排列與組合的解題策略論文

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排列組合應(yīng)用題的解題策略

湖南省望城縣第一中學(xué)陳國軍

排列組合應(yīng)用題因其能夠很好地考查考生嚴(yán)密的規(guī)律思維力量，分類整合的數(shù)學(xué)思想，以及運(yùn)用

數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題的力量，同時(shí)，排列組合問題又與高等數(shù)學(xué)連接緊密，因此，它成為了歷年高

考必考的內(nèi)容.但由于排列組合應(yīng)用題文字?jǐn)⑹龅某橄笮耘c條件限制的簡單性，往往讓許多同學(xué)找不到

解題的思路而無從下手，如何分析和解答排列組合應(yīng)用題呢？下面從排列組合應(yīng)用題的分析思路入手

談?wù)勁帕薪M合應(yīng)用題的解題策略.

一、排列組合應(yīng)用題的分析思路

分析排列組合應(yīng)用題的基本思路就是分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，其基本思維程序可

以概括為16個字：明確大事—-分清“類”“步”—-推斷挨次—-用準(zhǔn)“加”“乘”.“明確大事”

即題目要求你做件什么事；“分清‘類’‘步’”即完成這件事是分類進(jìn)行還是分步進(jìn)行.分類進(jìn)行的

大事與分步進(jìn)行的大事之區(qū)分在于分類進(jìn)行的大事能夠從始至終獨(dú)立地完成這件事，因此，分類大事

又叫“獨(dú)立大事”，而分步進(jìn)行的大事則每一步只能完成整個大事的一個環(huán)節(jié)，只有每一步都完成了才

算完成了這件事，因此，分步大事又叫“環(huán)節(jié)大事”；“推斷挨次”即將所選出的元素任意兩個互換位

置看是否是同一大事，假如是，則是組合問題，用組合數(shù)計(jì)算，若不是，則屬排列問題，用排列數(shù)計(jì)

算；“用準(zhǔn)‘加’‘乘’”即分類大事用加法計(jì)算，分步大事用乘法計(jì)算.

例1：為了豐富高二同學(xué)的課余生活，班級組預(yù)備組織一次高二班級籃球賽，競賽時(shí)先分文、理兩

個組，文科組4個隊(duì)，理科組6個隊(duì)，先各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后由各組前2名共4個隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)

222賽打算冠亞軍，假如每打一場球需買一件汽水供運(yùn)動員飲用，張明同學(xué)說共要買C4，C6C4?540（件）

222222王芳同學(xué)說要買A6，李志同學(xué)說只買C4?A4?A4?54（件）?C6?C4?27（件）就夠了，你認(rèn)為

誰說的正確？試說明理由.

分析：

①明確大事：問買多少件汽水，要完成的大事就是計(jì)算競賽場次；

②分清類步：完成全部競賽的場次計(jì)算應(yīng)當(dāng)分三類進(jìn)行，即文科組4個隊(duì)、理科組6個隊(duì)，各組前兩

名的混合隊(duì)組，各組內(nèi)部進(jìn)行競賽，這是因?yàn)槊拷M兩個隊(duì)打完一場球即完成了一場次計(jì)算，即完成了

一件事；③推斷挨次：由于甲隊(duì)跟乙隊(duì)打了一場球就是乙隊(duì)跟甲隊(duì)打了一場球，完成了一場次計(jì)算，故與甲乙

兩隊(duì)的挨次無關(guān)，是組合問題；

④用準(zhǔn)加乘：由于是分類大事，故應(yīng)把組之間競賽的場次相加.因此，李志同學(xué)說的對了.

二、排列組合應(yīng)用題的解題策略

1.插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條

件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.

例2學(xué)校組織老師同學(xué)一起看電影，同一排電影票12張。8個同學(xué)，4個老師，要求老師在同學(xué)

中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？

分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特別的要求,因此老師是特別元素,在解決時(shí)就

要特別對待.所涉及問題是排列問題.

