2024年中考數(shù)學復習考點：考點24 圓的基本性質（解析版）

考點24圓的基本性質

在命題趨勢

.

在中考數(shù)學中，圓的基本性質在小題中通?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊

形、弧長與扇形面積等基礎考點，難度一般在中檔及以下；而在簡答題中，圓的基本性質還可以和相似、

三角形函數(shù)、特殊四邊形等結合出題，難度中等或偏上。而且，圓的基本性質也是中考數(shù)學中比較有自我

特征的一個考點，主要表現(xiàn)在：當其他考點和圓結合的時候，很多結論的產生可能會更依賴于圓的性質。

所以，考生在復習這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質的各個概念、性質以及推論，才能在后續(xù)的

結合問題中更好的舉一反三。

t

0知識導圖

概念半徑、直徑、弧、弦

弧長公式：工=與

180

相關概念及公式

扇形面積公式：J〃員/1

公式

3602

圓錐側面積公式：

心重點考向

一、圓的有關概念

二、垂徑定理及其推論

三、圓周角定理及其推論

四、圓內接四邊形及其綜合

考向一：圓的有關概念

1.圓的有關概念

弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧小于半圓的弧叫做劣弧。

2.圓的有關計算公式

常用公式：

典例引有I

1.有下列四種說法:

①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦：③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓.其中，錯誤

的說法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【分析】根據(jù)弦的定義、弧的定義、以及確定圓的條件即可解決.

【解答】解：①圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯誤;

②直徑是弦，直徑是圓內最長的弦，是真命題，故此說法正確;

③弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯誤:

④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓,

所以半圓是弧.但比半圓大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故

此說法正確.

其中錯誤說法的是①③兩個.

故選：B.

2.一個扇形的弧長是2ir,半徑是4,則該扇形的圓心角的度數(shù)是（)

A.45°B.90°C.120°D.180°

【分析】利用弧長公式求解即可.

【解答】解：設圓心角為,

則有n-X4=2n,

180

...〃=90,

該扇形的圓心角的度數(shù)是90。.

故選：8.

3.一個扇形的半徑是3,面積為6m那么這個扇形的圓心角是（）

A.260°B.240°C.140°D.120°

【分析】設這個扇形的圓心角是,根據(jù)s扇形=二磊：，求出這個扇形的圓心角為多少即可.

【解答】解：設這個扇形的圓心角是,

二n兀X32

由題意得6兀

=~360

."=240,

,這個扇形的圓心角為240度.

故選：B.

4.已知圓的半徑為6,120°的圓心角所對的弧長是（）

A.2nB.4nC.6TlD.12TT

【分析】根據(jù)弧長公式求出答案即可.

【解答】解：半徑為6,圓心角為120。所對的弧長為120兀二6l4口.

180

故選：B.

5.已知00的半徑是3c，則G）O中最長的弦長是6c%

【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：?.?圓的直徑為圓中最長的弦，

二。。中最長的弦長為2X3=6（cm）.

故答案是：6cm.

6.已知圓錐的母線長8c/n,底面圓的直徑6cvn,則該圓錐的側面積為24ncW.

【分析】先求出圓錐底面圓的周長為6ncm再根據(jù)扇形面積公式/lr即可求解.

【解答】解：???圓錐底面圓的直徑6c〃?，

圓錐底面圓的周長為6ncm,

該圓錐的側面積為/x6兀X8=24兀cm2,

故答案為：24-ncnr.

7.如圖，在菱形ABC￡>中，ZB=60°,AB=6,扇形AEF的半徑為6,圓心角為60°,則陰影部分的面

【分析】根據(jù)菱形的性質得出△ADC和是等邊三角形，進而利用全等三角形的判定得出△A。，絲

△ACG,得出四邊形AGC”的面積等于的面積，進而求出即可.

