2024七年級數(shù)學(xué)上專題09 幾何圖形初步章末重難點題型（舉一反三）（人教版）（原卷版）

2024七年級數(shù)學(xué)上冊第六章平面圖形認(rèn)識（一）章末重難點題型匯編【考點1幾何圖形】【方法點撥】掌握幾何圖形相關(guān)概念是解決此類問題的關(guān)鍵.【例1】下面的幾何體中，屬于棱柱的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】如圖，左面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【變式1-2】圖①是由白色紙板拼成的立體圖形，將它的兩個面的外表面涂上顏色，如圖②．則下列圖形中，是圖②的表面展開圖的是（）A． B． C． D．【變式1-3】下圖右邊四個圖形中，哪個是左邊立體圖形的展開圖？（）A． B． C． D．【考點2基本概念】【方法點撥】知識點1：線段像長方體的棱、長方形的邊，這些圖形都是線段．線段有兩個端點，兩個方向均不延伸，線段的長度是可以測量的．線段有兩種表示方法：(1)一條線段可以用它的兩個端點的大寫字母來表示，如圖，以A，B為端點的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”；(2)一條線段可以用一個小寫字母來表示，如圖，線段AB也可記作“線段a”．知識點2：射線將線段向一個方向無限延長就得到了射線．射線有一個端點，射線向一個方向無限延伸，射線是無法測量的．射線的表示法：兩個大寫字母：一條射線可以用表示它的端點和射線上的另一點的兩個大寫字母來表示，如圖中的射線，點O是端點，點A是射線上異于端點的另一點，那么這條射線可以記作射線OA.注意：①表示射線的兩個大寫字母，其中一個一定是端點，并且要把它寫在前面．②端點相同的射線不一定是同一條射線，端點不同的射線一定不是同一條射線③兩條射線為同一射線必須具備的兩個條件：①端點相同；②延伸的方向相同．知識點3：直線將線段向兩個方向無限延長就形成了直線．直線沒有端點，直線向兩個方向無限延伸，直線是無法測量的．直線的兩種表示方法：(1)一條直線可以用一個小寫字母表示，如圖中的直線可記作：直線a.(2)一條直線也可以用在這條直線上的表示兩個點的大寫字母來表示，如圖中的直線可記作：直線AB或直線BA.【例2】下列說法中正確的個數(shù)是（）①線段AB和射線AB都是直線的一部分；②直線AB和直線BA是同一條直線；③射線AB和射線BA是同一條射線；④把線段向一個方向無限延伸可得到射線，向兩個方向無限延伸可得到直線．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】下列說法正確的個數(shù)有（）①射線AB與射線BA表示同一條射線．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，則∠2＝∠3．③一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫這個角的平分線．④連結(jié)兩點的線段叫做兩點之間的距離．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的兩個角都是45°．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】下列說法：①兩點之間的所有連線中，線段最短；②在數(shù)軸上與表示﹣1的點距離是3的點表示的數(shù)是2；③連接兩點的線段叫做兩點間的距離；④射線AB和射線BA是同一條射線；⑤若AC＝BC，則點C是線段AB的中點；⑥一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線是這個角的平分線，其中錯誤的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式2-3】如圖的四個圖形和每一個圖形相應(yīng)的一句描述，其中所有圖形都是畫在同一個平面上．①線段AB與射線MN不相交；②點C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長射線AB，則會通過點C．其中正確的語句的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點3余角與補(bǔ)角定義】【方法點撥】余角和補(bǔ)角：（1）若α＋β＝90°，則α與β互余．（2）若α＋β＝180°，則α與β互補(bǔ)．（3）同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等．【例3】一個角的余角是它的，則這個角的補(bǔ)角等于°．【變式3-1】如果一個角的余角與它的補(bǔ)角度數(shù)之比為2：5，則這個角等于度．【變式3-2】若一個角的3倍比這個角補(bǔ)角的2倍還少5°，則這個角等于．【變式3-3】一個角的補(bǔ)角加上10°后等于這個角的余角的3倍，則比這個角小15°32′的角的度數(shù)是．【考點4鐘面上的角度問題】【例4】上午9點30分時，時鐘的時針和分針?biāo)鶌A的較小的角是度．【變式4-1】時鐘表面11點15分時，時針與分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是度．【變式4-2】中午12點30分時，鐘面上時針和分針的夾角是度．【變式4-3】上午八點二十五分，鐘表上時針和分針的夾角的度數(shù)為．【考點5尺規(guī)作圖】【例5】已知：∠α，∠β，線段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不寫作法，保留作圖痕跡）【變式5-1】用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段a，b，求作：線段AB，使AB＝2b﹣a．【變式5-2】作圖題：學(xué)過用尺規(guī)作線段與角后，就可以用尺規(guī)畫出一個與已知三角形一模一樣的三角形來．比如給定一個△ABC，可以這樣來畫：先作一條與AB相等的線段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作線段A′C′＝AC，最后連結(jié)B′C′，這樣△A′B′C′就和已知的△ABC一模一樣了．請你根據(jù)上面的作法畫一個與給定的三角形一模一樣的三角形來．（請保留作圖痕跡）【變式5-3】如圖，在同一平面內(nèi)有四個點A，B，C，D．（1）請按要求作出圖形（注：此題作圖不需寫出畫法和結(jié)論）：①作射線AC②作直線BD，交射線AC于點O③分別連接AB，AD．（2）觀察所作圖形，我們能得到：AO+OC＝；DB﹣OB＝（空格處填寫圖中線段）【考點6與中點有關(guān)的長度計算】【方法點撥】線段的中點如圖，點C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點C叫做線段AB的中點．