高等數(shù)學知識點 (二)

考研數(shù)學知識點擊等數(shù)學

一.函數(shù)的概念八一，..sinx,

公式1.hm------=1

1.用變上、下限積分表示的函數(shù)i°x

(1)y=「，其中/(7)連續(xù)，則電=/(%)

公式2.limfl+—=e；limf1+—^=e；

J。dx

"f穴nJu)

(2)y=[：)/(rW，其中a(x),外⑴可導，/(，)

J劭(X)

lim(l+v)7=e

連續(xù)，

則牛=%2(X腦W-/h(x)M；(x)4.用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換

ax5.用泰勒公式(比用等價無窮小更深刻)(數(shù)學一和

2.兩個無窮小的比較數(shù)學二)

設(shè)limf(x)=0,limg(x)=0,且limU=I當x-?0時、ev=l+x+—+A+—+0（x"）

g(M2!n!V'

(1)/=0,稱/(x)是比g(x)高階的無窮小，記以丫352n+[

sinx=x-----+—+A+（-1）"T------r+0（x2n+,）

3!5!'，（2〃+l）!、'

/(x)=0[g(x)],稱g(x)是比/(x)低階的無窮

v242”

2n

小。COSX=1-—H-------A+（--7-+0（x）

2!4!（2疝'7

(2)"0,稱/(x)與g(x)是同階無窮小。

ln（l+x）=x--+-——A+（-1）/,+1—+0（xJ

(3)/=1,稱/(x)與g(x)是等價無窮小，記以23n

352〃+l

/(x)~g(x)rr

arctanx=x---\-------A+（-1）,/+1-------+0（x2/1+I）

352H+1'7

3.常見的等價無窮小

當xfon寸

（1+x）嗔1+放+鋁f+A+誦嗎：-（〃T）L+/，）

sin尢?1，tanx~x,arcsinx~x,arctanx?x

13十，17'ln(l+X)7,

6.洛必達法則

法則(與型)設(shè)()

(l+x)aax1.1lim/(x)=0,limg(x)=0

二.求極限的方法

(2)無變化過程中，/'(x),g'(x)皆存在

1.利用極限的四則運算和幕指數(shù)運算法則

2.兩個準則

準則1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在(3)lim-A(或8)

S(x)

(1)若x?+l<xn(n為正整數(shù))>m(〃為正

則lim，=A（或8）

整數(shù))，則“l(fā)i—m>8x,,=A存在，且ANmg（M

(2)若>x?(“為正整數(shù))又居WM(〃為正(注：如果lim』具不存在且不是無窮大量情形，則

g3

整數(shù))，則limx“=A存在，且A4M

“f8

不能得出lim』!?不存在且不是無窮大量情形)

準則2.(夾逼定理)設(shè)g(x)</(x)<h(x)g(x)

若limg(x)=A,lim/i(x)=A,則lim/(x)=A法則2.(巴型)設(shè)(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo

00

3.兩個重要公式

(2)%變化過程中，f\x),g'(x)皆存在

Editedby楊凱鈞2005年10月

考研數(shù)學知識點遹等數(shù)學

值，如果對于區(qū)間［。力］上的任一點無，總有

A(或8)

則稱M為函數(shù)/(x)在［a，H上的最大值。同樣可以定義最

則lim用=A(或8)

小值加.。

定理3.(介值定理)如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間同上

7.利用導數(shù)定義求極限

連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和〃？，則對于介于加

基本公式：lim.(儂+?)_/(竺)=/,(%)［如果

Ax和M之間的任何實數(shù)c,在上至少存在一個使

存在］得

8.利用定積分定義求極限

基本公式lim-y/-|=［'f［x}dx［如果存在1

"T8”之\n*推論：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，且了⑷

三.函數(shù)的間斷點的分類

與?、僧愄枺瑒t在(。力)內(nèi)至少存在一個點J，使得

函數(shù)的間斷點分為兩類：

(1)第一類間斷點

f團=。

設(shè)玉,是函數(shù)y=/(x)的間斷點。如果/(x)在間斷點

這個推論也稱為零點定理

五.導數(shù)與微分計算

與處的左、右極限都存在，則稱/是/(x)的第類間斷

1.導數(shù)與微分表

點。(cj=O4(c)=0

第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。

(%")'=ax"T⑺實常數(shù))G)="T右(0實常數(shù))

