《電磁場與波簡明教程》課后答案-楊儒貴-劉運林

本題解參照課后習題答案（楊儒貴編著）（第二版）場波指導書

請勿用于商業(yè)用途

缺第二章，希望那個有才之士補上

題解一

第一章題解

1-1已知三個矢量分別為A=ex+2ev-3e:；B=3ex+ev+2e:；

C=2ex-ez.試求①|(zhì)Z|,|5|,|C|；②單位矢量e.,分，久;③48；④

AxB；⑤（Zx5）xC及（NxC）x5；⑥（/xC）.5及（Nx5）?C。

解①|(zhì)Z|=J』+4+H=〃+22+（—3）2=9

冏=啊+母+B；=V32+12+22=V14

|C|=依+C；+C；=722+02+（-l）2=V5

AA1

②否彳（％+24.3eJ

BB1了（3e*+%+2eJ

4

CC1

z?—__—__—（_2_e.「牝）

c|c|A/5V5

③A-B^AxBx+AyBv+AZBZ=3+2-6=—1

eee

4eyzxy:

?AxB=A,AyAz=12-3=7e<-l%-5e：

BxBvB二312

%’1

⑤（/x5）xC=7-11-5\=lle-3e+22e

0-1|xv:

2

八6%k4e二

因AxC=AxA■4=12-3=-2ex-5ey-4ez

-C|20-1

Jccv

《ey生

則(/xC)x5=-2-5-4=—6e*—8e,,+13e=

312

⑥(JxC)-5=(-2)x3+(-5)x1+13x2=15

(JxJB)-C=7x2+0+(-5)x(-l)=19o

1-2已知z=0平面內(nèi)的位置矢量/與X軸的夾角為a,位置矢量6與

X軸的夾角為尸，試證

cos(a-0)=cosacos夕+sinasin0

證明由于兩矢量位于z=0平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分

別表示為

A=ex\A\cosa-}-ev\A\sma

B=ex|B|COS/7+|5|sin/?

已知AB=|/4||5|cos(a-,求得

|j||B|cosacos+|4忸|sinasin/3

cos(a_,)=

即cos(6r-J3)=cosacos夕+sinasin0

1-3已知空間三角形的頂點坐標為右。1,-2)，巴(4,1,-3)及

舄(6,2,5)。試問：①該三角形是否是直角三角形；②該三角形的面積

是多少？

解由題意知，三角形三個頂點的位置矢量分別為

片=0-20；P2=4ex+ey-3e:；P3=6ex+2ey+5er

那么，由頂點P門旨向P2的邊矢量為

p2-p\=46-生

同理，由頂點尸2指向的邊矢量由頂點尸3指向Pl的邊矢量分別為

尸3-尸2=2ev+叫+8j4-尸3=—6幺一4一7%

因兩個邊矢量(尸2-尸)(尸「尸2)=0，意味該兩個邊矢量相互垂直，所

以該三角形是直角三角形。

因——用="2+」=后

I舄-引=722+12+82=V69，

所以三角形的面積為

S=1|P2-P,||P3-P2|=0.5Vn73

1-4已知矢量/=e*y+4，x,兩點Pi及尸2的坐標位置分別為々(2,1,-1)

