2021年廣東省春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷12 (二)

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷（12）

解析版

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）

1.已知集合加=｛削x是等邊三角形｝,N=｛Rx是等腰三角形｝,則下列判斷正確的是。

A.M乎B.M=NC.MeND.M^N

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算和三角形的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】

集合M=｛x|x是等邊三角形｝,N=｛x|x是等腰三角形｝,

所以MuN.

工

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.下列函數(shù)中，值域是R且是奇函數(shù)的是（）

A.y=j?+lB.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)基本函數(shù)的值域及其奇偶性一一分析選項(xiàng)中的函數(shù)即可.

【詳解】

A項(xiàng)中，y=d+l的值域是R,但不是奇函數(shù)；

B項(xiàng)中，y=sinx的值域是[-1,1],是奇函數(shù)；

C項(xiàng)中，＞=x-》3的值域是我，且是奇函數(shù)；

D項(xiàng)中，y=2、的值域是（0,+8）,不是奇函數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本函數(shù)的值域和奇偶性，屬于簡單題.

3.已知coscrsin（乃+a）＜0,那么角。是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)確定角所在象限.

【詳解】

因此角a是第一或第三象限角，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)符號(hào)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

4.在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是。，b,c且G〃sin8=hsin（5+C）tanC,

則cosC=()

11

A.—B.----C.國.

222~2

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可知、Qasin3=/?sinAtanC，再根據(jù)正弦定理，可得力sinAsinBsinBsinAtanC，

可得tanC=百，由此即可求出角C，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

在,A3c中，sin(3+C)=sinA

所以力$皿（8+0匕11。=人5也41311。，

所以G〃sin3=/?sinAtanC，

由正弦定理可知，^3sinAsinB=sinBsinAtanC，

又A8e(O,?),

所以tanC=J§，

又?！辏?,"），所以。=g

所以cosC=，

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.在邊長為2的正方形ABCD,E為CD的中點(diǎn)，則4￡.￡C=()

A.--B.—C.-ID.1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以求得結(jié)果.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖：

則4(0,0),磯1,2),C(2,2),瓶=(1,2),EC=(1⑼，所以X￡.EC=1,故選D.

【點(diǎn)睛】

平面向量運(yùn)算有兩種方式：坐標(biāo)運(yùn)算和基底運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算能極大減少運(yùn)算量，是我們優(yōu)先選用的

方式.

6.已知4、人，C,d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a<b,則ac</?d

cd

B.若ab>0,hc—cid>0,則-----<0

ab

C.若a>b,則。一d>Z?-c

ab

D.若a>b,C>d>0則一>—

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，即可得到結(jié)果.

【詳解】

若0<a<6，()<c<d,則acchd；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

若而>0,bc-ad>0,則幺二也>0,即￡一旦>0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

ahab

若a>b,c>d,則一d>-c,所以a-d>b-c,故選項(xiàng)C正確；

若0d>0,則'>』>0；若a>〃>0,則且>2；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

acdc

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是()

A.72B.48C.27D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形，直角邊長分別是4,6cm,三棱

柱的側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長是3,利用體積公式得到結(jié)果

【詳解】

由題可得直觀圖為三棱柱，故體積為：V=S〃=4x6x,x3=36,故選D.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查由三視圖還原幾何體并且求幾何體的體積，本題解題的關(guān)鍵是看出所給的幾何體的形狀和

長度，熟練應(yīng)用體積公式，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

8.下列命題正確的是（）

A.一直線與平面平行，則它與平面內(nèi)任一直線平行

B.一直線與平面平行，則平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線平行

C.一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行，它們?cè)谄矫鎯?nèi)彼此平行

D.一直線與平面平行，則平面內(nèi)任意直線都與已知直線異面

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

一直線與平面平行，則它與平面內(nèi)任一直線平行或異面，故A不正確；

一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與已知直線平行，故B不正確；

一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行，它們?cè)谄矫鎯?nèi)彼此平行，故C正確;

一直線與平面平行，則平面內(nèi)任意直線都與已知直線平行或異面，故D不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系及其運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.

9.如圖，8是線段AC上一點(diǎn)，分別以為直徑作半圓，AC=6,AB=2,在整個(gè)

圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由題，先求出兩個(gè)白色小半圓的概率，再利用概率之和為1,求得陰影部分的概率即可.

【詳解】

萬x『萬x22

■7+74

可得概率為P=1一一--

冗乂3-9

2

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了幾何概型中面枳型，會(huì)求得面積是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖是某學(xué)校舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)上七位評(píng)委為某體操項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一

個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）

A.B.C.D.85,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)所給的莖葉圖，看出七個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)處理方法，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后,

把剩下的五個(gè)數(shù)字求出平均數(shù)和方差.