(2)第二類間斷點

(sinx)=cosxJsinx=cosxdx

第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷

點。

(cosx)==-sinxdcosx=:-sinxtZr

常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。

(tanx)--sec2xJtanx=sec2xdx

四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，

(cotx)==-esc2xdcotx=■-esc2xdx

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)/(x),有以下幾個基本

(secx)==secxtanxclsecx=secxtanx6Zr

性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.(有界定理)如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間上(escx)==-cscxcotxdesex=-esexcotxdr

連續(xù)，則/(x)必在卜力］上有界。(log。x)=,(a>0,"l)

xlna

=*(a>0,aw1)

定理2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù)/(x)在閉dlog.x

x\na

區(qū)間卜,以上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值M和(inx)=-d\nx=-dx

XX

最小值機。

(a*)=aAln?(a>0,aw1)

其中最大值M和最小值機的定義如下：

定義設(shè)/(%)="是區(qū)間以上某點尤°處的函數(shù)dax=a'\nadx(a>0,aw1)

2Editedby楊凱鈞2005年10月

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材'(f)存在，且9’(。力0’則

/?V_]I>dy一夕3

(。⑺HO)

Vl-X2yjl-X2dx(pr(t)

二階導數(shù)

(arccosx)=——/1darccosx=——/】dx

71-%271-%2

2衿1/嗎

d2y_1公」_=[見._±_=，(例

/v1,1,

Iarctanx)=-----aarctanx=-----dxdx2dxdtdx[”(33

]+X21+尤2

dt

(arccotx)=---darecotx=----------dx

l+x21+x2

■/______\-5.反函數(shù)求導法則

\n{x+yjx24-a2J_i

ylx2+a2設(shè)y=/(x)的反函數(shù)％=g(y)，兩者皆可導,且

/\1

din卜+J/+/___!____dx/(x)*0

,777^

則g，G，)=7^)=7ra心。)

/____________Vf

\n[x+ylx2-ci2)_i

/x2-a2

/____________1

d\n\x+y/x2-a2)-dx

)1~2T二階導數(shù)g"(y)=遐3]=I，。)]-

7x-adydx￡y

2.四則運算才測dx

[/(x)±g(x)]=7'(x)土g'(x)

/⑴=.川g(>)]

=f(x)g(x)+/(x)g'(x)O

7(砌二『

a)g(x)#)gQ)D

一g(j_6.隱函數(shù)運算法則

g-⑴

設(shè)y=y(x)是由方程F(x,y)=O所確定,求y'的方

3.復(fù)合函數(shù)運噂法則

法如下：

設(shè)y=/(〃)>/=G(X),如果夕(x)在X處可導，/(〃)

把F(x,y)=0兩邊的各項對x求導，把y看作中間變

在對應(yīng)點〃處可導，則復(fù)合函數(shù)y=/[°(x)]在x處可導,

量，用復(fù)合函數(shù)求導公式計算，然后再解出y'的表達式(允

且有

dy_dydu許出現(xiàn)y變量)

=/'[。(無加⑴

dxdudx

對數(shù)求導法則

對應(yīng)地=f'(u)du=f'\<f>{x^'[x)dx7.

先對所給函數(shù)式的兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導

由于公式力=不管”是自變量或中間變量方法得出導數(shù)y'。

都成立。因此稱為一階微分形式不變性。對數(shù)求導法主要用于：

①基指函數(shù)求導數(shù)

4.由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則②多個函數(shù)連乘除或開方求導數(shù)

設(shè)x=M),y=以。確定函數(shù)〉=y(x),其中夕'?),關(guān)于塞指函數(shù)y=常用的一種方法

3Editedby楊凱鈞2005年10月

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y=〃⑴m/G)這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運算法則進行。(1)在閉區(qū)間［a,4上連續(xù)；

8.可微與可導的關(guān)系

(2)在開區(qū)間(。乃)內(nèi)可導；

/(X)在/處可微=/(X)在X。處可導。

則存在片€(“力)，使得

9.求〃階導數(shù)(〃22,正整數(shù))

先求出y',y〃,A，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y("),最后嗎出

b-a

用歸納法證明。

或?qū)懗蒮⑹-f(a)=f^b-a)(a<.<b)

