.(2020?長豐縣二模)如圖，矩形438中，AB=4,對角線AC、BD交于點O,

ZAOD=nO°,￡為皮)上任意點，F(xiàn)為AE中點，則下。+所的最小值為()

A.2不B.2+6C.5D.373

5.(2020?新都區(qū)模擬)平面直角坐標系中，己知點P(a,3)在第二象限，則點P關于直線，"

(直線加上各點的橫坐標都是2)對稱的點的坐標是()

A.(―〃,3)B.(。,一3)C.(—〃+2,3)D.(―〃+4,3)

6.(2020?大連)平面直角坐標系中，點尸(3,1)關于x軸對稱的點的坐標是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

7.(2019?鄭州二模)如圖，彈性小球從點P(0,l)出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到正

方形D4BC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到正方形的邊時的點

為［(-2,0),第2次碰到正方形的邊時的點為？，…，第〃次碰到正方形的邊時的點為

則點4n,,的坐標是()

A.（0,1）B.（-4,1）C.（-2,0）D.（0,3）

8.（2019?唐山二模）如圖所示，平面上有兩條相等的線段4?和8,李明用尺規(guī)作軸對稱,

經過幾次軸對稱變換之后兩條線段重合，其具體作法如下：

①作線段AB關于直線n的對稱線段DA'；

②連接即，作線段即的垂直平分線”；

③作NA'DC的平分線機；

④A'。沿著直線m對折即可得到CD；

A.①②③④B.④③②①C.④③①②D.②①③④

9.（2019?荷塘區(qū)一模）如圖，在2x2網格中放置了三枚棋子,在其他格點處再放置1枚棋

子，使圖形中的四枚棋子成為軸對稱圖形的概率是（）

10.（2019?赤峰）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：

①將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角

形扔掉；

②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2019次操作時，余下紙片的面積為（）

-A----------1

C.擊D.—^―

22020

二、填空題（共5小題）

11.（2021?宿遷模擬）已知點A（加+1,3）與點3（2,關于x軸對稱，貝1"根+〃）239的值

為.

12.（2021?封丘縣二模）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=3O°,BC=2,點M為邊

AC的中點，點。為邊AC上一動點，連接8D,作MCZ）關于直線處的軸對稱圖形，點C

的對應點為點E,連接ME,則ME長度的取值范圍為.

13.（2020?甌海區(qū)二模）如圖是一個可調節(jié)花盆支架，外圍是一個圓形框架，如圖1,支架

AC,比＞的長度均為14ca,端點C,。固定在花盆圓形套圈的直徑兩端，端點A,8可

在外圍圓形框架上移動，整個花盆支架始終成軸對稱，已知花盆高哥'=1557,圓形套圈的

直徑CQ=2（kw,且所被8平分為上下比為1:2,當端點A,3向上調節(jié)至最高時，AC,

8。和8同一直線上（如圖2所示），此時，花盆底到圓形框架最低點的距離為FG=6cm,

則圓形框架的半徑為—on,為了整體美觀要求，花盆底到圓形框架最低點的距離尸G要

14.（2019?拱墅區(qū)校級模擬）在日常生活中，你會注意到有一些含有特殊數(shù)字規(guī)律的車牌號

碼，如：浙A80808,浙A22222,浙A12321等，這些牌照中的五個數(shù)字都是關于中間的一

個數(shù)字“對稱”的，給人以對稱美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對稱”牌照.如

果讓你負責制作只以8或9開頭且有5個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，那么最多可制作個.

15.（2019?濱?？h二模）如圖，在平面直角坐標系中，0（0,0）,46,6向,8（12,0）,將

△OAfi沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段03上的點E處，若OE=3,則的值

是.

三、解答題（共7小題）

16.（2021?包河區(qū)二模）將正方形ABCZ）和等腰RtAADE如圖所示擺放，正方形的邊長為2,

將此圖剪后拼成一個新的正方形.

（1）新正方形的邊長為—；

（2）在原圖中畫出剪拼示意圖（保留剪和拼的痕跡）；

（3）剪拼過程中，RtAADE被分割成兩部分，求這兩部分的面積比.

17.（2020?新吳區(qū)二模）如圖，在RtAAOC中，24=30。，點0（0,0）,C（l,0）,點A在y軸

正半軸上，以AC為一邊作等腰直角AACP,使得點尸在第一象限.

（1）求出所有符合題意的點P的坐標；

（2）在A4OC內部存在一點Q,使得AQ、0Q、C。之和最小，請求出這個和的最小值.

