專題01 五大類解三角形題型（試卷含解析）-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）

專題01五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）三角形周長定值及最值】三角形涉及中線長問題】三角形周長定值及最值：已知一角與兩邊乘積模型第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和：已知一角與三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三邊的長度最值步驟如下：第一步：先表示出周長l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC將邊化為角第三步：多角化一角+輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值C已知ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2cos2C2(Ⅱ)若c=2,ab=4，求ΔABC的周長.+cos2(A+B)1=0.在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，(a-b+c)(a+b-c)=bc.（1）求A；在‘ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanC=2.(2)若ab=20,且a+b=9,求‘ABC的周長.在‘ABC中，a+b=2c，且3ccosC-2acosB=2bcosA（2）若S‘ABC=，求‘ABC的周長.(1)證明：‘ABC是銳角三角形；(2)若a=2，求‘ABC的周長.2．‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,=.(2)若a+b=6，求‘ABC的周長最小值.(1)求fπ的值；(2)已知a,b,c分別為‘ABC中角A、B、C的對(duì)邊，且滿足a=,f(A)=1，求‘ABC的周長l的最大值.4．‘ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosB-2bcosA=b+c.(1)求cosA；(2)若a=，‘ABC的面積為2，求‘ABC的周長.5．在銳角‘ABC中，a=2，(2b-c)cosA=acosC，(1)求角A；(2)求‘ABC的周長l的范圍.6．記‘ABC的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知bsinAsinB=1一cos2B.(2)若A=，求‘ABC的周長l的取值范圍.(2)若a<b且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)‘ABC周長取最小值時(shí)，求‘ABC的面積.328．在‘ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A32(1)求角A的大?。?2)若a=1，求‘ABC的周長l的取值范圍.三角形涉及長度最值問題解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值在‘ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.(1)求B；sinA+sinBsinC(2)若‘ABCsinA+sinBsinC在‘ABC中，已知=，且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1)試確定‘ABC的形狀；b(2)求a+c的值.b已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.在(1)求A的值；(2)若b=1，求a+c的取值范圍.在銳角‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為ccosB+bcosC=2acosA.(1)求角A的大小；(2)當(dāng)a=時(shí)，求的取值范圍.已知‘ABC為銳角三角形，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1)求角A的大小；(2)若a=，求2b-c的取值范圍.1．在銳角三角形‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(2)若b=2，求a2+c2的取值范圍. (acosC+ccosA)=2bsinB.2．已知‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足a=2,bsinB+csinC-2sinA=-bsinC.(1)求角A的大??；(2)已知AD是‘ABC的中線，求AD的最小值.3．在銳角‘ABC中，已知b=2,2a-c=2bcosC.(1)求B；(2)求3a+2c的取值范圍.且與垂直，c=2.(1)求角A；(2)求a+b的取值范圍.5．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知asinB-bcosA=b.(1)求A；(2)若a=2，求b-2c的范圍.6．已知在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acos(B-C)+acosA-2csinBcosA=0.(1)求A；(2)若ΔABC外接圓的直徑為23，求2c-b的取值范圍.7．在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acosB-bcosA-a+c=0.(1)求B的值；(2)若M為AC的中點(diǎn)，且a+c=4，求BM的最小值.8．在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中sinB=2sinA，c=2a+1(2)若ΔABC為鈍角三角形，求a的取值范圍.三角形涉及中線長問題①中線長定理兩次余弦定理推導(dǎo)可得）+（一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值）如：在ΔABC與ΔABD同用cosB求AD②中線長常用方法②中線長常用方法AB2+AC22=AD2③已知AB+AC，求AD的范圍∵AB+AC為定值，故滿足橢圓的第一定義∴半短軸<AD＜半長軸‘ABC中，AB=2，AC=，cosB=，則BC邊上的中線AD長.