及P2(8,2,-1)o若取Pi及P2之間的拋物線x=2/或直線片丹為積分路

徑，試求線積分r^-d/o

JP2

解①積分路線為拋物線。已知拋物線方程為x=2/,dx=4ydy,則

/4d/=[(ydx+xdy)=^(4y2dy+2y2dy)^^6y2dy^2y3^=—14

②積分路線為直線。因片，￡兩點位于z=-l平面內(nèi)，過兩點的直

線方程為歹一1=----(x-2),即6y=x+4,dx=6dy,貝lj

8-2

f4d/=f6ydy+(6y-4)dy=(12V—44=-14。

1-5設(shè)標量0=中2+/3,矢量/=2e*+2e,,-e=，試求標量函數(shù)。在點

(2,-1,1)處沿矢量/的方向上的方向?qū)?shù)。

解已知梯度

口』30d(P3①2°2、C2

V0=q丁+6、,二+6二=%夕+ev(2xy+z)+ez3yz-

ox-dydz

那么，在點(2,-1,1)處。的梯度為

V=ex-3ev—3cz

因此，標量函數(shù)◎在點(2,-1,1)處沿矢量力的方向上的方向?qū)?shù)為

N①、A=[ex—3ey—3ez)-(2ex+2%-cJ=2-6+3=-1

1-6已知標量函數(shù)0=[吊]?1197卜一2,試求該標量函數(shù)＜Z＞在點

P(l,2,3)處的最大變化率及其方向。

解標量函數(shù)在某點的最大變化率即是函數(shù)在該點的梯度值。已知標

量函數(shù)。的梯度為

口不d(P6①e①

N①=e、-----Fe”----+e_——

XdcxI'dCy4dcz

那么

z

▽◎=e'y^cosx^siny+eyy^sinyx^cosyy^~

將點P(l,2,3)的坐標代入，得(V0)p=-e,工e-3-e一正e-o那么，在尸

62

點的最大變化率為

|V0|=-e—e-3-e1兀，+27

1lp,6z26

P點最大變化率方向的方向余弦為

八a萬歷

cosa=0；cosp-——「；cos/=——.

V^2+27J72+27

1-7若標量函數(shù)為

=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z

試求在P(l,-2,1)點處的梯度。

解已知梯度VG=e、挈+e,孚+e一挈，將標量函數(shù)。代入得

dxdydz

V0=ev(2x+y+3)+?),(4y+x-2)+2(6z-6)

再將P點的坐標代入，求得標量函數(shù)0在尸點處的梯度為

(▽口=3%-9e>

1-8試求距離|八-41在直角坐標、圓柱坐標及圓球坐標中的表示式。

解在直角坐標系中

|4一止J62-X,)2+(為一必)2+七一zJ

在圓柱坐標系中，已知x=rcos。，y=rsin^,z=z,因此

coscosz2

,一41=我一4族y+(2sin人一。sin族了+(z2-z})

=M+r；_2r24cos(^2-0,)+(z2-zJ

在球坐標系中，已知X=〃sinecos0,y=rsinesin0,z=〃cose,因此

2r22

,一g|二J(弓sin。2cos°2-7|sin^(cos^)+(弓sin02sin(fi2-\sinQxsin)+(7%cos^2cos^)

="-2r2r\sm02singcos(^2-^)+cos02cos0X]

1-9已知兩個位置矢量八及r2的終點坐標分別為(八，4，必)及(々,。2，。2)，

試證勺與-2之間的夾角7為

cos/=sin4sin02cos(必一")+cosgcos%

證明根據(jù)題意，兩個位置矢量在直角坐標系中可表示為

八=exrlsingcos必+e*sin0]sin必+?〃cosg

r2=exr2sin02cos(/)?+evr2sin02sin%+ej?cos02

已知兩個矢量的標積為r}r2=同,21cos/,這里/為兩個矢量的夾角。因此夾

角y為

Ar.

C0S/=

kMihMl

式中

r

?2「々(sin'cos。]sin.cos%+singsin.sin02sin.

+COS。]cos%)

kihl=n^

因此，

cos/=sin仇sin02(cos必cos(f)2+sin必sin圾)+cos0]cos02

=sin0]sin02cos(必一么)+cos用cos02

1-10若C為常數(shù),4及A為常矢量，試證:

①V=Ckeckr

②V-（Aeckr）=Ck-Aeckr；

ckrckr

③^x（Ae）=CkxAea

證明①證明=Ckeckro

利用公式VF（0）=Ff（0）Vd）,貝ij

Vec*r=ectrV（CA-r）=CeclirV（k-r）

而V（A.r）=V（/cxx+kyy+kzz）=exkx+eyky+e.k.=k

求得N*，=Ckeckro

②證明V?（AeCkr）=Ck-AeCkr。

利用公式V-（@1）=0VZ+4V。，則

V-（AeCkr）=J-V（ec*r）+eCkrV-A=A-V（ec*r）

再利用①的結(jié)果，則V-（AeCkr）=Ck-AeCkr

③證明Vx（AeCkr）=CkxAeCkr。

利用公式▽x（G4）=V0x/+WxN,貝I」

Vx（AeCkr）=V（ec*r）xA+eCkrVxA=V（e"，）xA

再利用①的結(jié)果，則^x（AeCkr）=CkxAeCkr.