18.（2020?武漢模擬）如圖，在下列8x8的網格中，橫、縱坐標均為整點的數(shù)叫做格點.例

如A（l,5）、8（4,1）、C（4,6）都是格點.

（1）直接寫出A/U5C的面積；

(2)要求在圖中僅用無刻度的直尺作圖，。為線段3c上一動點，當+最小時,

5

找出點。，操作如下：

第一步：作點A關于直線的對稱點￡，連接8E;

第二步：找格點F,使所，BE,AF交BC于點D,交BE于點H,

請你按照步驟完成作圖，并直接寫出尸點的坐標和4的最小值.

5

19.(2020?海淀區(qū)校級模擬)如圖，在AAfiP中，ZABP=60°,90°<ZAPB<120°,過點A

的直線/垂直于線段3P所在的直線.設點5,P關于直線/的對稱點分別為點9，P'

(1)在圖中畫出尸關于直線/對稱的三角形AA89.

(2)若NBAP=a,求NAP3的度數(shù).(用a表示)

(3)若點P關于直線4r的對稱點為連接AM,PM.請寫出A4、RW之間的數(shù)量

關系和位置關系，并證明你的結論.

20.(2019?長春四模)探究：如圖①點E、F分別在正方形A8C。的邊8C、CD±,連接

AE.AF,￡F,將AAfiE、AAD尸分別沿越、”折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與A4EF

完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求他的長；

拓展：如圖②點E、尸分別在四邊形ABCD的邊3C、CD上，且NB=ZT>=90。.連接他、

AF,將AASE、AAZ）下分別沿AE、AF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與AAE尸完全

重合的三角形.若NE4F=30。，AB=4,則A￡C產的周長是.

圖①圖②

21.（2019?石景山區(qū)二模）如圖在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,E為外角NBCD平

分線上一動點（不與點C重合），點E關于直線BC的對稱點為F,連接連接AF并延

長交直線BE于點G.

（1）求證：AF=BE；

（2）用等式表示線段FG,EG與CE的數(shù)量關系，并證明.

22.（2019?鼓樓區(qū)校級模擬）下面的方格紙中，畫出了一個“小老鼠”的圖案，已知每個小

正方形的邊長為1

（1）在上面的方格紙中作出“小老鼠”關于直線上對稱的圖案（只畫圖，不寫作法）.

（2）以G為原點，GE所在直線為x軸，GH所在直線為y軸，小正方形的邊長為單位長

度建立直角坐標系，問：是否存在以點。為頂點，且過點，和E的拋物線，并通過計算說

2022年中考數(shù)學二輪復習之圖形的變化

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題）

1.（2021?商河縣校級模擬）如圖，AA8C與AD砂關于直線軸對稱，則以下結論中錯

誤的是（）

鼠

AD

AA

cF

,V

A.AB//DFB.NB=NE

C.AB=DED.A￡＞所連的線段被MN垂直平分

【答案】A

【考點】軸對稱的性質

【分析】根據(jù)軸對稱的性質作答.

【解答】解：A、至與小不是對應線段，不一定平行，故錯誤；

B、AABC與AD￡F關于直線MN軸對稱，MAAfiC=,ZB=ZE.正確；

C、AABC與ADEF關于直線MN軸對稱，則AABCMADE/7,AB=DE,正確；

D、A48C與ADEF關于直線A7N軸對稱，A與。的對應點，A￡）所連的線段被垂直

平分，正確.

故選：A.

【點評】本題主要考查了軸對稱的性質：①如果兩個圖形關于某直線對稱，那么這兩個圖形

全等；②如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對應線段或者平行，或者共線，或者相交于對

稱軸上一點；③如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

2.（2021?婁底模擬）一平面鏡以與水平面成45。角固定在水平面上，如圖所示，一個小球

以bn/s的速度沿桌面向點。勻速滾去，則小球在平面鏡中的像是（）

_Qr__

A.以山?/s的速度，做豎直向上運動

B.以lm/s的速度，做豎直向下運動

C.以變機/s的速度運動，且運動路線與地面成45。角

2

D.以2w/s的速度，做豎直向下運動

【考點】尸4：鏡面對稱

【專題】16：壓軸題

【分析】利用鏡面對稱的性質求解.鏡面對稱的性質：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好

順序顛倒，且關于鏡面對稱.

【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，在平面鏡中的順序與現(xiàn)實中的恰好相反，且關于鏡面對

稱，

則小球在平面鏡中的像是以l〃z/s的速度，做豎直向下運動.

故選：B.

【點評】本題考查了鏡面反射的原理與性質.解決此類題應認真觀察，注意技巧，充分發(fā)揮

想象能力.

