2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中等湘東五校中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆湖南省瀏陽(yáng)一中等湘東五校中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件3．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．24．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-25．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．26．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．7．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．8．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb9．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．11．已知斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則p＝（）A．1 B． C．2 D．412．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.14．三棱柱中，，側(cè)棱底面，且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則球的表面積的最小值為_(kāi)____．15．已知全集，集合，則______.16．已知圓，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，，若，則弦的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且此時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．20．（12分）某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類(lèi)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的人的得分（滿(mǎn)分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.（?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話(huà)費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話(huà)費(fèi)；（ⅱ）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話(huà)費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話(huà)費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話(huà)費(fèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，，.21．（12分）如圖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.（1）求證：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.22．（10分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬(wàn)元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過(guò)程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故即，由可得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，故符合.此時(shí)，所以或（舍，因?yàn)闉檫f增數(shù)列）.故，.故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.2、B【解析】

解出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧希浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.3、B【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.4、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對(duì)值，所以去絕對(duì)值并畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程,由拋物線(xiàn)的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解：由拋物線(xiàn)方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了拋物線(xiàn)的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線(xiàn)的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.6、D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解，為1，2，3，滿(mǎn)足，所以符合題意.當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿(mǎn)足，即，解得，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.7、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿(mǎn)足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿(mǎn)足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線(xiàn)性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.8、B【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.9、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.10、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線(xiàn)第一定義，可得，對(duì)有，即，解得，再對(duì)，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，因?yàn)?，所?因?yàn)樗?在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題11、C【解析】

設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝y(tǒng)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p．【詳解】由已知得F（，0），設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝y(tǒng)，并與y2＝2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則y0（y1+y2）＝，所以p=2,故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦問(wèn)題，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．12、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的等價(jià)條件，得到，分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的充分不必要條件．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開(kāi)式通式為：當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則三棱柱的側(cè)面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè)，∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí)，能通過(guò)題意了解到題目傳達(dá)的意思，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，能夠利用題目條件，畫(huà)出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題15、【解析】

根據(jù)題意可得出，然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可．【詳解】根據(jù)題意知，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，只需最小，在中，根據(jù)余弦定理將表示出來(lái)，由，得到，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得到，求出點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，在中，，①在中，，②①②得，即，，.，得.所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、相交弦長(zhǎng)的最值，解題的關(guān)鍵求出點(diǎn)的軌跡方程，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，令得，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點(diǎn)，則或．當(dāng)時(shí)，，，從而只需時(shí)，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時(shí)，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．這又可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解．18、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，將不等式，轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.（2）根據(jù)-2在R上恒成立，由絕對(duì)值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】（1）原不等式等價(jià)于或或，解得：或，∴不等式的解集為或.（2）因?yàn)?2在R上恒成立，而，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1），①當(dāng)時(shí)，，②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以．?）證明：因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，利用公式計(jì)算出平均數(shù)的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為，，利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，求出對(duì)應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得元、元的概率，分析得出話(huà)費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可得，易知，，，；（2）根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿(mǎn)足的分布列類(lèi)型，結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2