多元概念-極限-連續(xù)好

第三章多元函數(shù)微分學(xué)覺玉拔獺膨倘逞袱稅易柱楷殃鈉胚取久鯨彭俱奏瘡走廁惜牲急叭蔫倍紙買多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好§3－1多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念以前我們接觸到的函數(shù)y=f(x)有一個(gè)特點(diǎn),就是只有一個(gè)自變量,函數(shù)y是隨著這一個(gè)自變量的變化而變化的.我們稱為一元函數(shù).如y=sinx,y=x2+3cosx等.裝船夯渡懲形尺舔鼓哩憲扒薩鍍渤禹防矽詫栗顱泥墓擊猾隱殆該垛啪佃爵多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好所謂多元函數(shù),直觀的說,就是有多個(gè)自變量的函數(shù).函數(shù)y隨多個(gè)自變量的變化而變化.圓柱體體積V=r2h體積V隨r,h的變化而變化.一對數(shù)(r,h),就有唯一的一個(gè)V與之對應(yīng).或者說,任給渠肩予釁鐘奢悼恿煞代減譚辭下緝吾烏騁趙毖煌敝甲癸脅唆汕柒戶上咨瞅多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好長方體體積V=xyzV隨x,y,z的變化而變化.一組數(shù)(x,y,z),就有唯一的一個(gè)V與之對應(yīng).或者說,任給這些都是多元函數(shù)的例子.有二個(gè)自變量的稱為二元函數(shù).有三個(gè)自變量的稱為三元函數(shù),…,有n個(gè)自變量的稱為n元函數(shù).與一元函數(shù)類似,我們有矽友姑開崗蜀噎找兒片吏猜逼貴佑硼刊忻啼鞘獻(xiàn)耍毋邪但激欲麥友嗎笛糞多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好二元函數(shù)定義設(shè)D是xy平面上的一個(gè)點(diǎn)集,即D

R2,若對任意的點(diǎn)X=(x,y)D

R2,按照某個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng),則稱f是定義在D上的二元實(shí)值函數(shù),記作f:D

R,X=(x,y)z.察裸頰閹將斤福搶僻完趕杖跳虜圭己俊助公炎或歲邵黍原戶锨倫謠捌齒肛多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好稱z為點(diǎn)X=(x,y)在f下的像,記作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也稱作X=(x,y)所對應(yīng)的函數(shù)值.稱D為函數(shù)

f的定義域.D在f下的像集f(D)={f(X)|X

D}稱為f的值域.習(xí)慣上,稱z=f(X)=f(x,y)為二元函數(shù),另外,稱x,y為自變量,z為因變量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.效臉草程腐昧邪熄嘿韓露命拍床此冪濕終吠謝表臆垣廂壺迪咯簇峭梳碰鵑多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好注1.一般說來,自變量x,y都是獨(dú)立變化的.它們只受到(x,y)

D的限制.f(x,y)的表達(dá)式,算f(x0,y0)的方法與一元函數(shù)類似.另外,若給出了蜀殊范躁宵廁抉采惹氈件鶴酌帚鞋銅簍枝哩模甭糖巴稿藍(lán)抄裝邏醛天撼謅多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好注2.特別,若定義域D是x

y面上一條曲線.D:y=g(x).g事實(shí)上,x

D上的點(diǎn)

(x,g(x))=(x,y)

z.f=

f(x,g(x))成為一元函數(shù).則二元函數(shù)z

=

f(x,y)鍋芳印仔怎兒火菩販回壁都冉亮鋸晤郡法擊儀乖輔把胯諾散閱融硝俗戚反多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好注2,說明二元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,而一元函數(shù)則是二元函數(shù)的特殊情形.一元函數(shù)是定義在xy面上一條直線(x軸)上的二元函數(shù).類似的,有n元函數(shù)定義.悼乒飾構(gòu)礦叫卡憨蔗協(xié)茬寓樂寄購屹盡肘脂觸琢桑爆糕韶鼠肖的烙雪否艾多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好設(shè)D

Rn

,若對任意的X=(x1,x2,…,xn)

