2024屆蘭州市重點中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題含解析_第1頁
2024屆蘭州市重點中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題含解析_第2頁
2024屆蘭州市重點中學高三下學期一模考試數(shù)學試題含解析_第3頁
2024屆蘭州市重點中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題含解析_第4頁
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文檔簡介

2024屆蘭州市重點中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.2.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.3.已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為,發(fā)球次數(shù)為,若的數(shù)學期望,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.5.點在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.6.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.9.如圖,拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點,若直線與以為圓心,線段(為坐標原點)長為半徑的圓交于,兩點,則關于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定10.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.24011.復數(shù)滿足,則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設,則在區(qū)間上的取值范圍為_______.14.三所學校舉行高三聯(lián)考,三所學校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學學科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本,若在學校抽取的數(shù)學成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為____________.15.已知正項等比數(shù)列中,,則__________.16.已知復數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知非零實數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實數(shù),使得恒成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由18.(12分)在平面直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線:.過點的直線:(為參數(shù))與曲線相交于,兩點.(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若,求實數(shù)的值.19.(12分)眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學生視力的效果,在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù);(2)為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系,對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系?(3)在(2)中調(diào)查的100名學生中,按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣,在這8人中任取2人,記堅持做眼保健操的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87920.(12分)等差數(shù)列中,.(1)求的通項公式;(2)設,記為數(shù)列前項的和,若,求.21.(12分)為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識,某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡知識問卷調(diào)查,每一位學生家長僅有一次參加機會,現(xiàn)對有效問卷進行整理,并隨機抽取出了200份答卷,統(tǒng)計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).(1)請利用正態(tài)分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費:②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:獲贈的隨機話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人,請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學生進行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的成績,統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學中,分數(shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認為性別與安全意識有關?是否合格性別不合格合格總計男生女生總計(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中,共選取人進行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學期望;(Ⅲ)某評估機構(gòu)以指標(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認定教育活動是有效的;否則認定教育活動無效,應調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎題.2、A【解析】

作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算,正確還原直觀圖是解題關鍵,屬于基礎題.3、A【解析】

根據(jù)題意,分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知,,,則解得,由可得,答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解,易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況:三次都不成功、第三次成功4、C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式,將化簡為關于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.5、D【解析】

確定點為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯(lián)立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:【點睛】本題考查了向量模長的計算,意在考查學生的計算能力.6、B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎知識;考查運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應用意識.7、C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定,同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用,考查推理能力,屬于中等題.8、A【解析】

,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.9、A【解析】

利用的坐標為,設直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點的坐標為.設直線的方程為,點,的坐標分別為,.討論:當時,;當時,據(jù),得,所以,所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎題10、A【解析】

利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當“樂”排在第一節(jié)有(種),當“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點睛】本題考查排列、組合的應用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.11、B【解析】

設,則,可得,即可得到,進而找到對應的點所在象限.【詳解】設,則,,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為,在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在象限,考查復數(shù)的模,考查運算能力.12、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項,判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時,,則當時,有,解得,充分性成立;當時,滿足,但此時,必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有,一是基本不等式掌握不熟,導致判斷失誤;二是不能靈活的應用“賦值法”,通過特取的值,從假設情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.14、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設抽取的樣本容量為x,由已知,,解得.故答案為:【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣,考查學生基本的運算能力,是一道容易題.15、【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式將已知兩式作商,可得,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式以及等比中項,需熟記公式,屬于基礎題.16、【解析】

計算出,兩個復數(shù)相等,實部與實部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算和概念辨析,需要熟練掌握復數(shù)的運算法則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)存在,【解析】

(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當時,即恒成立(當且僅當時取等號),故②當時恒成立(當且僅當時取等號),故綜上,【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想,屬于基礎題.18、(1),;(2).【解析】

(1)將代入求解,由(為參數(shù))消去即可.(2)將(為參數(shù))與聯(lián)立得,設,兩點對應的參數(shù)為,,則,,再根據(jù),即,利用韋達定理求解.【詳解】(1)把代入,得,由(為參數(shù)),消去得,∴曲線的直角坐標方程和直線的普通方程分別是,.(2)將(為參數(shù))代入得,設,兩點對應的參數(shù)為,,則,,由得,所以,即,所以,而,解得.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程、直角坐標方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)(2)能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系(3)詳見解析【解析】

(1)由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù),由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù),可得視力在5.0以上的頻率,可得全年級視力在5.0以上的的人數(shù);(2)由題中數(shù)據(jù)計算的值,對照臨界值表可得答案;(3)由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,可得X可取0,1,2,分別計算出其概率,列出分布列,可得其數(shù)學期望.【詳解】解:(1)由圖可知,第一組有3人,第二組7人,第三組27人,因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,共有(人)所以后三組頻數(shù)依次為24,21,18,所以視力在5.0以上的頻率為0.18,故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為人(2),因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系.(3)調(diào)查的100名學生中不近視的共有24人,從中抽取8人,抽樣比為,這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的數(shù)學期望.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖,獨立性檢測及離散型隨機變量的期望與方差等相關知識,考查學生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)由基本量法求出公差后可得通項公式;(2)由等差數(shù)列前項和公式求得,可求得.【詳解】解:(1)設的公差為,由題設得因為,所以解得,故.(2)由(1)得.所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,由得,解得.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前項和公式,解題方法是基本量法.21、(1);(2)估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.(2)設某家長參加活動可獲贈話費為元,利用題設條件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得又,,所以;(2)根據(jù)題意,某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10,20,30,40元,且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為,得10元的情況為低

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