在‘ABC中，AB=2，AC=4．BC邊上的中線AD=2，則SΔABC=. 1,,4AB=4,AC=2，則BC邊上中線AD的長為.(1)求角A的大??；(2)已知AD是ΔABC的中線，求AD的最小值.中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為ΔABC的面積）.問題：在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c(1)求角B的大??；(2)AC邊上的中線BD=，求ΔABC的面積的最大值.csinB；這三個(gè)條件(2)求AC邊上的中線BD的取值范圍.(2)若a=1，求BC邊上的中線AD的長.5．已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分(1)求A；6．在銳角‘ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答.(1)求角A；(2)已知‘ABC的面積為，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值.7．記‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S，已知b2=+abcosC.(1)求A的值；(2)若BC邊上的中線AD=1，求‘ABC周長的最小值.8．已知‘ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c，且b=1，D為AB邊上一點(diǎn)，且經(jīng)ADC=(1)若CD為中線，且(1)若CD為中線，且CD=(2)若CD為經(jīng)ACB的平分線，且‘ABC為銳角三角形，求a的取值范圍. π .3三角形涉及角平分線問題張角定理如圖，在ΔABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD,設(shè)AD=l，經(jīng)BAD=a,經(jīng)CAD=βclsina+blsinβ在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，點(diǎn)D在BC邊上，sin經(jīng)BAC=，AD」AC，則4b+a的最小值為.則4a+c的最小值為.(2)若經(jīng)ABC的平分線交AC于D，且a=12，求線段BD的長度的取值范圍.2．如圖,在‘ABC中,經(jīng)CAB的平分線交BC邊于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB邊上,AE=7,AD=3,cos經(jīng)CAE=(1)求經(jīng)ADE的大小;(2)若經(jīng)ACB=,求‘CDE的面積.3．已知‘ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，=si.(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=2，求‘ABC面積的最小值.4．在‘ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC.(1)求角A的大??；(2)若a=3，經(jīng)BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求線段AD長度的最大值.5．已知‘ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且=,=.AD(1)若經(jīng)ACB的平分線與邊AB交于點(diǎn)D，求的值；ADc(2)若a=2，點(diǎn)M,N分別在邊AC,BC上，‘CMN的周長為5，求MN的最小值.6．如圖，在平面四邊形ABCD中，經(jīng)A=135。，AB=2，經(jīng)ABD的平分線交AD于點(diǎn)E，且BE=2.(1)求經(jīng)ABE及BD；(2)若經(jīng)BCD=60。，求ΔBCD周長的最大值.7．‘ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos2(B+C)=1，經(jīng)A的平分線交BC邊于D，過D作DE」AC，垂足為點(diǎn)E.(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的長.8．已知條件：①2a=b+2ccosB；②2asinAcosB+bsin2A=2acosC；③sinC=3-2cos2C.2從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：在‘ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足：.(2)若c=2，經(jīng)ABC與經(jīng)BAC的平分線交于點(diǎn)I，求ΔABI周長的最大值.：面積最值問題技巧：正規(guī)方法：面積公式+基本不等式2222-b2=2accosB22-b2=2accosB22-a2=2bccosA牽b22秒殺方法：則：SΔABCmax已知B=θ,AC=x2max.sinB8xsinθm,n分別是BA、BC的系數(shù)2Rxsinθm,n分別是BA、BC的系數(shù)2R=三角形面積公式bcsinA①SΔABC=absinC,SΔABC=acsinB,SΔABCbcsinA推導(dǎo)：將ΔABC分為三個(gè)分別以ΔABC的邊長為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式abc4R③SΔABC=2R2sinAsinBsinabc4R（R為ΔABC外接圓的半徑）推導(dǎo)：將a=2RsinA代入SΔABC=a2可得SΔABC=2R2sinAsinBsinC將a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC代入SΔABC=④SΔABC=a2,SΔABC=b2,SΔABC=c2推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論cosC=:SΔABC=absinC=ab=ab牽(2ab)2-a2b=2，則ΔABC的面積為() 的內(nèi)切圓的半徑為()C外接圓的面積為()在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知B=600,AC=3，則ΔABC的面積最大值為ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為A,B,C，且asinA-csinC=(a-b)sinB，c=2，則ΔABC面積的最大值為()1．