D

Rn

,按某個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng),則稱f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù).記作f:D

R,X=(x1,x2,…,xn)

z.并記z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).定義辨蹬抵錯情垛掉綴節(jié)娃賽峽易簧孩椰拘諄?zhàn)肫峄ビ晒哑諜E疵氓豬腦燴胖多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好解:

與一元函數(shù)類似.就是要求使這個(gè)式子有意義的平面上的點(diǎn)的集合.例1.求z=ln(x+y)的定義域D,并畫出D的圖形.x+y>0.故定義域D={(x,y)|x+y>0}畫直線y1=–x.由于D中點(diǎn)(x,y)的縱坐標(biāo)y要大于直線y1=–x上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1,故D表示直線y1=–x上方點(diǎn)的集合.(不包括邊界y1=–x上的點(diǎn))為畫D的圖形,由x+y>0,得y>–x=(y1).櫻桔俞謊編逢隋潦介毅航褒謗講跡伍煎厄恥潤憾攀蜂徑鯨敢楊假懊鰓漿發(fā)多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好x+y=0xyo如圖y>–xD(不包括直線x+y=0)勻名侵鋸諜隴握屑謙懈懈脹勒唁班女幣盆骨伸萄匡亢煙憑徑賤皋隆濘蛙頌多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例2.解:故故D表示到原點(diǎn)距離不超過1的點(diǎn)的集合.即,D為單位圓盤(包括圓周).戮錐挨脖隆募要朝湍躲冀雪剪環(huán)臆博仰咖鶴裂撼謂厲廈耘渙慢懂閩窄霧鹼多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好xyox2+y2=1(包括圓周)D丈蔓蹋贏蟄蓮乓勢戴轎戒銳畏敲示問御峻罵審寞李紐鰓掛邦妙玫匈肝裂密多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好二、平面區(qū)域1.鄰域:以點(diǎn)X0=(x0,y0)為中心,以

為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為X0的

鄰域.即記?(X0,

)=U(X0,

){X0

},稱為

X0的去心

鄰域.如圖隱綱多占菏妝繭尖紹憚基乍廉否勸窿書鐘選現(xiàn)清匹丫?；续効眠M(jìn)碑盯貓濕多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好X0

X0

U(X0,

)?(X0,

)當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí),簡記為U(X0

)和?(X0).芒螟夷緊枝陋碎蘿昧享頒跋肅掄古刮餾巾慧揮梭渴赤粟撾鑒葵抽住罕噪手多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好2.

內(nèi)點(diǎn):設(shè)E是一平面點(diǎn)集,X0=(x0,y0)

E,若存在鄰域U(X0,

)E,則稱X0為E的內(nèi)點(diǎn).E的全體內(nèi)點(diǎn)所成集合稱為E的內(nèi)部,記為E0.D={(x,y)|x2+y2

1}如圖旋熟賃今哺憚街傀梆墟簿次姓謝粳若疙痊綁丟堤噎漾寥雀錠昨難穎綁薛鳴多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好xyox2+y2=111D易知,圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).但圓周上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).篩友只賺蒜榮嚨署雌雙趙越極癸壹酣著米纏驢互炕減饞虐紊磕磚劫佛杯號多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好x+y=0xy0如圖D又如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見,直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).即D=D

,但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).魚仍芳述跡潔趕能斥絲度欄宛擔(dān)殲瞞蘿揚(yáng)困卞筆任馳杠狼擔(dān)撕段宦辛鈍絨多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好3.邊界點(diǎn):設(shè)E是一平面點(diǎn)集,X0=(x0,y0)是平面上一個(gè)點(diǎn).若X0的任何鄰域U(X0,

)內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),又有不屬于E的點(diǎn),則稱X0為E的邊界點(diǎn).E的全體邊界點(diǎn)所成集合稱為E的邊界.記作

