2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1.（5分）（2015?湖北）i為虛數(shù)單位，i6°7的共規(guī)復(fù)數(shù)為（）

A.iB.-iC.1D.-1

2.（5分）（2015?湖北）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分"題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗

得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

3.（5分）（2015?湖北）已知（1+x）11的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為

（）

A.212B.211C.210D.29

4.（5分）（2015?湖北）設(shè)X?N（m，a,2）,Y?N（兇，/?），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正

確的是（）

A.P（Y小2）2P（Y>m）B.P（X<a2）<P（X<oi）

C.對任意正數(shù)t,P（X<t）>P（Y<t）D.對任意正數(shù)3P（X>t）>P（Y>t）

222222

5.（5分）（2015?湖北）設(shè)apa2,…,anGR,n>3.若p：a]，a2，…，an成等比數(shù)列;q：（a]+a2+...+an-j）（a2+a3+...+an）

=（a]a2+a2a3+.??+an-laQ，貝!J（）

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

’1,x>0

6.（5分）（2015?湖北）已知符號函數(shù)sgnx=J0,x=0，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a

-1,x<C0

>1）,則（）

A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=-sgnxC.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

7.（5分）（2015?湖北）在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記Pi為事件"x+y22”的概率，P2為事件“|x-y區(qū)工”的概

22

率，P3為事件"x"工"的概率，則（）

2

A.P|<P2Vp3B.P2Vp3VpiC.P3<P1<P2D.P3Vp2Vpi

8.（5分）（2015?湖北）將離心率為ei的雙曲線Cl的實半軸長a和虛半軸長b（a*b）同時增加m（m>0）個單位

長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）

A.對任意的a,b,ej>e2

B.當(dāng)a>b時，ei>e2；當(dāng)aVb時，ei<e2

C.對任意的a,b,ei<e2

D.當(dāng)a>b時，ej<e2；當(dāng)aVb時，ei>e2

9.（5分）（2015?湖北）已知集合A={（x,y）|x2+y2<l,x,yEZ},B={（x,y）||x|<2,|y|<2,x,yGZ）,定義集

合A十B={（xi+x2，yi+y2）I（xi，yi）GA,（X2，y2）EB},則A+B中元素的個數(shù)為（）

A.77B.49C.45D.30

10.（5分）（2015?湖北）設(shè)xER,[x]表示不超過x的最大整數(shù).若存在實數(shù)3使得[t]=l,產(chǎn)]=2,…，[t"]二n同時

成立，則正整數(shù)n的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

11.（5分）（2015?湖北）已知向量贏，藍，|贏=3,則贏?費.

12.（5分）（2015?湖北）函數(shù)f（X）=4COS2^COS（2L-X）-2sinx-|ln（x+1）|的零點個數(shù)為.

22

13.（5分）（2015?湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西

偏北30。的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為30。，則此山的高度CD=_

m.

14.（5分）（2015?湖北）如圖，圓C與x軸相切于點TQ,0）,與y軸正半軸交于兩點A,B（B在A的上方）,

且|AB|=2.

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）過點A任作一條直線與圓O：x?+y2=l相交于M,N兩點，下列三個結(jié)論:

③迪1+國1=2后

ffl|NA|=|MA|.⑦網(wǎng)_|MA|=2.

|NB|IMBI|NAIIMBI「NA||MBI'

則也

AC-

17.（11分）（2015?湖北）某同學(xué)用“五點法"畫函數(shù)f（x）=Asin（wx+4?（u）>0,|巾|〈工）在某一個周期內(nèi)的圖

2

象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

U)X+(|)0JTn3712n

~2F

X715兀

飛

Asin(u)x+4))05-50

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；

（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動e（e>0）個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象.若y=g（x）圖象的一

個對稱中心為（旦L,0）,求e的最小值.

12

18.（12分）（2015?湖北）設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,前n項和為等比數(shù)列｛、｝的公比為q,已知H=ai,b2=2,

q=d,Sio=lOO.

（1）求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式

當(dāng)d>l時，記Cn=圍，求數(shù)列｛Cn｝的前n項和Tn.

(2)

bn

19.（12分）（2015?湖北）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個

面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.如圖，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PDL底面ABCD,且PD=CD,過棱PC

的中點E,作EF_LPB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.

（1）證明：PB_L平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉膈，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若

不是，說明理由；

（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為工，求理的值.