【解答】解：???四邊形A8Ca是菱形，

N8=NO=6()°,AB=AD=DC=^BC=6,

N8CO=N￡M8=120°,

/.Zl=Z2=60°,

...△ABC、△AQC都是等邊三角形，

：.AC=AD=6,

；48=6,

.?.△AOC的高為34，AC=6,

:扇形BEF的半徑為1,圓心角為60°,

/.Z4+Z5=60°,N3+N5=60°,

.*.Z3=Z4,

設AF、OC相交于4G,設BC、A￡相交于點G,

在和aACG中，

，Z3=Z4

<AC=AD)

ZD=Z1=6O°

A/XADH^AACG(ASA),

四邊形AGCH的面積等于△ADC的面積，

2_

圖中陰影部分的面積是：SmAEF-SAACD=——x6X3A/3=61T-9V3.

3602

故答案為：6ir-9點.

考向二：垂徑定理及其推論

垂徑定理及其推論

垂徑定理垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的弧

推論平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

平分弧的直徑。垂直于弧所對的弦。。

方法技巧

1.圓中模型“知2得3”

由圖可得以下5點：

①AB_LCD；②AE=EB；③AD過圓心O；@AC-BC；⑤4。=3￡>；

以上5個結論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結論使用。

2.常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角

典例引我

1.如圖，A3是。。的直徑，弦C￡>_LA5于E,若。。=5,AE=2,則8長為（）

AB

D

A.4B.6C.8D.10

【分析】根據(jù)勾股定理求出OE,根據(jù)垂徑定理計算即可.

【解答】解：是。。的直徑，CD±ABr

：.CD=2CE9NOEO=90°,

u

：OA=OD=5fAE=2,

???OE=5-2=3,

在RtADEO中，DE=VoD2-OE2=^52-32=4,

.?.CO=2OE=8.

故選：C.

2.如圖，AB是。。的弦，半徑OCLAB于點Q,連接AO并延長，交0。于點E,連接BE,DE.若DE

=3。。，AB=4遍，則△ODE的面積為（）

A.4B.3^2c.2V5D.276

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到4。=雙>=2&,則BE=2O￡>,再根據(jù)圓周角定理得到/8=90°,接著

利用勾股定理得到8￡>2+8后2=￡>詡從而可求出0￡>,然后利用三角形面積公式計算.

【解答】M：'：OC±AB,

：.AD=BD=^AB^2yf5<

2

"：OA=OE,

為AABE的中位線，

:.BE=2OD,

為宜徑，

.,.ZB=90°,

在RtABDE中，

B?+BE^=D層,

：.（275）2+（2OD）2=（3。0）2,

解得0D=2,

...△0?！甑拿娣e=工0。?8。=_1乂2義2遙=2芯.

22

故選：C.

3.在正方形網(wǎng)格中，以格點。為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點4,B,并在點4,8的右側圓弧上取一點C,

連接AC,BC,則sinC的值為（）

A.返B.AC.1D.亞

222

【分析】根據(jù)圓周角定理得出NACBV/A0B=45。，進而即可求解.

［解答］解：..?NACB=、/A0B=45。，

.,.sinC=sin45。=^~.

故選：D.

4.把半徑為5a*的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD=8c/w,則EF的

【分析】設球心為。，過。作MN_L4O交A￡＞于M,交8C于M連接OF,結合題意可解得OF=5cm,

0M=3a”，根據(jù)勾股定理求得MF,最后由垂徑定理求得結果.

【解答】解：如圖，設球心為。，過。作交A￡＞于M,交8C于M連接0尸，

*：CD=Scm9

??MN~~，

：.OM=MN-ON=S-5=3(cm),

FMNLAD,

，NOM產=90°,EF=2FM,

???MF=VOF2-OM2=V52-32=4(cm)，

:.EF=2FM=8cm,

故選：A.

5.如圖，00的弦AB垂直于弦C￡),垂足為E,若BE=3,EC=4,DE=6,連接AO,則線段AD的長為

【分析1連接BC,根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得到N8AC=/BC￡>,易證△AEQs^CEB,得到

迺迪，求出AE=8,再利用勾股定理即可求出線段AO的長.

BECE

:.NAED=NBEC=90°,

,-,BD=BD.

