應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)（基于MATLAB實(shí)現(xiàn)）教案 李建輝 第1、2章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)

《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案教案首頁教學(xué)單元第1章學(xué)時(shí)8教學(xué)題目數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)與組織安排課堂教學(xué)主要以板書為主，多媒體課件為輔教學(xué)目標(biāo)及達(dá)成度價(jià)值塑造介紹相關(guān)數(shù)學(xué)家在數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的突出貢獻(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)取、熱愛學(xué)習(xí)，立志將所學(xué)知識(shí)用于科學(xué)研究，解決社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)過程中的現(xiàn)實(shí)問題。知識(shí)傳授分布、F8常用統(tǒng)計(jì)量。能力培養(yǎng)通過本章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)總體與樣本概念在現(xiàn)實(shí)問題中進(jìn)行數(shù)據(jù)搜集和處理，使用簡單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)8邏輯關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：總體、樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量的概念、樣本均值、樣本方難點(diǎn)：經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量的概念、樣本均值、樣本均值的分布、三大抽樣分布、分位數(shù)、次序統(tǒng)計(jì)量的分布、正態(tài)總體常用統(tǒng)計(jì)量.教學(xué)方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導(dǎo)+問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式模式：線上+線下混合式平臺(tái)：學(xué)堂云平臺(tái)工具：雨課堂【教學(xué)進(jìn)程安排】一、教學(xué)準(zhǔn)備與內(nèi)容導(dǎo)入【教學(xué)進(jìn)程安排】一、教學(xué)準(zhǔn)備與內(nèi)容導(dǎo)入1.課前通過學(xué)堂云平臺(tái)發(fā)布課程基礎(chǔ)調(diào)查（投票題目），了解學(xué)情2.介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展介紹中國相關(guān)領(lǐng)域數(shù)學(xué)家及其學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)：中國數(shù)學(xué)家，嚴(yán)加安。了解學(xué)情有助于增進(jìn)學(xué)堂云在線答題通過課程群推送文章【數(shù)理統(tǒng)計(jì)的興起與普及】?！菊n程思政】中國數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神3.課前通過學(xué)堂云平臺(tái)發(fā)布【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】與【課前測試】要求學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立完成預(yù)習(xí)思維導(dǎo)圖。4二、主要內(nèi)容設(shè)計(jì)預(yù)備知識(shí)1：隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件

通過對一些自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的描述給出隨機(jī)現(xiàn)象的概念。從學(xué)術(shù)論文中提取素材“工程管理中統(tǒng)計(jì)學(xué)”概念（符號(hào)表示）舉例（擲一顆骰子）樣本空間：??{1概念（符號(hào)表示）舉例（擲一顆骰子）樣本空間：??{1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)：??{1}，{2}，?，{6}必然事件：??{點(diǎn)數(shù)為整數(shù)}不可能事件：?{點(diǎn)數(shù)小于0}（1）文氏圖表示（2）樣本空間的劃分（如圖）∞?????????=?,??≠????=1

【課程思政】通過對隨機(jī)現(xiàn)象的講活中有些現(xiàn)象是不確思考問題時(shí)要考慮周概念的理解：在給出隨機(jī)試驗(yàn)之后，給出樣本空間及隨機(jī)事件的概念。從集合論的角度解釋隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)∞??????? 算??=1（3）事件的關(guān)系與運(yùn)算3中表達(dá)方式舉例利用事件之間的關(guān)系來表示復(fù)雜事件事件的運(yùn)算定律概念的理解：在給出概率的定義之前先給出頻率的概念。隨機(jī)事件的概率（1）概率的定義對??中的意件??，都有個(gè)實(shí)數(shù)??(??)與之應(yīng),且以下件a) 非負(fù)：0≤??(??)≤1；b) 規(guī)范：??(??)=1

【課程思政】從頻率與概率看偶然性與必然性的對立統(tǒng)∑∞∑??=1

c) ????，??=1,2有??(?∞??(????)·① ??(?)=0；② ????，??=1,2????(???????)=

????)=

一。概念的理解：把概率可以看作是頻的理解概率的統(tǒng)計(jì)定義?！??∑??=1

??(??;③ ??(??)=1???(???);④ ????????(??)≤??(??);⑤ ??(??∪??)=??(??)+??(??)???(????);⑥ ??(??|??)=??(????)(??(??)>0)；??(??)⑦ ??(????)=??(??)??(??|??)(??(??)>0)；

給出概率的統(tǒng)計(jì)性定義后來研究古典概型舉例說明隨機(jī)變量的分類。??=1⑧ 全概率公式：??(??)=∑????(????)??(??|????)；??=1∑⑨ 貝葉公：??(??|??)= ??(????)??(??|????)；∑?? ????=1

??(????)??(??|????)⑩ ??，?????(????)=??(??)??(??).隨機(jī)變量及其分布（1）隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)字化，是樣本空間到[0,1]上的映射(但??????.（2）隨機(jī)變量??的分布函數(shù)??(??)=??{??≤??},??∈??，分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：①單調(diào)性：??(??)單調(diào)不減；②??(??)∈[01,??()=0,??()=0;③連續(xù)性：??(??+0)=??(??).離散型隨機(jī)變量??的取值有有限多個(gè)或可列多個(gè){??1,??2,?,????,?},列舉出每一個(gè)取值對應(yīng)的概率??{??=????}=????,??=1,2,?稱為??的分布律，同時(shí)滿足如下兩條性質(zhì)：① ≥0,??=1,2,

課堂討論：引導(dǎo)學(xué)生撕開和討論??=1② 完備性：∑∞??=1

????=1

“除離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量之3 ????

外還有沒有其他類型的隨機(jī)變量”有????(??)=∫??(??)d???∞稱??(??)為??的概率密度函數(shù)，同時(shí)滿足如下兩條性質(zhì)：① 非負(fù)性：??(??)≥0,??=1,2,?∞② 完備性：∫??(??)d??=1;?∞③若??(??)在??處連續(xù)，則d??(??)=??(??);d??④1<2,有

??2

引導(dǎo)學(xué)生思考概率分布的本質(zhì)是什么？??{??1<??<??2}=??(??2)???(??1)=∫??(??)d????1

分布函數(shù)的本質(zhì)的是常見隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布（0-1分布，伯努利分布）????{??=??}=????(1???)1???,??=0,1則稱??服從兩點(diǎn)分布，記作??~??(1,??).二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量??的分布律為????{??=??}=????????(1???)?????,??=0,1,?,????則稱??服從參數(shù)為??和??的二項(xiàng)分布，記作??~??(??,??).Poisson

什么？若隨機(jī)變量??的分布律為??{??=??}=

??!

?????,??=0,1,?則稱??服從參數(shù)為??的Poisson分布，記作??~??(??).幾何分布若隨機(jī)變量??的分布律為??{??=??}=????(1???)???1,??=0,1,?則稱??服從幾何分布，記作??~??(??).均勻分布若隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為1??(??)={?????,??≤??≤??0,otherwise則稱??服從[??,??]上的均勻分布，記作??~??(??,??).指數(shù)分布若隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為??(??)={?????????,??>00,otherwise則稱??服從指數(shù)分布，記作??~??????(??).正態(tài)分布若隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為1??(??)= √2????

?(?????)2?? 2??2,?∞<??<+∞則稱??服從正態(tài)分布，記作??~??(??,??2).Gamma若隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為??????(??)={Γ(??)