中點定義的推理步驟：(1)∵AC＝CB(已知)，∴點C是線段AB的中點(中點的定義)．(2)∵點C是線段AB的中點(已知)，∴AC＝BC或AC＝eq\f(1,2)AB或BC＝eq\f(1,2)AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點的定義)．【例6】已知：點C在直線AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．【變式6-1】如圖，線段AB，C是線段AB上一點，M是AB的中點，N是AC的中點．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求線段MN的長；（2）若BC＝a，試用含a的式子表示線段MN的長．【變式6-2】如圖，點C是線段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長．（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，不用計算你猜出MN的長度嗎？（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝acm，M，N仍分別為AC，BC的中點，你還能猜出線段MN的長度嗎？（4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？【變式6-3】已知：點M，N分別是線段AC，BC的中點．（1）如圖，點C在線段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若點C為線段AB上任一點，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長度．（3）若點C在線段AB的延長線上，且AC＝acm，CB＝bcm，請你畫出圖形，并且用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長度．【考點7與角平分線有關(guān)的角度計算】【方法點撥】角平分線：（1）把一個角平分成二等分的射線，稱為角平分線．（2）若OC平分∠AOB，則有=1\*GB3①∠AOC＝∠BOC．=2\*GB3②∠AOC＝∠AOB．=3\*GB3③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．【例7】如圖，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．求：（1）∠AOC的度數(shù)；（2）∠MON的度數(shù)．【變式7-1】如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足為O，求：（1）求∠BOE的度數(shù)．（2）求∠EOF的度數(shù)．【變式7-2】如圖所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【變式7-3】已知∠AOB＝α，過O作射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖，若α＝120°，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時，求∠MON的度數(shù)；（2）當(dāng)OC在∠AOB外部時，畫出相應(yīng)圖形，求∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．【考點8與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的角度計算】【例8】O為直線AD上一點，以O(shè)為頂點作∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．（1）如圖①，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為，∠COF和∠DOE的數(shù)量關(guān)系為_；（2）若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，請寫出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，射線OF依然平分∠AOE，請直接寫出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．【變式8-1】已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）．（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時，求∠EOF的度數(shù)；（2）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）時，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，請說明理由．（3）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）時，滿足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，則n＝．【變式8-2】如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝110°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處（∠OMN＝30°），一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度數(shù)．（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（直接寫出結(jié)果）．（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式8-3】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點O按如圖方式疊放在一起．（1）如圖（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度數(shù)，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度數(shù)．（2）如圖（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度數(shù)．（3）猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖（1）說明理由．（4）三角尺AOB不動，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點O按順時針或逆時針方向任意轉(zhuǎn)動一個角度，當(dāng)∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠AOD角度所有可能的值，不用說明理由．