【詳解】

由莖葉圖知，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后，

1,o84+84+86+84+87

所剩數(shù)據(jù)84,84,86,84,87的平均數(shù)為-------------------=85：

方差為（［（84-85）2+（84—85『+（86一85『+（84-85『+（87—85）［=［.

故答案為C

【點(diǎn)睛】

莖葉圖、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計(jì)部分的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的新增內(nèi)容，考生應(yīng)引起足夠的重視，

確保檢拿這部分的分?jǐn)?shù).

11.已知圓。：/+丁2一2%—3=0,直線/：y=丘+1與圓C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時(shí)

人的值為()

A.IB.y/2C.-ID.-72

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直線的方程，判定直線過定點(diǎn)E(0,l),根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)C(l,0),利用圓的弦的性質(zhì)

判定直線/與CE垂直時(shí)弦長最短，利用兩點(diǎn)間距離公式求得CE的斜率，進(jìn)而利用兩直線垂直

的條件求得上的值.

【詳解】

據(jù)題意直線/：y="+1恒過定點(diǎn)￡(0,1),圓心。(1,0),

當(dāng)直線/與CE垂直時(shí)，弦長|同同最短，

此時(shí)kcE=—1，二%=1.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的弦長最值問題，涉及直線過定點(diǎn)，兩直線的垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

12.若圓G：/+y?=1與圓C2：x?+),-6x-8y+加=0外切，則”?=().

A.21B.9C.-21D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】

化為圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式，即可求解

答案.

【詳解】

由圓G：/+y2=i,得到圓心坐標(biāo)G(°，。)，半徑為4=1，

由圓。2：/+/一6*-8》+加=0,得到圓心坐標(biāo)。2(3,4),半徑為與=125—加，

圓心G與圓G外切，所以在而+1，

解得〃2=9,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩圓的位置關(guān)系的合理應(yīng)用，列出相應(yīng)的

方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

f2V+1xw0

13.已知函數(shù)/(力=\~八，若=貝!|a=O

2x+log3o,x>0''

A.3B.9C.27D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出/(-1)=9,在代入/(x)=2x+logs”,解方程求出a.

【詳解】

3

解：由已知/(-1)=2-1+1=5，

3

??/(/(-l))=/(-)=3+log3a=5,

解得：a=9,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)的值，是基礎(chǔ)題.

14.已知“X)是R上的奇函數(shù)，且滿足〃x+4)=/(x),當(dāng)xe(O,2)時(shí)，〃x)=2d,則

〃7)=()

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】試題分析：由/(x)滿足/(x+4)=/(x),所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且函數(shù)

“X)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)xe(O,2)時(shí)，/(力=2%2,則〃7)=〃7-8)=/(-1)=一〃1)=一2.

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

15.公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究.他們借助幾何圖形(或格點(diǎn))來表

示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶.圖為五角形數(shù)的前4個(gè)，則第10個(gè)五角形數(shù)為()

A.120B.145C.270D.285

【答案】B

【解析】

【分析】

記第"個(gè)五角形數(shù)為%,由題意知:4=4,。3一。2=7,。4一。3=16”可得

4一。,1=3(〃-1)+1，根據(jù)累加法，即可求得答案.

【詳解】

記第〃個(gè)五角形數(shù)為凡，

由題意知：4=1,生_《=4,%一生=7,4—。3=10…

可得a“一=3(〃-1)+1,

由累加法得a,=◎〃”,

a1?！?45.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)累加法其數(shù)列通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于中檔題.

二、填空題

16.某單位對(duì)員工編號(hào)為1到60的60名員工進(jìn)行常規(guī)檢查，每次采取系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5名

員工.若某次抽取的編號(hào)分別為X,17,y,Z,53,貝Ijx+y+z=.

【答案】75

【解析】

【分析】

由X,17,y,Z,53成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.

【詳解】

53-17

由系統(tǒng)抽樣可得公差為二j—=12,得x=5,y=29,z=41，所以x+y+z=75.

【點(diǎn)睛】

本題考查系統(tǒng)抽樣，解題關(guān)鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)：系統(tǒng)抽樣中樣本數(shù)據(jù)成等差數(shù)列.

17.已知高為8的圓柱內(nèi)接于一個(gè)直徑為1()的球內(nèi)，則該圓柱的體積為.

【答案】72"

【解析】

?.?圓柱的高為8,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為10的同一個(gè)球的球面上,

，該圓柱底面圓周半徑『752-42=3，

該圓柱的體積：V-Sh-rex32x8=72TT-

18.若不等式也2-4x—l<0對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，則實(shí)數(shù)我的取值范圍是.

【答案】-43

【解析】

【分析】

對(duì)不等式的最高次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)左=0時(shí)，原不等式變?yōu)橐?<0,顯然對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；

當(dāng)我時(shí)，要想不等式h?—h—1<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則滿足：

k<0且△=(—%y+4左<0,解得T<k<0,綜上所述：實(shí)數(shù)A的取值范圍是-4<左40.