:./BAD=/BCD,

:.叢AEDs叢CEB,

?DEAE

"BE"CE'

'：BE=3,EC=4,DE=6,

???6-=--A-E,

34

：.AE=S,

在Rt4AED中，AD=VAE2+DE2=V§2+62=10-

故答案為：10.

6.嘉興南湖不僅是黨的誕生地，它優(yōu)美的風光還吸引全國各地的旅客前來觀賞.如圖是南湖的一座三孔橋,

某天測得最大橋拱的水面寬AB為6m,橋頂C到水面AB的距離為2m,則這座橋橋拱半徑為_"_如

【分析】連接04,設OB=OC=x,則OQ=x-2,根據(jù)垂徑定理得出80,然后根據(jù)勾股定理得出關于

x的方程，解方程即可得出答案.

【解答】解：連接B。，

由題意可得：AD=BD=3m,設3半徑OC=xm,

則DO=(x-2)m,

由勾股定理可得：/=(x-2)2+32,

解得：x=H

4

.?.這座橋橋拱半徑為里加

4

故答案為：13

4

7.如圖，AB是。。的直徑，點C、。在。。上，BC平分NABO,E是弧AB的中點，連接QE交8C于F.

(1)求證：CD=CF；

(2)若BF=2,EF=5M，求Cf的長.

【分析】(1)如圖，連接4。，OE.證明NCOF=NCFD,可得結論；

(2)連接AC,BE.證明EF=B尸=5M，AC=CF,利用參數(shù)構建方程求解.

【解答】(1)證明：如圖，連接A￡),OE.

是弧A8的中點，0E是半徑，

0E1.AB,

工NAOE=NBOE=90°,

：.ZADE^^ZAOE^45Q,NEDB=L/EOB=45。,

22

「BC平分NAB。，

NABC=NCBD,

；ZADC=ZABC,

：.ZADC=ZCBD,

:NCDF=ZADC+ZADE,/CFD=ZEDB+ZCBD,

:.NCDF=NCFD,

：.CD=CF；

(2)解:連接AC,BE.

:NCDF=/CFD,NCDF=4EBF,/CFD=NEFB,

:./EBF=NEFB,

:.BE=EF=5圾,

AE=BE，OE是半徑，

：.EO±AB,

：.OB=OE=5,

,?ZABC=ZCBD,

???AC=CD-

.?.AC=CO=CF,

設4c=CF=?7,

在RtZXA8c中，AB2=AC2+BC2,

lO2—n^+(m+2)

m2+2m-48=0,

解得，m=6(負根已經(jīng)舍去)，

：.CF=6.

考向三：圓周角定理及其推論

一.圓周角定理及其推論

圓周角定義頂點在圓周上并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角

圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

圓周角定理半徑（或直徑）所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑

的推論在同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等

拓展提示圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，

這兩個度數(shù)和為180°

miJI{'

「方德技巧

圓中模型“知1得4”

由圖可得以下5點：

①AB=CD；?AB=CD；③OM=ON；④ZE=ZF；⑤ZAOB=NCOD；

以上5個結論，知道其中任意1個，剩余的4個都可以作為結論使用。

共例引點

1.如圖，在OO中，弦BC〃。/1,AC與0B相交于點M,NO4C=20°,則/AOB的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】先利用平行線的性質得到N4=/C=20。，再利用圓周角定理得到408=40。.

【解答】?：-：BC//OA,NOAC=20°,

：.ZOAC=ZC=20°,

NAOB=2NC,

.".ZAOB=40°,

故選:B.

2.如圖，C是標的中點，弦AB=8,CD±AB,且C￡>=2,則會所在圓的半徑為（）

【分析】由垂徑定理，勾股定理，可以求解.

【解答】解：設金所在圓的圓心為點O,。。的半徑為，，連接0力，OA,

,：CDA.AB,點C是AB中點,

：.O,D,C三點共線，AD=BD=4,

'：OA2=OD2+AD2,

(r-2)2+42,

故選：B.