3BC

20.（12分）（2015?湖北）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使

用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元.要求每天B產(chǎn)

品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮

牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為

W121518

P0.30.50.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量.

（1）求Z的分布列和均值；

（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

21.(14分)(2015?湖北)一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN

通過N處錢鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1,MN=3,當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作

往復(fù)運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C,以。為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2

所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)動直線1與兩定直線li：x-2y=0和12：x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線1總與橢圓C有且只有一個公

共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

n

22.(14分)(2015?湖北)已知數(shù)列｛a3的各項均為正數(shù)，bn=n(1+A)an(n€N+),e為自然對數(shù)的底數(shù).

n

(1)求函數(shù)f(x)=l+x-eX的單調(diào)區(qū)間，并比較(1+1)n與e的大??；

n

bbbb]b2bbbb

(2)計算」，—-------由此推測計算——2的公式，并給出證明；

3.?31a22a3?2",

2

(3)令/=(aia2...an)n,數(shù)列｛a/｛.｝的前n項和分別記為Sn，Tn,證明：Tn<eSn.

2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2015?湖北）i為虛數(shù)單位，i6°7的共輸復(fù)數(shù)為（）

A.iB.-iC.1D.-1

【考點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì).

【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的單位的基運算求解即可.

【解答】解：i6°7=i604+3=j3=T,

它的共輾復(fù)數(shù)為：i.

故選：A.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)式單位的哥運算以及共軌復(fù)數(shù)的知識，基本知識的考查.

2.（5分）（2015?湖北）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗

得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1534、空169石，

254

故選:B.

【點評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

3.（5分）（2015?湖北）已知（1+x）”的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為

（）

A.212B.211C.210D.29

【考點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì).

【專題】二項式定理.

【分析】直接利用二項式定理求出n,然后利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

【解答】解：已知（1+x）11的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，

可得煌=或，可得n=3+7=10.

1Q9

（1+x）1°的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為：1X2=2-

2

故選：D.

【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運用以及計算能力.

4.（5分）（2015?湖北）設(shè)X?NCm，oi2）,Y?N（兇，/?），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正

確的是（）

A.P（Y電2）>P（Y>m）B.P（X<o2）<P（X<O!）

C.對任意正數(shù)t,P（X<t）>P（Y<t）D.對任意正數(shù)t,P（X>t）>P（Y>t）

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】直接利用正態(tài)分布曲線的特征，集合概率，直接判斷即可.

【解答】解：正態(tài)分布密度曲線圖象關(guān)于x+對稱，所以內(nèi)<兇，從圖中容易得到p(X<t)>P(Y<t).

【點評】本題考查了正態(tài)分布的圖象與性質(zhì)，學(xué)習(xí)正態(tài)分布，一定要緊緊抓住平均數(shù)J和標(biāo)準(zhǔn)差。這兩個關(guān)鍵量，

結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).

222222

5.(5分)(2015?湖北)設(shè)apa2,.?.，anGR,n>3.若p：ai,a2,an成等比數(shù)列；q：(ai+a2+...+an-j)(a2+a3+...+an)

2

=(a]a2+a2a3+...+an-兩),貝I()

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【考點】等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；簡易邏輯.

2222222

【分析】運用柯西不等式,可得：(ai+a2+...+an-1)(a2+a3+...+an)>(aia2+a2a3+...+an-網(wǎng)).討論等號成立的

條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義和充分必要條件的定義，即可得到.

【解答】解：由ai，a2，an€R,n>3.

運用柯西不等式，可得：

222\2222

(ai+@2+...+3n-1)(@2+@3+...+3n)-(@佻+@2a3+.??+an-同)

a。

若ai，a2，...?an成等比數(shù)列，即有一=―=...=-----,

ala2an-1

2022222

則(ai+a2+...+an-1)(a2+a3-+...+an)=(a?a2+a2a3+...+an-1an)，

即由p推得q,

但由q推不到p比如a產(chǎn)a2=a3=...=an=0,則ai，a2，…，an不成等比數(shù)列.

故p是q的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分必要條件的判斷，同時考查等比數(shù)列的定義，注意運用定義法和柯西不等式解題是關(guān)鍵.

1,x>0

6.(5分)(2015?湖北)已知符號函數(shù)sgnx=J0,x=0，f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=f(x)-f(ax)(a

-1,x<C0

>1),則()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù)f(x),以及a的值，判斷選項即可.