?????1?????????,??≥00,otherwise0其中(??)=∫+∞?????1?????d??,??>0，則稱??服從Gaa分布，記作0??~????(??,??).三、小結(jié)隨機(jī)事件、隨機(jī)變量及其分布。四、作業(yè)（1）學(xué)堂云線上作業(yè)（2）以思維導(dǎo)圖的形式將“概率論基礎(chǔ)”的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)和整理。預(yù)備知識(shí)2：隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.1數(shù)學(xué)期望（）16546060【學(xué)生討論】該如何備注這60個(gè)金幣？解：在賭技相同的情況下,梅爾與他的朋友最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即梅爾應(yīng)獲得賭金的3，而朋友只能獲得賭金的1。

板書標(biāo)題問題提出【課程思政】講述賭博的中數(shù)學(xué)原是對大學(xué)生身心健康的危害。基于“問題導(dǎo)向”的導(dǎo)4 4 因此,603+01=45（個(gè)4 4 趣。,則為個(gè)。lsePascal）1、數(shù)學(xué)期望的定義Xx1x2Xx1x2P(X)p1p2pk

【課程思政】期望概念的提出經(jīng)過包含著科學(xué)家的創(chuàng)新和科學(xué)研究中學(xué)習(xí)數(shù)PXxkpkk2,若級(jí)數(shù)xkk1

pk收斂，則稱級(jí)數(shù)xkpk為隨k1

學(xué)家的創(chuàng)新精神和鍥而不舍、精益求精的科X（),即

學(xué)精神和奉獻(xiàn)精神。EXxkpk.k1若級(jí)數(shù)發(fā)散xkk1

pk發(fā)散，則稱EX不存在。

課堂討論：設(shè)置討論，關(guān)于“期望”X,,,它X,.（ii）級(jí)數(shù)的絕對收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.成績X1成績X1X2擊中環(huán)數(shù)X89108910PX0.30.10.60.20.50.3哪一個(gè)射手本領(lǐng)較高？例2: 何定資方向?1087025%，問是否作此項(xiàng)投資?（2）常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(i)若??~??(1,??),則????=0×(1???)+1×??=??.(ii)若??~??(??,??),則????=????.(iii)若??~??(??),則????=??.（3）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望Xfxfx.

不僅要理解定義本身，還要挖掘定義背后的含義?！菊n程思政】新時(shí)代背景下，投資、保險(xiǎn)、校園貸五花八門，要理性，用所學(xué)知識(shí)揭示其騙人的把戲。理論聯(lián)系實(shí)際，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以在實(shí)際中找到原型，體現(xiàn)了唯物主義。積分fx.為X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為EX，即EX= fxx若積分

xfxdx發(fā)散，則EX不存在。例3：顧客平均等待多長?設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的，X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為1??(??)={5??

???5, ??>0,試求顧客等待服務(wù)的平均?2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

0, ??≤0.定理1設(shè)隨機(jī)變量X的函數(shù)Yg(X)為連續(xù)函數(shù)，則（1）若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為PXxkpk,k1,2,.且 g(k)kEY)E(g(Xg(k)k。kk（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x)，且設(shè)隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)ZgX,Y

g(x)

f(x)dx

收斂，那么EY)E(g(X)

g(x)

f(x)dx.2設(shè)隨機(jī)變量X,YZgX,Y）若X,Ygi,yjij

【課程思政】從一維到多維i1那么

j1

從簡單到復(fù)雜從特殊到一般EZEgX,Ygi,yjiji1j1

讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與哲學(xué)原理之間的關(guān)系。（2）若X,Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為fx,y，且收斂，那么

gx,yfx,ydxdyEZEgX,Y

gx,yfx,ydxdy.特別地，當(dāng)ZgX,YX與ZgX,YY時(shí),EgX,Y為二維隨機(jī)變量X,YX與Y例4設(shè)隨機(jī)變量??的分布律為??-20124一維到二維??(??)0.30.10.20.150.25本質(zhì)上發(fā)生了什么變求:??(???+2).例5設(shè)隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為??,0≤??<1,??(??)={2???,1≤??≤2,求:??(1).??+10,其他,例6設(shè)(X,Y)的分布律為：Y 1 2 3X-1 0.2 0.1 00 0.1 0 0.31 0.1 0.1 0.1求：E(X),E(XY)2.3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)是C常數(shù),E(C)C.X,C,E(CXCEX.X,Y,EXYEXE(Y.X,Y,EXYEX)E(Y.2.2方差、變異系數(shù)【學(xué)生討論】當(dāng)均值相同時(shí)，如何比較兩組數(shù)據(jù)的好壞，怎樣用數(shù)學(xué)的方法來度量這個(gè)偏離程度呢？1.方差的定義設(shè)隨機(jī)變量??,如果??{[???????]2}存在,則稱之為隨機(jī)變量??的方差,記為??(??)或??????(??).記√??(??)=√??{[???????]2}為隨機(jī)變量??的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.注：（i）方差是非負(fù)的常數(shù)。（ii）方差與??的量綱不一致。（1）離散型隨機(jī)變量方差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量??的概率分布為??{??=????}=????,??=1,2,…,則化：是否量變發(fā)生質(zhì)變？基于“問題導(dǎo)向”的導(dǎo)入，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。??=1??(??)=∞(???????)2??.??=1（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的方差?∞????(????(??)=∫+(???????)2??(????.?∞（3）差算式 ??(??)=??(??2)?(????)22.常見隨機(jī)變量的方差(1)若??~??(1,??),則??(??)=??×(1???).(2)若??~??(??,??),則??(??)=????(1???).(3)若??~??(??),則??(??)=??.()??~??(??,??),??(??)=?????2.12(5)若??~??????(??),則??(??)=1.??2(6)若??~??(??,??2),則??(??)=??2.例設(shè)隨機(jī)變量??的分布律為??0123??(??)0.30.30.20.2求:??(??).例2設(shè)隨機(jī)變量??的概率密度函數(shù)為1+??,?1≤??<0,??(??)={1???,0≤??<1,求:??(??).0,其他,小結(jié)：1.理解離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量方差的定義和性質(zhì)；2.掌握方差的計(jì)算。2.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù),Y??(??+??)=??(??)+??????(????????(??+??)=??????(??)+??????(??)+2??[(???????)(???????)]

【課程思政】用數(shù)學(xué)期望和方差來而說明團(tuán)隊(duì)的力量的【課程思政】課程思政元素：數(shù)學(xué)中的邏輯推理與證明體現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維。XY,X與Y1.協(xié)方差（1）定義：設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量,若E{[XE(X)][YE(Y)]}存在,則稱其為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}.按定義,若(X,Y)為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為,Yyj}

(i,j1,2,)則C(X,Y){[iE(XyjEY。)i,j若X,Y,f(x,y則

“問題導(dǎo)向”，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。Co(X,Y){[xE(XyEYf(x,y)dxdy(2)協(xié)方差計(jì)算公式利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易將協(xié)方差的計(jì)算化簡：??????(??,??)=??{[?????(??)][?????(??)]}=??(????)???(??)??(??)???(??)??(??)+??(??)??(??)=??(????)???(??)??(??)(3)協(xié)方差的性質(zhì)(i)??????(??,??)=??????(??,??);??????(????,????)=??????????(??,??);(ii??????(??1??2????????(??1????????(??2??);(iii)??????(????)=??(??)。(4)不相關(guān)對于方差非零的兩個(gè)隨機(jī)變量??,??,滿足??????(??,??)=0,則稱隨機(jī)變量??與隨機(jī)變量??不相關(guān).1,??2+??2≤1,1(????)??(????)={??相互獨(dú)立?是否不相關(guān)?例2設(shè)隨機(jī)變量(??,??)的分布律為

0,其他,

問:??,??是否YX-101【課程思政】疫情期間我國試行的重要的一項(xiàng)措施就是1一維正態(tài)分布的聯(lián)系和區(qū)別是什么？-11818180180181181818求:??????(??,??).例3設(shè)??~??(2,9),??~??(?2,4),??(????)=5,求??????(??+??,?????).XYX與Y??????(????????????(??????????????(????)。??????? ??????? ??????(??,??)??????( , )= √??????(??)√??????(??) √??????(??)√??????(??)其可看做是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)的概念。2.相關(guān)系數(shù)（1）定義(2)柯西-許瓦茲不等式對任意方差不全為0隨機(jī)變量??與??若????2????2存在則[??(????)]2≤??(??2)??(??2),上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)??{??=??0??}=1,其中??0是某個(gè)常數(shù).(3)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)i|??|≤1;（ii）|??????|=1的充要條件是??與??依概率1線性相關(guān),即??{??=????+??}=1,??,??是常數(shù).(4)等價(jià)命題對于方差非零的兩個(gè)隨機(jī)變量??,??,下面事實(shí)是等價(jià)的:(ii) ??????(????)=0；(ii=0；(iii????(iv)??(????)=??(??)??(??)；(v)??(??+??)=??(??)+??(??)。為了能夠直觀地理解隨即變量之間相關(guān)系數(shù)描述的相關(guān)性的含義,我們通N(,,)的40組隨機(jī)數(shù)據(jù)(Xi,i),1,10806,0201時(shí)，X和Y以率1線相；取越越時(shí)，X和Y線相趨越，當(dāng)X=0, X與Y間不出性關(guān)。3、中位數(shù)的定義中位數(shù)指按照順序排列的一組數(shù)據(jù)中于中間位置的數(shù),又稱中值.4、眾數(shù)眾數(shù)指在統(tǒng)計(jì)分布上具有明顯集中趨勢點(diǎn)的數(shù)值,代表數(shù)據(jù)的一般水平.也是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值,有時(shí)眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個(gè).5、變異系數(shù)變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù).注意:變異系數(shù)的大小,同時(shí)受平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的影響,因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時(shí),最好將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差也列出.6、矩對整數(shù)??若??(????),??=1,2,…存在,則稱它為??的??階原點(diǎn)矩,數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩.對整數(shù)??若??{[???????]??},??=1,2,…存在,則稱它為??的??階中心矩,方差是二階中心矩.柯西-許瓦茲不等式對任意方差不全為0隨機(jī)變量??與??若????2????2存在則[??(????)]2≤??(??2)??(??2),上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)??{??=??0??}=1,其中??0是某個(gè)常數(shù).三、小結(jié)隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用。四、作業(yè)（1）學(xué)堂云線上作業(yè)（2）搜集整理與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的工程數(shù)學(xué)分析科研論文并閱讀。

