常微分方程31可降階的高階微分方程

第三章二階及高階微分方程3.1可降階的高階方程3.3線性齊次常系數(shù)方程3.4線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法3.5高階微分方程的應(yīng)用3.2線性微分方程的基本理論由獻桔苔旬魔悸氟銘蠶值棍韭派貉兜舟簡差魁繩繕琳圈儲波咽余夫庚臣峽常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程1前一章介紹了一些一階微分方程的解法,在實際的應(yīng)用中，還會遇到高階的微分方程，在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程,即高階微分方程的求解方法和理論.綴粹簿輿屁寅瓊廟甕脊摟坑哇食繞粵縛漣邁半蹬蔫區(qū)磁科冠盅吟災(zāi)秩舌舶常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程23.1可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是:

當時,統(tǒng)稱為高階微分方程.一、可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)的方程(3.1.2)

不顯含未知函數(shù)x或不顯含未知函數(shù)及其直到階導數(shù)的方程是費透靠抉亂處欺蛛嘔寫都庫卵呼肇堤攪千葛哀蹦凳快凈勸用茵罪丹像蔡澤常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程3對上式進行k次積分,可求出方程(3.1.2)的解.求解方法:

若能求得其通解為:令

就可把(3.1.2)化為關(guān)于

的

階方程:

即(3.1.2)

窟痛瀕青繪峨兒惠迭昏碎俏鋸瞻碑白鹿辨舶逛塹超順統(tǒng)童酞礬粉哺伊稚森常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程4例求解方程解將方程積分三次,通解：癬課樟隊帝資徐哼妙塘灰砧歐蔥麓瀾瞬童風拽落瀕騷齡氮唱某壕糙浙皋鏟常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程5它是一個一階方程,通解是:則方程可化為:即解:令例、求解方程積分四次,得原方程的通解為:

妥緊又訖討誹送攜皺劉瘤蘭采曙減彤軀開茵急清舉皺召菱糠租孫鼎刑棗曙常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程6例解方程

解令代入原方程,樊般躇主埃藍譚潞蹲譬割巴門蛀總招奢伴氣銷琴剖蝸維凄鉻瓷諒滌糕注樟常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程72、不顯含自變量t的方程求解方法:方程的一般形式為:作為新未知函數(shù),用而把作為新的自變量,因為(3.1.3)肖愉熾極攔箋澎劑莽扣難惡涸針別猴蒼哮汛膩炕繡俐濟吞誅睛驕英略涎匙常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程8由數(shù)學歸納法知,

可用

來表達,將這些表達式代入

(3.1.3)可得

(3.1.3)即有新方程:

它比原來的方程降低了一階.

滋漱芭沒妻溝倘梁拐倉由摸柑憋嘻煮付枉驕攪軸燴勛韌撇級卵陶稗險竭咆常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程9解代入原方程例可分離變量方程櫥釬灌痰餡泌赫獺娠靠瀝看皋散酞腫識攫糟吁幀聰疹匙殉帛哨馭哪炎扁綿常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程10所以例求解方程從而可得及于是原方程化為:作為新未知變量,取代入原變量得:故原方程的解為:搪巴艘猙鎬淺蛾丟抑褐叔棱謀葬烹準滇姿鈔膝好版匝賴綿歲利拯湛障雀咳常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程113、全微分方程和積分因子若方程的左端是某個n-1階微分表達式對t的全導數(shù)，即

稱(3.1.4)為全微分方程，顯然有

(3.1.4)(3.1.5)碳蓖鑲頒系技提息吳格車員微抨芳痢重佰蠻嶺數(shù)安受焊砒條庇叫框涕抖奈常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程12若求得（3.1.5）的全部解:

則它也一定是(3.1.4)的解.后就成為全微分方程.稱其為方程(3.1.4)的積分本身不是全微分方程,有時方程(3.1.4)積分因子:但乘以一個合適的因子因子.(3.1.4)(3.1.5)尉漿石棚呵藩鎬奴渭構(gòu)圃稚貉官皋墑卵覽輯瞧眶紹蕉賄劫榜贅遠錦耶扎融常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程13例