1,x>0

【解答】解：由于本題是選擇題，可以常用特殊法，符號函數(shù)sgnx=，0,x=0，f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)

~1,x<0

=f(x)-f(ax)(a>l),

不妨令f(x)=x,a=2,

則g(x)=f(x)-f(ax)=-x,

sgn[g(x)]=-sgnx.所以A不正確，B正確,

sgn[f(x)]=sgnx,C不正確；D正確;

對于D,令f(x)=x+l,a=2,

則g(x)=f(x)-f(ax)=-x,

x>-1

sgn[f(x)]=sgn(x+1)=<0,x=-1:

~1,X<-1

x>0

sgn[g(x)]=sgn(-x)=<0,x=0,

x<0

1,x〉-1

-sgn[f(x)]=-sgn(x+1)=<0,x=-1；所以D不正確;

1,X<-1

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)表達式的比較,選取特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

7.(5分)(2015?湖北)在區(qū)間［0,1］上隨機取兩個數(shù)x,y,記P］為事件"x+yN工的概率，P2為事件"|x-y|￡”的概

22

率，P3為事件"xy￡1"的概率，則()

A.P|<P2Vp3B.P2Vp3VpiC.P3<Pi<P2D.P3Vp2Vpi

【考點】幾何概型.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】作出每個事件對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式進行計算比較即可.

【解答】解：分別作出事件對應(yīng)的圖象如圖(陰影部分)：

Pl：D(0,A),F(1,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),

22

則陰影部分的面積S,-lxl-1x-X-1-工工

22288

S2=lxl-2XAx—X1-1.1_3

22244

1

S3=lx_l+f，2dx=」+」nx|!=A-Aln-l=_l+A]n2,

2-lx22i22222

22

；.S2Vs3VS1，

即P2Vp3<P1，

故選：B.

【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.本題也可以直接通過圖象比較面積

的大小即可比較大小.

8.（5分）（2015?湖北）將離心率為ei的雙曲線Ci的實半軸長a和虛半軸長b（awb）同時增加m（m>0）個單位

長度，得到離心率為e2的雙曲線C2,則（）

A.對任意的a,b,ei>e2

B.當(dāng)a>b時,ei>e2；當(dāng)aVb時,ei<e2

C.對任意的a,b,ei<eo

D.當(dāng)a>b時，ei<e2；當(dāng)a<b時，ei>e2

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【專題】計算題；圓鏈曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】分別求出雙曲線的離心率，再平方作差，即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，雙曲線Ci：c2=a?+b2,5=￡

2(a+in)(b+lD)2

雙曲線C2：/=(a+m)2+(b+m),

a+m

■2_2=ba_(b+m)2(b~a)(2abnrt~bm[+am2)

612222

%a(a+m)a(a+m)

???當(dāng)a>b時，ei<e2；當(dāng)aVb時，ei>e2,

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

9.(5分)(2015?湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yGZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,yGZ},定義集

合A十B={(xi+x2，yi+y2)I(xi，yi)eA,(X2，yi)EB},則A十B中元素的個數(shù)為()

A.77B.49C.45D.30

【考點】集合中元素個數(shù)的最值.

【專題】新定義；開放型；集合.

【分析】由題意可得，A={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,

-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1),(2,-2),

(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(*1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1)((-2,0),(-2,1),(-

2,2)},根據(jù)定義可求

【解答】解：解法一：

VA={(x,y)|x2+y2<l,x,yeZ)={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),

B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,y€Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)

(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-

1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2)}

VA?B={(X|+X2?yi+y2)I(xi,yi)GA,(X2，y2)eB},

；.A十B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,

0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-2,

-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),

(-2,3),(-2,-3),(0,-3),(2,-3),(-1,3),(-1,-3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,-1),(3,

0)(3,1),(3,2),(3,-2)(-3,2)(-3,1),(1,-3),(-3,-1),(-3,0),(-3,-2)}共45個元

素；

解法二：

因為集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yGZ),所以集合A中有5個元素，即圖中圓中的整點，B={(x,y)||x|<2,|y|<2,

x,yeZ},中有5x5=25個元素，即圖中正方形ABCD中的整點，A?B={(X|+x2,yi+y2)I(xi，yi)GA,(x2,y2)

6B}的元素可看作正方形AiBQiDi中的整點(除去四個頂點)，即7x7-4=45個.