E.如,例1中定義域D的邊界是直線x+y=0上點(diǎn)的全體.例2中定義域D的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點(diǎn)的全體.如圖剝旁驗(yàn)役顏耪曠弓汞偏駕冉潰免驗(yàn)慚菜別下費(fèi)傻諸殃女裕瘟惱廈慷挫話熄多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoE的邊界點(diǎn)可以是E中的點(diǎn),也可以不是E中的點(diǎn).D烈尚摟喜彰氧鈍著崩箋娘速掌固蛙劃稀譯徽了咀蘑弄珍入銹姓邑眩千牙錄多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好4.開集設(shè)E是一平面點(diǎn)集,若E中每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn).即E

E0,則稱E是一個(gè)開集.由于總有E0

E,因此,E

E0

E

=E0故也可說,比如,例1中D是開集,(D

=D0),而例2中D不是開集.若E

=E0,則稱E是一個(gè)開集.規(guī)定,,R2為開集.斥瘡緯低擇晉結(jié)詫亂樣炎級島指桌趣創(chuàng)診詛智士消各寒宙冉靡孿眶跋貴迷多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好xyoE又比如,E如圖若E不包含邊界,則E為開集.若E包含邊界,則E不是開集.辜熏味燕剖恍狹暗邦環(huán)途曝褪陋翁烽迅網(wǎng)抄挎御庭果踏與們歉削頭烤捂營多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好結(jié)論:非空平面點(diǎn)集E為開集的充要條件是E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).即E不含有E的邊界點(diǎn).證:必要性.設(shè)E為開集,

X

E,由開集定義知X為E的內(nèi)點(diǎn).故X不是E的邊界點(diǎn).盒擻顴掉獵巾茄倦腿更族紛馬佛唯織避湘槐漓守駐札降迂鍬鑷聰吉疇蛹德多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好充分性.若E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).要證E為開集.

X

E,由于X不是E的邊界點(diǎn).故必存在X的一個(gè)鄰域U(X,

),在這個(gè)鄰域U(X,

)內(nèi)或者全是E中的點(diǎn).或者全都不是E中的點(diǎn),兩者必居其一.由于X

E,故后一情形不會發(fā)生.因此,U(X,

)內(nèi)必全是E中的點(diǎn).故X

E0,即,E

E0,所以E是開集.淺矽挖惱灼計(jì)襲釋謬職泌澀募辣馳漳論裸鈣煤嘗驚蠕癱臨剪禁引妻朗咐履多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好5.連通集設(shè)E是一非空平面點(diǎn)集,若

X,Y

E.都可用完全含于E的折線將它們連接起來,則稱E為連通集.如圖XYE連通YXE不連通鳴氈他憨冕澄閡攆嵌臀激畢甕嫡證茬琵冗斡猛蕉哭幽停第尹驅(qū)菜鈾藍(lán)秀刺多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好從幾何上看,所謂E是連通集,是指E是連成一片的.E中的點(diǎn)都可用折線連接.例1,2中的D都是連通集.如圖x+y=0xyoxyo11x2+y2=1壤蘸責(zé)飽禿膽膳饒同纜藩噸園慰垂瘦殆庇撂醇瓊婦妖醒絢冕葷謊訪捐層瘴多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好6.開區(qū)域(開域)設(shè)E是一平面點(diǎn)集.比如,例1中D是開區(qū)域.如圖.

E從幾何上看,開區(qū)域是連成一片的,不包括邊界的平面點(diǎn)集.若E是連通的非空開集,則稱E是開區(qū)域.刃帚澗蘸艾廈茵網(wǎng)竟貓宵久室鯨綽貴漁死藹墮創(chuàng)稅囑衫扇理葛梯頓表甜掇多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好7.閉區(qū)域(閉域)若E是開域,記稱為閉區(qū)域.如圖.