【考點9與幾何有關(guān)的規(guī)律問題】【例9】閱讀表：線段AB上的點數(shù)n（包括A，B兩點）圖例線段總條數(shù)N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1解答下列問題：（1）根據(jù)表中規(guī)律猜測線段總數(shù)N與線段上的點數(shù)n（包括線段兩個端點）有什么關(guān)系？（2）根據(jù)上述關(guān)系解決如下實際問題：有一輛客車往返于A，B兩地，中途?？咳齻€站點，如果任意兩站間的票價都不同，問：①有種不同的票價？②要準(zhǔn)備種車票？（直接寫答案）【變式9-1】（1）試驗探索：如果過每兩點可以畫一條直線，那么請下面三組圖中分別畫線，并回答問題：第（1）組最多可以畫條直線；第（2）組最多可以畫條直線；第（3）組最多可以畫條直線．（2）歸納結(jié)論：如果平面上有n（n≥3）個點，且每3個點均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條．（作用含n的代數(shù)式表示）（3）解決問題：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握次手；最后，每兩個人要互贈禮物留念，則共需件禮物．【變式9-2】為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手．（1）一條直線把平面分成2部分；（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：直線條數(shù)把平面分成部分?jǐn)?shù)寫成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時，把平面最多分成部分，寫成和的形式；（2）當(dāng)直線為10條時，把平面最多分成部分；（3）當(dāng)直線為n條時，把平面最多分成部分．（不必說明理由）【變式9-3】觀察下圖，回答下列問題：（1）在圖①中有幾個角？（2）在圖②中有幾個角？（3）在圖③中有幾個角？（4）以此類推，如圖④所示，若一個角內(nèi)有n條射線，此時共有多少個角？【考點10線段上的動點問題】【例10】如圖，線段AB＝12cm，延長AB到點C，使BC＝AB，點D是BC中點，點E是AD中點．（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）求DE的長；（3）若動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點C運(yùn)動，到達(dá)點C停止運(yùn)動，點Q從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向點A運(yùn)動，到達(dá)點A停止運(yùn)動，若運(yùn)動時間為ts，當(dāng)t為何值時，PQ＝3cm？【變式10-1】如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，且滿足（a﹣6）2+|b+4|＝0．（1）寫出a、b及AB的距離：a＝b＝AB＝（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度向左勻速運(yùn)動．①若P、Q同時出發(fā)，問點P運(yùn)動多少秒追上點Q？②若M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運(yùn)動過程中，線段MN是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【變式10-2】如圖，線段AB＝24，動點P從A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動，M為AP的中點．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動時，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動，N為BP的中點，下列兩個結(jié)論：①M(fèi)N長度不變；②MN+PN的值不變．選出一個正確的結(jié)論，并求其值．【變式10-3】如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB＝15，且OA：OB＝2．（1）A、B對應(yīng)的數(shù)分別為、；（2）點A、B分別以4個單位/秒和3個單位/秒的速度相向而行，則幾秒后A、B相距1個單位長度？（3）點A、B以（2）中的速度同時向右運(yùn)動，點P從原點O以7個單位/秒的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)m，使得4AP+3OB﹣mOP為定值，若存在請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由．專題10七年級數(shù)學(xué)上冊期末考試重難點題型【舉一反三】【人教版】【考點1利用數(shù)軸判斷符號】【方法點撥】解決此類問題需由數(shù)軸得知字母所表示的數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、絕對值的意義以及數(shù)軸上右邊點的數(shù)總比左邊的數(shù)大判斷即可.【例1】（2018秋?宿松縣期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的表示如圖所示，則下列結(jié)論中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-1】（2018秋?西城區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別是a和b，對于以下四個式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值為負(fù)數(shù)的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式1-2】（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)有理數(shù)a、b，則下列結(jié)論：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2018秋?