【點評】本題以新定義為載體，主要考查了集合的基本定義及運算，解題中需要取得重復(fù)的元素.

10.（5分）（2015?湖北）設(shè)xeR,［x］表示不超過x的最大整數(shù).若存在實數(shù)t,使得［t］=l,［『］=2,［tn］=n同時

成立，則正整數(shù)n的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】進行簡單的演繹推理.

【專題】創(chuàng)新題型；簡易邏輯.

【分析】由新定義可得t的范圍，驗證可得最大的正整數(shù)n為4.

【解答］解:若則任"，2）,

若出］=2,則t4血，遙）（因為題目需要同時成立，則負區(qū)間舍去），

若［a=3,則任［加，如），

若在。=4,則任［如，場），

若［鐘=5,則七［妮,妮），

其中75=1.732,嗝=1.587,我=1.495,1.431<1.495,

通過上述可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=4時，可以找到實數(shù)t使其在區(qū)間［I,2)nh/5V3>。［加，羽)可/，場)上，

但當(dāng)t=5時，無法找到實數(shù)t使其在區(qū)間［1,2)n［我，^3)。［加，如)可如，煙)。［妮，既)

上，

正整數(shù)n的最大值4

故選：B.

【點評】本題考查簡單的演繹推理，涉及新定義，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共4小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置

上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.

11.(5分)(2015?湖北)已知向量丞，屈，|贏=3,則示?福9.

【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】由已知結(jié)合平面向量是數(shù)量積運算求得答案.

【解答】解：由OA_LAB，得0A?A&=0,即0A?(麗5P=。，

?.向=3,

A0A-0B=|0A|2=9-

故答案為：9.

【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)的計算題.

12.(5分)(2015?湖北)函數(shù)f(x)=4COS2^5COS(--x)-2sinx-|ln(x+1)|的零點個數(shù)為2.

22

【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，畫出函數(shù)的圖象，求出交點個數(shù)即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)的定義域為：{x|x>-l}.

f(x)Ecos23os(--x)-2sinx-|ln(x+1)|

22

2--,n

=2sinx(2cos-|1)l(x+1)|

=sin2x-|ln(x+1)|)

分別畫出函數(shù)y=sin2x,y=|ln(x+1)|的圖象，

由函數(shù)的圖象可知，交點個數(shù)為2.

所以函數(shù)的零點有2個.

故答案為：2.

【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

13.(5分)(2015?湖北)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西

偏北30。的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為30。，則此山的高度CD=_

IOOA/Rm.

【考點】解三角形的實際應(yīng)用.

【專題】計算題；解三角形.

【分析】設(shè)此山高h(m),在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC,進而在△ABC中利用正弦定理求得h.

【解答】解：設(shè)此山高h(m),則BC=J不，

在△ABC中，/BAC=30°,ZCBA=105%ZBCA=45",AB=600.

根據(jù)正弦定理得我2=600,

_sin30sin45

解得h=100加(m)

故答案為：100注.

【點評】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用.關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，將各個已知條件向這個主三角形集中，再通過

正弦、余弦定理或其他基本性質(zhì)建立條件之間的聯(lián)系，列方程或列式求解.

14.(5分)(2015?湖北)如圖，圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方)，

且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-\/)2=2；

(2)過點A任作一條直線與圓O：x,yJl相交于M,N兩點，下列三個結(jié)論：

①INAIJMAI：②ML-MU③皿

^|NB|IMBI^|NA|IMBI^|NA|IMBI"

其中正確結(jié)論的序號是①②⑶.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【專題】創(chuàng)新題型；簡易邏輯.

【分析】(1)取AB的中點E,通過圓C與x軸相切于點T,利用弦心距、半徑與半弦長之間的關(guān)系，計算即可;

(2)設(shè)M(cosa,sina),N(cosp,sinp),計算出I、?NA|.、_NB|的值即可.

IMBIiNBlNAI

【解答】解：(1)???圓C與x軸相切于點T(1,0),

圓心的橫坐標(biāo)x=l,取AB的中點E,

V|AB|=2,，|BE|=1,

則|BC|=&,即圓的半徑r=|BC|=a,

圓心C(1,&),

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-a)2=2,

故答案為：(x-1)2+(y-\[2)2=2.