8解先排同學(xué)共有A8種排法,然后把老師插入同學(xué)之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個

484空檔,共有A7種選法.依據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為A8A7種.

2.捆綁法:要求某幾個元素必需排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要留意合并元素內(nèi)部也可以作排列.

例35個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?

分析此題涉及到的是排隊(duì)問題,對于女生有特別的限制,因此,女生是特別元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.

6解因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有A6種排法,

363其中女生內(nèi)部也有A3種排法,依據(jù)乘法原理,共有A6A3種不同的排法.

3.隔板法:對于某些名額安排方案問題，可以看作將全部元素排成一列，然后再在各元素之間插入隔板將元素分成幾部分來解決.一般地，將n個元素分成m份（mn）的分法，可看作在n-1個空隙

m?1中插入m-1塊隔板，共有Cn?1種分法.

例4高二班級8個班,組織一個12個人的班級同學(xué)分會,每班要求至少1人,名額安排方案有多少種?

分析此題若直接去考慮的話,就會比較簡單.但假如我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題,就會顯得比較清晰,方法簡潔,結(jié)果簡單理解.

解此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中插入7塊相同的隔板,每個空檔最多插一塊,即可將白球分成8份,明顯有77種不同的放法,所以名額安排方案有C11種.C11

點(diǎn)評：上述問題中，8個部分每部分內(nèi)部元素之間是沒有挨次的，故為組合問題.

4.剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.

例5袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,假如從袋中取出2元錢,有多少種取法?

分析此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,狀況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是假如依據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會很簡單解決問題.

解把全部的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩

311下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有C23種取法.?C23?C10

5.對等法:在有些題目中,它的限制條件的確定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.

例6期中支配考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的支配挨次?

分析對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列挨次只有兩種狀況,并且在整個排列中,他們消失的機(jī)會是均等的,因此要求其中的某一種狀況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避開了問題的簡單性.

9解不加任何限制條件,整個排法有A9種,“語文支配在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)支配在語文之前

考”的排法是相等的,所以語文支配在數(shù)學(xué)之前考的排法共有19A9種.2

6.排異法:有些問題,正面直接考慮比較簡單,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排解.

例7我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?

分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種狀況,這樣解題的話,簡單造成各種狀況遺

漏或者重復(fù)的狀況.而假如從今問題相反的方面去考慮的話,不但簡單理解,而且在計(jì)算中也是特別的簡便.這樣就可以簡化計(jì)算過程.

55解43人中任抽5人的方法有C43種,正副班長,團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有C40種,所以正副班

55長,團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有C43種.?C40

7.集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式（又叫容斥原理）n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)，其中n(A)?card(A)，表示集合A的元素個數(shù)，依類推.

例8．（2022年湖北文）支配5名歌手的演出挨次時(shí)，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最終一個出場，不同排法的種數(shù)是.（用數(shù)學(xué)作答）

分析：記全集I=｛5名歌手的出場挨次排列｝，A=｛某名歌手第一個出場排列｝，B=｛另一名歌手最終一個出場排列｝，則“某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最終一個出場，不同排法的種數(shù)”應(yīng)記為n痧IA?IB??.由集合運(yùn)算的摩根律：痧IA?IB?I(A?B).故n?痧IA?IB??n?I(A?B)??n?I??n?A?B??n?I??n(A)?n(B)?n(A?B).

解設(shè)全集I=｛5名歌手的出場挨次排列｝，A=｛某名歌手第一個出場排列｝，B=｛另一名歌手最終一個出場排列｝，依據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得排法的種數(shù)共有：

5443n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B)=A5?A4?A4?A3?78種.故應(yīng)填78.

點(diǎn)評：在計(jì)算有交集狀況的排列組合問題時(shí)，經(jīng)常將容斥原理與集合運(yùn)算的摩根律結(jié)合起來使用.通過構(gòu)造集合，將排列組合的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為集合之間的運(yùn)算問題，從而簡化了分類次數(shù).