3.如圖，AB是OO的直徑，點C、。是。。上的兩點，連接4C、OC、OD、CD,S.AC//OD,若A8=6,

C.3近D.373

【分析】根據(jù)圓周角定理得NAOO=2乙4CD=30°,根據(jù)平行線的性質得N84C=/AO￡>=30°,再根

據(jù)直徑的性質得NACB=90°,由此即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接BC,

VZACD=15°,

.?./AOO=2/AC￡>=30°,

,CAC//OD,

：.ZBAC=ZAOD=30°,

?：AB是。。的直徑，

.?.NAC8=90°,

cosZBAC——^—=^~,

AB62

：.AC=343-

故選：D.

4.如圖，G)O的直徑是AB為lOcffl,弦AC為6cm,ZACB的平分線交。0于點D,則BC+AD=(8+572)

cm.

c

D

【分析】利用勾股定理求出8C,證明求出40,可得結論.

【解答】解：???43是直徑，

ZACB=ZADB=90Q,

AB=\Qcm,AC=6cm,

=22

BCVAB-AC=V102-62=8(cm),

?.?。。平分/48,

AD-BD.

：.AD=BD=^~AB=5近Cem),

：.BC+AD=(8+5&)(cm).

故答案為：(8+5&).

5.如圖，AB是OO的直徑，C是BA延長線上一點，點。在。。上，且C￡?=OE,8的延長線交。。于

點E.若/C=25°,則NCE。度數(shù)為50°.

【分析】根據(jù)CD=OD求出NOOC=NC=25°,根據(jù)三角形的外角性質求出/后。。=/C+NOOC=

50°,根據(jù)等腰三角形的性質求出NE=NEQO=50°.

【解答】解：連接OD

"：CD=OE,OE=OD,

：.CD=OD,

VZC=25°,

AZDOC=ZC=25°,

.?./EOO=/C+NOOC=50°,

\'OD=OE,

.?.NE=/E0O=5O°.

故答案為：50.

6.如圖，在。0中，直徑AB與弦CD相交于點P,NCAB=45°,NAPO=75°.

(1)求的大小；

(2)已知圓心O到8力的距離為3,求AO的長.

【分析】(1)由外角的性質可得NC=/APO-NCA8=30°,由同弧所對的圓周角相等可得NC=NB,

進而即可求解；

(2)過點。作于點￡則OE=3.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定知AD〃

OE-,又由。是直徑A8的半徑可以判定。是43的中點，由此可以判定OE是△48。的中位線；最后根

據(jù)三角形的中位線定理計算AD的長度.

【解答】解：(1)：NCAB=45°,NAPD=75：

：.ZC=ZAPD-ZCAB=30Q,

???由圓周角定理得：NC=NB,

.?./8=30°；

(2)過。作力于E,即OE=3,

是。。的直徑,

：.AD1.BD,

C.AD//OE,

又丫。是A8的中點,

/.0E是△48。的中位線，

：.AD=2OE=6.

考向四：圓內接四邊形及其綜合

圓內接四邊形的性質

圓內接四邊圓內接四邊形對角互補

形的性質圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角

圓內接正多圓的半徑為r,邊長為a的正n邊形的邊心距為/尸一（',中心角為當2

邊形

方法技巧

圓號定理

如圖I,若圓內任意弦AB、弦CD交于點P；貝！|：PAXPB=PCXPD

三二面二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二

如圖U,連接AD、BC,亦可證：PAXPB=PCxPD

三.切割線定理

弦切角：與圓相切的直線，同圓內與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角；

弦切角性質：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度

數(shù)。

圖m,連接AC、AD。NPAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，

則：△PACS^PDA（母子△）PA2=PCXPD

共例引41

1.如圖，四邊形4BCZJ是。。的內接四邊形，連結AC.若AC=4D,ZCAD=40a.則的大小為（）

【分析】由等腰三角形的性質得NAOC=70°,由圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補，即

可求出的度數(shù).

