專題22 銳角三角函數(shù)（講義）（原卷版）

專題22銳角三角函數(shù)核心知識點(diǎn)精講理解掌握銳角三角函數(shù)的概念；理解掌握茶館用的特殊角的三角函數(shù)值，能夠進(jìn)行常規(guī)的計(jì)算；理解掌握各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系；理解掌握銳角三角函數(shù)的增減性并能進(jìn)行運(yùn)用；掌握銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；能夠熟練地進(jìn)行解直角三角形?？键c(diǎn)1銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)。如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即考點(diǎn)2一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10考點(diǎn)3各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=考點(diǎn)4銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c(diǎn)5銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（1）仰角和俯角：在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角；（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的正切值；（3）方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)線所成的小于90度的角，叫做方向角?？键c(diǎn)6解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2.解直角三角形的理論依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】（2023?黃埔區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于sinA的是（）A．CDAC B．CBAB C．BDCB 1．（2023?越秀區(qū)校級二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB=35，則A．25 B．12 C．9 D．162．（2023?荔灣區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則cosA的值是（）A．32 B．12 C．2553．（2023?惠東縣二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值為（）A．45 B．34 C．43 【題型2：特殊角的三角函數(shù)】【典例2】（2023?佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA=12，則∠A．30° B．45° C．60° D．75°1．（2023?黃埔區(qū)校級二模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝A．45° B．75° C．105° D．120°2．（2023?寶安區(qū)校級三模）cos60°的值等于（）A．12 B．22 C．32 3．（2023?興寧市二模）已知實(shí)數(shù)a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說法正確的是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【題型3：數(shù)軸】【典例3】（2022?河源模擬）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，則tanA的值是31．（2021?荔灣區(qū)校級三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=512，則cosA．512 B．125 C．513 2．（2020?南海區(qū)一模）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=35，則sinA．35 B．45 C．53 【題型4：解直角三角形】【典例4】（2023?惠城區(qū)校級一模）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么cos∠BAC的值為（）A．55 B．12 C．2551．（2023?南海區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于點(diǎn)P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（）A．13 B．3 C．12 D2．（2023?臺山市校級一模）如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，sin∠BAC＝（）A．1313 B．2613 C．2626 3．（2023?中山市模擬）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則tanA的值是（）A．12 B．1 C．33 D【題型5：解直角三角形的應(yīng)用】【典例5】（2023?深圳模擬）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（）A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm1．（2023?佛山模擬）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A．60sin50° B．60sin50° C．60cos50° D．60tan502．（2023?香洲區(qū)校級一模）某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD與地面垂直且CD＝3m，則燈頂A到地面的高度為（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C．3+1.2cos25° D3．（2023?龍崗區(qū)校級四模）如圖，用三角支架固定空調(diào)外機(jī)，已知OA⊥AB，∠AOB＝α，BO＝0.4米，則點(diǎn)O到墻面距離OA為（）A．0.4sinα米 B．0.4cosα米 C．0.4sinα米 D．0.4【題型6：解直角三角形——坡度角問題】【典例6】（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖是一個(gè)山坡的縱向剖面圖，坡面DE的延長線交地面AC于點(diǎn)B，點(diǎn)E恰好在BD的中點(diǎn)處，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角為45°，山坡頂點(diǎn)D與水平線AC的距離，即CD的長為10003m．（1）求BE的長度；（2）求AB的長度．（結(jié)果保留根號）1．（2023?陸河縣校級模擬）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為1052．（2023?潮陽區(qū)二模）科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動(dòng)10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．（1）求連接水管AM的長．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，3≈1.733．（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．若新坡面底端A處與建筑物NM之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請說明理由．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈【題型7：解直角三角形——仰角俯角問題】【典例7】（2023?三水區(qū)模擬）如圖，西安某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長線交校門處的水平面于點(diǎn)D．求樓頂C的高度CD．（結(jié)果保留根號）1．（2023?花都區(qū)一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L距離6km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測得仰角為43°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．6sin43° B．6cos43° C．6tan43° D．6tan432．（2023?寶安區(qū)校級一模）全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外．如圖，張三同學(xué)在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為11°48′，測得塑像頂部A處的仰角為45°，點(diǎn)D在觀測點(diǎn)C正下方城墻底的地面上，若CD＝10米，則此塑像的高AB約為58米（參考數(shù)據(jù)：tan78°12′≈4.8）．3．（2023?開平市二模）如圖所示，建筑物MN一側(cè)有一斜坡AC，在斜坡坡腳A處測得建筑物頂部N的仰角為60°，當(dāng)太陽光線與水平線夾角成45°時(shí)，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA處，另一部分影子落在斜坡上AP處，已知點(diǎn)P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度為13（即tan∠PAD=13），且M，A，D（1）求此時(shí)建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長；（2）求建筑物MN的高度．