特殊與一般中位數(shù)、均值、眾數(shù)三者是何關(guān)系？能否全都相等，如果全都相等，會(huì)出現(xiàn)什么情況?；A(chǔ)知識(shí)3：中心極限定理1.問題提出 獨(dú)立測量的算術(shù)平均問題設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量??1,??2,?,????，??(????)=??,

板書標(biāo)題術(shù)平均及頻率的穩(wěn)定性。??(??)=??2??=12,???

1??=∑ ??=∑ ??.則??(?

)=??[1∑?? ??]=1∑??

1，??(??)= ?????=??，

板書公式?? ????=1??

????=1

?? ??

)=??[1∑?? ??]=1∑??

??(??)=1?????2=??2.?? ????=1??

??2

??=1

?? ??2 ??注意：隨機(jī)變量???是??個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1,2,?,??的算術(shù)平均值，并且??2????具有相同的期望和方差。這種問題在實(shí)際中經(jīng)常遇到，例如,測量????2XnXn看成獨(dú)立的，??(???)=??表示大量隨機(jī)試驗(yàn)中，測量的算術(shù)平均值的期望為??(??)=??,??(???)=??2??表示測量的誤差隨著測量次數(shù)n的增加而減少。那XnE(Xn)

結(jié)合課件演示，給出定理，講解并證明即隨機(jī)事件Xn當(dāng)n下面介紹三個(gè)定理，它們分別反映了算術(shù)平均及頻率的穩(wěn)定性．2.大數(shù)定律定理1（契比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量??1,??2,?,????,?相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：

定理說明，引入依概率??(????)=??,??(????)=??2

k1,2,

．前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均為???=

收斂概念1∑??

??，????=1??則對于任意正數(shù)，有??????

???|<??}=????????{|1∑??

?????|<??}=1．??→∞

??證明由于

??→∞

????=1????(?

)=??[1∑?? ??]=1∑??

??(??)= ?????=??，11?? ????=1??

????=1

?? ????(???

)=??[1∑?? ??]=1∑??

??(??)=1?????2=??2．?? ????=1??

??2

??=1

?? ??2 ??

板書標(biāo)題由契比雪夫不等式可得2??{|1∑?? ?????|<??}≥1??????．2

結(jié)合課件演示，給出依概率收斂定義、????=1??

??2在上式中令??→∞，并注意到概率不能大于１，即得

性質(zhì)及證明。????????{|1∑??

?????|<??}=1．??→∞

????=1??定義1 ?,?是個(gè)機(jī)量序是一常數(shù)若于任意正數(shù)，有則稱序列,Y2,

????????{|???????|<??}=1，??→∞,Yn,,Yn,??????→??．依概率收斂的序列有以下的性質(zhì)：

板書標(biāo)題1?? ??設(shè)????→??，????→??，又設(shè)函數(shù)g(x,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)，則

學(xué)生邏輯推理能力。????(????,????)→??(??,??)．證明 由g(x,y)在點(diǎn)(a,b)的連續(xù)性知，對于任意給定的0，必存在0，使當(dāng)xayb時(shí)，g(x,y)g(a,b)，于是g(Xn)g(a,b)XnabXna

nb

2，Pg(Xng(a,b)PXna

Pnb

20,當(dāng)n．,Xn,n即 limPg(Xn,Yn)g(a,b)1．這樣理1.1可述：,Xn,n定理1的另一種述 隨機(jī)量X1,X2,

相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：??(????)=????(????)=??2

k1,2,

．則序列???=1∑??

????依概率收斂于??，即???→

??．????=1?? ??定理2（貝努利大數(shù)定理）設(shè)????是??次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件??發(fā)生的次數(shù)，??是事件??在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)??>0，有????????????| ???|<??}=1??????→∞ ??????????????{| ???|≥??}=??????→∞ ??證明 因?yàn)閚A~b(n,p)，????=??1+??2+?+????，其中??2,?,????相獨(dú)，都從以p為參的（0-1）分．從而 ??(????)=??,??(????)=??(1???)(??=1,2,?,??)由定理11????????{|(??

+??

+?+??

)???|<??}=1,??→∞

?? 1 2 ??即 ????????????{| ???|<??}即 ??????→∞ ??注：貝努利大數(shù)定理表明事件發(fā)生的頻率nA依概率收斂于事件的概率p．這n個(gè)定理以嚴(yán)格數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性．

例子引出獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布問題。,Xn,2X1,Xn,

的方差存在，但在這些隨機(jī)變量服從相同分布的條件下，方差存在這個(gè)條件并不是必要的，從而有以下定理．定理3(欽理) 設(shè)機(jī)變量X1,X2,E(Xk)（k,,

相互獨(dú)立，服從同一分,Xn,，則對于任意正數(shù),Xn,

理的解釋與說明1????????{|

??∑???????|<??}=1??→∞

????=1注：貝努利大數(shù)定理是辛欽定理的特殊情況．辛欽定理在應(yīng)用中是很重要的．中心極限定理1.問題提出n??

1???????(∑??1????)??=1????=??=1

??=

??=√??(∑?? ????)討論的Yn分布是否為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理。2.中心極限定理X1X2,

,Xn, 相互,

結(jié)合課件演示，給出定理??(??)=??,??(??)=??2(??2>0，（k

nn．則隨機(jī)變量之和Xkk1??

1???????(∑??1????)

??

1?????????????=

??=

??=√??(∑?? ????)

= ??=

√??????=1(xx滿足??=1

??

1?????????

舉例說明獨(dú)立均勻分布隨機(jī)變量之和，探索????????(??)=????????{

??=

≤??}??→∞?? 1 ??

??2

√????

其中變化規(guī)律。= ∫???2????=??(??)√2???∞證明略．注：對于定理1作如下說明：當(dāng)n

∑?????????????=1??=1√????

近似地~

??(0,1)．nnXkk1

nYnn是Yn的線性函數(shù)，當(dāng)n充分大時(shí)，∑??∑??=1

近似地~

??(????,????2).??，式??=1 改成：(3)??，式??=1 改成：

??????????? ????=1??

√????

??√??n近似地

近似地?

??2??√??

~??(0,1) 或 ??

~??(??, )．??這是獨(dú)立同分布中心極限定理結(jié)論的另一表示形式．也就是說，均值為，方,1 2差為20的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X,X, X的算術(shù)平均,1 2n1∑??

??，當(dāng)n充分大時(shí)近似地服從均值為，方差為2n的正態(tài)分布。這????=1??一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。定理（Lauo)1,2,?,??,????(????)=????,??(????)=??2>0，??=1,2,?，??記????2=∑??2?? ????=1若存在正數(shù)，使得當(dāng)n時(shí)，1??2+??????n

??∑??{|?????????|2+??}→0??=1

學(xué)習(xí)時(shí)要理解近似服從正態(tài)分布的關(guān)系，在則隨機(jī)變量之和Xkk1

現(xiàn)實(shí)中表示的含義。??=

??∑??=∑

1???(∑??

1????)=

??∑??=∑

1?∑??