【解答】解：'：AC^AD,/。力=40°,

AZACD=ZADC=-lx（180°-40°）=70°,

2

?.?〃+/￡>=180°，

.,.ZB=180°-ZD=110".

故選：C.

2.如圖，四邊形ABC力是。0的內接四邊形，連接AO、CO,若NAOC=112°,則NB的度數(shù)是（）

【分析】首先利用圓周角定理求的NAOC的度數(shù)，然后利用圓內接四邊形的對角互補求的答案即可.

【解答】解：；NAOC=112°,

AZADC=1.ZAOC=^X112°=56°,

22

?.?四邊形ABCD是。。的內接四邊形，

.?.N8=180°-ZADC=180-56°=124°,

故選：c.

3.如圖，四邊形ABCD內接于OO,OE是OO的直徑，連接80.若NBCQ=2N84。，則N8OE的度數(shù)

A.25°B.30°C.32°D.35°

【分析】由圓內姐四邊形性質結合已知求出/助。=60°,從而由圓周角定理求得N3EO=6(r,NDBE

=90°,最后由直角三角形銳角互余可得結果.

【解答】解：連接8E,

VZBAD與N3EO是同弧所對的圓周角，

:?/BAD=NBED,

四邊形ABCD內接于。。，

/.Z^AD+ZBCD=180°,

NBCD=2/BAD,

：.3ZBAD=\S0Q,

：.ZBAD=60D,

:.NBED=60”,

???O￡是的宜徑，

/.ZDBE=90°,

：.ZBDE=90°-ZB￡D=90°-60°=30°.

故選：B.

4.如圖，四邊形ABCD內接于O。,AE±CB,交CB的延長線于點E.若8A平分NOBE,A￡>=7,C￡=JI^,

則AE的長度為6

A

O?

【分析】連接AC,根據(jù)8A平分NO8E,可得NA8E=NA6O；根據(jù)四邊形A8O)內接于。0,可得N

ABE=ZADC,進而可得NA8E=NA8Q=/A拉C,即有NAC3=NAOC,則有4￡)=AC,最后利用勾股

定理即可作答.

【解答】解：連接AG如圖,

,.,84平分NQ3E,

???/ABE=NABD,

?/四邊形ABCD內接于。0,

ZABC+ZADC=\SO°,

VZABC+ZAB￡=180°,

，ZABE=/ADC,

：.NABE=ZABD=ZADC,

ZACD=ZABDf

：.ZACD=ZADC9

：.AD=AC,

,：AD=lf

：.AC=1,

VAE±CB,CE=V13，

???在Rt/XAEC中，AE=VAC2-EC2=e-

故答案為：6.

5.如圖，四邊形48C￡＞內接于OO,ND4E是四邊形A8CO的一個外角，且A。平NC4E.

(I)求證：NDAE=NBCD；

(2)求證：DB=DC.

E

【分析】（1）先證明/8。+/以3=180°,結合ND4E+/D4B=180°,從而可得答案；

（2）先證明4c=NOBC,ZDAE^ZDAC,由（1）可知NZME=/8CO,可得/8CO=/O8C,

從而可得結論.

【解答】證明：（1）???四邊形ABCQ內接于。。，

：.ZBCD+ZDAB^\SOQ,

又；/DAE+N￡>A8=180°,

:.NDAE=NBCD.

（2）：/D4c與NQBC是同弧所對的圓周角，

：.ZDAC^ZDBC,

：AO平分NCAE,

：.^DAE^ZDAC,

由（1）可知/D4E=/8CO,

:.NBCD=NDBC,

：.DB=DC.

件跟蹤訓翥

1.（2022?阜新）如圖，A,B,C是00上的三點，若/C=35°,則/ABO的度數(shù)是（）

A.35°B.55°C.60°D.70°

【分析】由圓周角定理，即可求得/AOB的度數(shù)，又由0A=08,根據(jù)等邊對等角與三角形內角和定理,

即可求得/AB。的度數(shù).