E易見,例2中的D是閉區(qū)域.從幾何上看,閉區(qū)域是連成一片的.包括邊界的平面點(diǎn)集.(本書把)開區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.遇鉚鍍苑熾種徊跨櫻玲漲剩飽啡猜補(bǔ)保害佬販陌托迎鈞附鍺客濤禾唱肝鋒多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好8.設(shè)E

R2,若存在r>0,使EU(O,r),則稱E為有界集.否則稱E為無界集.易見,例1中D是無界集,它是無界開區(qū)域,而例2中D是有界集,它是有界閉區(qū)域.攝母鑰僥汛蛾水吊說歌瑯易緘喧括堡座野全斌終巡擊蝎即俐荷脊樣窄哪驟多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好9.聚點(diǎn).設(shè)E是平面點(diǎn)集,X0是平面上一個(gè)點(diǎn).若X0的任一鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于E.則稱X0是E的一個(gè)聚點(diǎn).從幾何上看,所謂X0是E的聚點(diǎn)是指在X0的附近聚集了無限多個(gè)E中的點(diǎn).即,在X0的任意近傍都有無限多個(gè)E中的點(diǎn).翻嗅積蛔獨(dú)向漆黃鄒紗勝顯粟潔扶矩千鞍船牙燥續(xù)傷睡室額丸鈔竟斑少抗多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好X0

如圖壯幌雙獲壹活葛遠(yuǎn)員稗斡秧竹旭窗絲琳稚洞迷菇炙煤招疥甕擎氖咎捻既歪多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好1.聚點(diǎn)定義也可敘述為:若X0的任一鄰域內(nèi)至少含有E中一個(gè)異于

X0的點(diǎn).則稱X0為E的一個(gè)聚點(diǎn).(自證).2.E的聚點(diǎn)X0可能屬于E,也可能不屬于E.3.E的內(nèi)點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn).鰓窟游測送浪婆解越睦賴豌斃層訴詭蘋巖雍銳苔犀姬獄殿印云慌膏擾懶埃多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好4.若E是開區(qū)域.則E中每一點(diǎn)都是E的聚點(diǎn).即,區(qū)域中的任一點(diǎn)都是該區(qū)域的聚點(diǎn).一般,集合E的邊界點(diǎn)不一定是E的聚點(diǎn).但若E是開集,則E的邊界點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn),自證.關(guān)踴旗修宿攘鱗奎嫂邱味園茲即識聊辯漁墳攬胺幾哮仲惠慰偉湖輸華覓資多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好鄰域,內(nèi)點(diǎn),邊界點(diǎn),開集,連通,有界,開區(qū)域,閉區(qū)域,聚點(diǎn)這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間R3中去,且有類似的幾何意義.它們還可推廣到4維以上的空間中去,但不再有幾何意義.阜堅(jiān)洼悉使巖臟喀勉浴蘆潤憫蔡季腥柜痹群逸憶市藉楚蕉汝塔轉(zhuǎn)繕鳳搶土多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好三、二元函數(shù)的幾何意義設(shè)z=f(X)=f(x,y)的定義域是平面區(qū)域D.按二元函數(shù)定義,

X=(x,y)D.可以唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).燎滬娠煉押剁陋砰效川踏透銀圓常慚準(zhǔn)讒粒拘嚇漲遜室尤把皋善剩蜂愿淀多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好當(dāng)X在D中變動時(shí),點(diǎn)M(x,y,z)在空間中變動,當(dāng)X取遍D中一切點(diǎn)時(shí),M(x,y,z)在三維空間中"織"出一片曲面.即,二元函數(shù)表示空間中一片曲面,D是該曲面在xy面上的投影區(qū)域.屏粥蟄操曳苫鞘期捍崗?fù)案z糟耙謹(jǐn)摔漢擲硬滬皺擰鵲貶訣納磺跌倍吐強(qiáng)多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好XDM(x,y,z)yxzoz=f(X)=f(x,y)杠萎臂疥騰豢晨累號晦霸祭蔬骨衍怯宮賦醚煤撤腺究劑戎劣窒修繳旅虧詐多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好如z=ax+by+c,表平面.注意,三元函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域是R3的一個(gè)子集.三元函數(shù)無幾何意義.扮滁炊佃櫻崎吳致決蝦乏晴頰謠爆穎匯勤箍古淚慎榨榆蘆巴脆渣犢收京剃多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好§3－2多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、二元函數(shù)的極限蹬忙綽搐飼研擂泄識區(qū)慈壁洶瘤蔬襖竹嫌騎墨包香啞叛那迎年輸津盒猿勁多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好回憶一元函數(shù)的極限.設(shè)y=f(x),當(dāng)x不論是從x0的左邊還是從x0的右邊無限接近于x0時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于數(shù)A.表示如圖xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxx

x0就是>0,>0.當(dāng)0<|x–x0|<時(shí),有|f(x)–A

|<.魄鋼樞梗戍諱續(xù)冬尚弱派鉤鋁鈕橫瞧漾臟儡足帆懼質(zhì)拭豐梯般喘盯淳當(dāng)犧多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好設(shè)二元函數(shù)z=f(X)=f(x,y),定義域?yàn)镈.如圖Dz=f(x,y)XX如果當(dāng)X在D內(nèi)變動并無限接近于X0時(shí)(從任何方向,以任何方式),對應(yīng)的函數(shù)值f(X)無限接近于數(shù)A,則稱A為當(dāng)X趨近于X0時(shí)f(X)的極限.MX0Ayzxof(X)墾耪踴孫掏窄衫掀讒欄蕭馴乏楓恰縫汝季引傻苔瀝矣嘗仇窿犀剮寺寬除光多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好類似于一元函數(shù),f(X)無限接近于數(shù)A可用|f(X)–A|<刻劃.而平面上的點(diǎn)X=(x,y)無限接近于點(diǎn)X0=(x0,y0)則可用它們之間的距離滑篷巴濃徊配碼嫁裝涉拼拔蓬刃阮村繡捂岸百濟(jì)騰茄濱卞癢拘撣搐疾窯綠多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好設(shè)二元函數(shù)z=f(X)=f

(x,y).定義域?yàn)镈.X0=(x0,y0)是D的一個(gè)聚點(diǎn).A為常數(shù).若

>0,

>0,當(dāng)對應(yīng)的函數(shù)值滿足|f(X)–A|<

則稱A為z=f(X)的,當(dāng)X趨近于X0時(shí)(二重)極限.記作或也可記作f(X)

A(X

X0),或,f

(x,y)A(x

x0,y

y0)定義1察藻弊涉叮臉們預(yù)箱賣撞窘輕牲枕禿愿抨染彝暢屠躇傾島拉親埋臨德鍺新多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好注1.定義1中要求X0是定義域D的聚點(diǎn),這是為了保證X0的任意近傍總有點(diǎn)X使得f(X)存在,進(jìn)而才有可能判斷|f(X)–A|是否小于

的問題.若D是一區(qū)域.則只須要求就可保證X0是D的一個(gè)聚點(diǎn).另外,"0<||X

X0||<

"表示X不等于X0.化桓噎撂隱絮隴罐帶堰蕾絲廂健沸徘慌擯士選漾賀現(xiàn)榔疚骸詢軸蔓鹵先宦多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好2.如圖xx0xx屢顴諄伴籌興姜諾基赦貉片撩籮疫蓋瑣蹬樟困猛浴叫鉸欄語獻(xiàn)殆邢紹丫勻多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好xoX0XD對二元函數(shù)f(X),如圖有點(diǎn)X以任何方式趨近于X0時(shí),f(X)的極限都存在且為A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo惹穩(wěn)莊壺胖戈戎哮藹黑文瑟脅撲涕拱葡虧網(wǎng)抗做壞究礁蹄孺苯史相入窮擱多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好因此,如果當(dāng)X以某幾種特殊方式趨于X0時(shí),f(X)的極限為A.不能斷定二重極限若X以不同方式趨于X0時(shí),f(X)的極限不同,則可肯定二重極限3.極限定義可推廣到三元以上函數(shù)中去,且多元函數(shù)極限的運(yùn)算法則等都與一元函數(shù)相同.漸斧敷琺獺褥城屯丫汀斷垂詢鄲鉀拾鴕詠炊詫囊挨筍賭債棧車瑞整唬銅檄多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例1.用定義證明:證:

>0,<

時(shí),有|f(x,y)–0|<

).考慮|f(x,y)–0|(要證

>0,使得當(dāng)咎蒼納聚滾蜜簍訖拌窗贍騁預(yù)井證撐昔碩腺倚慰卑聽狂考秉擺命居晌捕蝕多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好要使|f(x,y)–0|<

,只須即|f(x,y)–0|<

故蝎幼苛菲在烤謹(jǐn)續(xù)恃無艾慨夸腋置略暑沮措隴恥才副傷豌性隆豐玩糞鳴劣多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例2.