1-11試證上2"1,式中左為常數(shù)。

Ir）r

證明已知在球坐標系中

口2不1d（1d（.d<D\1d2（P

V①=r2----H------------sin0-n-----H------.........-

廠》［dr）廠sin63外dO）r2sin20

iae*-Qe*)=4[(—左上w(—1—什)+(—左上*]=/仁

r2drr~r

'ekr、

即V2

\r)

1-12已知某點在圓柱坐標系中的位置為（4,3）,試求該點在相應(yīng)

的直角坐標系及圓球坐標系中的位置。

解已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x=rcos</>,y=rsin^,z=z

因此，該點在直角坐標下的位置為

同樣，根據(jù)球坐標系和直角坐標系坐標變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,

+y2

r=y]x2+y2+z2；0=arctan-----------；。=arctan—

zx

可得該點在球坐標下的位置為

4

r=5；0=arctan—?53°；d）=120°

3

1-13已知直角坐標系中的矢量力=aex+力今+ce=，式中a,b,c均為常

數(shù)，/是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標系及圓球坐標系中的表示

式。

解由于/的大小及方向均與空間坐標無關(guān)，故是常矢量。

已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

z=z

求得Z=C

sin。=,；cos(b=

yla2+h2

又知矢量A在直角坐標系和圓柱坐標系中各個坐標分量之間的

轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將上述結(jié)果代入，求得

0

a

0b

1K

即該矢量在圓柱坐標下的表達式為

22

A=ery/a+b+e.c

直角坐標系和球坐標系的坐標變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

由此求得

矢量A在直角坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)

系為

4sin8ccs°sinOsin。

4=cos。cos。cos8sin°

4-sin°cos。

求得

4.sin。cos。sin6sin。cos。

4=cos6cos°cosOsin。一sinB

&?sin0cos。0

222

即該矢量在球坐標下的表達式為A^eryla+b+co

1-14已知圓柱坐標系中的矢量/=ae,+6q+ce=,式中a,b,c均為常

數(shù)，，是常矢量嗎？試求VZ及VxZ以及Z在相應(yīng)的直角坐標系及圓

球坐標系中的表示式。

解因為雖然。，b,c均為常數(shù)，但是單位矢量e,和與均為變矢，所以

工不是常矢量。

已知圓柱坐標系中，矢量力的散度為

口，=*（%）+*也

dz

1a

將/=ae+be@+ce二代入,得V-A=---（ar）+O+O

rrdr

矢量A的旋度為

——

rrrr

dddddd

VxA

drd（/）dzdrd（/）dz

444arhc

已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

x-rcos^;y-rsm（/）;z-z

xX

cos（/）=/二=—;sin,y

G+y2a7^7a

又知矢量A在直角坐標系和圓柱坐標系中各個坐標分量之間的轉(zhuǎn)換

關(guān)系為

-sin^04

cos。04

0A.

將上述接結(jié)果代入，得

xb

_y_0x——y

4aaaa

xh

A?y0y+—x

aaa

A.001c

即該矢量在直角坐標下的表達式為

A=\x--y^+[y+—bx^+ce,1x2+y2=

xv:4a2

矢量A在圓柱坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)

系

4.sin。0cos。A

4cos。0-sin。4

4010A.