【答案】C

【考點】軸對稱圖形

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀

【分析】利用軸對稱圖形的定義進行解答即可.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

4.（2020?長豐縣二模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,對角線AC、8D交于點O,

ZAOD=\20°,E為BD上任意點,尸為他中點，則尸O+EB的最小值為（）

A.2sB.2+6C.5D.3石

【考點】LB：矩形的性質；KM-.等邊三角形的判定與性質；PA-.軸對稱-最短路線問

題

【專題】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉與對稱；554：等腰三角形與直角三角

形

（分析】取回的中點M和AD的中點N,先證明尸在上,再作B關于MN的對稱點H,

BH與MN交于點、G,連接OH,O"與MN交于點尸，并證明此時尸點使FO+

為最小值，最后求出O”便可.

【解答】解：過43的中點M和AD的中點N作直線MN,

BC

???k為AE的中點，

:.MF!/BE,FNHED,

：.M,F、N三點共線，即F點在線段MN上，

作B關于M/V的對稱點H,BH與MN交于點、G,連接0",OH與MN交于點、F,

則班'="F,

此時，BF+OF=HF+OF=OH,其值為最小值.

?.-ZAOD=120°,

.?.Z4OB=60°,

?.?四邊形/WCD為矩形，

OA=OB，

為等邊三角形，

:.OB=AB=4,ZABO=60°,

-,-MF//BE,

:.ZGMB^ZMBE=60°,

GH=BG=BM.sin60°=-A3?sin60°=有，NHBM=30°.

2

BH=2y/3,ZHBO=90°,

OH=y/BH2+OB2=2y/l,

故選：A.

【點評】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，軸對稱的

性質，勾股定理，關鍵是確定使BF+OF值最小時F點的位置.

5.(2020?新都區(qū)模擬)平面直角坐標系中，已知點P(a,3)在第二象限，則點P關于直線機

(直線m上各點的橫坐標都是2)對稱的點的坐標是()

A.(―。,3)B.(a,—3)C.(—a+2,3)D.(—a+4,3)

【答案】D

【考點】坐標與圖形變化-對稱

【專題】平面直角坐標系；推理能力

【分析】利用已知直線，“上各點的橫坐標都是2,得出其解析式，再利用對稱點的性質得出

答案.

【解答】解：?.?直線旭上各點的橫坐標都是2,

直線為：x=2,

?.?點P(a,3)在第二象限，

到直線機的距離為：2-4，

.?.點P關于直線機對稱的點的橫坐標是：2-a+2=4-a,

故P點對稱的點的坐標是：(-“+4,3).

故選：D.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形的性質，根據(jù)題意得出對稱點的橫坐標是解題關鍵.

6.(2020?大連)平面直角坐標系中，點尸(3,1)關于x軸對稱的點的坐標是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

【答案】B

【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標

【專題】應用意識；平面直角坐標系

【分析】關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：點P(3,l)關于x軸對稱的點的坐標是(3,-1)

故選：B.

【點評】本題考查了關于x軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律:

關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫

坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

7.(2019?鄭州二模)如圖，彈性小球從點尸(0,1)出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到正

方形D48c的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到正方形的邊時的點

為4(-2,0),第2次碰到正方形的邊時的點為鳥，…，第〃次碰到正方形的邊時的點為巴，

則點芻“9的坐標是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【答案】D

【考點】規(guī)律型：點的坐標；生活中的軸對稱現(xiàn)象

【專題】平移、旋轉與對稱

【分析】按照反彈規(guī)律依次畫圖，寫出點的坐標，再找出規(guī)律即可.

【解答】解：如圖，根據(jù)反射角等于入射角畫圖，可知光線從巴反射后到6(0,3),再反射

到巴(-2,4),再反射到4(-4,3),再反射到P點(0,1)之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，

2019+6=336...3,即點/&的坐標是(0,3),

【點評】本題是生活中的軸對稱現(xiàn)象，解答時要注意找到循環(huán)數(shù)值，從而得到規(guī)律.

8.(2019?唐山二模)如圖所示，平面上有兩條相等的線段AB和8,李明用尺規(guī)作軸對稱,

經過幾次軸對稱變換之后兩條線段重合，其具體作法如下：

①作線段AB關于直線n的對稱線段DA'；

②連接班＞,作線段或?的垂直平分線〃；

③作ZA,DC的平分線m；

④A'￡＞沿著直線機對折即可得到CD；

A.①②③④B.④③②①C.④③①②D.②①③④

【考點】KG-.線段垂直平分線的性質；P7：作圖-軸對稱變換；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀

【分析】連接應），作線段8。的垂直平分線〃；作線段反關于直線”的對稱線段D4'；作

ZA'DC的平分線m;AT）沿著直線m對折即可得到CD.