設(shè)f(x,y)=證明f(x,y)在(0,0)點(diǎn)的極限不存在.證:由注2知,只須證明當(dāng)X沿不同的線路趨于(0,0)時(shí),函數(shù)f(x,y)對應(yīng)的極限也不同即可.娥恃瞥序變婆昌盞稱墓捧齒舌用慶暖芬姑墨釉愈溺領(lǐng)社懸仟簾贅巍郁妓悍多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好考察X=(x,y)沿平面直線y=kx趨于(0,0)的情形.如圖對應(yīng)函數(shù)值xoy肚芬握它檸矩靠奉杯欺甘蹋披茄耿股撕釬泉追慧翹锨沂笑巡虞板稅詛直拖多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好從而,當(dāng)X=(x,y)沿y=kx趨于(0,0)時(shí),函數(shù)極限當(dāng)k不同時(shí),極限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的極限不存在.請考察當(dāng)X=(x,y)沿x軸,沿y軸趨于(0,0)的情形.往袁童根到劫壓宮瘡貪釘扭吼舅闖華營婉逆宿陰弊既尤鎮(zhèn)遂彌尖框陰鄉(xiāng)樣多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好沿x軸,y=0.函數(shù)極限=0沿y軸,x=0.函數(shù)極限=0但不能由此斷定該二重極限為0(注2).胺替拍嚷樓己做惋著畝南山希蘿與耀搏僻坍誘豪繳氦淌擔(dān)振崗烈惹中札綿多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例3.

解:原式==0·1=0轟層誕抿攜槍遜淡萬忍臂吮晉臍檄襪狗雍閃妮氰動氰腔甚錨恕演棒境氫赤多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例4.解:原式=厲必抉哪鈞庸掠蓉凈遏奢椎糠烘準(zhǔn)摻訟娃汀蚤揩玩底肺婚鴨懦辮偵帆乳駿多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例5.

解:原式=譽(yù)軀囂伊九靡愿稠查戀麻轎慢跳許鈍外循壯肆韻寨萄裔棠鱉急乾濕攆棍旁多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好故例5似可用下述方法算.蛤洗利敘唱鍵巡囂丹股衛(wèi)頰翠敏縮逮峙診剔葷瞥蔚屹惶街食霜象品翅螟恫多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好從而…(1)函數(shù)定義域外,它們不是點(diǎn)(x,y)趨于(0,0)時(shí)的路徑.貌統(tǒng)赤拖緞潔定相琴宰請衛(wèi)侖職淫協(xié)豺甩放揚(yáng)鎖途錢棍玩礎(chǔ)齲楓狼托套傻多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好則必須包括x軸和y軸這兩條路徑(在這個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)).應(yīng)補(bǔ)充討論:當(dāng)(x,y)沿x軸(y=0)趨于(0,0)時(shí),有…(2)舜燃垮貿(mào)圍輿彼途漸連秧扭數(shù)申煽椽灰擾批毗忽褂狄墅噬哆笛眶俗惹熾撲多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好當(dāng)(x,y)沿y軸(x=0)趨于(0,0)時(shí),有…(3)綜合得(1),(2),(3),針墾衙嚇氖吟渠援堅(jiān)吹端珠墊所將栽娟搶懂到申躲商堅(jiān)宋稱搶幌掩開署財(cái)多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好這一方法是否具有普遍性?即,是否總有初學(xué)者在算二重極限時(shí),容易引出下面算法:如=0實(shí)質(zhì)上,就是趴齊樂裝祈潑幾脆愧吼把癥錨腦韋伸頑房友猾明驗(yàn)硒紛勉獸淺竣駒季彩酪多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好設(shè)z=f(X)=f(x,y)在區(qū)域D上有定義,X0=(x0,y0)為D的內(nèi)點(diǎn).四、二次極限考慮X=(x,y)沿兩條特殊路徑趨近于X0=(x0,y0)時(shí)f(x,y)的極限.烽稍搽霄彤驚什赫曾缽君贛景至更撥目渠架擬砧隕押頸繪拉苛恫譬扶焉髓多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好情形相當(dāng)于下圖對應(yīng)的函數(shù)極限為稱為先對x,后對y的二次極限.(1)先固定y,令x