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知不等式恒成立求參數(shù)問題.考查了分類討論思想.

19.設(shè)偶函數(shù)f(x)對(duì)任意x6R,都有/(%+3)=-六，且當(dāng)x6[—3,-2]時(shí)，/(%)=4%,貝!!

/(2018)=.

【答案】-8

【解析】

由條件可得/(X+6)=/(x),函數(shù)的周期為6,/(2018)=/(6X336+2)=/(2),/(2)=/(-2)=

—8>故填：-8.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，注意涉及周期性，屬于基礎(chǔ)題型，在函數(shù)中會(huì)有一些比較抽象的

式子，有關(guān)于周期的，對(duì)稱的，很多同學(xué)不太理解，重點(diǎn)說說這些抽象的式子，周期的有f(x+T)=

f(x),函數(shù)的周期為r,/(x-a)=f(x-b),周期為|a-b|,或是有關(guān)半周期的式子f(x+7)=

一/0)=六=一白，這些都說明半周期為7,或是已知f(x)=f(x+l)-f(x+2),我們可以再得到

/(%+1)=/(x+2)-f(x+3),兩式相結(jié)合，也可以得到/'(x)=-f(x+3),函數(shù)的半周期為3等式

子，學(xué)習(xí)時(shí)不要弄混.

三、解答題

20.如圖，學(xué)校規(guī)劃建一個(gè)面積為300m2的矩形場地，里面分成兩個(gè)部分，分別作為鉛球和實(shí)心球

的投擲區(qū)，并且在場地的左側(cè)，右側(cè)，中間和前側(cè)各設(shè)計(jì)一條寬2m的通道，問：這個(gè)場地的長,

寬各為多少時(shí)，投擲區(qū)面積最大，最大面積是多少？

【答案】長為30〃?，寬為10加時(shí)，投擲區(qū)面積最大為192mt

【解析】

【分析】

設(shè)場地的長為x，寬為投擲區(qū)域面積為S,則孫=300(x>0,y>0),S=(x-6)(y—2)展

開后利用基本不等式即可求最值.

【詳解】

設(shè)場地的長為％,寬為丫,投擲區(qū)域面積為S,

則xy=3(X)(%>0,y>0),

W312-2x2“-3y=312—4j3x300=312-4x30=192,

孫=300x=30

當(dāng)且僅當(dāng)《,八時(shí)等號(hào)成立,

y=10

所以這個(gè)場地的長為30，〃，寬為10機(jī)時(shí)，投擲區(qū)面積最大，最大面積是192m2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值解決實(shí)際問題.

21.已知正三棱柱ABC-A4G的邊長均為26，E,P分別是線段AG和的中點(diǎn).

(1)求證：E尸〃平面ABC

(2)求三棱錐C-ABE的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【解析】

【分析】

(1)取AC的中點(diǎn)為G,證明EEBG為平行四邊形，得EF//GB,從而得證線面平行；

(2)由E為AG的中點(diǎn)，得E到底面A8C的距離是G到底面ABC的距離的一半，這樣換底計(jì)算

體積％即可得.

【詳解】

證明；(1)取AC的中點(diǎn)為G,連結(jié)GE,GB，

在△ACG中，EG為中位線，所以EG〃Cq,EG=gcq,

乂因?yàn)镃CJ/BB],CC,=BB],尸為的中點(diǎn)，

所以EG//BF,EG=BF,

所以￡F8G為平行四邊形，

所以EF//GB.乂EF?平面ABC，G5u平面ABC，

所以EF〃平面ABC.

(2)因?yàn)椋?48￡=”-楨「因?yàn)镋為A￡的中點(diǎn)，

所以￡到底面ABC的距離是C,到底面ABC的距離的一半，

即三棱錐E-A6C的高〃==6，

乂，A8C的面積為S=^x(2&『=36，

所以*BE//C=F=；X3GXG=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線面平行，考查棱錐的體積，掌握線面平行判定定理是證明線面平行的關(guān)鍵，求三棱

錐體枳時(shí)，注意尋找高易得的面為底面進(jìn)行計(jì)算，俗稱換底法.

22.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年底全國已開通5G基站13萬個(gè)，部分省市的政府工作報(bào)告將“推進(jìn)5G

通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點(diǎn)工作，今年一月份全國共建基站3萬個(gè).

（1）如果從2月份起，以后的每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)2000個(gè)，那么，今年底全國共有基站多少

萬個(gè).（精確到萬個(gè)）

（2）如果計(jì)劃今年新建基站60萬個(gè)，到2022年底全國至少需要800萬個(gè)，并且，今后新建的數(shù)量

每年比上一年以等比遞增，問2021年和2022年至少各建