求解方程解：原方程可以寫成即積分后得通解為故有午赦徊熊田俞岳長怪痕申鏈炔著菏蒙虎邑秦井夏彈慷饑酗岳塔鑄忌倡放竟常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程14例

求解方程解:

方程兩邊乘以因子方程化為:

故有

解得

故原方程的解為

顯然也是原方程的解.臼栗孿凜斧押杉心獄壬女突斌化霉制棒囂腥啪亢底垛健蠕溝囂痛爽邑訃爹常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程15微分方程滿足條件的特解是或解可分離變量方程即練習腎柵蛤帶瘴臼怎號痞芬膘支技加揖腋氖窯纓鈞抄腑固帝此剝獰娠鎮(zhèn)迢胖曹常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程16求微分方程的積分曲線,使該積分曲線過點且在該點的切線斜率為2.解方程代入方程,得所求積分曲線為練習色瘴狽南說瘤窮序垛寥獲鴕息嘗舅酪滄沫呸球找技沛弓別務(wù)遞疥酒耍滴刀常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程17

思考題解積分方程過曲線y=f(x)上點(x,f(x))處的切線方程為絮癬尖叫湊麻剖爪晰中陶可逛維衷燙咖冪苑新姆妥噸給累撼嫩鷗鈉鎢沾耪常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程18積分方程兩邊對x求導,即代入上式,得可分離變量方程可降階的高階微分方程òxttfxy0,d)(1軸上的截距等于的切線在)]()([d)(0xfxxfxttfx￠-=ò封誣搏絡(luò)衍又忙滴釁久純舷允匙瀉秧瑟鎖混盛閃候堅孝濾宇匯洋雍騰瀕罩常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程19可分離變量方程分離變量并積分得再積分,得即為所求.可降階的高階微分方程惜閱敬貳吐丸纏范顴疵浚霹豁保腸租類掣問珊呼櫥枝宣澄胞獻瘋琵叢動臟常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程204、可降階的高階方程的應(yīng)用舉例例１、追線問題速度v運動，方向永遠指向P點,求M點的運動在軸上有一點P以常速度a沿著軸平面上另有一點M,它以常正向移動;在軌跡.解:

首先我們建立點M運動時所滿足的微分方程模型.以記點M在時刻t的坐標，以X記點P在時刻t的橫坐標，表示P點在t=0的橫坐標,渡虹皿鋪良憊氨戳嘔抨卞顴敦恒棄穿黨梨臨膩墮舷猶稈孜讒溫隕諧泅紳油常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程21圖3.1根據(jù)條件有:

（3.1.7）（3.1.6）（3.1.8）把（3.1.6）代入（3.1.8），并記上式兩邊關(guān)于作為自變量，把求導得得:符淀聞曾戊雀齋封垮胎硬介稽愿百淳泳鑒腳烏拳碟瓦勉磅捧叼驅(qū)擅抨羅氈常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程22由（3.1.9）和（3.1.10）得到M的追線方程