【解答】解：連接。4,A

B

O

VZC=35°,

：.ZAOB^2ZC=10°,

?：OA=OB,

：.ZABO=ZBAO=1.（180°-ZAOB）=55°.

2

故選:B.

2.（2022?巴中）如圖，A8為（DO的直徑，弦CD交AB于點E,BC=BD-ZCDB=30Q,AC=2代，則

A.近B.MC.1D.2

2

【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB_LCD,再由圓周角定理可得NA=NCO8=30°,根據(jù)

銳角三角函數(shù)可得4E=3,AB=4,即可求解.

【解答】解：如圖，連接8C,

「A3為。0的直徑，BC=BD.

：.AB±CD,

'：ZBAC=ZCDB=30Q,AC=2?，

.'.AE—ACtcosZBAC—3,

「AB為。。的直徑，

AZACB=90°,

AB=---當---=4，

cosZBAC

；.OA=2,

AOE^AE-04=1.

故選：C.

3.（2022?棗莊）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上.點A,B的讀數(shù)分別

為86°,30°,則/ACB的度數(shù)是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【分析】連接OA,OB,利用圓周角定理求解即可.

【解答】解：連接OA,OB.

由題意，NAOB=86°-30°=56°,

ZACB=1ZAOB=28°,

2

故選：A.

4.（2022?南充）如圖，AB為。。的直徑，弦于點E,。凡LBC于點凡ZBOF=65°,則NA。。

C.50°D.45°

【分析】先根據(jù)三角形的內角和定理可得N8=25°,由垂徑定理得：AC=AD，最后由圓周角定理可得

結論.

【解答】解：:OFJLBC,

/8尸0=90°,

'：ZBOF=65°,

ZB=90°-65°=25°,

?..弦CO_LAB,AB為。。的直徑,

，筋=俞,

二/AO力=2/8=50°.

故選：C.

5.（2022?云南）如圖，已知AB是。。的直徑，C。是。。的弦，ABLCD,垂足為E.若AB=26,CD=

24,則NOCE的余弦值為（）

【分析】利用語徑定理求得CE,利用余弦的定義在RtA（?C￡中解答即可.

【解答】解：是。。的直徑，AB±CD,

：.CE=DE=X.CD=\2,

2

'：AB=26,

，0c=13.

.".COSZOCE=^^A2.

OC13

故選:B.

6.（2022?安徽）已知OO的半徑為7,AB是00的弦，點P在弦AB上.若PA=4,PB=6,則OP=（）

A.7^4B.4C.V23D.5

【分析】過點。作。ULA8于點C,連接根據(jù)垂徑定理可得AC=8C=5,所以PC=PB-BC=1,

根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點。作OC1_AB于點C,連接OB,

則OB=7,

"：PA=4,PB=6,/

：.AB=PA+PB^\Q,[.0）

."C=8C=5,

：.PC=PB-BC=\,

在RtZ\08C中，根據(jù)勾股定理得：

OC2=OB2-8c2=72-52=24,

在RiZsOPC中，根據(jù)勾股定理得：

0.='℃2+改2=的4+1=5,

故選：D.

7.（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果C是0。中弦

AB的中點，CO經(jīng)過圓心。交。。于點。，并且AB=4w,CD=6m,則OO的半徑長為_旦_加.

ACB

【分析】連接04,如圖，設。。的半徑為根據(jù)垂徑定理的推論得到COLA8,在Rt^AOC中利用

勾股定理得到2?+（6-r）2=,，然后解方程即可.

【解答】解：連接0A,如圖，設。。的半徑為"小

：C是。。中弦A8的中點，C。過圓心,

：.CD1.AB,AC=8C=￡B=2W,

2

在RtZ\AOC中，'：0A=rm,OC=(6-r)m,

.\22+(6-r)2=凡

解得r=世，

3

即。。的半徑長為

3

故答案為：也.