。

J-r一

c

//,=

6r-

/do

即該矢量在球坐標下的表達式為"=

1-15已知圓球坐標系中矢量/=ae,,+be,+，式中，，c均為常

數(shù)，A是常矢量嗎？試求V.N及Vx/,以及A在直角坐標系及圓柱

坐標系中的表示式。

解因為雖然。，仇c均為常數(shù)，但是單位矢量e,，〃均為變矢，

所以Z不是常矢量。

在球坐標系中，矢量力的散度為

=（r24）+——-（sin叫）

廣dr'rsin0d0尸sin。（3。）

將矢量Z的各個分量代入，求得￥./=即+紇0詁。

rr

矢量力的旋度為

e<hp

r2sin6尸sin。r

ddd

VxA=

dr~se而

44rsin以0

%分J

r2sin6rsin。r

ddd__b

drdea。r

arbrsmOc

利用矢量A在直角坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉(zhuǎn)

換關(guān)系

4sin。cos。cos6cos。

4，=sinOsin。cossin

4cos。一sin。

+y+/

求得該矢量在直

cosB

角坐標下的表達式為

—

a

/

利用矢量A在圓柱坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉(zhuǎn)

換關(guān)系

b

r+—z

cos。0

01h

-sin。0b

z----r

求得其在圓柱坐標下的表達式為

b

/=r+—z+c%+

a

題解三

3-1若真空中相距為"的兩個電荷切及歟的電量分別為夕及曲，當點電荷/位于外及儀

的連線上時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求《的大小及位置。

解要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點電荷。受到點電荷力及飲的力應(yīng)該大小相等，方向相反，

ff

即工=乙那么，由q、q,=q兇,=?々=2外,同時考慮到八+々=1,求得

徊何4%/4叫]

1,2,

可見點電荷,可以任意，但應(yīng)位于點電荷外和外的連線上，且與點電荷％相距;

3-2已知真空中有三個點電荷，其電

別為：

%=1C,片(0,0,1)

q2=ic,P2(1,0,1)

%=4C,6(0,1,0)

試求位于P(0,-1,0)點的電場強度。習題圖3-2

解令外,々,6分別為三個電電荷的位置4,乙，4到2點的距離，則。=&，々=百，

〃=20

利用點電荷的場強公式E=—^er，其中e,為點電荷q指向場點尸的單位矢量。

4%產(chǎn)

那么，

一在P點的場強大小為g=■,%2,=‘方向為3=--^(ev+e:).

4乃8笳01<2

%在尸點的場強大小為E2=——―-=--一，方向為er2=—](么+分+eJ。

~4疝-o212疵0V3'

%在尸點的場強大小為53=-，方向為叫=—%,

^7t￡^%45

則尸點的合成電場強度為

E-E}+E2+E3

3-3直接利用式（3-1-14）計算電偶極子的電場強度。

解令點電荷-]位于坐標原點，r為點電荷-4至場點尸的距離。再令點電荷+q位于+z坐

標軸上，分為點電荷至場點尸的距離。兩個點電荷相距為/,場點尸的坐標為（r,。,。）。

根據(jù)疊加原理，電偶極子在場點P產(chǎn)生的電場為

4fI廠八）

考慮到r?/,e1.=er,ri-r-lcosO,那么上式變?yōu)?/p>

(22\.q（（八一r）（4+1）]

0qA一丫

E-e-4%1f2Jr

4f\r；)r

存41+與一2—『

式中r/1=(r2+/2-2r/cos6

/（尸r）

I

I、.(I2/丫5

以一為變量，并將1H—Q—Z「cos。在零點作泰勒展開。由于/<<〃，略去高階

rl尸〃）

項后，得

-iIf./11

—cos^

r)Ar

利用球坐標系中的散度計算公式，求出電場強度為

E=--^—\V|-+-^cos^]_"]=跡塔.+迺%

4乃41廠r）1尸〃2%分尸4萬％產(chǎn)

3-4已知真空中兩個點電荷的電量均為2xlO%C,相距為2cm,如習題圖3-4所示。試求:

①尸點的電位；②將電量為2xl0-6c的點電荷由無限遠處緩慢地移至2點時，外力必須作

的功。

習題圖3-4

解根據(jù)疊加原理，P點的合成電位為

°=2x，-=2.5xl()6(v)