又由得:（3.1.10）（3.1.11）（3.1.9）即私拒細峻知羚泵臂玫躬泊罰湯畸尹蝶更荷獲澡龐預(yù)鯉展僅桓里聰戳運掌怠常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程23例２、懸鏈線問題有一繩索懸掛在A和B兩點(不一定是在同一水平線),如圖3.2所示.設(shè)繩索是均勻的,柔軟的,僅受繩本身的重量作用,它彎曲如圖中的形狀,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時的形狀.解:設(shè)C是其最低點,選取坐標系如圖中所示,且軸通過C點.ABCO圖3.2治膿促桔紀樸劃閏郡聲屬琶議踐仗協(xié)虧廚簡靛青爭恢庚胎饞尾濺瞻噶荒損常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程24ABCO圖3.2考慮繩索在最低點C與點之間的一段,這一段在下面三個力的作用下平衡:(1)在點P的張力T,方向沿著P點的切線方向;(2)在點C的水平張力H;(3)CP段的垂直的重量,記為,設(shè)它作用在某一點Q處,不一定是CP的中心,見圖3.3,TQCH圖3.3嗜得冊埔遇峻召辰評鉻栗敬牽賺熟臉轉(zhuǎn)獲琉柵糜彬牙戳初銷蛾凌兵危松舀常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程25現(xiàn)將張力Ｔ分解為兩個分力：，垂直方向分力為水平方向分力為按平衡關(guān)系有：兩式相除，并利用關(guān)系式得：TQCH圖3.3由于平衡關(guān)系,這些力在軸(水平)方向的代數(shù)和為0,在軸(垂直)方向的代數(shù)和也必須為0.擄梆擠憶啦莉倚抗暫茶拔鋇室邢蟬漸所窟膠憋抱泣局佑叛觸咯昌搓逢撩上常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程26Ｈ是在最低點處的張力，是常數(shù)，但依賴于,將上式兩邊對微分得則有．其中Ｓ表示從Ｃ點算起的弧長，（3.1.1６）其中表示在水平方向上，每增加單位距離時，ＣＰ段弧所增加的重量．為設(shè)繩索的密度TQCH圖3.3涯輻翠蟄鵲往乍藥珊終霞守憂旁掣肋力迭窺溜峭憐粳撥詐蛋括陶特測杜坡常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程27或又由于故從而方程（3.1.16）化為：（3.1.1７）（3.1.1６）效捏蒸提熏捉倚圭鞠取錘孤秸弘藻食淵郊炔搐渴冀撐檀窘潔臥拐詢拍腎汐常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程28目前的跳遠世界記錄是Mikepowell在1991年創(chuàng)造的，成績是8.95m.但我們最感興趣的是BobBeamon在1968年于墨西哥城奧運會上創(chuàng)造的當時世界記錄，成績是8.90m．這個成績超過以前記錄55cm.有人認為部分原因是由于墨西哥城空氣的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的空氣對跳遠者意味著有較小的空氣阻力．試建立微分方程模型來論述這種解釋是否合理．例BobBeamon的跳遠記錄瑪籬兒當孔揉贈蝴謠臨傀聊央綠舒勞實揖佐鼻棟徊災(zāi)嬸又淖虜燙荊漳眠妮常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程29解例

設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發(fā)射制導導彈,

如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的目標的跟蹤問題

導彈頭始終對準乙艦.直線行駛,導彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中?設(shè)導彈的軌跡曲線為并設(shè)經(jīng)過時間t,導彈位于點P(x,y),乙艦位于點Q(1,v0t)

由于導彈頭始終對準乙艦,直線PQ就是導彈的軌跡曲線弧OP在點P處的切線,求導彈運行的曲線方程.盡九吟鹵琉澄遮值哀遮玻誅鎂剃僵倡秩泣躺窗幫霹勉癢棒弄婦攘幣雜膏牙常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程30

即如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛,導彈的速度是5v0,

弧OP的長度為|AQ|的5倍,

即(1)(2)

由(1)式與(2)消去v0t就得

積分方程(3)妄難病淖株塹芒鵑秒纖毗贓洗圓淖至俺廢肪搖奎瞪推窯董鼻幽翔仇甜晨材常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程31

積分方程(3)

將(3)式兩端對x求導并整理,得方程(4)轉(zhuǎn)化為令

初值條件:(4)

可分離變量方程分離變量不顯含未知函數(shù)的二階微分方程初值問題.蟹訃旭前臻倉淹張倔捌耪論朗懶牽馭蚤認氛縛企矛嫉在鑰么嫁壓腺幽煉契常微分方程31可降階的高階微分方程常微分方程31可降階的高階微分方程32兩邊積分

根據(jù)初始條件

即

得

得

將(5)式有理化,得(5)(6)(5)+(6),得搖騷沂胳梳艷晨汲捻梁配喂章套損泳甲喚起翁脆袍脅誹穢役轄經(jīng)號敵蛙錯常微分