剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

第第頁剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2西華高校物理

教學(xué)基本要求

一理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度的物理意義，并掌控角量與線量的關(guān)系.

二理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌控剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理.三理解角動(dòng)量概念，掌控角動(dòng)量定律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀況下的角動(dòng)量守恒問題.

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教學(xué)基本要求

四理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律.

能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡約系統(tǒng)的力學(xué)問題.

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第四章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體的運(yùn)動(dòng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用五、剛體的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律六、轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能

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五、剛體的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、剛體的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動(dòng)量為：

LrPrmv2

剛體上的一個(gè)質(zhì)元,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：

Lirimivirimi所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：

LLi(miri)J2ii

剛體對固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和角速度的乘積。

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2、剛體的角動(dòng)量定理dL=A:微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理為：Mdt

dLMM外dt剛體是非常的質(zhì)點(diǎn)組,在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中只考慮力矩和角動(dòng)量平行于轉(zhuǎn)軸的份量，設(shè)轉(zhuǎn)軸為z軸,取角動(dòng)量定理沿z軸的份量式有:

Mz外

dLzdt

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在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可用標(biāo)量表示：

dddML(J)JJdtdtdt剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)質(zhì)是角動(dòng)量定理沿固定軸方向的份量式的一種非常形式。B:積分形式

t

0

Mdt

L2

L1

dLL2L1L

左邊為對某個(gè)固定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的積累效果，稱為沖量矩；右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。

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J不變時(shí),J也轉(zhuǎn)變時(shí),3、角動(dòng)量守恒定律

LJ2J1LJ22J11

dL在M中，假設(shè)M0,那么L常量.即L0dtL不變的含義為：剛體：不變非剛體：J不變M=0的緣由，可能F=0;r=0;F∥r.在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中還有M≠0,但力與軸平行，即Mz=0,對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒有作用，那么剛體對此軸的角動(dòng)量依舊守恒。

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很多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明.

花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水

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自然界中存在多種守恒定律動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等

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例1、如下圖,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對子彈的阻力,對子彈有:3fdtm(vv0)4mv0子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：

fldtlfJdt

M

因,

ff由兩式得

v0

mv

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3mv0l9mv01這里JMl24J4Ml3

NRM

請問:子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎?為什么?總角動(dòng)量守恒嗎?假設(shè)守恒,其方程應(yīng)如何寫?

12mv0lmvlMl3

v0

m

v

例2、質(zhì)量分別為M1、M2,

半徑分別為R1、R2的兩勻稱圓柱,可分別繞它們本

身的軸轉(zhuǎn)動(dòng),二軸平行。

M1R1

M2R2

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原來它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以

10,20的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),然后平移二軸使它們的邊緣

相接觸,如下圖.求最末在接觸處無相對滑動(dòng)時(shí),每個(gè)

M1R1

M2R2

圓柱的角速度1,2。對上述問題有以下的解法:在接觸處無相對滑動(dòng)時(shí),二圓柱邊緣的線速度一樣,故有

1R12R2

二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒故有

10J120J2J11J22

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1122其中J1M1R1,J2M2R222由以上二式就可解出1,2。這種解法對嗎?答：原解認(rèn)為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為二圓柱各自對自己的軸的角動(dòng)量之和是錯(cuò)誤的，由于系統(tǒng)的總角動(dòng)量只能對某一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算。另當(dāng)兩柱體邊緣沒有相對滑動(dòng)時(shí)1,2方向相反，所以應(yīng)為

1R12R2

正確的解法應(yīng)對兩圓柱分別運(yùn)用角動(dòng)量定理，由于兩柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反,力矩和沖量矩的大小正比于半徑,方向相同:R1fdtR1fdtJ1(110)R2fdtR2fdtJ2(220)

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消去fdt,得R1J1(110)R2R12從前已知R21

J2(220)

由此可解得:R1(J11R2J22R1)M1R11M2R22122J1R2J2R1R2(M1M2)R2(J22R1J11R2)M2R22M1R11222J1R2J2R1R1(M1M2)

1122其中J1M1R1,J2M2R222

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例3一雜技演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N彈了起來.問演員N可彈起多高?

MhNBl

Cl/2

A

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設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l,質(zhì)量為m',蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.解碰撞前M落在A點(diǎn)的速度

vM(2gh)lu2

12

碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度

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M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒

ll1122mvMJ2mumlml22122MhNBl

Cl/2

A

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ll1122mvMJ2mumlml22122

mvMl26m(2gh)解得22ml12ml2(m6m)l演員N以u起跳，達(dá)到的

高度：

12

ul3m2h()h2g8gm6m222

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六、轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能1、力矩的功

dWFdrFcos|dr|

FcosrdFcosrFcosrMdWMd稱為力矩的功。力矩對轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。O

vdr

dr

FP

*

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2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體上全部質(zhì)元的動(dòng)能之和為：

EK

112mivimi(ri)22i2i1122(miri)J22i2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能改變的緣由可以用力矩做功的效果來說明。將定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以d再同時(shí)對積

分有:

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Md

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