有一些常用的初等函數(shù)的〃階導數(shù)公式

x

(1)y-e)>(")=e'有時也寫成f(x0+Ax)-/(x0)=/'(%+必Ax

(2)y=ax(a>Q,a^l)y㈤=a*(lna)"(o<e<i)

這里與相當。或人都可以，?可正可負。

推論1.若/(x)在(a,?內(nèi)可導,且/'(X)三0,則/(%)

(4)y-cosx>(")=cosx+—

k2)在(。乃)內(nèi)為常數(shù)。

(5)y=lnxy(")=(_1)”7(九-1)!1-''推論2.若/(x),g(x)在(a,b)內(nèi)皆可導,且

兩個函數(shù)乘積的階導數(shù)有萊布尼茲公式

n/'(x)三g'(x),則在(a,b)內(nèi)/(x)=g(x)+c,其中c為

[〃(沙⑹⑻這小叫小"叫x)

一個常數(shù)。

k=0三.柯西中值定理(數(shù)學四不要)

〃！設(shè)函數(shù)/(X)和g(x)滿足：

其中〃(o)(x)=〃(x),

k\(n—k.y

(1)在閉區(qū)間［a,9上皆連續(xù);

丫⑹(x)=v(x)

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導;且g［x)#0

假設(shè)“(x)和v(x)都是〃階可導。

則存在Je(a,h)使得

微分中值定理

—.羅爾定理

g(H-g⑷一兩(=“

設(shè)函數(shù)/(X)滿足

(注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特

(1)在閉區(qū)間［a，U上連續(xù)；

殊情形g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定

(2)在開區(qū)間(。力)內(nèi)可導；

理。)

四.泰勒定理(泰勒公式)(數(shù)學一和數(shù)學二)

⑶f(a)=f(b)

定理1.(皮亞諾余項的〃階泰勒公式)

則存在Je(a力)，使得/'化)=0

設(shè)/(X)在X。處有〃階導數(shù)，則有公式

拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù)/(x)滿足

…+牛(-)+粵(…J+A+乎TJ+*

4Editedby楊凱鈞2005年10月

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(X-%)的一個極小值，稱/為函數(shù)/(x)的一個極小值點。

其中&(6=0卜一尤0)[(尤./)稱為皮亞諾函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點與極小值

點統(tǒng)稱極值點。

余項。

2.必要條件(可導情形)

RX

limA)=o

L(x-/)")

設(shè)函數(shù)/(x)在/處可導，且與為/(x)的一個極值

前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不

同情形取適當?shù)摹?，所以對常用的初等函?shù)如

點，則/'(%)=0。

e*,sinx,cosx』n(l+xMMl+x)"(a為實常數(shù))等的〃

我們稱x滿足/(%)=0的/為/(%)的駐點可導函

階泰勒公式都要熟記。

定理2(拉格朗日余項的〃階泰勒公式)數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。

極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點

設(shè)/(x)在包含/的區(qū)間(。㈤內(nèi)有〃+1階導數(shù)，在

中進-?步去判斷。

[a,臼上有〃階連續(xù)導數(shù)，則對xe\ci,b\,有公式

3.第一充分條件

毋猛+率D+金像R+A+華燈E+總設(shè)/(x)在無。處連續(xù)，在0<,一/|<6內(nèi)可導，

其中R“(x)=『"(x—Xj”，(。在與與X之廣(%)不存在，或/'(/)=0。

(n+1/

1°如果在九0)內(nèi)的任一點x處，有

間)

稱為拉格朗日余項。

f\x)>0,而在(入0，X0+b)內(nèi)的任,-點x處，有

上面展開式稱為以與為中心的“階泰勒公式。當

/'(x)<0,則/(%)為極大值，九。為極大值點；

%=0時，也稱為n階麥克勞林公式。

2°如果在(4-6,%0)內(nèi)的任一點x處，有

如果limR“(x)=O,那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級

〃一>8

/'(x)<0,而在(%0，/+3)內(nèi)的任一點x處，有

數(shù)，這在后面無窮級數(shù)中再討論。

導數(shù)的應(yīng)用：

f\x)>0,則/(入0)為極小值，x0為極小值點；

一.基本知識

1.定義3°如果在一6,%)內(nèi)與(與，/+b)內(nèi)的任一點

設(shè)函數(shù)/(X)在(a力)內(nèi)有定義，X。是(a力)內(nèi)的某一

x處，/'(x)的符號相同，那么/(%)不是極值，/不是

點，則

極值點。

如果點與存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點

4.第二充分條件

Mx#/)，總有/(x)</(■%),則稱/(%)為函數(shù)/(x)

