2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)微專題提分精練（蘇科版）專題26 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用三年中考真題（解析版）

專題26解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用三年中考真題1．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號）．【答案】##【分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．【詳解】解：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．二、解答題2．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，湖邊、兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計(jì)算、兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：，，米，求、兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】、兩點(diǎn)之間的距離約為94米【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分別解，，求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、兩點(diǎn)之間的距離約為94米.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請你繼續(xù)完成長的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】42cm【分析】連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，解，得出，進(jìn)而求得的長，即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)．∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，∴．在中，∵，，∴，．∵直線是對稱軸，∴，，，∴．∴．∴，．在中，，即，則．∵，即，則．∴．∵該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，,∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇鹽城·中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機(jī)器人示意圖，是垂直于工作臺的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，m，m，m，．機(jī)械臂端點(diǎn)到工作臺的距離m．(1)求、兩點(diǎn)之間的距離；(2)求長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接，過點(diǎn)作，交的延長線于，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（1）解：如圖2，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m，答：、兩點(diǎn)之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形為矩形，m，，所以m，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m．m．答：的長為4.5m．【點(diǎn)睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時(shí)，我們經(jīng)常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解6．（2022·江蘇泰州·中考真題）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學(xué)入射光線與反射光線之間的關(guān)系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進(jìn)而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，如下圖所示：∵C點(diǎn)在M點(diǎn)正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的點(diǎn)D經(jīng)過平面鏡MN反射后落在點(diǎn)C，結(jié)合物理學(xué)知識可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入數(shù)據(jù)：，∴，即水平地面上最遠(yuǎn)處D到小強(qiáng)的距離CD是．【點(diǎn)睛】本題借助平面鏡入射光線與反射光線相關(guān)的物理學(xué)知識考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓的高度為20m，求信號塔的高度（計(jì)算結(jié)果保冒根號）．【答案】（20＋20）m．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝，∴m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，∴信號塔的高度為（20＋20）m．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至處測得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m【分析】過A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥CD，垂足為E．則AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．答：鐵塔CD的高度約為68.5m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時(shí)觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的長，從而可得CF的長；在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得DE的長，從而由DG=DE+CF即可求得山頂D的高度．【詳解】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，設(shè)山頂?shù)乃诰€段為DG，如圖所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m則BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四邊形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山頂D的高度為114m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形在實(shí)際測量中的應(yīng)用，題目較簡單，但這里出現(xiàn)了坡角、俯角等概念，要理解其含義，另外通過作適當(dāng)?shù)妮o助線，把問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決．11．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡的坡角，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)，過其另一端安裝支架，所在的直線垂直于水平線，垂足為點(diǎn)為與的交點(diǎn)．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)的太陽光線與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：三角函數(shù)銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AM-AE可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，如圖，則∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機(jī)飛行的高度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，=1.732)．【答案】無人機(jī)飛行的高度約為14米．【分析】延長PQ，BA，相交于點(diǎn)E，根據(jù)∠BQE＝45°可設(shè)BE＝QE＝x，進(jìn)而可分別表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根據(jù)sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．【詳解】解：如圖，延長PQ，BA，相交于點(diǎn)E，由題意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，又∵∠BQE＝45°，∴BE＝QE，設(shè)BE＝QE＝x，∵PQ＝5，AB＝3，∴PE＝x＋5，AE＝x－3，∵∠E＝90°，∴sin∠APE＝，∵∠APE＝30°，∴sin30°＝，解得：x＝≈14，答：無人機(jī)飛行的高度約為14米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角問題，難度適中，要求學(xué)生能借助其關(guān)系構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．13．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C，D．測得，，，，，設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，求A，B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．先證明四邊形CEBF是正方形，設(shè)CE=BE=xm，根據(jù)三角函數(shù)表示出DE，根據(jù)列方程求出CE=BE=48m，進(jìn)而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根據(jù)勾股定理即可求出AB，問題得解．【詳解】解：如圖，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．∵∠FCD=90°，∴四邊形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．設(shè)CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四邊形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CF-AC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B兩點(diǎn)之間的距離是52m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造正方形和直角三角形是解題關(guān)鍵．14．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)E與樹AB的根部點(diǎn)A、建筑物CD的底部點(diǎn)C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點(diǎn)E處觀測樹頂B的仰角為30°，他從點(diǎn)E出發(fā)沿EC方向前進(jìn)6m到點(diǎn)G時(shí)，觀測樹頂B的仰角為45°，此時(shí)恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點(diǎn)在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．）【答案】19.8m．【分析】延長FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設(shè)BN＝NH＝x，則根據(jù)tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和可求得CD的長．【詳解】解：如圖，延長FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，則BN＝NH，設(shè)BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x≈8.22，根據(jù)題意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵M(jìn)N＝AC＝10，則DM＝10+8.22＝18.22，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度約為19.8m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．15．（2020·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正西方向，AB=2km，從觀測站A測得船C在北偏東45°的方向，從觀測站B測得船C在北偏西30°的方向．求船C離觀測站A的距離．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，從而把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后在兩個(gè)直角三角形中利用直角三角形的邊角關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠CAD=∠ACD=45°，∴AD=CD，設(shè)AD=，則AC=，∴BD=AB-AD=，∵∠CBD=60°，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴AC==()=(-)km．答：船C離觀測站A的距離為(-)km．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．16．（2020·江蘇徐州·中考真題）小紅和爸爸繞著小區(qū)廣場鍛煉如圖在矩形廣場邊的中點(diǎn)處有一座雕塑．在某一時(shí)刻，小紅到達(dá)點(diǎn)處，爸爸到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)雕塑在小紅的南偏東方向，爸爸在小紅的北偏東方向，若小紅到雕塑的距離，求小紅與爸爸的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】．【分析】過點(diǎn)P作PE⊥BC，則四邊形ABEP是矩形，由解直角三角形求出，則，然后求出PQ即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作PE⊥BC，如圖：根據(jù)題意，則四邊形AB