2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題24 圓內(nèi)最大張角米勒角問題含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題24圓內(nèi)最大張角米勒角問題故事背景：米勒問題和米勒定理1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問題中第一個(gè)極值問題而引人注目，因?yàn)榈聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”。米勒問題：已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。證明：如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解題中的應(yīng)用常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應(yīng)用。典型例題：1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．2.如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求的值．（2）連接、，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；②連接、，當(dāng)最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．3.數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個(gè)角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個(gè)角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí)，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號(hào)）4.一個(gè)角的頂點(diǎn)在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個(gè)角是它所夾的較大的弧所對(duì)的圓外角．（1）證明：一條弧所對(duì)的圓周角大于它所對(duì)的圓外角；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當(dāng)?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學(xué)生合唱隊(duì)計(jì)劃組織120名隊(duì)員前去參觀，隊(duì)員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺(tái)高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊(duì)員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點(diǎn)P、文物最低點(diǎn)Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺(tái)的圍欄應(yīng)放在距離展臺(tái)多遠(yuǎn)的地方？請(qǐng)說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）專題24圓內(nèi)最大張角米勒角問題故事背景：米勒問題和米勒定理1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問題中第一個(gè)極值問題而引人注目，因?yàn)榈聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”。米勒問題：已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。證明：如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解題中的應(yīng)用常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應(yīng)用。典型例題：1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，2.如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求的值．（2）連接、，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；②連接、，當(dāng)最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）把代入，可得，解得；（2）①設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．，，則，，令得，；令得，．解得或．，，，如圖1，過作的平行線與直線相交，則交點(diǎn)必為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則．，．又，，在和△中，，，；②如圖2，記的外心為，則在的垂直平分線上（設(shè)與軸交于點(diǎn)．連接、，則，，，的值隨著的增大而減?。?，當(dāng)取最小值時(shí)最大，即垂直直線時(shí)，最大，此時(shí)，與直線相切．，，坐標(biāo)為．根據(jù)對(duì)稱性，另一點(diǎn)也符合題意．綜上可知，點(diǎn)坐標(biāo)為或．3.數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個(gè)角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個(gè)角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí)，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號(hào)）解：（1）（i）若=時(shí)，∴==100°（ii）若時(shí)，∴（360°－）=130°；（iii）若=時(shí)，360°－－=160°，綜上所述：=100°、130°或160°故答案為：100、130或160．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點(diǎn)．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點(diǎn)（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧交MN與點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點(diǎn)Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點(diǎn)即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯(cuò)誤；②對(duì)于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點(diǎn)的定義，故②錯(cuò)誤；③正三角形的每個(gè)中心角都為：360°÷3=120°，滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義，所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)，故③正確；④由（3）可知，點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯(cuò)誤；⑤由（3）可知，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，必存在強(qiáng)等角點(diǎn)．如圖④，在三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點(diǎn)，連接、、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點(diǎn)，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小．而當(dāng)為的強(qiáng)等角點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)便能保證、、、四點(diǎn)共線，進(jìn)而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩?.一個(gè)角的頂點(diǎn)在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個(gè)角是它所夾的較大的弧所對(duì)的圓外角．（1）證明：一條弧所對(duì)的圓周角大于它所對(duì)的圓外角；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當(dāng)?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學(xué)生合唱隊(duì)計(jì)劃組織120名隊(duì)員前去參觀，隊(duì)員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺(tái)高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊(duì)員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點(diǎn)P、文物最低點(diǎn)Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺(tái)的圍欄應(yīng)放在距離展臺(tái)多遠(yuǎn)的地方？請(qǐng)說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）解：（1）已知：如圖所示，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)P在⊙O外．求證：．證明：設(shè)交⊙O于點(diǎn)Q，連接，∵與同對(duì)，∴．∵在中，，∴，∴；（2）解：設(shè)合唱隊(duì)員平均身