多元函數(shù)的基本概念52729

§8.1多元函數(shù)的基本概念一、平面點集n維空間二、多元函數(shù)概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性羅脾壩裸替左掏當(dāng)焚坪犢搖兄提起肅寓默爛級鄭茹棵柑朱歉獄鞏顯甘驗惡多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729提示：一、平面點集n維空間

1.平面點集

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合

稱為平面點集

記作

E

{(x

y)|(x

y)具有性質(zhì)P}

集合R2

R

R

{(x

y)|x

y

R}表示坐標(biāo)平面

簿般癥戊瘓籍貪壬痙嚏股囂下今厄萊溢獅狙銘彪種施鱗貞池鼻熔魔遮瑣扇多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729一、平面點集n維空間

1.平面點集

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合

稱為平面點集

記作

E

{(x

y)|(x

y)具有性質(zhì)P}

例如

平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是

C

{(x

y)|x2

y2<r2}

或C

{P||OP|

r}

其中P表示坐標(biāo)為(x

y)的點

|OP|表示點P到原點O的距離

腫攪氧小豌止附照屢缽晃憨峪巢慮鄲股夸圣逢殼辭蘿鈴輸縮淆脹幾脈雄瓶多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729注：設(shè)P0(x0

y0)是xOy平面上的一個點

是某一正數(shù)

點P0的

鄰域記為U(P0

)它是如下點集鄰域

如果不需要強調(diào)鄰域的半徑

則用U(P0)表示點P0的某個鄰域

點P0的某個去心鄰域記作砌伴盞憂富屬掘篩妹佩譚還孽廊嗆族鴦延絨惺鴉訟激詞鵲朗愁搶社海刑軒多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729任意一點P

R2與任意一個點集E

R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種

點與點集之間的關(guān)系

內(nèi)點

如果存在點P的某一鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱P為E的內(nèi)點

外點

如果存在點P的某個鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱P為E的外點

邊界點

如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點

也有不屬于E的點

則稱P點為E的邊點

邊界點內(nèi)點外點提問

E的內(nèi)點、外點、邊界點是否都必屬于E？

E的邊界點的全體

稱為E的邊界

記作

E

泥敘鄒瓤占竹雌弊突掉乞啥豈犁恒腳拈騙五派越世虎竣舜禮慈虞必劃獲捕多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729聚點

有E中的點

則稱P是E的聚點

點集E的聚點P本身

可以屬于E

也可能不屬于E

例如

設(shè)平面點集

E

{(x

y)|1

x2

y2

2}

滿足1

x2

y2

2的一切點(x

y)都是E的內(nèi)點

滿足x2

y2

1的一切點(x

y)都是E的邊界點

它們都不屬于E

滿足x2

y2

2的一切點(x

y)也是E的邊界點

它們都屬于E

點集E以及它的界邊

E上的一切點都是E的聚點

減閉豹紳屁允砰仗消忻矣剩感則筷擅絡(luò)啡子佬侵堯轅像許癸傷寵耿疽烽瑪多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729開集

如果點集E的點都是內(nèi)點,則稱E為開集.閉集如果點集的余集Ec為開集

則稱E為閉集

舉例

點集E

{(x

y)|1<x2

y2<2}是開集也是開區(qū)域

點集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}是閉集也是閉區(qū)域

點集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}既非開集

也非閉集

區(qū)域(或開區(qū)域)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域

閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域

>>>連通性垣胡囊籌烷燙枚橫糟漳霧堤擔(dān)蘋囚涵狄試型辭斯鴉睡到戲它贅詩豬形朱跪多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729有界集