1????

以及（2）中表示的線??=??=??=1?? √??(∑????=??=??=1

????)

????

性關(guān)系。(xx滿足

??

1?∑??

1????????????(??)=????????{

??=

??=

≤??}??→∞??

??→∞ 1 ?? ??2= ∫???2????=??(??)√2???∞注：定理2表明,在定理的條件下,隨機(jī)變量??

1?∑??

1????????=

??=

??=????nN，作為定理2定理3DeivrLalc)）n(n

)服從參數(shù)為np(0px

樣本均值的分布隨著?????????

1 ??

???2

樣本容量會(huì)發(fā)生什么????????{ ≤??}= ∫??2????=??(??)??→∞

√????(1???)

√2???∞

變化？n,證明 將n分為n個(gè)相立服同(0－1)分隨機(jī)量X1,X2,n,XnnXk，k1其中Xk(k,n)的分律為P{Xk

pi,

i0,1．

3個(gè)中心極限定理，之間的關(guān)系是什么，對后續(xù)的學(xué)習(xí)有什么作由于E(Xk)p,D(Xk)p(1p)(k,n)，由理2得 用？?????????

??

1?????????????????{ ≤??}=????????{

??=

≤??}??→∞

√????(1???)

??→∞

√????(1???)1 ??

???2= ∫??

2????=??(??).√2???∞3.中心極限定理的確應(yīng)用例1對敵坦克群進(jìn)行炮擊100次,每次炮擊中,炮彈命中數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4,命中數(shù)的均方差為1,求當(dāng)炮擊100次時(shí)有380到420顆炮彈命中目標(biāo)的近似值.例2設(shè)Xk(k2, ,10)為相獨(dú)的變量,且(0－1)服均10勻分,計(jì)算Xk的似.k13260,4,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是相互獨(dú)立的,問總機(jī)要備有多少條外線才能以95%的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.

中心極限定理作為參,例4假設(shè)X,X, X相獨(dú)立服同一布已知E(Xk)，,

一定的應(yīng)用，那么其應(yīng)1 2 n

i k1n 2

用的條件有哪些？n（k2,3,4,n試明??充分機(jī)量Zn Xini1近似地服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)．三、小結(jié)四、作業(yè)（1）學(xué)堂云線上作業(yè)（2）完善課前預(yù)習(xí)內(nèi)容中的“思維導(dǎo)圖”。第一章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布§1.1隨機(jī)樣本與樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一、問題的提出引例1：研究一批燈泡的壽命分布，需明確該批燈泡中每個(gè)燈泡的壽命長短。引例2：研究某一湖泊的深度，需測量湖面上每處到湖底的深度?？傮w．二、授課內(nèi)容1.總體及其分布????這兩張圖是大家再熟悉不過的兩個(gè)成語了：一葉知秋、盲人摸象。2.簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)抽樣：從總體中抽取部分個(gè)體來觀察某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的過程叫抽樣。抽樣必須具備下列兩個(gè)條件：X的分布函數(shù)為??(??)??2????是相互獨(dú)立X??2????X（

結(jié)合實(shí)例引出總體的概念【課程思政】同學(xué)們在大一的思政且其中一定有這樣的體功能大于局部功能我們數(shù)理統(tǒng)計(jì)用統(tǒng)計(jì)推斷的方法來認(rèn)識(shí)總樣本的信息和總體的信息就沒有偏差么？義哲學(xué)原理中學(xué)到的“整體具有局部所不會(huì)出現(xiàn)偏差、甚至錯(cuò)樣是從樣本到總體的致數(shù)理統(tǒng)計(jì)后面的內(nèi)容會(huì)大量的涉及到概為了讓我們的結(jié)果是??(??)）的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本．??1,??2,?,????取定的某組值??1,??2,?,????稱為樣本??1,??2,?,????的樣本觀察值，也簡稱為樣本值．3.樣本的分布??2????nn維隨機(jī)向量(??1??2????)n維隨機(jī)向量(??1??2????)的分布就稱為樣本X1X2, Xn注總體X為連型其概密為f(x)則樣本X1,X2, ,Xn的概率度為

【課程思政】中華文化分享一首唐詩，王維的《雜詩·之二》君自故鄉(xiāng)來，應(yīng)知故鄉(xiāng)事。來日綺窗前，寒梅著花未？說明總體與樣本的關(guān)系。????(??1,??2,?????)=∏??(????)??=1（2）若總體X為離散型，其分布律??{??=??}=??(??)，則其樣本??1,??2,?,????的分布律為????(??1,??2,?????)=??{??1=??1}??{??2=??2}???{????=????}=∏??{????=????}??=1??=∏??(????)??=1例1總體X服參為??的(0?1)布，其??2,?,????的分律．解 因?yàn)??(??=0)=1???，??(??=1)=??，0<??<1，則??=1??(??)=??(??=??)=????(1???)1???，??=0,1，則樣本的聯(lián)合分布為??=1??=1??(??1,??2,?,????)=∏????=1

??(????)=∏??

????1??????.

大樣本在現(xiàn)實(shí)中一般例2設(shè)??～??(??,??2)，求??2,?,????的率密．解 因?yàn)??～??(??,??2)，所，

較容易滿足，但需要視情況而定，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一般將樣本容量??>1 (?????)2??(??)=???2??2,?∞<??<+∞，√2????

3可視為大樣本，但并非絕對。則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

??=1√2????1 (???????)??=1√2????

1 1∑?? 2??=1??(??1,??2,?,????)=∏????=1

??(????)=∏?? ???

2??2

=(√2????)??

???2??2

??=1(???????)。4.直方圖為研究總體分布的性質(zhì)，人們往往通過試驗(yàn)或抽樣的方式得到許多觀察200195210211201205185197183177202200201191195192177189210189202204188206197183198189203194例3. 由于隨因的響鉛運(yùn)員鉛200195210211201205185197183177202200201191195192177189210189202204188206197183198189203194現(xiàn)在來畫這組數(shù)據(jù)的頻率直方圖。解 第一步，以數(shù)中找最值最值；xmin177，xmax211。第二步，確定最小下限和最大上限；次出手高度為200cm199.5，200.5176.5211.5。第三步，確定分組數(shù)及組距。n10~20??≤505~630n5

問題導(dǎo)向：數(shù)據(jù)分析動(dòng)過鉛球運(yùn)動(dòng)過程數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。??=

?最小下限=分組數(shù)

211.5?176.5=75第四步，確定組限、組頻數(shù)、組頻率，作頻率分布表。分組12345組限[176.5，183.5)[183.5，190.5)[190.5，197.5)[197.5，204.5)[204.5，211.5)組頻數(shù)????45795組頻率???? ?? 0.13330.16670.23330.30000.1667第五步，畫頻率直方圖。

使用頻率逼近概率????形成頻率直方圖，若用y表示每個(gè)小矩形的縱坐標(biāo)，則????=??上式稱為頻率密i ??xx（圖13115.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義(樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)) 設(shè)??2,?,????)是總體的一個(gè)樣本，用??(??)（?∞<??<+∞）其一組樣本觀測值中不大于x的觀測值數(shù)量，則稱函數(shù)

用“頻率直方圖”來逼近“概率密度曲線”觀察經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的性質(zhì)：體會(huì)“階梯函數(shù)”在累積分布函數(shù)描述中的作用。為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

(??)=??(??),?∞<??<+∞1??1若給定總??的樣本觀測值通過經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)以似描述總體的分布數(shù)。例4 設(shè)??2,?,??5)是自體X的個(gè)樣得其組測值為布數(shù)。解 根據(jù)定義其驗(yàn)布函為0, ??<?1,1??5(??)=

, ?1≤??<0,52, 0≤??<1,54, 1≤??<2,5{1, ??≥2.一般地，設(shè)(??1,??2,?,????)是總體X的一個(gè)容量為??的樣本觀測值，先將其按從小到大的順序進(jìn)行排列，記為??(1)≤??(2)≤?≤??(??)則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

0, ??<??(1),??(??)=

??, ??

≤??<?? ,?? ??

(??)