【解答】解：如圖所示，連接作線段應）的垂直平分線〃；作線段A3關于直線〃的對

稱線段DA；作NA7X7的平分線機；A'。沿著直線〃:對折即可得到CD；即正確的作圖步

驟是②①?@,

故選：D.

【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖，幾何圖形都可看做是有點組成，在畫一個圖

形的軸對稱圖形時，是先從確定一些特殊的對稱點開始.

9.（2019?荷塘區(qū)一模）如圖，在2x2網格中放置了三枚棋子，在其他格點處再放置1枚棋

子，使圖形中的四枚棋子成為軸對稱圖形的概率是（）

【考點】P8：利用軸對稱設計圖案；X4：概率公式

【專題】1：常規(guī)題型

【分析】根據(jù)圖形設計出第四枚棋子的位置，進而可得答案.

【解答】解：如圖所示：

使圖形中的四枚棋子成為軸對稱圖形的概率是：-=

故選：C.

【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，以及概率公式，關鍵是掌握隨機事件A的

概率尸（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)：所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).

10.（2019?赤峰）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：

①將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角

形扔掉；

②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2019次操作時，余下紙片的面積為（）

【考點】KW：等腰直角三角形；P9：剪紙問題

【專題】38：猜想歸納；556：矩形菱形正方形；64：幾何直觀

【分析】根據(jù)將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，余下面積

為原來面積的一半即可解答.

【解答】解：正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，

第一次：余下面積

12

1

第二次：余下面積邑-

21

-

第三次：余下面積邑

23

當完成第2019次操作時，余下紙片的面積為$239=擊，

故選：C.

【點評】本題考查圖形的變化，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考

常考題型.

二、填空題（共5小題）

11.（2021?宿遷模擬）已知點A（m+1,3）與點關于x軸對稱,則（m+〃）2"9的值為

【考點】P5：關于x軸、y軸對稱的點的坐標

【專題】62：符號意識；531：平面直角坐標系

【分析】根據(jù)關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得加、〃的

值，進而可得答案.

【解答】解：?.?點AO+1,3)與點8(2,〃—1)關于x軸對稱，

.\m+l=2,—1=-3?

.*.777=1,n=—2,

???(m+n)2019=-1,

故答案為：-1.

【點評】此題主要考查了關于X軸對稱的點的坐標，關鍵是掌握關于X軸的點的坐標坐標特

點.

12.(2021?封丘縣二模)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,點、M為邊

AC的中點，點。為邊AC上一動點，連接5。，作ABCD關于直線的軸對稱圖形，點。

的對應點為點￡,連接ME,則"E長度的取值范圍為—g-2麴EM3_.

【答案】6-2頰EM3.

【考點】含30度角的直角三角形；軸對稱的性質；軸對稱圖形

【專題】平移、旋轉與對稱；解直角三角形及其應用；推理能力

【分析】如圖，連接8M.求出8M,根據(jù)EM..3M-EM=>/7-2,推出E例的最小值為

將-2,當點。與A重合時，的值最大，求出EM的最大值，可得結論.

【解答】解：如圖，連接8M.

B

在RtAABC中，ZC=90,ZA=30°,BC=2,

:.AC=6BC=26,

?：AM=MC=6

BM=IBC2+CM?=百+（揚②=V7,

由對稱的性質可知，BE=BC=2,

,:EM..BM-EM=幣-2,

二EM的最小值為"-2,

當點。與A重合時，EM的值最大，此時EM_LAC,=AW-tan60°=3,

故答案為：77-2麴EM3.

【點評】本題考查翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關鍵是求出EM的最小值與最大

值，屬于中考?？碱}型.

13.（2020?甌海區(qū)二模）如圖是一個可調節(jié)花盆支架，外圍是一個圓形框架，如圖1,支架

AC,9的長度均為14cm,端點C,D固定在花盆圓形套圈的直徑兩端，端點A,8可

在外圍圓形框架上移動，整個花盆支架始終成軸對稱，已知花盆高防=15C7〃，圓形套圈的

直徑CD=2（km,且所被CD平分為上下比為1:2,當端點A,3向上調節(jié)至最高時，AC,

3。和8同一直線上（如圖2所示），此時，花盆底到圓形框架最低點的距離為叩=6加,

則圓形框架的半徑為26cm,為了整體美觀要求，花盆底到圓形框架最低點的距離FG

【考點】軸對稱的性質

【專題】平移、旋轉與對稱；解直角三角形及其應用；應用意識

【分析】如圖2中，設圓心為O,連接OG,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,交AB

于T.連接設。4=OG=r.在RtAAOT中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.如

圖1中，如圖1中，連接OG交8于T,連接OC,OB,觀察圖象可知：當，O,C,A

共線，O,D,B共線時，OC=8=26-14=12最小，此時OE■的值最小，F(xiàn)G的值最大.