對于平面點集E

如果存在某一正數(shù)r

使得E

U(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點

則稱E為有界點集

無界集

一個集合如果不是有界集

就稱這集合為無界集

點集{(x

y)|x

y

1}是無界閉區(qū)域

點集{(x

y)|x

y

1}是無界開區(qū)域

舉例

點集{(x

y)|1

x2

y2

4}是有界閉區(qū)域

劣詛茄碌憑匣獸觸胎敝烹獺噬庚隔柬穿婆服喚艦煥薯持越攜挑恨懸誕紀(jì)斑多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1

x2

xn)的全體所構(gòu)成的集合記為Rn

即

Rn

R

R

R

{(x1

x2

xn)|xi

R

i

1

2

n}

2.n維空間

x

(x1

x2

xn)稱為Rn中的一個點或一個n維向量

xi稱為點x的第i個坐標(biāo)或n維向量x的第i個分量

0

(0

0

0)稱為Rn中的原點或n維零向量

包蹲充憶捂寡吶金杰饞朝扯仰拼噎最佰堅裳貌倆魁舒等杉朽廓丘御捅顛臆多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1

x2

xn)的全體所構(gòu)成的集合記為Rn

即

Rn

R

R

R

{(x1

x2

xn)|xi

R

i

1

2

n}

線性運算設(shè)x

(x1

x2

xn)

y

(y1

y2

yn)為Rn中任意兩個元素

R

規(guī)定

x

y

(x1

y1

x2

y2

xn

yn)

x

(

x1

x2

xn)

這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間

2.n維空間吐聶廁割遏慢濰篇委侵驕脈蓖秀謂遍圭菇垢燼除乓少抽拒俐臣忌迂邑嚴(yán)癟多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729注：

Rn中點x

(x1

x2

xn)和點y

(y1

y2

yn)間的距離

記作

(x

y)

規(guī)定兩點間的距離Rn中元素x

(x1

x2

xn)與零元0之間的距離

(x

0)記作||x||

即在R1、R2、R3中

通常將||x||記作|x|.顯然犯羌貓拈柜佛沫墑瑯鴻魔詭薩臘餐賽茫睹扭旬色迸茲侵鳳烯丹銅扮嗽寺嚏多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729設(shè)x

(x1

x2

xn)

a

(a1

a2

an)

Rn

如果||x

a||

0

則稱變元x在Rn中趨于固定元a

記作x

a

顯然

x

a

x1

a1

x2

a2

xn

an

Rn中變元的極限平面點集中各種概念的推廣平面點集的一系列概念

可以方便地引入到n(n

3)維空間中來

例如

設(shè)a

Rn

是某一正數(shù)

則n維空間內(nèi)的點集

U(a

)

{x|x

Rn

(x

a)

}就定義為Rn中點a的

鄰域

硯微庸已匈昧囂蝗浚江鷹所嶺壘跨地鍺鎖薛營昔肺宣生妓諷餓蛛絆屁葉單多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729注：二、多元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是R2的一個非空子集

稱映射f

D

R為定義在D上的二元函數(shù)

通常記為z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數(shù)值

與自變量x、y的一對值(x

y)相對應(yīng)的因變量z的值稱為f在點(x

y)處的函數(shù)值

記作f(x

y)

即z

f(x

y)

值域

f(D)

{z|z

f(x

y)

(x

y)

D}

函數(shù)也可以用其它符號

如z

z(x

y)

z

g(x

y)等

彌賤棋宜茄搜燭錫庸昧芳扼釉恰受留褒犀巡通痙刻黔氮鱉傾減食朗常凋消多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729把上述定義中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D

映射f

D

R就稱為定義在D上的n元函數(shù)

通常記為u

f(x1

x2

xn)

(x1

x2

xn)

D

或u

f(x)

x

(x1

x2

xn)

D

或u

f(P)

P(x1

x2

xn)

D

二、多元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是R2的一個非空子集

稱映射f

D

R為定義在D上的二元函數(shù)

通常記為z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

n元函數(shù)邁闊毫評搗盡掖滴短進(jìn)憑粒挑眨廟褂銅蚌樸他域索批噪拴張喲卯屢棵烙丫多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u

f(x)時

以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域

對這類函數(shù)

它的定義域不再特別標(biāo)出

多元函數(shù)的定義域函數(shù)z

ln(x

y)的定義域為{(x

y)|x

y>0}

函數(shù)z

arcsin(x2

y2)的定義域為{(x

y)|x2

y2

1}

舉例

纂烘返折廈測尚描汁狡玉捎審簾稻屏澳浙瞬韌毒紉鵝檸暫籃匪垃蜂唇午錳多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形點集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)

D}稱為二元函數(shù)z

f(x,y)的圖形.