8.（2022?安順）如圖，邊長為弧的正方形4BCC內接于。0,PA,PC分別與。0相切于點A和點O,PD

的延長線與BC的延長線交于點E,則圖中陰影部分的面積為（）

A.5-TTc1-2L

,2224

【分析】連接AC,0D,根據(jù)已知條件得到AC是。。的直徑，ZAOD=90°,根據(jù)切線的性質得到/

PAO=ZPDO=90°,得到△CDE是等腰宜角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到PE=3,根據(jù)梯

形和圓的面積公式即可得到答案.

【解答】解：連接AC,0D,

.?四邊形A8CO是正方形，

,.ZB=90",

,.4C是0。的直徑，NAOD=90°,

."PA,尸。分別與。。相切于點4和點

\ZPAO=ZPDO=9Q°,

?.四邊形AO。。是矩形，

：OA=OD,

?.矩形4。。尸是正方形，

?.ZP=90°,AP=AO,AC//PE,

\ZE=ZACB=45°,

?.△CCE是等腰直角三角形，

:AB=血,

,.AC=2AO=2,DE=42CD=2,

,.AP=PD=AO=l,

\PE=3,

,.圖中陰影部分的面積=▲(AC+PE)'AP-X4O2-TT=A(2+3)X1-Axl2?n=A(5-n)

2222222

故選：c.

9.（2022?寧波）已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6c加，則圓錐的側面積為（）

A.36ncnrB.C.1611cm1D.\2itcm1

【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐

的母線長和扇形的面積公式求解.

【解答】解：圓錐的側面積=1x2nX4X6=24iT（cm2）.

2

故選：B.

10.（2022?齊齊哈爾）圓錐的母線長為5cm,高為4cro,則該圓錐側面展開圖扇形的圓心角為216°.

【分析】先利用勾股定理求出圓錐的底面圓半徑，再利用側面扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列方程

即可求出答案.

【解答】解：圓錐的底面圓的半徑為：而之不=3（cM,

設圓錐側面展開圖的圓心角為“。,

則2nx3=W一豆，

180

."=216,

二圓錐側面展開圖的圓心角為216°,

故答案為：216.

11.（2022?湖州）如圖，已知AB是。O的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足為C,OC的延長線交。。

于點。.若/APO是眾所對的圓周角，則/AP0的度數(shù)是30°.

【分析】由垂徑定理得出俞=俞，由圓心角、弧、弦的關系定理得出NAOO=N8。。，進而得出NA。。

=60°,由圓周角定理得出NAPO=^NAOO=30°,得出答案.

2

【解答】解：；OC1_A8,

.'.AD=BD.

ZAOD=ABOD,

：/AOB=120°,

.../A00=/80D="1/A08=60°,

2

.?./APD="l/AOO=4X6（r=30°,

22

故答案為：30°.

12.（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示

的測量，測得AB=12c,",BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為一型也

【分析】連接AC,根據(jù)乙48c=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可.

【解答】解：連接AC,

BX-------

VZABC=90°,且NA8c是圓周角，

.?.AC是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC={+BC2=QlZ2+S2nS（。"），

所以圓形鏡面的半徑為

20

故答案為：Hem.

2

13.（2022?雅安）如圖，/OCE是。0內接四邊形ABCC的一個外角，若NDCE=72°,那么的度

數(shù)為144°

【分析】根據(jù)鄰補角的概念求出NBCD,根據(jù)圓內接四邊形的性質求出根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】解：?.?/￡>CE=72°,

/.ZBCD=180°-ZDCE=108°,

:四邊形ABCD內接于。。，

，/A=180°-NBCD=12",

由圓周角定理，得/BOO=2NA=144°,

故答案為：144°.

14.（2022?十堰）如圖，OO是等邊△ABC的外接圓，點。是弧AC上一動點（不與A,C重合），下列結

論：①NADB=/BDC；?DA=DC；③當最長時，DB=2DC；?DA+DC^DB,其中一定正確的結

論有（）

【分析】由△48C是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得NA/98=N8OC,即可判斷①正確；由點

。是弧AC上一動點，可判斷②錯誤；根據(jù)08最長時，DB為直徑,可判定③正確；在。8上取一

點￡,使DE=A￡>,可得aAOE是等邊三角形，從而△ABEgAACQ(SAS),有8E=CZ),可判斷④正

確.