黃陂區(qū)期中）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置，如圖所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四個結(jié)論正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【考點2有理數(shù)混合運(yùn)算】【方法點撥】解決此類問題需熟變式掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里，值得注意有些題可能會運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算.【例2】（2019春?黃州區(qū)校級月考）計算：（1）（2）【變式2-1】（2018秋?寶應(yīng)縣期末）計算：（1）（2）【變式2-2】（2019春?沙坪壩區(qū)校級月考）計算：（1）．（2）．【變式2-3】（2018秋?渝中區(qū)校級期末）有理數(shù)的計算：（1）（2）【考點3有關(guān)數(shù)軸的探究題】【方法點撥】解決此類問題數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵.【例3】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數(shù)軸上的原點重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運(yùn)動速度為每秒π個單位，大圓的運(yùn)動速度為每秒2π個單位，（1）若小圓不動，大圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動的時間記為正數(shù)，向左滾動時間即為負(fù)數(shù)，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點到原點的距離最遠(yuǎn)；②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動時，大圓運(yùn)動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）（2）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點之間相距9π，求此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)．【變式3-1】（2018秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別﹣4，8．有一動點P從點A出發(fā)第一次向左運(yùn)動1個單位長度；然后在新的位置第二次運(yùn)動，向右運(yùn)動2個單位長度；在此位置第三次運(yùn)動，向左運(yùn)動3個單位長度，…按照如此規(guī)律不斷地左右運(yùn)動（1）當(dāng)運(yùn)動到第2018次時，求點P所對應(yīng)的有理數(shù)．（2）點P會不會在某次運(yùn)動時恰好到達(dá)某一個位置，使點P到點B的距離是點P到點A的距離的3倍？若可能請求出此時點P的位置，若不可能請說明理由．【變式3-2】（2018秋?淮陰區(qū)期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖1），折疊紙面．（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣4表示的點與表示的點重合；（2）若﹣2表示的點與8表示的點重合，回答以下問題：①16表示的點與表示的點重合；②如圖2，若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為2018（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點表示的數(shù)分別是、．（3）如圖3，若m和n表示的點C和點D經(jīng)折疊后重合，（m＞n＞0），現(xiàn)數(shù)軸上P、Q兩點之間的距離為a（P在Q的左側(cè)），且P、Q兩點經(jīng)折疊后重合，求P、Q兩點表示的數(shù)分別是多少？（用含m，n，a的代數(shù)式表示）【變式3-3】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）下面材料：已知點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|．當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|當(dāng)A、B兩點都不在原點時，（1）如圖2，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|綜上，數(shù)軸上A、B兩點的距離|AB|＝|a﹣b|回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A、B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是．【考點4整式加減化簡求值】【方法點撥】整式加減化簡求值的一般步驟：①去括號、合并同類項.；②代入求值.【例4】（2018秋?蒙陰縣期中）先化簡，再求值：，其中，．【變式4-1】（2018秋?朝陽區(qū)期中）先化簡，再求值：已知，求的值．【變式4-2】（2018秋?金堂縣期中）已知，，先求，并求當(dāng)，時，的值．【變式4-3】（2018秋?杭州期中）化簡求值：已知整式與整式的差不含和項，試求的值．【考點5代數(shù)式求值—整體代入法】【方法點撥】整體代入的思想是把聯(lián)系緊密的幾個量作為一個整體來看的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這種方法，有時可使復(fù)雜問題簡單化.【例5】（2019秋?錫山區(qū)校級期中）化簡與求值：（1）若，則代數(shù)式的值為；（2）若，則代數(shù)式的值為；（3）若，請仿照以上求代數(shù)式值的方法求出的值．【變式5-1】（2019秋?余姚市期末）已知：，求的值．【變式5-2】（2019秋?崇川區(qū)期末）已知當(dāng)，時，，求當(dāng)，時，式子的值．【變式5-3】（2018秋?慈利縣期中）先閱讀下面例題的解答過程，再解答后面的問題．例：已知代數(shù)式的值為2，求的值．解：由得，所以．問題：（1）已知代數(shù)式的值為6，求的值；（2）已知代數(shù)式的值為，求的值．【考點6列代數(shù)式】【例6】（2018秋?淮陰區(qū)期中）如圖所示（1）用代數(shù)式表示長方形中陰影部分的面積；（2）當(dāng)，時，求其陰影部分的面積．（其中取【變式6-1】（2018秋?甘井子區(qū)期中）如圖（圖中單位長度：求：（1）陰影部分面積（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)求陰影部分的面積取3.14，結(jié)果精確到．