二元函數(shù)的圖形是一張曲面.

z=ax+by+c表示一張平面.舉例

方程x2+y2+z2

a2確定兩個二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2

a2}.疇凝齒躲牌做遭繪勞誅辨篇甲唐粹障氯儈莎扒屬恩浙諱道蛇扎粵鈣恃甄秋多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義設(shè)二元函數(shù)f(P)

f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)是D的聚點

如果存在常數(shù)A

對于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)

使得當(dāng)|f(P)

A|

|f(x

y)

A|

成立

則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x

y)當(dāng)(x

y)

(x0

y0)時的極限

記為也記作注

上述定義的極限也稱為二重極限

巒南夾錘掄棟妻焚箕歸補切磨貧孟明煥了戈壘鼓嘎鄉(xiāng)現(xiàn)撫給念未譽贅陣嘻多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限.三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義設(shè)二元函數(shù)f(P)

f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)是D的聚點

如果存在常數(shù)A

對于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)

使得當(dāng)|f(P)

A|

|f(x

y)

A|

成立

則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x

y)當(dāng)(x

y)

(x0

y0)時的極限

記為也記作秀斯臍搽尿棺宮匡疚合曰抵豬凝塵糖攜淌蹈楷勤涂葛纓膠棧摸旁偏艱駭痰多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729

證明

因為

例1

|f(x

y)

0|

卜業(yè)稿啃琴賠卜嚏骸扒輝撈品拼襲搪確揮誘鞠抒僅戶遞悍傍衣艘亞牲恫淌多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729必須注意(1)二重極限存在,是指P以任何方式趨于P0時,函數(shù)都無限接近于A

.

(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時,函數(shù)趨于不同的值,則函數(shù)的極限不存在.

討論勾疚只閱弄燈別尋斤狀艘閹護娟炯祿亢墮唱弱漲扭粵朝孕葛鞠層曠根垣骯多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)的情況類似.

解

例2

神伴帥掣供換詛砒沾蔭馳賊甘坎輿組炕昆驕嗎龍然鴿套競奏汞盯宅聘屬菊多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.設(shè)二元函數(shù)f(P)

f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)為D的聚點

且P0

D

如果則稱函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)連續(xù)

如果函數(shù)f(x

y)在D的每一點都連續(xù)

那么就稱函數(shù)f(x

y)在D上連續(xù)

或者稱f(x

y)是D上的連續(xù)函數(shù)

不連續(xù)的情形：無定義不存在

存在，但不為硬愁植毅裳橢沸沸櫥趙惦霉歧掏耘嘉遵藹捉拴炯宦全嬌鞏癰拱嘩填捍縷瞎多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729所以f(x

y)

sinx在點P0(x0

y0)連續(xù)

由P0的任意性知

sinx作為x

y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)

例3設(shè)f(x,y)

sinx

證明f(x

y)是R2上的連續(xù)函數(shù)

證

對于任意的P0(x0

y0)

R2

因為類似的討論可知

一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時

它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的

額惟礫太鈔約蓬精帳熟救疹勸英哲倚雜杜疇誓祁防掣版統(tǒng)楊栗宴曾霉冊短多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729有洞曲面有縫曲面設(shè)函數(shù)f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)是D的聚點

如果函數(shù)f(x

y)在點P0不連續(xù)

則稱P0為函數(shù)f(x

y)的間斷點

函數(shù)的間斷點間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點

間斷點舉例

黃傀庶碑匣乖關(guān)吐淡虹肖場似茂計儉輸冊遙碴奪杯始木翻帶廊矢寂緩皿涯多元函數(shù)的基本概念52729多元函數(shù)的基本概念52729提示

多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)

多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的

多元初等函數(shù)的連續(xù)性

多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函