(??+1){1, ??≥??(??).X(x)表示事件{X出現(xiàn)的頻率。根據(jù)貝努利nn??(??)=????≤??}≈??(????→+從而可以用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)????(??)近似描述總體的分布函數(shù)??(??)。三、小結(jié)隨機(jī)樣本、樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。四、作業(yè)（1）學(xué)堂云線上作業(yè)（2）總結(jié)數(shù)據(jù)搜集的基本方法，及其如何得到“簡單隨機(jī)樣本”。

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是與樣本經(jīng)驗(yàn)測度相關(guān)的分布函數(shù)。該分布函數(shù)是在n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中的每一個(gè)上都跳躍1/n的階梯函數(shù)。其在測量變量的任何指定值處的值是小于或等于指定值的測量變量的觀測值的數(shù)。一、問題提出

§1.2

注釋：我們知道樣本是總體體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和推抽樣，就是從研究的總體中抽取若干個(gè)體作為我們觀察試驗(yàn)對象的過程。抽取的樣本為總體的一個(gè)子集，通過樣本的結(jié)果來推測有關(guān)總體的信息。二、授課內(nèi)容1.統(tǒng)計(jì)量和樣本矩1．統(tǒng)計(jì)量定義設(shè)??2????X的樣本，??(??1??2????)是樣本??2的函數(shù)，若??中不含任何未知參數(shù)，則稱??(??1,??2,?,????)為一統(tǒng)計(jì)量

不能直接用于解決我培養(yǎng)學(xué)生要關(guān)注民生2．樣本矩（1）樣本均值：?? 1（２）樣本方差：??1

??=??∑??=1????1 2????2=

???1

∑(???????)2=??=1

???1

[∑??2?????]??=1（３）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：??=√??2=√

??1 ∑(???????)2???1（4）樣本??階（原點(diǎn)）矩：??

??=1????=

1∑????,????????=1

(??=1,2.?)（5）樣本??階中心矩：????=

??1∑(???????)??,????=1

(??=2,3?)它們的觀察值依次為：?? 1??2= 1???1

??∑(??????=1

??=??∑??????=1???)2= ???1??

????[∑(??2?????2]????=1??=√??2=√

1 ∑(???????)2???11????=??1

????∑????,????=1??

??=1(??=1,2.?)????=

∑(???????)??,????=1

(??=2,3?)【問題導(dǎo)向】為何要是用樣本均值作為統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)，或者常用統(tǒng)計(jì)量？下圖告訴我們：3．經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義設(shè)X1,X2, ,Xn是自體X的樣,x2, ,xn是觀值將

【思考】當(dāng)以一種特定的概率分布為某種情況建模事實(shí)存在差別呢？你該如何判斷？——這,xnx(n)x2, 按由小到大的順序排列為,xnx(n)

．對任意的

些偏差是正常波動(dòng)，還是說明概率模型存在x(,)，令????(??)=

0, ??<??(1).????, ??(??)≤??<??(??+1),??=1,2,?,???1,{1, ??≥??(??).

問題？則稱Fn(x)為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．1XX的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．2.抽樣分布1．2分布定義設(shè)X1,X2, ,Xn是自態(tài)體N的樣本,則統(tǒng)量??2=??2+??2+?+??2

t-分布理解：1.前提：在有了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(X)和卡方分布(Y)的前提下。2布跟卡方分布的隨機(jī)變量去比。3.數(shù)據(jù)處理：卡方分布需要把自由1 2 ??所服從的分布為自由度是n的2分布，記為??2~??2(??)．（１）2①2分布具有可加性設(shè)??2~??21??2~??22??2??2??2+??2~??21+2．

度給除掉：如果不除，卡方分布加的隨機(jī)變量越來越多，分母就會(huì)趨近于無窮。除掉自由度類似于一種歸一化。還得開根號(hào)：進(jìn)行單位的統(tǒng)一，這樣兩個(gè)數(shù)字1 2 1 2 1 2②2分布的期望與方差若??2~??2(??)，則????2=??，????2=2??．（２）2??對于給定的01??{??2>??2(??)}=????的點(diǎn)2(n)稱為2(n)分布的上分位點(diǎn)2．t分布X~NY~2(nX與Y

一比，就把單位給消就和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布差tFt遇到一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變變量開根號(hào)的那種就t????= √????所服從的分布為自由度是n的t（Student）分布，記為t~t(n)．t分布的分位點(diǎn)：對于給定的01)，稱滿足條件P{tt(n)}的點(diǎn)t(n)為t(n)分布的上分位點(diǎn)注：t1(n)t(n)．3．F分布定義設(shè)U~2(n)，V~2(n)，且U與V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量1 2UVUV曲線可能是廣為人知的。正態(tài)分布只是一種服從自由度為n2FF~F(n1n2。F分布的分位點(diǎn)：對于給定的01)，稱滿足條件P{FF(n1,n2)}的點(diǎn)F(n1,n2)稱為F分布的上分位點(diǎn)。

差的另一種非常有用的概率分布稱為F分布。注：?? (??,??)= 11??? 21

????(??1,??2)3.正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布定理1設(shè)??1,??2,?,????是來自正態(tài)總體??(??,??2)的樣本,則樣本均值??仍服從正態(tài)分布,且有??~??(??,或?????

??2)??

【課程思政】溫故知新：養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)和工作習(xí)慣。邏輯嚴(yán)謹(jǐn)：數(shù)學(xué)推??√??

~??(0,1)

導(dǎo)證明需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。解決問題：正確的定理2設(shè)??1,??2,?,????是來自正態(tài)總體??(??,??2)的樣本,??和??2分別是樣本均值和樣本方差，則有（１）XS2獨(dú)立；

學(xué)習(xí)方法往往具有事半功倍的效果。2（２）(???1)??2??2

~??2(???1)．22定理3設(shè)X1,X2, ,Xn是來自正態(tài)總體N(,)的樣本,X和S分別22是樣本均值和樣本方差，則

??=

???????,Yn,Yn2

~??(???1),Xn16.5X1X,Xn1

和,

是分別來自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N(,2)和N(,2)的樣本,1 1 2 2 1??=??

??1∑??????2= 1

1??=1??1∑(??

???)21 ?1

????=11 1分別是總體N(,21 1 1??=??

??2∑??????2= 1

2??=1??2∑(?????)22 ??2?1

????=12 2分別是總體N(,22 21212（１）??=??22

?1)；12 1 212??221 2（２）當(dāng)221 2??=(?????)?(??1???2)~??(??

+??

?2)1??????√ ??1其中

1 1 2??2?1)??2+(??2?1)??2 ??2=

1 2，??=√??2?? +??2?2

?? ??例從正態(tài)總體N(3.4,36)中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本均值位于區(qū)間(1.4,5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多少？例設(shè)X1,X2, ,X18是自態(tài)體N9)的本，求計(jì)量??= +?+√??2+?+??2的分布．

10 18解因?yàn)??1+?+??9~??(0,9×9)=??(0,92)，所以 ~??(0,1)，9又因18 2 18????∑()