【變式6-2】（2018秋?南安市期末）福建省教育廳日前發(fā)布文件，從2019年開始，體育成績將按一定的原始分計入中考總分．某校為適應(yīng)新的中考要求，決定為體育組添置一批體育器材．學(xué)校準(zhǔn)備在網(wǎng)上訂購一批某品牌足球和跳繩，在查閱天貓網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)足球每個定價150元，跳繩每條定價30元．現(xiàn)有、兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案．網(wǎng)店：買一個足球送一條跳繩；網(wǎng)店：足球和跳繩都按定價的付款．已知要購買足球40個，跳繩條（1）若在網(wǎng)店購買，需付款元（用含的代數(shù)式表示）．若在網(wǎng)店購買，需付款元（用含的代數(shù)式表示）．（2）若時，通過計算說明此時在哪家網(wǎng)店購買較為合算？（3）當(dāng)時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法，并計算需付款多少元？【變式6-3】（2018秋?鄭州期中）鄭東新區(qū)九年制實驗學(xué)校體育組準(zhǔn)備在網(wǎng)上為學(xué)校訂購一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查閱京東網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)羽毛球拍一副定價40元，羽毛球每個定價5元．“雙十一”期間、兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案．網(wǎng)店：買一副球拍送1個羽毛球；網(wǎng)店：羽毛球拍和羽毛球都按定價的付款．已知要購買羽毛球拍30副，羽毛球個（1）若在網(wǎng)店購買，需付款元（用含的代數(shù)式表示）；若在網(wǎng)店購買，需付款元．（用含的代數(shù)式表示）；（2）若時，通過計算說明此時在哪家網(wǎng)店購買較為合算？（3）當(dāng)時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方案，并計算出需付款多少元？【考點7解一元一次方程】【方法點撥】一元一次方程解法的一般步驟：化簡方程----------分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)去分母----------同乘（不漏乘）最簡公分母去括號----------注意符號變化移項----------變號（留下靠前）合并同類項--------合并后符號系數(shù)化為1---------除前面【例7】（2019秋?安慶期中）解方程（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；（2）＝1．【變式7-1】（2018秋?渭濱區(qū)期末）解方程（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）（2）1﹣＝【變式7-2】（2018秋?榆次區(qū)期末）解方程：（1）x﹣＝3（2）【變式7-3】（2019春?新泰市期中）解方程：（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x（2）y﹣＝3+【考點8一元一次方程的應(yīng)用】【例8】（2018春?山西期中）某種商品A的零售價為每件1000元，為了適應(yīng)市場競爭，商店先按零售價的九折優(yōu)惠，再讓利20元銷售，每件商品A仍可獲利10%．（1）商品A的進(jìn)價為多少元？（2）現(xiàn)有另一種商品B，其進(jìn)價為每件500元，每件商品B也可獲利8%，商品A和商品B共進(jìn)貨100件，若要使這100件商品共獲利6320元，則商品A，B需分別進(jìn)貨多少件？【變式8-1】（2018秋?開福區(qū)校級期末）某廠接到長沙市一所中學(xué)的冬季校服訂做任務(wù)，計劃用A、B兩臺大型設(shè)備進(jìn)行加工．如果單獨(dú)用A型設(shè)備需要90天做完，如果單獨(dú)用B型設(shè)各需要60天做完，為了同學(xué)們能及時領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺設(shè)備同時趕制．（1）兩臺設(shè)備同時加工，共需多少天才能完成？（2）若兩臺設(shè)備同時加工30天后，B型設(shè)備出了故障，暫時不能工作，此時離發(fā)冬季校服時間還有13天．如果由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，會不會影響學(xué)校發(fā)校服的時間？請通過計算說明理由．【變式8-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級月考）A、B兩地相距480km，C地在A、B兩地之間．一輛轎車以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛，前往B地．同時，一輛貨車以80km/h的速度從B地岀發(fā)，勻速行駛，前往A地．（1）當(dāng)兩車相遇時，求轎車行駛的時間；（2）當(dāng)兩車相距120km時，求轎車行駛的時間；（3）若轎車到達(dá)B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次經(jīng)過C地，兩次經(jīng)過C地的時間間隔為2.2h，求C地距離A地路程．【變式8-3】（2019春?松江區(qū)期中）某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．（1）若家電商場同時購進(jìn)A、B兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，用去9萬元，求商場購進(jìn)這兩種型號的電視機(jī)各多少臺？（2）若商場銷售一臺A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺C種電視機(jī)可獲利250元．該家電商場用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，為了使銷售時獲利最多，該家電商場應(yīng)該購買哪兩種型號的電視機(jī)？分別購進(jìn)多少臺？【考點9一元一次方程之?dāng)?shù)軸動點問題】【例9】（2019秋?江漢區(qū)期中）如圖在以點O為原點的數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是3，點B在原點的左側(cè)，且AB＝6AO（我們把數(shù)軸上兩點之間的距離用表示兩點的大寫字母一起標(biāo)記，比如，點A與點B之間的距離記作AB）．