【解答】解：???△A8C是等邊三角形，

：.ZBAC=ZACZ?=60°,

,??第=篇,BC-BC-

.?./ACB=/4CB=60°,N8Z)C=NBAC=60°,

；.NADB=NBDC,故①正確；

;點。是弧AC上一動點，

二面與而不定相等，

；.D4與。C不一定相等，故②錯誤；

當最長時，?！?。0直徑，

/.ZBCD=90",

VZBDC=60°,

AZDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正確；

在。8上取一點E,使CE=A。,如圖：A

?.?/A/)8=60°,

是等邊三角形，

：.AD=AE,NZME=60°,

?.?/R4C=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

'：AB=AC,

：./\ABE^/\ACD(SAS),

：.BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確;

正確的有①③④，共3個,

故選：C.

15.(2022?廣西)如圖，在AABC中，C4=CB=4,ZBAC=a,將△ABC繞點A逆時針旋轉2a,得到△

AB1C,連接B'C并延長交AB于點￡>,當夕時,BB'的長是（）

C80

9。?唔

【分析】證明a=30°,根據(jù)己知可算出A。的長度，根據(jù)弧長公式即可得出答案.

【解答】解：：CA=CB,CD1AB,B'

：.AD=DB=^AB'.

2

AZAB'0=30°,

...a=30°,

YC=4,

.AO=AUcos3(r=4X近=2如,

2

-AB=2AD=4V3.

.而尸的長度/=亞二=60X'x4f

1801803

故選：B.

16.（2022?湖北）如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=8,以點C為圓心，C4的長為半

徑畫弧，交AB于點。，則AD的長為（）

A

c.3TD.2TI

【分析】連接CO,根據(jù)/AC8=90°,/8=30°可以得到NA的度數(shù)，再根據(jù)AC=C。以及的度

數(shù)即可得到N4CO的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解即可.

【解答】解：連接CQ,如圖所示：

VZACB=90a,N3=30°,48=8,

.?./A=90°-30°=60°,4。=工研=4,

由題意得：AC—CD,

...△AC。為等邊三角形，

-0=60°,

二俞的長為：皂）兀■兀,

1803

故選：B.

17.（2022?畢節(jié)市）如圖，一件扇形藝術品完全打開后，AB,4C夾角為120°,A8的長為45cs,扇面8。

A.375ncm2B.4507rcm2C.600TTC/M2D.750TTC/M2

【分析】先求出A。的長，再根據(jù)扇形的面積公式求出扇形8AC和扇形CAE的面積即可.

【解答】解：的長是45cvn,扇面8￡）的長為30cm,

：.AD=AB-BD=\5ctnf

VZBAC=120°,

,扇面的面積S=S扇形S扇形ZME

「120兀X452_120兀X152

360360

=600n(cm2),

故選：c.

18.（2022?資陽）如圖.將扇形40B翻折，使點4與圓心O重合,展開后折痕所在直線/與標交于點C,

連接AC.若04=2,則圖中陰影部分的面積是（）

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質和等邊三角形的性質，可以得到NCOC=60°,即可求出扇形AOC的面

積，再算出△HOC的面積，即可求出陰影部分面枳.

【解答】解：連接CO,直線/與A。交于點。，如圖所示,

:扇形AOB中，04=2,

；.OC=O4=2,

..?點4與圓心。重合，

：.AD=0D=\,CDLAO,

：.OC=AC,

；Q=OC=AC=2,

.?.△OAC是等邊三角形，

：.ZCOD=60°,

,：CDLOA,

CD=VOC2-OD2=V22-12=^3>

陰影部分的面積為：60.X22_2乂如二”-弧,

36023

故選：B.

19.（2022?玉林）如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點。，A,B,C,D,E均在格點上，點

。是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是。的三角形都寫出來

△ABD,/XACD,△BCD

【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解。A,OB,OC,OD,OE,根據(jù)三角