=1∑??2~??2(9)3??=10X1 XX1 X9

9 ????=109且 和 Xi99 i10

相互獨(dú)立，故由t分布的定義知(??1+?+??9)??= 9 = +?+??√??2+?+??2??(∑(∑√9??=109

??2) 10 18服從自由度為9的t作者：陳希孺【課后作業(yè)】

【課程思政】中國數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神：陳希孺線上作業(yè)：題庫隨機(jī)組卷形式在線提交?！舅颊懻摗客ㄟ^討論的方式了解中國數(shù)學(xué)許寶騄的在教案首頁教學(xué)單元第2章學(xué)時(shí)8教學(xué)題目參數(shù)估計(jì)教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)與組織安排課堂教學(xué)主要以板書為主，多媒體課件為輔教學(xué)目標(biāo)及達(dá)成度價(jià)值塑造通過參數(shù)估計(jì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真務(wù)實(shí)的態(tài)度，首先驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)模型的先決條件，不能隨意給出參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真務(wù)實(shí)的學(xué)習(xí)和工作態(tài)度，解決問題尤其是從事科學(xué)研究要有合理的方法和科學(xué)的依據(jù)。知識(shí)傳授通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生在了解參數(shù)估計(jì)的概念及相關(guān)理論的的區(qū)間估計(jì)方法。能力培養(yǎng)通過本章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的能教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的思想、方法及步驟；正態(tài)總體置信區(qū)間的概念及求解、估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．難點(diǎn)教學(xué)方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導(dǎo)+問題驅(qū)動(dòng)+課后實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式模式：線上+線下混合式平臺(tái)：學(xué)堂云平臺(tái)工具：雨課堂、MATLAB軟件教學(xué)設(shè)計(jì)【課程進(jìn)程安排】【課前準(zhǔn)備】通過學(xué)堂云平臺(tái)進(jìn)行“預(yù)習(xí)指導(dǎo)”和“課前測試”。了解學(xué)情有助于增進(jìn)要求學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立完學(xué)堂云在線答題§2.1點(diǎn)估計(jì)一、問題的提出○要估計(jì)多少工作(范圍)?○需要用到哪些技術(shù)(技術(shù))?○完成項(xiàng)目需要多少時(shí)間(時(shí)間表)?○誰將做這個(gè)項(xiàng)目(資源)?○交付項(xiàng)目所需的預(yù)算(成本)是多少?○任何可能延遲或影響項(xiàng)目的潛在依賴項(xiàng)(風(fēng)險(xiǎn))?面對一個(gè)接一個(gè)的問題，怎樣做一個(gè)合理的項(xiàng)目估算?通常，我們先把項(xiàng)目估算分成3個(gè)部分：估算的方法有：類比估算、參數(shù)估算、德爾菲法、3點(diǎn)估算、專家判斷、供應(yīng)商投標(biāo)分析、自下而上的分析、模擬等等。二、授課內(nèi)容1．點(diǎn)估計(jì)的概念在實(shí)際問題中常碰到的隨機(jī)變量??(或總體??)的分布函數(shù)??(??,??1,??2,?,????)的形式是已知的，而其的參數(shù)??1,??2,?,????卻是未知的，現(xiàn)在從總體??中抽取一組樣本??2,?,，其一次觀察值為,x2, ,xn，我們希望利用觀察值??1,??2,?,????來估計(jì)總體??分布中的未知參數(shù)??1,??2,?,????的值．這類問題稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題．例如，已知某種電子元件的壽命??~??(??,??2)，即??的概率密度1 (?????)2??(??,??,??2)= ???2??2√2????的形式已知，而參數(shù)??,??2未知，現(xiàn)在從總體??中得到樣本??1,??2,?,????的一組觀察值??1,??2,?,????，要求估計(jì)??,??2的值，即要求估計(jì)這種電子元件的平均壽命及【設(shè)計(jì)意圖】往會(huì)遇到總體分布中的某些參數(shù)未知的情本數(shù)據(jù)得到參數(shù)的近一系列的問題都屬于要介紹參數(shù)估計(jì)中的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)?！菊n程思政】通過工程數(shù)據(jù)分析引例，增強(qiáng)學(xué)生的專業(yè)歸屬感。引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)自我實(shí)現(xiàn)的精神追求，培養(yǎng)“匠心精神”，立志高遠(yuǎn)，努力奮斗。將所學(xué)知識(shí)用于社會(huì)服務(wù)。壽命與平均壽命的差異程度．解決參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題，就是構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量??=??(1,2,?,??)??1,2,?,????(??=12,???)??=??(1,2,?,??)為????1,2,?,????2.矩估計(jì)法1．矩估計(jì)法用樣本矩的連續(xù)函數(shù)??(??1,??2,?,????)去估計(jì)總體矩的相應(yīng)函數(shù)??(??1,??2,?,????)，這種估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法．2．矩估計(jì)法的具體做法首先求出總體X的１到ｋ階矩????=??????=????(??1,??2,?,????)（??=1,2,?,??）再次做含??個(gè)未知數(shù)??1,??2,?,????的方程組??1=??1(??1,??2,?,????),??2=??2(??1,??2,?,????),{?????=????(??1,??2,?,????).從中解出??1,??2,?,????得??1=??1(??1,??2,?,????),??2=??2(??1,??2,?,????),{?????=??1(??1,??2,?,????).最后用????分別替換上式中的????(??=1,2,?,??)，得??=??1,??2,?,????)??=12,?,????=??1,??2,?,????????=12,?,???????(?????(???(??例1 設(shè)總??服參為??的(0?1)分??2,?,????是來總??的樣本,??的矩計(jì)量例2 設(shè)總??服[??,??]上勻分??,??未知1,2,?,??是自體??的樣本,求??,??的矩估計(jì)量【學(xué)生討論】k引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)。例3??????2??,??2未知1,2,?,????????23.極大似然估計(jì)法（1）設(shè)總體X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為??{??=??}=??(??,??)其中為未知參數(shù)，??1,??2,?,????是來自總體的樣本，其一組觀察值為x2, xn=??1=??2=????}?? ??∏??{????=????}=∏??(????,??}??=1 ??=1當(dāng),x2, ,xn給后是的函數(shù)記??(??,??1,??2,?????)，或簡??(??)，即????(??)=??(??1,??2,?,????)=∏??(????,??}??=1把??(??)稱為似然函數(shù)．極大似然估計(jì)法的直觀想法是：一次試驗(yàn)的結(jié)果就得到樣本觀測值1,2,?,????1,2,?,??)1,2,?,??)的概率??(??)????(??)???(1,2,?,??;?)=????(1,2,?,??;??)??1??2?????????1,2,?,????量．求極大似然估計(jì)量的問題，就是求似然函數(shù)??(??)的最大值問題．當(dāng)??(??)可微時(shí)，可由方程????(??)=0?????．又由于??????(??與??(??)在同一處取得最大值，故也可由方程????????(??)=0?????知識(shí)運(yùn)用能力的訓(xùn)練：從一般模型到具體的使用，如何確定每一個(gè)參數(shù)，如何對標(biāo)模型的每一個(gè)步驟？數(shù)學(xué)思想：“似然”，然性思維！如何理解概率的“最大原理”？【課程思政】已經(jīng)發(fā)生的是概率最例4 設(shè)總??服從數(shù)為p的(0?1)分??2,?,????是來總??的樣本,求p的極似估．（２）設(shè)總體??是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為??(??,??)，其中??為未知參??2是來自總體??的樣本其一組觀察值為??1??2????，則??1,??2,?,????的聯(lián)合概率密度為????(??)=??(??1,??2?,????;??)=∏??(????,??)??=1則??1,??2,?,????滿足條件{??1?????1<??1≤??1,??2?????2<??2≤??2,?,???????????<????≤????}的概率近似為∏????(????,??)??????=??(??)∏??????????=1 ??=1??(??)??(??)??量?(1,2,?,????例5設(shè)總體??服從參數(shù)為??的指數(shù)分布，即??的概率密度為1 1???????,??>0??(??)={??0,其他??1,??2,?,????是來自總體??的樣本，求??的極大似然估計(jì)量．????1??2??元函數(shù)，即??=??(??1,??2,?,????)其構(gòu)造方法上面相同，利用多元函數(shù)求最值的方法，令???? =0????