(2);圓心C(1,a),AE(0,A/2),

又?..|AB|=2,且E為AB中點,

AA(0,1),B(0,揚1),

；M、N在圓O：x2+y2=l±,

,可設(shè)M(cosa,sina),N(cosp,sin。)，

?**lNAl=V(cosp-o)2+[sinP-(V^-1)]2

Fcos2S+sin*-2(a-1)sinB+3-2加

=V4-2V2-2(V2-l)sinP

二'2近(&-1)-2(.近-1)sinB

=、2(&-1)(&-sinB)，

網(wǎng)Bl=J(cosB-0)2+[sinB—(a+1)產(chǎn)

Feos：B+siYB-2sinb+3+2&

=Q4+2&-2(6+1)sinB

R2(&+1)~(&-sinB)'

?|NA|=/2(&7)(e一sinB)~~=慰-L反-1,

INBIy2(5/2M)(V2-sinP)vV2+1

同理可得如-1,

IMBI

.?一叫幽,①成立，

NB||MB

JNB_L.IMAJ^1_-(&-1)=2,②正確.

INAI|MB|V2-I

jNB_L+|MA|1_+(&-1)=2后，③正確.

INAIIMBIV2-1

故答案為：①②③.

【點評】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用三角函數(shù)值表示單位圓上點的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累,

屬于難題.

選修4-1：幾何證明選講

15.（5分）（2015?湖北）如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC=3PB,則塢1.

AC-2—

【考點】與圓有關(guān)的比例線段.

【專題】推理和證明.

【分析】利用切割線定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.

【解答】解：由切割線定理可知：PA2=PB?PC,又BC=3PB,

可得PA=2PB,

在4PAB與APAC中，ZP=ZP,NPAB=NPCA（同弧上的圓周角與弦切角相等）,

可得△PAB^APAC,

.AB^PB-PB-l

*'AC=PA-2PB-2,

故答案為：1

【點評】本題考查切割線定理以及相似三角形的判定與應(yīng)用，考查邏輯推理能力.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

16.（2015?湖北）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線1的極坐標(biāo)方

x=t--

程為p（sin0-3cose）=0,曲線C的參數(shù)方程為，%t為參數(shù)），1與C相交于A,B兩點，則|AB|=_2/心.

y=t+；

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；雙曲線的參數(shù)方程.

【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

【分析】化極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后求得交點坐標(biāo)，由兩

點間的距離公式得答案.

【解答】解：由p（sin6-3cos6）=0,得y-3x=0,

x=t-A

t(t為參數(shù))，兩式平方作差得：x2-y2=-4.

由c的參數(shù)方程為，

y=t+-

?y2=_4'得即乂=±孚

聯(lián)立，x3

，A哮挈,B(一冬一歲,

二|AB|=V(V2)2+(3V2)2=2V5-

故答案為：2A/^.

【點評】本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)

的計算題.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(11分)(2015?湖北)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(u)x+4?(w>0,I4>|<—)在某一個周期內(nèi)的圖

2

象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

UJX+4)0JIn3兀2R

~2F

XK5兀

T"T

Asin(u)x+4))05-50

(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；

(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動9(0>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一

個對稱中心為(旦L,0),求e的最小值.

12

【考點】由y=Asin(3X+6)的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin(3x+巾)的圖象變換.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】(D根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5,3=2,6=-工.從而可補全數(shù)據(jù)，解得函數(shù)表達式為f(x)=5sin(2x

6

-工).

6

(2)由(I)及函數(shù)y=Asin(3x+4))的圖象變換規(guī)律得g(x)=5sin(2x+26-—令2x+2e-2Lkn,解得

66

x=k兀兀_8,kez.令些+工-8=空，解得kez.由e>o可得解.

【解答】解：(1)根據(jù)表中己知數(shù)據(jù)，解得A=5,3=2,<t)=-2L.數(shù)據(jù)補全如下表：

6

3X+巾0兀713兀2瓦

~2

x兀兀7兀5打13冗

123126~12

Asin(u)x+(t))：050-50

且函數(shù)表達式為f(x)=5sin(2x-—).

6

(2)由(I)知f(x)=5sin(2x-得g(x)=5sin(2x+20-—L).

66

因為y=sinx的對稱中心為(kn,0),kGZ.

令2x+20-2L=kn,解得-e,kGZ.