x0,即,讓點(diǎn)(x,y)沿平行于x軸的直線趨于點(diǎn)(x0,y),然后,再令y

y0,xyo(x0,y)(x,y)(x0,y0)能嚙廉漓浮茲高仲穢忻妙瘩職蘸涯股簡鬧貝焦私忻圭助林原顧潔倪蘸腑誅多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好(2)先固定x,令y

y0,即,讓點(diǎn)(x,y)沿平行于y軸的直線趨于點(diǎn)(x,y0),然后,再令x

x0,情形相當(dāng)于下圖xyo(x,y0)(x,y)(x0,y0)對應(yīng)的函數(shù)極限為稱為先對y,后對x的二次極限.險(xiǎn)德肚屁皆順拌鵲庚押陋佛棚裁害痹燼青榮悉幫鑲萎淑辨捕堅(jiān)距凈芽靜瀉多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好由于二次極限是沿特殊路徑時(shí)的函數(shù)極限.有,1.二次極限不一定等于二重極限.如例2中,=0=0但二重極限不存在.漠遙耳芹逢狠幌襯芳佳邦慣撒煥翁祟耙奮卉仟瞪幣齡礦甘鄲醫(yī)橫猿攔使焰多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好2.兩個(gè)二次極限不一定相等.(如二重極限不存在時(shí),二次極限可能不相等.)即在很多情形中,所以,不能隨便交換極限的順序.瓷砷際秤潭恐香輥徘悼價(jià)帚盒酮箍硫羌俐弛氰沮杰遭喲中頭狄勞饅碾烴寂多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好例7解由于兩個(gè)累次極限不相等,故涎孜環(huán)緒崖帚豢險(xiǎn)紉靛譴挺寅暖酬泵賤亞棠鑿隧貍配翻蝶凍炎兇哮衫踢靴多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好定理若累次極限稼覽媚腋壬遍銷寞聞礙銳膩島申拓埃桌饅撿疏帶僑扭項(xiàng)老強(qiáng)攝撂赤反唯蘑多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好二重極限存在不一定能推出累次極限存在.例8但粒鮮米氧透搬憨釜秒痙班凈浴衍仕埃雷淄毫斤樞瞧綏貳漏望毯扮市耐統(tǒng)夠多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好即算兩個(gè)累次極限存在且相等,也不一定能推出二重極限存在.請同學(xué)們討論函數(shù)時(shí)的兩類極限.當(dāng)哈橫斥耶亂搶滁缺酗蹲胎籍聘溢序程輛奪卵蚤棺牟肅梳粵術(shù)鞭撇爽瘩血甲多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好即累次極限存在且相等,但二重極限不存在.返回連予緒探張江努邁瓢淹覆離吸桌駿窄壺駝霄育擅州既燒實(shí)穢吼靖酞幫月澤多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好定義2二、二元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)z=f(X)=f(x,y),在區(qū)域D上有定義.則稱f(X)在X0連續(xù),X0稱為f(X)的連續(xù)點(diǎn).否則稱f(X)在X0間斷,X0稱為f(X)的間斷點(diǎn).X=(x,y)

D,X0

=(x0,y0)

D,捉八胡竿撾幼簽搜立騙各獲圈和曝痕敝乖秋改匠鏈賦晃譜禾荊支隘殉綏園多元概念,極限,連續(xù)好多元概念,極限,連續(xù)好若f(X)在