=0????2 ?????=0{??????1,2,?,??1,2,?,??．例6設(shè)總體??~??(??,??2),??,??2為未知參數(shù),1,2,?,??是來自總體??的樣觀察和思考：然函數(shù)與對數(shù)似然函數(shù)的最值點(diǎn)是否存在差異？本,求??,??2的極大似然估計(jì)量．??1= ∑=????=1???2=1(????)2=???? ?? 2??=1（4）未知參數(shù)函數(shù)的極大似然估計(jì)量的求法，這時(shí)可利用下面的定理．定理（極大似然估計(jì)的不變原理）設(shè)??的函數(shù)??=??(??)有唯一的反函數(shù)??=??(???是??(?是??(??例7設(shè)總體??~??(??,??2),??,??2為未知參數(shù),??1,??2,?,????是來自總體??的樣本，試求??的極大似然估計(jì)量．解設(shè)??=??(??2)=√??2，則該函數(shù)有唯一反函數(shù)??2=??2．由例6知??的極?=√?2=√1??(????)2????=1 ??【推薦閱讀】三、小結(jié)：矩估計(jì)與極大似然估計(jì)四、作業(yè)：1（）（3）MATLAB表示正態(tài)分布或高斯分布的直方圖。這稱為正態(tài)分布或高型的分布具有相似的和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域研究的大量現(xiàn)象將產(chǎn)生正態(tài)分布。【課程思政】正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)在醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著重要對本課程的學(xué)習(xí)興趣學(xué)生逐漸克服數(shù)學(xué)的畏難情緒。§2.2 估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、授課內(nèi)容1.無偏性?=?1,2,?,??是參數(shù)??(?)=???是的是???????????(?)=??，則稱?是??→∞例1設(shè)總體X的k階矩????=??(????)(??≥1)存在，??1,??2,?,????是??的樣本．試證明k階樣本矩??=1∑??????是總體k階矩??的無偏估計(jì)量．?? ????=1?? ??證 于??2,?,????與總體X同布，此??(????)=??(????)=????,??≥1,??=1,2,?,????故有?? ??1 1??(????)= ∑??(????)= ∑????=?????? ?? ????=1 ??=1即??=1∑??????是總體k階矩的無偏估計(jì)量?? ????=1?? k????k????階樣本矩????k階矩????的無偏估計(jì)量．特別地，??=1時(shí)，就得到樣本????例2設(shè)總體??的均值??,方差??2>0都存在但未知,??1,??2,?,????是??的樣本．證明樣本方差??2=1∑??(??????)2是??2的無偏估計(jì)量，而樣本二階中心???1??=1 ??矩??=1∑??(?????2的有估量2 ????=1 ??證 ??(??2)=??[1??(????)2]=??2，???1??=1 ??【課程思政】解決問題時(shí)，要有合理的方法和科學(xué)的依據(jù)。提問：引例中問題該如何回答？當(dāng)面臨眾多的解決問的思維方法分析和討分析給出最佳的解決方案。所以??2是??2的無偏估計(jì)量．而?? ??1 ???1 1 ???1= ?= ? ?= ??2?? ?? ???1 ????=1 ??=1故???1 ???1??(??2)=??[ ??2]= ??2≠??2?? ??因此??2是??2的有偏估計(jì)量．注：由此可見，一般采用??2作為??2的估計(jì)量比較合理，但??2是??2的漸近無偏估計(jì)量，故當(dāng)??比較大時(shí)，也可用??2作為??2的估計(jì)量．例3X服從參數(shù)為??2??????明樣本均值???；樣本方差??2；且對滿足0≤??≤1的一切??，?????+(1???)??2都是的無偏估計(jì)量．證明 由??~??(??)，故有????=????=??，??(???)=????=??，??(??2)=????=???，??2????[???+(1???)??2]=????(?)+(1???)??(??2)=????+(1???)??=??因此?????+(1???)??2也是??的無偏估計(jì)量．【學(xué)生討論】此例說明同一參數(shù)的無偏估計(jì)量不是唯一的？2.有效性定義72 設(shè)1=11,2,?,??2=21,2,?,??均是無偏計(jì)??(1)<??(2，則稱?較?有效．1 24X服從參數(shù)為??2????X1=?2=????????均是無偏估計(jì)量，且當(dāng)n1時(shí)，?較?有效．1≤??≤?? 1 2證明 X服參為的指分布其率度為1????? ,??, ??>0??(??,??)={??0, 其它.??(1)=??(?)=????=??1是??然函數(shù)與對數(shù)似然函數(shù)的最值點(diǎn)是否存在差異？估計(jì)量的評價(jià)必須根據(jù)其會(huì)受抽樣結(jié)果影能取值的整體性質(zhì)與規(guī)律去考慮。??概率密度的求法知??????????的1≤??≤??概率密度為1????? ,??, ??>0??(??,??)={??0, 其它.即????????服從參數(shù)為??的指數(shù)分布，所以1≤??≤???? ??????[??????????]=1≤??≤?? ??則有??(?)=??[????????]=????=??2 1≤??≤???? ??所以?也是無偏估計(jì)量．2又因?? ??1 1 ??2??(1)=??(?)= ∑??(??)= ∑??2=??2 ??2 ????=1 ???1??2??(2)=??(????????)=??2??(??????)=??2 =??21≤??≤?? 1≤??≤?? ??2所以，當(dāng)n1??(1)<??(2，故當(dāng)n1時(shí)，?較?有效．1 3.相合性?=?1,2,?,??為參數(shù)估計(jì)量，若對任意的0，有????????|????|<??}=1??→∞則???稱為的相合估計(jì)量．例5??的k階矩????=??(????)(??≥1)??2????是??試證明k??=1∑??????是總體k階矩???? ????=1?? ??證由于??1,??2,?,????獨(dú)立且與總體X同分布，所以????,????,?,????獨(dú)立且與1 2 ??????同分布，故有??(????)=??(????)=????,??=1,2,?,??，??根據(jù)辛欽大數(shù)定律有，對任意的??>0，有??1????????{|?????????|<??}=????????{|∑?????????|<??}=1??→∞ ??→∞ ?? ????=1這就證明了??=1∑??????是??的相合估計(jì)量．?? ????=1?? ??前面介紹的無偏性和有效性都是在樣本容量固定條件下提出的，然而，在樣本容量固定的前提下估計(jì)量與參數(shù)的真實(shí)值之間的隨機(jī)偏差總是存在的，而且不可避免。我們希望在樣本容量不斷增大時(shí)，估計(jì)量與參數(shù)的真實(shí)值之間的偏差發(fā)生的機(jī)會(huì)逐漸縮小。因此，下面將介紹相合性的定義。估計(jì)量的無偏性和有效性均是在樣本容量n固定的條件下討論們希望隨著樣本容量n穩(wěn)定于待估參數(shù)真值的概率為１．還可進(jìn)一步證明：若??是連續(xù)函數(shù)，=??(??1??2????)??=??(??1,??2,?,????)的相合估計(jì)量．順便指出，在一定條件下，參數(shù)的最大似然估計(jì)量也是相合估計(jì)量.具有無偏性、最優(yōu)性的估計(jì)量必是相合性估計(jì)量，因此，在測量平差中，對參數(shù)估值的評選標(biāo)準(zhǔn)為最優(yōu)和無偏，稱為最優(yōu)無偏估值例6 試證明樣本k階矩??=1∑??????是總體??階矩??=??(????)的相合估?? ????=1?? ??計(jì)。證明：根據(jù)大數(shù)定律，如果總體k????=??(????)??→∞時(shí)，樣本??階矩??=1∑??????依概率收斂于總體??階矩??=??(????)，即對???>0，有?? ????=1?? ??????????{|?????????|<??}=1。??→∞因此，樣本??階矩????是總體??階矩????的相合估計(jì)?！就卣归喿x】科研論文：一種工程常見不完全數(shù)據(jù)點(diǎn)估計(jì)的誤差分析三、小結(jié)：四、作業(yè)：1（2）認(rèn)真閱讀“拓展閱讀”文章；（3）MATLAB該結(jié)論具有一般意義，保證了矩估計(jì)的相合性分布函數(shù)的形式為已的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)卻用概率論對具有隨機(jī)現(xiàn)象的觀測值進(jìn)行整個(gè)問題在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱為參數(shù)估計(jì)?！?.3 一、問題的提出引例1.R為ppBERNP引例2.蘭州大學(xué)《新冠肺炎疫情全球預(yù)測系統(tǒng)》(GPCP)基于實(shí)時(shí)更新的流行病數(shù)據(jù)，對每個(gè)國家的逐日和季節(jié)性新增新冠肺炎發(fā)病數(shù)進(jìn)行可靠預(yù)報(bào)。二、授課內(nèi)容1.區(qū)間估計(jì)的概念【問題導(dǎo)向】以高速串行鏈路系統(tǒng)真實(shí)的誤碼率BER數(shù)據(jù)中的參數(shù)估計(jì)問題區(qū)間估計(jì)是指估計(jì)未使此范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定【課程思政】置信度體現(xiàn)了參數(shù)落抗擊疫情初期學(xué)者們5.2而這些患者中感染到發(fā)病的間隔的95%分位數(shù)為12.5天，即95%以上的患者在感染后的12.5天內(nèi)表現(xiàn)出肺炎癥狀。這一數(shù)學(xué)思想在人們的實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)揮了重要作用。體現(xiàn)了，人們尊重客觀規(guī)律的科學(xué)思維方法。定義設(shè)總體X的分布函數(shù)為??(??,??)，為未知參數(shù)，??1,??2,?,????是??的樣本．對給定的??(0<??<1)，若存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量??