62F

由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點（且L,0）成中心對稱，令里L(fēng)+工-。=且￡,

1221212

解得。=K2L-2Lkez.由6>0可知，當(dāng)K=1時，。取得最小值1L.

236

【點評】本題主要考查了由y=Asin（3x+4））的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（3x+巾）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)

用，屬于基本知識的考查.

18.（12分）（2015?湖北）設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,前n項和為Sn，等比數(shù)列｛bj的公比為q,已知b尸ai，b2=2,

q=d,Sio=lOO.

（1）求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式

（2）當(dāng)d>l時，記Cn=2\求數(shù)列｛.｝的前n項和Tn.

%

【考點】數(shù)列的求和.

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（I）利用前10項和與首項、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計算即可；

（2）當(dāng)d>l時，由（1）知小=生二，寫出Tn、2Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即

2n-12

可.

【解答】解：（1）設(shè)ai=a,由題意可得10a+45d=100

ad=2

a=9

解得a=l或<

d=2

當(dāng)a=l時,an=2n-1，bn=2n1；

d=2

a=9

n-1

當(dāng)4卜j,an=A(2n+79),bn=9?(-1)

n1

(2)當(dāng)d>1時，由(1)知an=2n-1>bn=2

.ajn-l

..cn=—5=-------

bn2n-1

；.Tn=l+3+5?工+7?工+9?工+...+(2n-1)?―—,

22223242n-1

』n=l?-1+3?—+5?—+7?—+...+(2n-3)?--+(2n-1)?-i-,

222223242n-12n

-(2n-1).工3-

+I1+I1'+1■■+~|■■1'+I...I.-

22223242n-22n2n

.\Tn=6-^2i^-.

2n-1

【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

19.（12分）（2015?湖北）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個

面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席.如圖，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PDL底面ABCD,且PD=CD,過棱PC

的中點E,作EF_LPB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.

（1）證明：PB_L平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉席，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若

不是，說明理由；

（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為三，求理的值.

3BC

【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定.

【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用.

【分析】解法1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PBLEF,DEnFE=E,所以PB,平面DEF,

即可判斷DE_L平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角.

（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線.利用直線平面的垂直判斷出DGJ_DF,DG1DB,根

據(jù)平面角的定義得出NBDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可.

解法2）

（1）以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量的數(shù)量積判斷

即可.

2）由PDL底面ABCD,所以尾（0,0,1）是平面ACDB的一個法向量；由（I）知，PBL平面DEF,所以尾

（-A.-1,1）是平面DEF的一個法向量.根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案.

【解答】解法1）（1）因為PDJ_底面ABCD,所以PD_LBC,

由底面ABCD為長方形，有BCLCD,而PDnCD=D,

所以BCJ_平面PCD.而DEu平面PDC,所以BC_LDE.

又因為PD=CD,點E是PC的中點，所以DEJ_PC.

而PCnCB=C,所以DE_L平面PBC.而PBu平面PBC,所以PB_LDE.

又PB_LEF,DEcFE=E,所以PB_L平面DEF.

由DEJ_平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個鱉席，其四個面的直角分別為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

（2）如圖1,

在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G,則DG是平面DEF與平面ACBD的交線.

由（I）知，PB_L平面DEF,所以PBLDG.

又因為PD_L底面ABCD,所以PD_LDG.而PDnPB=P,所以DG_L平面PBD.

所以DG_LDF,DG±DB

故/BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，

設(shè)PD=DC=1,BC=入，有BD=4]+入2,

在RSPDB中，由DF_LPB,WZDGF=ZFDB=—,

3

則tan于tan/DPF=^']+入2=如,解得入王/^.

所以匹=』立

CBX2_

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為四九匹返.

3BC2

（解法2）

（1）以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1,BC=L

則D（0,0,0）,P（0,0,1）,B（入，1,0）,C（0,1,0）,PB=（XI,-1）,點E是PC的中點，所以E（0,1,

2

于是福,幣=0，SPPB1DE.

又已知EF1.PB,而EDnEF=E,所以PB_L平面DEF.

因尾（0,1,-1）,DE-PC=0,則DE_LPC,所以DE_L平面PBC.

由DEL平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個鱉嚅，其四個面的直角分別為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

（2）由PDL底面ABCD,所以而=（0，0,1）是平面ACDB的一個法向量；

由（I）知I,PB，平面DEF,所以而=（-入，-1,1）是平面DEF的一個法向量.

若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為工，

3

則運