8.檢索法：對于數(shù)的大小挨次排列問題，可以采納“查字典”的方法，從高位到低為位依次檢索.

例9．(2022全國II)在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的全部沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（）

A．56個B．57個C．58個D．60個

分析：依次從萬位、千位、百位、十位檢索直到大于23145且小于43521的數(shù)全部找完為止.

43解：①查首位：3????型有A4種；②查前兩位：42???型和41???型共有2A3種；另外

3還有：24???型和25???型共有2A3種；③查前三位：432??型和435??型共有2A2種；另外2

還有：234??型和235??型共有2A2種；④查前四位：只有43512一種，另外還有23154一種。

432故共有：A4?4A3?4A2?2?58種。故選C.2

總之，排列組合應(yīng)用題的解題基本策略為：正難則反、分類爭論.思維程序?yàn)椋好鞔_大事，分清類步，推斷挨次，用準(zhǔn)加乘.基本方法為直接法與間接法，對于不同的排列組合應(yīng)用題,依據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決.對于一些比較簡單的問題,我們可以將幾種技巧結(jié)合起來應(yīng)用,便于我們快速精確?????地解題.在使用這些技巧時(shí)要擅長運(yùn)用涉及到的數(shù)學(xué)思想方法,例如:分類爭論思想,

變換思想,特別化思想等等來分析問題解決問題.

優(yōu)化訓(xùn)練（力量在訓(xùn)練中養(yǎng)成和進(jìn)展，數(shù)學(xué)力量當(dāng)然也是這樣）

一.選擇題

1.用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有

A.288個B.240個C144個D.126個

2.記者要為5名志愿者和他們關(guān)心的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有

Ａ.1440種Ｂ.960種Ｃ.720種Ｄ.480種

3.如圖所示是2022年北京奧運(yùn)會的會徽，其中的“中國印”由四個色塊構(gòu)成，可以

用線段在不穿越其他色塊的條件下將其中任意兩個色塊連接起來(猶如架橋)，假如用

三條線段將這四個色塊連接起來，不同的連接方法共有

A.8種B.12種

C.16種D.20種

二.填空題

4.5名同學(xué)支配在星期一至星期五值日，每人一天，若甲同學(xué)不能排在星期一，乙同學(xué)不能排在星期五，則全部不同的排法有____________種（用數(shù)字作答）.

5.從3名男同學(xué)1名女同學(xué)中選出3人，分別擔(dān)當(dāng)班長、體委、宣委職務(wù)，其中女同學(xué)不能擔(dān)當(dāng)體委職務(wù)，那么不同的任職方案共有___________種（用數(shù)字作答）.

6.七個人排成兩排，前排3個，后排4個，若甲必需在前排，乙必需在后排，有_______種不同排法.

三.解答題

5

i7.（1）方程?xi?12有多少組正整數(shù)解？

（2）5個班中選12名同學(xué)組建樂隊(duì)，每班至少選1人，有多少種名額安排方法？

（3）12名優(yōu)秀同學(xué)全部保送到5所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？

8.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入5個盒子內(nèi)

(1)只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？

(2)沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？

(3)每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？

參考答案（僅供參考）

一選擇題1~3BBC

1.解析：對個位是0和個位不是0兩類情形分類計(jì)數(shù)；對每一類情形按“個位－最高位－中間三位”

3分步計(jì)數(shù)：①個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有1?4?A4?96個；②個位不是0并且比20000大

3的五位偶數(shù)有2?3?A4?144個；故共有96?144?240個．選B.本題考查兩個基本原理，是典型的

源于教材的題目．

52.解析：5名志愿者先排成一排，有A5種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右挨次，

5共有2?4?A5=960種不同的排法，選B。

33.解析：四個點(diǎn)取兩個點(diǎn)，可以組成C4=6條線段，6條線段又可以得到C6個三角形，但有四個三角

3形不符合條件，故不同的連接方法共有C6-4=16種

.2

二.填空題

4.78.解析：可用集合法

15.18.解析：