（1）B點表示的數(shù)是；（2）若動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度勻速向左運(yùn)動，問經(jīng)過幾秒鐘后PA＝3PB？并求出此時P點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)；（3）若動點M、P、N分別同時從A、O、B出發(fā)，勻速向右運(yùn)動，其速度分別為1個單位長度/秒、2個單位長度/秒、4個單位長度/秒，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請直接寫出PM、PN、MN中任意兩個相等時的時間．【變式9-1】（2019秋?江岸區(qū)校級月考）已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應(yīng)數(shù)字a、b，且a、b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0（1）直接寫出a、b的值；（2）P從A點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運(yùn)動，當(dāng)PA＝3PB時，求P運(yùn)動的時間和P表示的數(shù)；（3）數(shù)軸上還有一點C對應(yīng)的數(shù)為36，若點P從A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向點C運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向正方向運(yùn)動，點P運(yùn)動到點C立即返回再沿數(shù)軸向左運(yùn)動當(dāng)PQ＝10時，求P點對應(yīng)的數(shù)．【變式9-2】（2019秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，在數(shù)軸上，點O為原點，點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+8|+（b﹣6）2＝0．（1）A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a＝b＝（2）若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合．則原點O與數(shù)表示的點重合：（3）若點A，B分別以4個單位/秒和2個單位/秒的速度相向面行，則幾秒后A，B兩點相距2個單位長度？（4）若點A，B以（3）中的速度同時向右運(yùn)動，同時點P從原點O以7個單位/秒的速度向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請問：在運(yùn)動過程中，AP+2OB﹣OP的值是否會發(fā)生變化？若變化，請用t表示這個值：若不變．請求出這個定值．【變式9-3】（2018秋?永新縣期末）【新定義】：A、B、C為數(shù)軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離的3倍，我們就稱點C是【A，B】的幸運(yùn)點．【特例感知】（1）如圖1，點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為3．表示2的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的幸運(yùn)點．①【B，A】的幸運(yùn)點表示的數(shù)是；A．﹣1；B.0；C.1；D.2②試說明A是【C，E】的幸運(yùn)點．（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為﹣2，點N所表示的數(shù)為4，則【M，N】的幸運(yùn)點表示的數(shù)為．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點，點A所表示的數(shù)為﹣20，點B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以3個單位每秒的速度向左運(yùn)動，到達(dá)點A停止．當(dāng)t為何值時，P、A和B三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運(yùn)點？【考點10與中點有關(guān)的長度計算】【方法點撥】線段的中點如圖，點C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點C叫做線段AB的中點．中點定義的推理步驟：(1)∵AC＝CB(已知)，∴點C是線段AB的中點(中點的定義)．(2)∵點C是線段AB的中點(已知)，∴AC＝BC或AC＝eq\f(1,2)AB或BC＝eq\f(1,2)AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點的定義)．【例10】（2019秋?洛寧縣期末）已知：點C在直線AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．【變式10-1】（2019秋?郯城縣期末）如圖，線段AB，C是線段AB上一點，M是AB的中點，N是AC的中點．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求線段MN的長；（2）若BC＝a，試用含a的式子表示線段MN的長．【變式10-2】（2019秋?永新縣期末）如圖，點C是線段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長．（2）若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，不用計算你猜出MN的長度嗎？（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝acm，M，N仍分別為AC，BC的中點，你還能猜出線段MN的長度嗎？（4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？【變式10-3】（2019秋?榆社縣期末）已知：點M，N分別是線段AC，BC的中點．（1）如圖，點C在線段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若點C為線段AB上任一點，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長度．（3）若點C在線段AB的延長線上，且AC＝acm，CB＝bcm，請你畫出圖形，并且用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長度．【考點11與角平分線有關(guān)的角度計算】【方法點撥】角平