4萬％尸

因此，將電量為2*10-6(2的點電荷由無限遠處緩慢地移到尸點，外力必須做的功為

W=(pq=5(J)

3-5通過電位計算有限長線電荷

的電場強度。

解建立圓柱坐標系。令先電

荷沿z軸放置，由于結(jié)構(gòu)以z軸對稱，場J強與。無關(guān)。

為了簡單起見，令場點位于yz平面。

設(shè)線電荷的長度為L,密度為

Pi，線電荷的中點位于坐標原

點，場點尸的坐標為卜,z)。

利用電位疊加原理，求得場點

習題圖3-5

產(chǎn)的電位為

d/

4^02

式中為=—+產(chǎn)。故

(p=——Inz-l+

4fL

因七=-V°,可知電場強度的z分量為

+(Z+〃2)2yjr2+(Z-L/2)2

-——(sind2-sin仇)

^7ts^r

電場強度的r分量為

Pl__________________2__________________

4B。J(z++戶(z+〃2+J(z+〃2F+戶)

J(z—A/2)-+7一(z-Li2+J(z-A/21+廠

=——(cos6,-cos凡)

4兀%八

式中d=arctan—，，02=arctan―那么，合成電強為

LJLJ

E=0[(sin02-sin仇)e2-(cos-cos6、)er]

4%尸

當L—>8時，，—>0,f兀,則合成電場強度為

E=一--e,

27t￡or

可見，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完全相同。

3-6已知分布在半徑為°的半圓周上的電荷線密度自=Asin。，萬，試求圓心

處的電場強度。

習題圖3-6

解建立直角坐標，令線電荷位于號平面，且以y軸為對稱，如習題圖2-6所示。那么，點

電荷0d/在圓心處產(chǎn)生的電場強度具有兩個分量芻和由于電荷分布以y軸為對稱，因

此，僅需考慮電場強度的E”分量，即

dE=dEv=6d1,sin°

'4f。

考慮到d/=ad=asin。，代入上式求得合成電場強度為

E=ey-sin2(/)A(f)='。-e

1

4%。Ssoa

3-7已知真空中半徑為。的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為外，試求通過圓心的軸線上

任一點的電位及電場強度。

y

習題圖3-7

解建立直角坐標，令圓環(huán)位于坐標原點，如習題圖2-7所示。那么，點電荷自出在z軸上

產(chǎn)點產(chǎn)生的電位為

4g/

根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在P點產(chǎn)生的合成電位為

廣，

加d/=—F,

2

小r^Tte^r24J/4-z

因電場強度E=-▽9，則圓環(huán)線電荷在尸點產(chǎn)生的電場強度為

E=-e.^=ePQZ

Z222

zdz2￡o[a+zy

3-8設(shè)寬度為憶面密度為p.s的帶狀電荷位于真空中，

試求空間任一點的電場強度。

(a)(b)

習題圖3-8

解建立直角坐標，且令帶狀電荷位于XZ平面內(nèi)，如習題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很

多條寬度為dx'的無限長線電荷，其線密度為qdx'。那么，該無限長線電荷產(chǎn)生的電場

強度與坐標變量z無關(guān)，即

dE=------er

r

2?！阰

式中尸=J（X-E）2+'2

e,=e*二-+"l=4%（x—x）+ey]

rrr

得?心;"A忤12

那么E=E2匐（紇；；+/附7'）+，削

ww

X-----XH----

72

arctan-------arctan.......-

yy

3-9已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a,面電荷密度

為P5,位于z=0平面，且盤心與原點重合，試求圓盤

軸線上任一點電場強度E。

x

習題圖3-9

解如圖2-9所示，在圓盤上取一半徑為尸，寬度為dr的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量為

Qq=2m“Ps。由于對稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點尸產(chǎn)生的電場強度僅的r有z分