【解答】解：如圖2中，設圓心為O,連接0G,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,

交43于T.連接。4,設。4=OG=r.

圖2

2

由題意AB=AC+CZ)+8￡>=14+20+14=48(cm),FG=6cm,TF=-EF=W(cm),

.-.TG=TF+FG=16(cm).

在RtAAOT中，?/OA2=OT2+AT2,

.-.r2=(r-16)2+242,

解得r=26.

如圖1中，連接OG交8于T,連接OC,OB,

圖1

觀察圖象可知：當，O,C,A共線，O,D,B共線時，OC=OD=26-14=12最小,

此時OE的值最小，F(xiàn)G的值最大，

在RtAOCT中，CT=10,OC=Y1,

OT=-JOC2-CT2=V122-102=2y/ti(cm),

,：TF=EF=10(cm))

FG=OG-OT-TF=26-2Vi7-10=(16-2Vn)tvn.

故答案為26,（16-2而）.

【點評】本題考查軸對稱，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知

識解決問題.

14.（2019?拱墅區(qū)校級模擬）在日常生活中，你會注意到有一些含有特殊數(shù)字規(guī)律的車牌號

碼，如：浙A80808,浙7422222,浙A12321等，這些牌照中的五個數(shù)字都是關于中間的一

個數(shù)字“對稱”的，給人以對稱美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對稱”牌照.如

果讓你負責制作只以8或9開頭且有5個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，那么最多可制作200

個.

【考點】P1：生活中的軸對稱現(xiàn)象

【專題】558：平移、旋轉與對稱

【分析】根據(jù)數(shù)字對稱的定義，分第1個數(shù)字是8,中間的數(shù)字分別是0~9和第1個數(shù)字

是9,中間的數(shù)字分別是0~9解答.

【解答】解：若第1個數(shù)字是8,則第5個數(shù)字也是8,

中間的數(shù)字分別是0~9時，第2、4個數(shù)字分別為0~9各有10種可能，

所以，共有10x10=100種，

同理第1個數(shù)字是9時，也有100種，

所以，最多可制作100+100=200種.

故答案為：200.

【點評】本題考查了軸對稱，從最中間的數(shù)字考慮求解是解題的關鍵.

15.(2019?濱海縣二模)如圖，在平面直角坐標系中，0(0,0),A(6,6?8(12,0),將

△OAB沿直線8折疊，使點A恰好落在線段08上的點E處，若OE=3,則的值

【考點】坐標與圖形變化-對稱

【專題】平面直角坐標系；平移、旋轉與對稱；應用意識

【分析】過A作于尸，根據(jù)已知條件得到AAOB是等邊三角形，推出

△CEO^ADBE,根據(jù)相似三角形的性質得到%=g=空，設CE=q,貝I」C4=a,

BDDEEB

CO^n-a,ED=b,則AD=0,OB=l2-b,于是得至U3匕=12?-ab,9a=\2b-ab,

兩式相減即可得到結論.

【解答】解：過A作A尸_LO8于尸，

?/A(6,6揚,3(12,0),

AF=6y/3,OF=6,OB=12,

:.BF=6,

;.OF=BF,

:.AO=ABy

Af7/_

?/tanZAOB=——=瓜

OF

.\ZAOB=60°,

「.AAOB是等邊三角形，

.\ZAOB=ZABO=60°9

?/將△。鉆沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點￡處,

:.ZCED=ZOAB=GO0,

:.ZOCE=ZDEB,

NCEO^NEDB，

.OE_CE_CO

茄一而一商’

設C￡=a,則C4=a,CO=l2-a,ED=b,則AD=b,DB=12-b,

3_a

\2-b~~b'

「.3〃=12a—a〃①，

12-a_a

-----——,

9b

:.9a=l2h-ab②,

②一①得：15A=21a,

a5

—=一,

b7

B|JCE:DE=5:7,

解法二：?.△CEOsAEOB,ACOE周長15,ADEB周長21,

相似比就是5:7,

CE:DE=5:7,

故答案為：

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和

性質，證得A4O8是等邊三角形是解題的關鍵.