設(shè)函數(shù)/(x)在與處有二階導數(shù)，且((%)=0,

的一個極大值，稱/為函數(shù)/GO的一個極大值點；

/〃(/RO,則

如果點與存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點

當/〃(/)<0時，/(X。)為極大值，X。為極大值點。

x(xHXo)，總有/(外>/(%0),則稱/(?")為函數(shù)/(x)

當/〃(%)>0時，/(%)為極小值，與為極小值點。

5Editedby楊凱鈞2005年10月

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y=/（x）在（a,人）內(nèi)是凸的。

二.函數(shù)的最大值和最小值

1.求函數(shù)/（X）在L，以上的最大值和最小值的方法求曲線y=/（X）的拐點的方法步驟是：

首先，求出/（X）在（。,分內(nèi)所有駐點和不可導點第一步：求出二階導數(shù)/〃（X）：

第二步：求出使二階導數(shù)等于零或二階導數(shù)不存在的

%,A,xk,其次計算/（XJ,A,f（xk）,f（a）,f（b）。

點X]、、…、Xk'

最后，比較/（x,）,A,fM，f（a）,f（b）,

第三步：對于以上的連續(xù)點，檢驗各點兩邊二階導數(shù)

的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標；

其中最大者就是/（x）在[a,U上的最大值M；其中最

第四步：求出拐點的縱坐標。

小者就是/（無）在“上的最小值〃2。

四.漸近線的求法

2.最大（小）值的應(yīng)用問題1.垂直漸近線

首先要列出應(yīng)用問題中的目標函數(shù)及其考慮的區(qū)間，若lim/（%）=00或1由/（x）=oo

+

然后再求出目標函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（小）值。x-＞ax-^a~

則x=a為曲線y=/（x）的一條垂直漸近線。

三.凹凸性與拐點

1.凹凸的定義2.水平漸近線

設(shè)/（x）在區(qū)間/上連續(xù),若對任意不同的兩點七，若limf（x）=b,或limf（x）-b

Xf+OOXf-00

恒有

則y=b是曲線y=/（X）的一條水平漸近線。

3.斜漸近線

，（當習〉\[/&）+/（%）]/（七習＜g[/（*）+/（%）]）若lim/（"）=aH0,lim[/（x）-ax]=b

XT+81

則稱/（X）在/上是凸（凹）的?；騦im/（"=aw0,lim[/（x）-ax\=b

XT—QOXXf-gL

在幾何上，曲線y=/（x）上任意兩點的割線在曲線下則y=ax+6是曲線y=/（x）的一條斜漸近線。

五.曲率（數(shù)學一和數(shù)學二）

（上）面，則＞=/（x）是凸（凹）的。

設(shè)曲線y=/（x）,它在點M（x,y）處的曲率

如果曲線＞=/（x）有切線的話，每一點的切線都在曲

k=.—~若ZKO,則稱/?='為點M（x,y）處

線之上（下）則丁=/（x）是凸（凹）的。[1+（力葉卜

2.拐點的定義的曲率半徑，在M點的法線上，凹向這一邊取一點。，

曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。

使|MD|=R,則稱。為曲率中心，以。為圓心，R為半

3.凹凸性的判別和拐點的求法

徑的圓周稱為曲率圓。

設(shè)函數(shù)/（x）在（。力）內(nèi)具有二階導數(shù)/"（X）,

不定積分

如果在（a,少內(nèi)的每一點X,恒有/〃（x）＞0,則曲線

--基本積分公式

y=/（x）在（a,b）內(nèi)是凹的;ya+\

1.[xadx=-—+C（aw-1,實常數(shù)）

Ja+1

如果在（。乃）內(nèi)的每?點x,恒有/"（x）＜0,則曲線

6Editedby楊凱鈞2005年10月

考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學

r1」是非常熟練地湊出微分。

2.1—dx=：lnx|+C

JX常用的幾種湊微分形式：

x(Q>0,awl)(1)Jf[ax+b)dx=—jf^-\-b)d[ax+b)