=??(??1,??2,?,????)和??=??(??1,??2,?,????)滿足??{??<??<??}=1???，則稱區(qū)間(,)為參數(shù)的置信水平為1???的置信區(qū)間，稱為置信下限，稱為置信上限，1稱為置信水平．說明：置信區(qū)間(,)是隨機(jī)區(qū)間。置信區(qū)間的求法引例X服從正態(tài)分布??(??,0.06)，現(xiàn)從產(chǎn)品中隨6=14.95平為95%的置信區(qū)間．通過引例可總結(jié)出求未知參數(shù)置信區(qū)間的步驟如下：樞軸量法構(gòu)造未知參數(shù)的置信區(qū)間的一種常用的方法稱之為樞軸量法，其具體步驟如下：（1）構(gòu)造樞軸量：從的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)?出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)?和的函數(shù)G(?,)，使得其分布已知，且分布與無關(guān)，通常稱G(?,)為樞軸量。（2）列概率表達(dá)式：選取適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)常數(shù)c和d，使得對給定的??∈(0,1)有PcG(?,)d1。cd可等價(jià)變形為形如即為參數(shù)1的置信1 2 1 2區(qū)間?！緦W(xué)生討論】3.單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（1）??2已知時(shí)，??的置信區(qū)間當(dāng)??2已知時(shí)，可選取從一般模型到具體的????????= ??~??(0,1)√??作為樞軸量，再利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)即可得到的置信區(qū)間。考慮到正態(tài)2和2，由于2u2，1，有??{|??|≤????}=1???2等價(jià)于??{|??????|≤??????}=1???，√??2因此，均值的置信度為1的置信區(qū)間為[???±??????]?！??2（2）??2未知時(shí)，的置信區(qū)間當(dāng)??2未知時(shí)，可選取??=??????~??(???1)，??√??tt分布相似，其概率密度函數(shù)是單峰對稱函數(shù)，取對稱區(qū)間可使置信區(qū)間的長度最短。如圖所示，選取t分布的分位數(shù)t2(n1)和t12(n1)，由于t12(n1)t2(n1)，則對于給定的置信度1，有??{|??|≤????(???1)}=1???2通過特殊到一般的實(shí)中體會(huì)人類認(rèn)識(shí)世界估計(jì)的在實(shí)際中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生工匠精神。概念理解：樞軸量是求解參數(shù)置取樞軸量時(shí)要明確其樞軸量置于1-α的區(qū)價(jià)變形導(dǎo)出位置參數(shù)的范圍，即為置信區(qū)間。由于t12(n1)t2(n1)，所以式（2.3.2）等價(jià)于??{|??????|≤??????(???1)}=1???，√??2因此，均值的置信度為1的置信區(qū)間為[???±??????(???1)]。√??2例1 設(shè)某工的直與紙定尺的偏差XN,2隨機(jī)取100根軸測得其總為試總體值的置為90%的置信區(qū)間。解：由于總體方差已知，所以均值的置信度為1的置信區(qū)間為?? ??[????????,???+????]√??2 √??2設(shè)每根軸的直徑偏差為ximm，i,10，則由題可知樣本均值 1x x5，總標(biāo)差5。當(dāng)信度1時(shí)， 0.05，i 2i1u/2u0.05=1.6449，代入數(shù)據(jù)得到均值的置信度為90%的置信區(qū)間為[4.1776,5.8224]。例2 假定每克水泥混合物釋放的熱量（單位：卡路里）服從正態(tài)分布N(,2)16112801095解：因?yàn)榭傮w方差2未知，所以的置信度為1的置信區(qū)間為【課程思政】注意在平時(shí)的學(xué)習(xí)和研究中養(yǎng)成良好的習(xí)慣，逐步培養(yǎng)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方法和方法?！菊n程思政】數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析在制【課程思政】工程背景的數(shù)據(jù)分析案例可增強(qiáng)學(xué)生專業(yè)[??????????(???1),???+??????(???1)]√??2 √??2設(shè)每水混物品放的量為xi卡里，i,16題可樣本均值???=1∑16??=80，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s10。16??=1??當(dāng)置信度10.95時(shí)，0.05時(shí)，????(???1)=??0.025(15)=2.1314，故2總體均值的置信度為95%的置信區(qū)間為[74.6714,85.3286]。4.單個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)類似于均值的置信區(qū)間求解的兩種情況，此處將方差的置信區(qū)間也分為總體均值已知與未知兩種情況進(jìn)行討論。（1）??2????2=???1??2=1∑(??????)2~??2(???1)??2 ??2 ????=1作為樞軸量，由于2分布是偏態(tài)分布，尋求長度最短的1???置信區(qū)間比較困難，在實(shí)務(wù)中通常構(gòu)造等尾的1???置信區(qū)間，如圖所示，選取??2分布的1???2分位數(shù)和??，使得2??{??2??(???1)≤??2≤??2(???1)}=1???1? ??2 2等價(jià)于(???1)??2 (???1)??2??{2 ≤??2≤2 }=1???????(???1) ??1???(???1)2 2因此，的置信度為1的置信區(qū)間為引導(dǎo)學(xué)生思考方差的置信區(qū)間與均值的置信區(qū)間在估計(jì)時(shí)有何注意思考置信區(qū)間的對稱性體現(xiàn)在何處？(???1)??2 (???1)??2[??2(???1),??2 (???1]?? 1??? )2 2（2）已知時(shí)，2????2=1∑(?????)2~??2(??)??2 ????=1作為樞軸量，使用樞軸量法可得到相應(yīng)的2的置信區(qū)間為?????)2?????)2[??=1 ,??=1 ]??2(??) ??2 (??)?? 1???2 2例3 為究種車胎的損性隨地?fù)?6只胎量程中每輪行到壞止，錄行的程單位：km）如：41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 4128740400 39775 43500 40680 41095 42550 40200 38970設(shè)行駛里程服從N(,2)，試求下列情況下方差2的置信區(qū)間：（1）若已知??=41000，試求方差??2的置信度為90%的置信區(qū)間；（2）若??未知，試求方差??2的置信度為95%的置信區(qū)間；12的置信度為1?????)2?????)2[??=1 ,??=1 ]??2(??) ??2 (??)?? 1???2 2由題可知樣本均值???=1∑16??=41117，當(dāng)置信度10.9時(shí)，16??=1??0.1時(shí)??(??)=??2(15)=?1)=??2 (15)=故總1? 0.95 ?? 0.052 2體方差??2的置信度為90%的置信區(qū)間為[1.0431×106,3.4451×106]。（2）因?yàn)榭傮w期望未知，所以??2的置信度為1???的置信區(qū)間為(???1)??2 (???1)??2[??2(???1),??2 (???1]?? 1??? )2 2由題可知，樣本方差??2=1.8140×106。簡單工程數(shù)據(jù)分析案計(jì)的理論與方法應(yīng)用于解決工程數(shù)據(jù)分析當(dāng)置度1時(shí)，0.05時(shí)，??2??(???1)=??2 (15)=6.262，1? 0.9752??2(???1)=??2 (15)=27.488故總體方差2的置信度為95%的置信區(qū)間為?? 0.0252[0.9899×106,4.3451×106]?！局R(shí)拓展】工程項(xiàng)目案例：科研論文三、小結(jié)：（1）置信區(qū)間的概念與樞軸量法（2）單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的模型與應(yīng)用四、作業(yè)：1（2）MATLAB【課程思政】引用科研論文設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從專業(yè)的角度引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)理統(tǒng)對專業(yè)領(lǐng)域的工程問而升華為對科學(xué)研究知識(shí)應(yīng)用于社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)。2.4 兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間一、問題的提出引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）工程師分析甲、乙兩個(gè)廠家生產(chǎn)水泥的壓力強(qiáng)度，假定水泥壓力強(qiáng)度分別服從??(1,??2??(2,??2現(xiàn)從家中隨抽若樣進(jìn)測（單1 2位：ka甲廠：2050 1980 1970 2040 2010 2000 1900 1990乙廠：2070 1980 1950 2080 2040 1960 2020試根據(jù)以上信息分析兩種水泥的差異性?！締栴}導(dǎo)向】二、授課內(nèi)容上節(jié)介紹了單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，本節(jié)將介紹兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，基本問題為兩個(gè)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)。設(shè)總體??~??(1,??2??~??(2,??2(1,2,?,??(1,2,?,??分別1 2 1 2X和Y和??2??2。1 2下面分別討論均值差?????和方差比??2的區(qū)間估計(jì)。11