量。根據(jù)習題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場強度的z分量為

_zrp^r

入…嚴

那么，整個圓盤電荷在P產(chǎn)生的電場強度為

2pzrdr_pAzz

一小…嚴2。［目戶總

3-10已知電荷密度為Ps及-夕S的兩塊無限大面電荷分別位于工=0及x=1平面，試求

x>l,0<x<l及x<0區(qū)域中的電場強度。

解無限大平面電荷產(chǎn)生的場強分布一定是均勻的，其電場方向垂直于無限大平面，且分別

指向兩側(cè)。因此，位于x=0平面內(nèi)的無限大面電荷2s，在xv0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度

E；=-e禺,在x>0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度以=exE］。位于x=1平面內(nèi)的無限大面電

荷一PS，在X<1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度E；=《￡2,在X>1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度

Ez=-e￡。

由電場強度法向邊界條件獲知，

=2，L=O^E--￡OE^=~ps\x=0

E

即4片+%紇=PsL=o-￡O2=-AL=1

由此求得￡,=E2=-^-

2%

根據(jù)疊加定理，各區(qū)域中的電場強度應(yīng)為

E=Ey+=-eE+=0,x<0

x}CXE2

E=￡*；+E；=exEx-\-exE2=0<x<1

%

E=E；+用=exE]-exE2=0,x>1

3-11已知空間電場強度E=3e*+4%,-5e.,試求(0,0,0)與(1,1,2)兩點間的電位差。

解設(shè)尸I點的坐標為(0,0,0,)，生點的坐標為(1,1,2,),那么，兩點間的電位差為

展,Ed/

式中E=3ex+4et,-5ez,d/=exdx+eydy+e.dz,因此電位差為

展黑(3dx+4dy_5dz)=—3(V)

3-12已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導體半徑為“，外導體的內(nèi)半徑為從若填充介質(zhì)的相對介電

常數(shù)￡,.=2。試求在外導體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內(nèi)外導體半徑之比。

解已知若同軸線單位長度內(nèi)的電荷量為%,則同軸線內(nèi)電場強度E=—人/。為了使同

2萬夕

軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持內(nèi)外導體之間的電位差V不變的情況下，使同軸線內(nèi)最大的

電場強度達到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導體表面r=。處的電場強度達到最小值。因為同軸線單位

長度內(nèi)的電容為

則同軸線內(nèi)導體表面r=。處電場強度為

b

E(a)=—"J—r-="――Md

令6不變，以比值々為變量，對上式求極值，獲知當比值2=?時-，E(a)取得最小值，即

aa

同軸線獲得最高耐壓。

3-13若在一個電荷密度為P，半徑為。的均勻帶電球中，存在一個半徑為b的球形空腔,

空腔中心與帶電球中心的間距為d,試求空腔中的電場強度。

習題圖3-13

解此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設(shè)半徑為。的整個球內(nèi)充滿電荷密度為。的

電荷，則球內(nèi)尸點的電場強度為

p143P

。1戶珂Pe=—

4萬4尸之3r3^0

式中r是由球心。點指向P點的位置矢量,

再設(shè)半徑為b的球腔內(nèi)充滿電荷密度為一夕的電荷，則其在球內(nèi)P點的電場強度為

E”=------=--^~

-

4?！?r33/

式中r'是由腔心。'點指向P點的位置矢量。

那么，合成電場強度E/+E2P即是原先空腔內(nèi)任一點的電場強度，即

Ep=EIP+E

式中〃是由球心。點指向腔心。'點的位置矢量?？梢?，空腔內(nèi)的電場是均勻的。

3-14將塊無限大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場E中，周圍媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板

的介電常數(shù)為￡,均勻電場E的方向與介質(zhì)板法線的夾角為可，如習題圖2-20所示。當介

質(zhì)板中的電場線方向W=生時，試求角度a及介質(zhì)表面的束縛電荷面密度。

4

習題圖3-14

解根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場強度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。

因此可得

Esinq=E2sin02；Dcos*-D2cos02

已知D=￡{}E,D2=EE2,那么由上式求得

⑦""=包=tan4=-tan02=包=〃=arctan包]

tan%￡￡￡\￡J

已知介質(zhì)表面的束縛電荷p：=en-P=en-(D-￡0E),

那么，介質(zhì)左表面上束縛電荷面密度為

=。,P,=e”[-1--0,=11-且enl-D,4￡cosa介質(zhì)右表面上

I〃I〃I￡)