三、解答題（共7小題）

16.（2021?包河區(qū)二模）將正方形和等腰RtAADE如圖所示擺放，正方形的邊長為2,

將此圖剪后拼成一個新的正方形.

（1）新正方形的邊長為_2石

（2）在原圖中畫出剪拼示意圖（保留剪和拼的痕跡）;

(3)剪拼過程中，RtAADE被分割成兩部分，求這兩部分的面積比.

【答案】⑴2班.

(2)作圖見解析部分.

(3)1:1.

【考點】圖形的剪拼；等腰直角三角形；正方形的判定與性質

【專題】幾何直觀；矩形菱形正方形；等腰三角形與直角三角形

【分析】(1)求出新正方形的面積，可得結論.

(2)把正方形ABCD分割成4個直角三角形，直角邊分別為2,4,A4DE分割成兩個全等

的等腰直角三角形即可.

(3)利用全等三角形的性質求解即可.

【解答】解：(1)新正方形的面積為20,故邊長為2石.

故答案為2逐.

(2)如圖，正方形AMG”即為所求作.

(3)RtAADE被分割成兩部分，求這兩部分的面積比為：1:1.

【點評】本題考查圖形的拼剪，等腰直角三角形的性質，正方形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

17.(2020?新吳區(qū)二模)如圖，在RtAAOC中，NA=30。，點0(0,0),C(l,0),點A在y軸

正半軸上，以AC為一邊作等腰直角AACP,使得點P在第一象限.

(1)求出所有符合題意的點尸的坐標；

問題

【分析】(1)根據(jù)C(l,0),得到OC=1,解直角三角形得到AC=2,OA=6,如圖1,①

當AC=AP,NC4P=90。，過片作軸于5,②當AC=CP,ZACP=90°.過鳥作

軸于￡>,③當CP=AP,NAPC=90。，過罵作《EJ_x軸于E,解直角三角形即可

得到結論；

(2)任取A4OC內一點。，連接AQ、BQ、CQ,將AACQ繞點C順時針旋轉60。得到△

A'CQ',于是得到當W。，，OQ,QQ，這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的

最小值=。A，過4作用3,x軸于8,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：(1)?.?C(l,0),

：.oc=\,

?.?在RtAAOC中，NA=30。，

:.AC=2,OA=6，

如圖1,①當AC=AP,ZC4P=90°.過［作6B_Ly軸于3,

則AABPt=\COA,

,-.AB=OC=\,B”AO=G,

OB=1+6,

.?.[(百，1+揚；

②當AC=CP,ZACP=90°,過鳥作軸于￡>,

同理可得：CD=OA=&,P2D=\,

6(1+61)；

③當CP=”，ZAPC=90°,過鳥作BEJ_x軸于E,

則8是的中點，

:.OE=^OD=^^,4E=g(OA+￡O)=t3,

匕烏上金

322

綜上所述，P(y/3,1+75),(1+力，1),(匕走，上茁);

22

(2)如圖2,任取A4OC內一點Q,連接A。、0Q、CQ,

將AAC。繞點C順時針旋轉60°得到△A'CQ',

.\A!C=AC=2,CQ=CQ',AQ=AQ,ZACA!=Z.QCQ=60°,

.1△QC。是等邊三角形，

：.CQ=QQ,

：.AQ+OQ+CQ=A'Q+OQ+QQ

.?.當WQ,OQ,QQ，這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA,

?.-ZACO=ZAC4,=60°,

.\ZACB=6O°,

過A作A，3_Lx軸于3,

BC=-A'C=1,A'B=也，

2

，O8=2,

A/O=A/0B2+A'B2=布,

:.AQ,OQ、CQ之和的最小值是近.

【點評】本題考查了軸對稱-最短距離問題，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形性質，等

邊三角形的判定和性質，正確作出圖形是解題的關鍵.

18.(2020?武漢模擬)如圖，在下列8x8的網格中，橫、縱坐標均為整點的數(shù)叫做格點.例

如A(l,5)、8(4,1)、C(4,6)都是格點.

(1)直接寫出AABC的面積；

(2)要求在圖中僅用無刻度的直尺作圖，。為線段8c上一動點，當+最小時,

5

找出點￡),操作如下：

第一步：作點A關于直線的對稱點E,連接3E；

第二步：找格點F，使"AF交8C于點。，交BE于點H,

請你按照步驟完成作圖，并直接寫出F點的坐標和4。+』的最小值.