3.二=-a+C

\na

|exdx-:+c（"。）

}nn

4.cosxdx=sinx+C(2)J7(tu"+b)x"-dx=—\f(ax+b)d(ax+b}

5.sinxdx=-COSX+C(aw0,〃w0)

(3)j/(inx)^=j/(inx)/(lnx)

8.tanxsecxtZr=secx+C

9.cotxcscxdLr=-cscx+C

10.Jtanxdx=-ln|cosx|+C(6)\f(ax)axdx=^f(ax)d(ax)

11.Jcotxdx=ln|sinx|+C(a>Q,aw1)

12.jsecxdx=ln|secx+tanx|+CJ7(e?d=J/(e'M")

13.Jescxdx=ln|csc.r-cotx|+C(7)J/(sinx)cosxdx=J/(sinx)j(sinx)

pdx(8)j/(cosx)sinxdx=-j/(cosx)t/(cosx)

14.一Qrr*Qin*4-r(a>0)

a

(9)j/(tanx)sec2xdx=j/(tanx)6f(tanx)

f公.1X(a>0)

15.J+/=—arctan--FC

aa(10)J/(cotx)csc2xdx=-j/(cotx)j(cotx)

f》_a+x(a>0)

16.122—In+cj/(secx)secxtanxdx=J/(secx)J(secx)

Ja-x2aa-x(11)

「dx(12)j/(escx)cscxcotxdr=-J/(cscx)j(cscx)

17.=In2±a2+C(a>0)

Vx2±/

j/(：csinQdx={/(arcsinx)t/(arcsinx)

(13)

71-x2"

二.換元積分法和分部積分法

1.第一換元積分法（湊微分法）j/,cco：?dx--^/(arccosx)j(arccosx)

(14)

設(shè)］7（“卜〃=網(wǎng)〃）+C,又e（x）可導，則

j/(：cta;x)公=J/(arctanx.(arctanx)

(15)

J/[e(x)b(xZ=J八夕(尤)ke(x)=Jc;tx)公_/(a%cotx)d(arccotx)

(16)

=F(w)+C=F[^9(x)]+C

這里要求讀者對常用的微分公式要“倒背如流”，也就

7Editedby楊凱鈞2005年10月

設(shè)“(X),v(x)均有連續(xù)的導數(shù)，則

2.第二換元積分法

設(shè)x=p(f)可導，且夕'(。/0,若ju(x)dv(x)=H(JC)V(X)-jv[x}du{x}

J./Mr)]d(r)dr=G(f)+C,

或JM(XMX)必:=M(X)V(X)-ju'(x)v(x)dx

則

使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作“(x)誰看作

+CG，(x)]+C

M(x)有一定規(guī)律。

其中/=為x=0(。的反函數(shù)。

(1)Pn(力故，P?(x)sinax,Pn(x)cosax情形,

第二換元積分法絕大多數(shù)用于根式的被積函數(shù)，通過

%(x)為〃次多項式，。為常數(shù)，要進行“次分部積分法,

換元把根式去掉，其常見的變量替換分為兩大類：

第一類：被積函數(shù)是x與病法或x與J竺辿或每次均取e",sinar.cosar為/(九)；多項式部分為

、cx+d

“(X)。

由/構(gòu)成的代數(shù)式的根式，例如yjaex+b等。

(2)￡,(x)lnx,匕(x)arcsinx,〃(x)arctanx情

只要令根式4麗=，解出x=°(f)已經(jīng)不再有根

形，匕(x)為〃次多項式取匕(x)為M(x)，而Inx,

式，那么就作這種變量替換x=°(f)即可。

arcsinx,arctanx為“(x),用分部積分法一次，被積函

第二類：被積函數(shù)含有JA^+BX+C(A=O),

數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。

如果仍令JAA?+5x+C=r解出x=仍是根號,那(3)eaxsinbx,e。'cos法情形，進行二次分部積分

么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將A>0時先化為法后要移項，合并。

JA『7O)2±/2],A<0時，先化為(4)比較復(fù)雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要用湊微

8Editedby楊凱鈞2005年10月

考研數(shù)學知識點擊等數(shù)學

分法，使盡量多的因子和心:湊成

xw[a,“稱為變上限積分的函數(shù)

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