束縛電荷面密度為

/\/\/\

。:2=e“2書=C"2，1-|。2=1-Cn2"^2~1~C0S4

\￡)\S)kS)

3-15已知兩個導體球的半徑分別為6cm及12cm,電量均為3xl0fc,相距很遠。若以

導線相連后，試求：①電荷移動的方向及電量；②兩球最終的電位及電量。

解設(shè)兩球相距為d,考慮到兩個帶電球的電位為

s1偏4％1°_1(%工始

(P、---------1---;①、=-------+—

4醞1ad14多I6d)

兩球以導線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，即0=%

及％+矽=<7=6x106(C),

求得兩球最終的電量分別為

0j_；q=2x[0-6(c)

ad+ba-2ab3

=h{d-a)7%27=4xio-^c)

2ad+bd-2ab3''

可見，電荷由半徑小的導體球轉(zhuǎn)移到半徑大的導體球，移動的電荷量為1x10-69)。

兩球最終電位分別為

5

(p.?—1—^-=3X10(V)

4%4a

12=3xlO5(v)

《密b

3-16如習題圖3-16所示，半徑為〃的導體球中有兩個較小的球形空腔。若在空腔中心分

別放置兩個點電荷夕?及42,在距離廠＞＞。處放置另一個點電荷公，試求三個點電荷受到的

電場力。

習題圖3-16

解根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導體

空腔具有靜電屏蔽特性。因此，外與力之間沒有作用力，/對于%及%也沒有作用力。但

是外及%在導體外表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷-%及-%，對于%有作用力?？紤]到廠＞＞。，根據(jù)庫

侖定律獲知該作用力為

,(一+以口

J~A2

3-17已知可變電容器的最大電容量Cmax=100PF，最小電容量C^n=1°PF，外加直流電

壓為300V,試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中外力必須作的功。

解在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡?/p>

場儲能的增量，即

嗅源+%卜=△匕

式中%源=必q=r(cmaxr-cminr)=81x爐⑴

26

A^=1(cmax-cmin)r=4.o5xio-(j)

因此，外力必須作的功為

啊卜=-4.05x10-60)

3-18若使兩個電容器均為C的真空電容器充以電壓修后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中

之一填滿介電常數(shù)為￡，的理想介質(zhì)，試求：①兩個電容器的最終電位；②轉(zhuǎn)移的電量。

解兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對介電常數(shù)為￡，理想介質(zhì)后，兩電容

器的電容量分別為

G=c,C2=src

兩電容器的電量分別為名,私，且

%+心=2CV

由于兩個電容器的電壓相等，因此

&=區(qū)nq="

GC2

聯(lián)立上述兩式，求得

2CV2CV￡r

%=T,-，%=-T------

1+J1+￡廣

因此，兩電容器的最終電位為

/'=魚=生=2"

GC]1+sr

考慮到%>/，轉(zhuǎn)移的電量為

Aq=q,-CV

■邑+1

3-19同軸圓柱電容器的內(nèi)導體

半徑為“，外導體半徑為6,其

內(nèi)一半填充介電常數(shù)為名的介

質(zhì)，另一半填充介質(zhì)的介電常

數(shù)為?，如習題圖2-27所示。習題圖3-19

當外加電壓為“時，試求：①電容器中的電場強度;

②各邊界上的電荷密度；③電容及儲能。

解①設(shè)內(nèi)導體的外表面上單位長度的電量為q,外導體的內(nèi)表面上單位長度的電量為

-q.取內(nèi)外導體之間一個同軸的單位長度圓柱面作為高斯面，由高斯定理

40ds-q(a<r<b)

求得"(a+3)=q

已知R=￡gi，D2=￡2E2,在兩種介質(zhì)的分界面上電場強度的切向分量必須連續(xù)，即