5

【答案】(1)—:

2

(2)F(5,2),40+180的最小值為圖形見解析.

【考點】胡不歸問題；作圖-軸對稱變換

【專題】解直角三角形及其應用；平面直角坐標系；平移、旋轉與對稱；推理能力；應用意

識

【分析】(1)從網格圖上找出A點BC的距離，再根據(jù)三角形的面積公式求出結果便可；

(2)按題目中的操作步驟作出圖形，結合圖形寫出F點的坐標便可，再根據(jù)三角形的面積

法便可求得便是的最小值.

5

【解答】解：(1)AA8C的面積=".理由如下：

2

?.?3(4,1)、C(4,6),

.-.fiC=6-l=5,

由網格圖可知，A點到3C的距離為3,

5M?c=1x5x3=y;

(2)根據(jù)題意作出圖形如下：

由圖網格圖可知，F(xiàn)(5,2),人。+《a3。的最小值為弓94.

理由如下：

???1(5,2),A(l,5),

：.AM=4,MF=3,

3

/.tanZ.MAF=—，

4

???8(4,1)、C(4,6),A、石點關于3C對稱，

.\AK=EK=3fBK=4,

KFq

/.tanZ/CBE=——=-,

KB4

：.ZMAF=ZKBE,

?.?ZADK=ZBDH,

.?.ZAKB=/BHD=90。,

:.AH±BE9

S(MSnRoLF.=-2AE，BK=2-BE?AH,

…AE?BK6x424

BE55

,KE3

,/sinZKBE=----=—,

BE5

3

/.DH=BZ).sinZDBH=—BD,

5

324

??.AD+-BD=AD+DH=AD=—,

55

【點評】本題主要考查了三角形的面積公式，點的坐標特點，解直角三角形的應用，垂線段

最短定理，第(2)關鍵是確定格點尸的位置.

19.(2020?海淀區(qū)校級模擬)如圖，在AABP中，ZABP=60°.90°<ZAPB<\20°,過點4

的直線/垂直于線段族所在的直線.設點3,P關于直線/的對稱點分別為點夕，P'

(1)在圖中畫出AA5P關于直線/對稱的三角形△A8P.

(2)若N54P=a,求/4PB的度數(shù).(用a表示)

(3)若點產關于直線A夕的對稱點為M,連接AM,PM.請寫出PA、P歷之間的數(shù)量

關系和位置關系，并證明你的結論.

【考點】P7：作圖-軸對稱變換

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；558：平移、旋轉與對稱；69：應用意識

【分析】(1)根據(jù)要求畫出即可.(2)證明/$3=/鏟尸，利用三角形的外角解決問題

即可.

(3)結論：PA=PM,P4與P”所成銳角為60。.證明是等邊三角形即可解決問

題.

(2)解：如圖1中，設直線/交PP于C,

?.P,P關于直線/對稱，過點A的直線/垂直于線段所在的直線,

/.ACA-PP,CP=CP,

:.AP=AP,

：.ZAPP=ZAPB,

又?.?在AABP中，ZB=60。，ZBAP=a,

ZAPB=ZAPP=ZB+ZBAP=60°+a.

(3)如圖2中，結論：PA=PM,必與PM所成銳角為60。.

1

理由：設直線/交火于C,AB交叱于

?；B,￡關于直線/對稱

.?.AC_L而，CB=CB,

f

:.AB=ABf

-.?ZB=60°,

.?.ZB="=60。，

在△叱9中/2=/8+23=60。+/3,

又???/2=60。+儀，

：.△=€!，

,.P,M關于A8對稱，

:.ABLPM,DP=DM,

:.AP=AM,

.?.N4=Z3=a,

Z5—a，

.\Z4=Z5,

ZPAM=ZPA&+Z4=ZPAJ^+Z5=ZBAff,

,

-,AB=AB9ZB=60°,

.,.M48為等邊三角形，

.\ZBAB,=ZPAM=60°,

又???由（2）得AP=A產，AP=AM,

:.AP=AM

為等邊三角形

:.PA=PM,ZAPM=60°,

即=與R0所成角為60。.

【點評】本題考查作圖-軸對稱變換，等邊三角形的判定和性質，三角形的外角的性質等知

識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

20.（2019?長春四模）探究：如圖①點E、F分別在正方形ASCD的邊8C、CD上，連接

AE、AF、EF,將AABE、AAD尸分別沿AE\AF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與AAEF

完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求4?的長；

拓展：如圖②點E、F分別在四邊形A88的邊8C、8上，且NB=ND=90。.連接AE、

AF,E尸將A4BE、AATm'分別沿/場、"折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與A4EF完全

重合的三角形.若NE4尸=30。，AB=4,則AEC戶的周長是—.

