專題21 圖形的相似與位似（講義）（原卷版）

專題21圖形的相似與位似核心知識(shí)點(diǎn)精講理解掌握比例線段的相關(guān)概念；理解掌握比例的性質(zhì)、黃金分割點(diǎn)等定義；理解掌握平行線分線段成比例定理；理解掌握什么是相似多邊形、位似圖形?？键c(diǎn)1比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。2.比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3.黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB考點(diǎn)2平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。5.相似多邊形（1）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）（2）相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例②相似多邊形周長(zhǎng)的比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比③相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方6.位似圖形如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比。性質(zhì)：每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小。【題型1：比例的性質(zhì)與比例線段】【典例1】（2023?霞山區(qū)校級(jí)一模）已知ab=351．（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）已知2a＝3b（ab≠0），則下列各式正確的是（）A．a(chǎn)b=23 B．a(chǎn)2=b32．（2022?南海區(qū)一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長(zhǎng)為．3．（2022?龍崗區(qū)一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d＝cm．4．（2024?深圳模擬）已知5a＝2b，則a：b＝．【題型2：黃金分割】【典例2】（2023?福田區(qū)校級(jí)二模）黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，例如，楓葉的葉脈蘊(yùn)含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），如圖AC長(zhǎng)度為15cm，則AB的長(zhǎng)度約為9.27cm．（黃金分割率為0.618）1．（2023?禪城區(qū)二模）神奇的自然界處處隱含著數(shù)學(xué)美！生物學(xué)家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是137.5°．我們知道圓盤一周為360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．這體現(xiàn)了（）A．軸對(duì)稱 B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．黃金分割2．（2023?興寧市二模）古希臘以來(lái)，人們以滿足黃金分割比的事物為美．長(zhǎng)發(fā)及腰，佳人傾城一笑亦是一種美．現(xiàn)有一名13歲的少女，從今年算起，未來(lái)x（0≤x≤4）年其身高近似滿足函數(shù)y＝2x+160（單位：厘米）．若某一年該少女頭發(fā)末端到腳底的長(zhǎng)度與其身高之比恰好呈黃金分割比，已知該少女的頭發(fā)長(zhǎng)度為64厘米，則下列說法正確的是（）注：黃金分割比為5-1A．對(duì)于函數(shù)y＝2x+160而言，y為自變量，x為因變量，160為常量 B．該少女此時(shí)身高約為160厘米（四舍五入取整） C．該少女年齡為17歲（四舍五入取整） D．若某一年該少女身高為170厘米，則該少女年齡為18歲3．（2023?深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測(cè)量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm【題型3：平行線分線段成比例】【典例3】（2023?禪城區(qū)校級(jí)三模）如圖，AD∥BE∥CF，點(diǎn)B，E分別在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，則EF長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．72 D．1．（2024?深圳模擬）一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知AC＝50cm，則BC的長(zhǎng)度為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．1002．（2023?榕城區(qū)一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來(lái)記載音樂，如圖，A，B，C為直線與五線譜橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，若AC＝12，則AB的長(zhǎng)為（）A．8 B．9 C．10 D．113．（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點(diǎn)A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．10 D．25【題型4：相似圖形的性質(zhì)】【典例4】（2023?茂南區(qū)二模）任意下列兩個(gè)圖形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形1.（2023?福田區(qū)模擬）下列說法正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)應(yīng)邊成比例的四邊形是相似四邊形 C．二次函數(shù)y＝x2+bx﹣1（b為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) D．若代數(shù)式1x+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x≥﹣2．（2022?中山市三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對(duì)角線AC1為邊，按逆時(shí)針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此規(guī)律作下去，則邊AC2022的長(zhǎng)為（）A．5×(52)2022C．5×22022 【題型5：位似圖形】【典例5】（2023?仁化縣二模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知OAOA'=13，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A'B'CA．4 B．6 C．16 D．181．（2023?南海區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，OA：AD＝2：3，△ABC的周長(zhǎng)為8，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．12 B．18 C．20 D．502．（2023?茂南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為（）A．6 B．9 C．12 D．273．（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'位似，且原點(diǎn)O為位似中心，其位似比為1：2，若點(diǎn)B（﹣4，﹣2），則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）4．（2023?禪城區(qū)三模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知OAOA'=13，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′A．3 B．6 C．9 D．18【題型6：位似圖形作圖】【典例6】（2023?