【題型8：解直角三角形——方向角問題】【典例8】（2023?順德區(qū)校級三模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點(diǎn)C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點(diǎn)D，測得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．（1）求證：BD⊥AB；（2）求A，B兩點(diǎn)間的距離．1．（2023?惠州一模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點(diǎn)C，測得A，B均在C的北偏東30°方向上，沿正東方向行走60米至觀測點(diǎn)D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西60°方向上．A，B兩點(diǎn)間的距離為90米．2．（2023?潮南區(qū)模擬）為維護(hù)我國海洋權(quán)力海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理如圖，海警船A在C島的正西方向，當(dāng)島主發(fā)現(xiàn)有海盜船時(shí)，測得海盜船在C島的西北方向上的B處，已知海警測得海盜船在海警船A北偏東60°的位置B上，海警船若以60海里/時(shí)的速度航行到海盜船處需要1小時(shí)．（1）問此時(shí)海盜船離C島的距離BC是多少海里？（2）若海盜船以30海里/時(shí)的速度向C島出發(fā)，海警船在接到島主報(bào)警后以60海里/時(shí)的速度向C島出發(fā)，問海警船能否趕在海盜船之前到達(dá)C島進(jìn)行攔截（2≈1.41，3=3．（2023?佛山一模）如圖，海中小島A周圍15nmile內(nèi)有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)處測得小島A在北偏東63.4°方向上；航行26nmile到達(dá)C點(diǎn)，這時(shí)測得小島A在北偏東33.7°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）一．選擇題（共7小題）1．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．cosC=55 B．tanB?tanC＝C．tanB=12 D2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，則sinA的值為（）A．45 B．35 C．43 3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則cosA的值是（）A．35 B．34 C．43 4．tan45°的值是（）A．-2 B．3 C．1 D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=35，那么cosA．34 B．35 C．45 6．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．30tanα米 C．30sinα米 D．307．已知cosA=12，則∠A．30° B．45° C．60° D．90°二．填空題（共5小題）8．若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)B（4，0），則sin∠ABO的值為．9．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，cosA=44141，sinB=513，AB＝8，則BC長為10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則tanA＝11．若0°＜α＜45°，且sin2α=32，則α＝12．若cosA=12，則銳角∠A＝三．解答題（共3小題）13．計(jì)算：（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．14．計(jì)算：（1）6tan（2）2215．計(jì)算：sin260°﹣cos260°+2tan45°．一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1A．cosA=13 B．tanA=22 C．cosB=22．已知∠A+∠B＝90°，且cosA=35，則tanA．45 B．35 C．34 3．把△ABC各邊的長度都擴(kuò)大4倍得到△A′B′C′，其中A′與A是對應(yīng)頂點(diǎn)，則銳角A′的余弦值比銳角A的余弦值（）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小4倍 D．?dāng)U大2倍4．一艘貨輪從小島A正南方向的點(diǎn)B處向西航行30km到達(dá)點(diǎn)C處，然后沿北偏西60°方向航行20km到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)觀測到小島A在北偏東60°方向，則小島A與出發(fā)點(diǎn)B之間的距離為（）A．203km B．(103+20)C．(103+10)km D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，則cosC的值是（）A．35 B．45 C．34 二．填空題（共5小題）6．如圖，小明和小華同時(shí)從P處分別向北偏西60°和南偏西30°方向出發(fā)，他們的速度分別是3m/s和4m/s，則20s后他們之間的距離為m．7．如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為km．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，對角線BD平分∠ABC．cos∠ABD=45，則△BCD的面積為9．如圖，是源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較大的銳角為α，則cosα＝．10．已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（3，4）和B（0，b），滿足tan∠ABO=12（O為原點(diǎn)），那么b的值為三．解答題（共4小題）11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB=22，sin∠C=2512．某小區(qū)門口“曲臂直桿道閘”在工作時(shí)，一曲臂桿OA繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，另一曲臂桿AB始終保持與地面平行．如圖1，是曲臂直桿道閘關(guān)閉時(shí)的示意圖，此時(shí)O、A、B在一條直線上．閘機(jī)是高為1.2m，寬為0.4m的矩形PQMN，已知OA＝AB＝1.5m，點(diǎn)O到PM的距離為0.2m，小區(qū)門口寬度為2.8m．（1）當(dāng)曲臂桿OA與AB的夾角為150°時(shí)，求點(diǎn)A到地面的距離；（2）因機(jī)器出現(xiàn)故障，曲臂桿OA最多可旋轉(zhuǎn)72°，有一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可否順利通過門口？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）13．如圖，小明利用課余時(shí)間測量教學(xué)樓的高度．他在C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為37°，他又向前走了4m，測得A點(diǎn)關(guān)于E點(diǎn)的仰角為45°．已知小胖身高為1.6m，求教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.4114．如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時(shí)的速度航行，在A處測得島C在東北方向，20分鐘后漁船航行到B處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍25海里內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2≈1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈（1）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請說明理由．（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？說明理由．一．選擇題（共5小題）1．（2021?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A．3 B．23 C．1 D．22．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2≈A．58J B．159J C．1025J D．1732J3．（2021?深圳）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即EF＝15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則CD的長用三角函數(shù)表示為（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°4．（2023?廣州）如圖，海中有一小島A，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由西向東航行10nmile到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得小島A恰好在正北方向上，此時(shí)漁船與小島A的距離為（）nmile．A．1033 B．2033 C．205．（2020?深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的