一3-

圖①圖②

【考點】正方形的性質；翻折變換（折疊問題）

【專題】壓軸題；圖形的全等

【分析】探究：設：正方形的邊長為“，則EC=a-2,CF=a-3,則由勾股定理得:

EF2=EC2+CF2,即可求解；

拓展：證明AABC^AADC,ZBAE+Z.DAF=ZEAF=30°,貝IZS4D=60°,

ZBAC=ZDAC=-（ZBAD）=30°,CD=BC=ABtanABAC,即可求解.

【解答】解：探究：

設：正方形的邊長為a,貝ljEC=a—2,CF=a—3,

則EF=BE+DF=5,貝UEF2=EC2+CF2,

即：25=3-2尸+（a-3）2,解得：a=6或—1（舍去-1）,

故AB=6；

拓展：

由題意得：AB=AD=4,連接AC,

圖②

-.AB=AD,AC=AC,

:.BC=CD,ZBAC=ZDAC,

?.?點￡、廠分別在四邊形ABC。的邊3C、C￡)上，

故：ZBAE+ZDAF=ZEAF=30°,則NS4D=60。，

ABAC=NDAC=-(ZBAD)=30°,

CD=BC=ABtanZBAC=4x—=—,

33

AECF的周長=EF+EC+/C=AE+F￡>+EC+FC=AC+CO=2CO=—,

3

故答案為：—.

3

【點評】本題考查的是翻折變換(折疊問題)，涉及到正方形的性質、三角形全等等，其中

(2)證明AABCMAAZXL是本題解題的關鍵.

21.(2019?石景山區(qū)二模)如圖在AABC中，NACB=90。，AC=BC,E為外角N8CZ)平

分線上一動點(不與點C重合)，點E關于直線BC的對稱點為尸，連接8E,連接相1并延

長交直線3E于點G.

(1)求證：AF=BE；

(2)用等式表示線段FG,EG與CE的數(shù)量關系，并證明.

【考點】KW；等腰直角三角形；P2：軸對稱的性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；553：圖形的全等

【分析】(1)根據(jù)邊角邊證明AFC4二AECB,所以=B石；

(2)FG,EG與CE的數(shù)量關系：GE2+GF2=2CE2,先證明/國開=/￡。/=90。，然

后利用勾股定理證明即可.

【解答】解：(1)如圖，連接Cr.

???，ZACB=90°,CE平分ZBCD,

ZBCE=45°,

???點E、/關于直線8c對稱，

:.CE=CF,

/FCB=ZBCE=45。,

/.ZFG4=45°,

在AFC4與AFC8中，

CF=CE

<ZFCA=/ECB

AC=BC

:.AFCA=AECB(SAS),

:.AF=BE；

(2)FG,EG與CE的數(shù)量關系：GE2+GF2=2CE2.

證明：?.?AFC43AEC8,

:.ZAFC=ABEC，

???ZA尸C+NCFG=180。，

/.ZCFG+ZCEG=180°,

???NECF+NEG尸=180。，

vZ￡CF=450+45°=90°，

iZEGF=90°,

連接￡F,

.-.GE2+GF2=EF2,

?,CE=CF,

CE2+CF2=2CE2=EF~,

:.GE2+GF2=2CE2.

B

【點評】本題考查了軸對稱的性質與等腰直角三角形的性質，熟練運用勾股定理、三角形全

等的判定與性質是解題的關鍵.

22.（2019?鼓樓區(qū)校級模擬）下面的方格紙中，畫出了一個“小老鼠”的圖案，已知每個小

正方形的邊長為1

（1）在上面的方格紙中作出“小老鼠”關于直線。E對稱的圖案（只畫圖，不寫作法）.

（2）以G為原點，GE所在直線為x軸，G4所在直線為y軸，小正方形的邊長為單位長

度建立直角坐標系，問：是否存在以點。為頂點，且過點”和E的拋物線，并通過計算說

明理由？

【分析】（1）利用軸對稱的性質作出對稱圖形即可.

（2）求出過點Q,，的拋物線的解析式，再判斷點E是否在拋物線上即可.

【解答】解：（1）“小老鼠”關于直線上對稱的圖案如圖所示：

(2)建立坐標系后：”(0,2),0(2,3),E(5,0)

假設存在這樣的拋物線:

設函數(shù)式為：y=a(x-2)2+3,

因為H在拋物線上，所以把x=0,y=2代入拋物線2=W+