含絕對值不等式的解法

關(guān)于含絕對值不等式的解法復(fù)習(xí)絕對值的意義：|x|=X>0xX=00X<0-x一個數(shù)的絕對值表示：與這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,|x|≥0Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|代數(shù)的意義幾何意義第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天類比：|x|<3的解|x|>3的解觀察、思考：不等式│x│<2的解集方程│x│＝2的解集？為{x│x=2或x=-2}02-2為{x│-2<x<2}不等式│x│>2解集為{x│x>2或x<-2}02-202-2|x|<0的解|x|>0的解|x|<-2的解|x|>-2的解|x|<的解|x|>的解歸納：|x|<a（a>0)|x|>a(a>0)

-a<x<a

X>a或x<-a-aa-aa第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1形如|x|<a和|x|>a(a>0)的含絕對值的不等式的解集:①不等式|x|<a的解集為{x|-a<x<a}②不等式|x|>a的解集為{x|x<-a或x>a}0-aa0-aa第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天如果把|x|<2中的x換成“x-1”,也就是|x-1|<2如何解？變式例題：如果把|x|>2中的x換成“3x-1”,也就是|3x-1|>2如何解？第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天題型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式在這里，我們只要把a(bǔ)x+b看作是整體就可以了，此時可以得到：第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):解不等式.(1)|x－5|<8;(2)|2x+3|>1.解:(1)由原不等式可得－8<x－5<8,∴－3<x<13∴原不等式的解集為{x|－3<x<13}.(2)由原不等式可得2x+3<－1或2x+3>1,∴x<－2或x>－1∴原不等式的解集為{x|x<－2或x>－1}.第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

解題反思：2、歸納型如(a>0)

|f(x)|<a,|f(x)|>a不等式的解法。1、采用了整體換元。|f(x)|<a-a<f(x)<a|f(x)|>af(x)<-a或f(x)>a第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解不等式|5x-6|<6–x變式例題：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a的不等式中“a”用代數(shù)式替換，如何解？|x|=xX<0-xX≥0思考二：是否可以轉(zhuǎn)化為熟悉問題求解？思考一：關(guān)鍵是去絕對值符號，能用定義嗎？第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天5x-6≥05x-6<6-x(Ⅰ)或(Ⅱ)

5x-6<0-（5x-6）<6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ)

得：0<x<6/5取它們的并集得：（0，2）解不等式|5x-6|<6–x解：第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解不等式|5x-6|<6–x解：由絕對值的意義，原不等式轉(zhuǎn)化為：-(6-x)<5x-6<(6-x)綜合得0<x<2解(Ⅰ)得：0<x<2;第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天|x|<a（a>0）的解集為：{x|－a<x<a}|x|>a（a>0）的解集為：{x|x<-a或x>a}推廣題型：不等式|x|<a與|x|>a（a>0）的解集推廣第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1(1);(2)題型：不等式|x|<a與|x|>a（a>0）的解集第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.解不等式：|3x-1|>x+3.第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解不等式：|x2-3|＞2x.

練習(xí):絕對值不等式的解法解析:(等價轉(zhuǎn)換法)原不等式

x＞3或x＜-1或-3＜x＜1.

故原不等式的解集為{x|x＜1或x＞3}.第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：把下列絕對值不等式轉(zhuǎn)化為同解的非絕對值不等式。3、|x-1|>2(x-3)

4、5、|2x+1|>|x+2|1、|2x-3|<5x

2、|x2-3x-4|>4第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例3、解不等式1<︱3x+4︱≤6解法一：原不等式可化為：∴原不等式的解集為：第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例3、解不等式1<︱3x+4︱≤6解法二：依絕對值的意義，原不等式等價于：-6≤3x+4<-1或1<3x+4≤6∴原不等式的解集為：比較此題的兩種解法，解法二比較簡單，解法二去掉絕對值符號的依據(jù)是：第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天題型：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)

的解集方法一：等價于不等式組方法二：幾何意義推廣-m-nnm0第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例2解不等式3<|3-2x|≤5.03-14題型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)

的解集第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例2解不等式3<|3-2x|≤5.03-14題型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)

的解集?￡-<5|23|3x解法2：第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)2解不等式題型二：不等式n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)

的解集第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1．不等式1＜|x+1|＜3的解集是

(

)

A．(0,2)

B．(-2,0)∪(2,4)

C．(-4,0)

D．(-4,-2)∪(0,2)D【解析】原不等式等價于1＜x+1＜3或-3＜x+1＜-1，

當(dāng)堂訓(xùn)練

解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：因?yàn)閨x-1|>|x-3|

所以兩邊平方可以等價轉(zhuǎn)化為

（x-1)2>(x-3)2

化簡整理：x>2平方法：注意兩邊都為非負(fù)數(shù)|a|>|b|依據(jù)：a2>b2解不等式：第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天題型三：不等式

的解集|f(x)|>|g(x)|推廣不等式解集為第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)3解不等式

題型三：不等式

的解集|f(x)|>|g(x)|第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.解不等式591四、練習(xí)解：第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例4怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5呢?方法一：利用絕對值的幾何意義(體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想).題型四：含多個絕對值不等式的解法第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天x12-2-3ABA1B1第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解:(1)當(dāng)x>1時，原不等式同解于x≥2x<-2-(x-1)-(x+2)≥5(x-1)+(x+2)≥5x>1-(x-1)+(x+2)≥5x≤-3(3)當(dāng)x<-2時，原不等式同解于(2)當(dāng)-2≤x≤1時，原不等式同解于方法二：|x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零點(diǎn),把數(shù)軸分為三段,然后分段考慮把原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式求解（零點(diǎn)分段討論法）題型四：含多個絕對值不等式的解法綜合上述知不等式的解集為第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解原不等式化為|x-1|+|x+2|-5≥0令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,則-312-2-2xy由圖象知不等式的解集為方法三：|x-1|+|x+2|≥5通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象(體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想)．題型四：含多個絕對值不等式的解法第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天①利用絕對值不等式的幾何意義②零點(diǎn)分區(qū)間法③構(gòu)造函數(shù)法第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)4解不等式

題型四：含多個絕對值不等式的解法第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解不等式

第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3.解不等式:第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天三、例題講解

例2解不等式|x+1|+|3－x|>2+x.解析原不等式變形為|X+1|+|X－3|>2+X.若|X+1|=0,X=-1;若|X－3|=0,X=3.零點(diǎn)-1,3把數(shù)軸分成了三部分,如上圖所示.-13①②③第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天三、例題講解

例2解不等式|x+1|+|3－x|>2+x.解：-13①②③24第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天三、例題講解

例3

解不等式|x－1|+|2x－4|＞3+x解:(1)當(dāng)x≤1時原不等式化為:1－x+4－2x＞3+x(2)當(dāng)1＜x≤2時,原不等式化為:又∵1＜x≤2，∴此時原不等式的解集為φ