南山區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)B（﹣3，6），C（﹣3，0），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限將△OBC縮小為原來(lái)的三分之一（即新圖形與原圖形的相似比為1：3）．（1）畫出縮小后的圖形；（2）寫出B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），寫出點(diǎn)M經(jīng)位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．1．（2023?龍川縣三模）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來(lái)的2倍得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A2B2C2．2．（2023?潮陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2：1；（2）△A1B1C1的面積為28．3．（2023?榕城區(qū)二模）如圖所示，在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時(shí)，小華利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫出了△ABC的位似圖形△A1B1C1．（1）僅借助不帶刻度的直尺，在圖1中標(biāo)出△ABC與△A1B1C1的位似中心M點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡），并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）若以點(diǎn)O為位似中心，僅借助不帶刻度的直尺，在圖2中畫出△A1B1C1在y軸左側(cè)的位似圖形△A2B2C2．且△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為2：1；（3）在（2）中，若△A2B2C2邊上的一點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)P2在△A1B1C1上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為．一．選擇題（共7小題）1．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知AB＝DE，BC＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．82．下列各組的四條線段成比例的是（）A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm3．如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形A′B′C′D′的面積為（）A．3 B．4 C．6 D．94．已知a-ba+b=2A．15 B．-15 C．5 5．若ab=3A．17 B．-17 C．7 6．若ba=3A．1 B．45 C．75 D7．如圖，已知a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點(diǎn)A、B、C，直線n分別交直線a、b、c于點(diǎn)D、E、F，若ABBC=1A．12 B．13 C．23 二．填空題（共5小題）8．如果xy=53，那么x-y9．如圖，已知AD∥EF∥BC，BC＝2AD，BE＝2AE，AD→=a，那么用a表示EF→10．已知a3=b2≠0，且a+3b＝5，則a的值為11．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2（AC＞BC），則AC＝．（保留根號(hào)）12．△ABC與△DEF是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△ABC與△DEF的相似比是2：1，則點(diǎn)C（6，8）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為．三．解答題（共3小題）13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．（1）以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1；（2）畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，并寫出C2的坐標(biāo)．14．如果a2=b3=c4，且3a﹣2b+c＝815．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1，l2，l3于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的長(zhǎng)．一．選擇題（共7小題）1．下列長(zhǎng)度的四組線段中，成比例的一組是（）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，3cm，3cm，4C．2cm，4cm，9cm，18cm D．4cm，5cm，6cm，7cm2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m，n）是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來(lái)的兩倍，則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n）3．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，則線段a的長(zhǎng)度為（）A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm4．如圖，l1∥l2∥l3，AB＝8，BC＝12，EF＝9，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．125．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①EDEA=EFEB；②DEBC=EFA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm7．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖，AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB，連接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AB＝2A．5-12 B．5-1 C．3-5二．填空題（共5小題）8．如圖，已知l1∥l2∥l3，AC＝6，DF＝8，AB＝2，那么EF＝．9．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)是．10．已知ab=13，那么a+b11．黃金分割能讓人產(chǎn)生視覺上的美感．某本書的寬與長(zhǎng)的比為黃金比（長(zhǎng)＞寬），若該書長(zhǎng)為20cm，則寬為cm．（結(jié)果精確到0.1cm）12．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是該正方形邊上一點(diǎn)，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12，則點(diǎn)A1與點(diǎn)B的最大距離為；連接A1C1，若△PA1C1的周長(zhǎng)為3+22，則△PA1C1的面積為三．解答題（共3小題）13．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段FE，連接AC，AF，AF交CD邊于點(diǎn)H，設(shè)BECE=x，【嘗試初探】（1）如圖1，求證：△ABC∽△AEF；【深入探究】（2）如圖2，連接CF，當(dāng)x＝1時(shí)，探究得出y的值為1，請(qǐng)寫出證明過程；【聯(lián)系拓展】（3）結(jié)合（2）的探究經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，最后得出y與x之間滿足的關(guān)系式為y=2x1+x．請(qǐng)根據(jù)該關(guān)系式，解決下列問題：連接EH，若AB＝12，當(dāng)△EHF為等腰三角形時(shí)，求14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（