‘ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，其面積為S，且4S=b2+c2-a2.(1)求A；(2)已知a=2，求S的取值范圍. 2π2．如圖，在四邊形ABCD中， 2πB=，且‘ABC的外接圓半徑為4.(1)若BC=4，AD=2，求‘ACD的面積；(2)若D=，求BC-AD的最大值.3．已知‘ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，=s.(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=2，求‘ABC面積的取值范圍.4．在‘ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cosC=(1)求角A的大?。?2)若‘ABC的周長為6，求‘ABC面積S的最大值.2b-c.2a5．已知‘ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，bsin=asinB.(1)求經(jīng)A；(2)若BC邊上一點(diǎn)D，滿足BD=2CD且AD=，求‘ABC的面積最大值.6．在‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足(a+b+c)(a+b-c)=ab.(2)若點(diǎn)D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°,求△ABC面積的最小值.7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b(1)求角B的大?。?2)若b2+3c2=12-5ac，求△ABC面積的最大值.-b2C8．已知‘ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ccosA=b+.(2)若AC=BC=2，點(diǎn)M、N在邊AB上，經(jīng)MCN=，求‘CMN面積的最小值.2專題01五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）三角形周長定值及最值】三角形涉及中線長問題】三角形周長定值及最值：已知一角與兩邊乘積模型第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和：已知一角與三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三邊的長度最值步驟如下：第一步：先表示出周長l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC將邊化為角第三步：多角化一角+輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值C已知ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2cos2C2(Ⅱ)若c=2,ab=4，求ΔABC的周長.CC+cos2(A+B)1=0.5(Ⅱ)第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和2（1）求A；解1）求角（2）第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三邊的長度π.3,sinAsinBsinC在‘ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanC=2.銳角，所以cosC=1.⑵第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和c222-2abcosC=41-2x4x5x（2）若SΔABC=，求ΔABC的周長.：3ccosC-2acosB=2bcosA，:由正弦定理得，2.3（2）第一步：求兩邊乘積 ，：，：:SΔABC=absinC=ab=，:ab=9第二步：利用余弦定理求出兩邊之和在ΔABC中，由余弦定理得，c2=a2+b2-2ab.cosC=a2+b2-ab=(a+b)2-30，【答案】(1)證明見解析(2)3+2）：:由正弦定理得(a+c)2=b2+3ac，整理得a2+c2-b2=ac.:由余弦定理得cosB==.：Be(0,π)，:B=.：cosA=e,，Ae(0,π)，:Ae,，:Ce,,:A,B,C均小于，:ΔABC是銳角三角形.（2）QcosA=，:sinA=，【答案】(1)C=(2)9整理得a2+b2-c2=ab，（2）由（1）可知：a2+b2-c2=23則c2=36-3ab所以ΔABC的周長最小值9.(1)求fπ的值；【答案】(1)f=-(2)3:2A+=:A=：a=,:由余弦定理有()2=b2+c2-2bccos，2,:b+c<2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”(1)求cosA；(2)若a=，ΔABC的面積為2，求ΔABC的周長.【答案】(1)-(2)5+所以由正弦定理可得sinAcosB-2sinBcosA=sinB+sinC.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以-3sinBcosA=sinB.2(1)求角A；(2)求ΔABC的周長l的范圍.【詳解】（1）∵(2b-c)cosA=acosC，:2bcosA=acosC+ccosA，所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB， ）：所以B+e(,)，所以sin(B+所以le(6+2,6].6．記ΔABC的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b(2)若A=，求ΔABC的周長l的取值范圍.【答案】(1)a=2(2)(4,6]【詳解】（1）因?yàn)閎sinAsinB=1-cos2B，所以bsinAsinB=2sin2B，根據(jù)正弦定理可得ba=2b，所以a=2.所以由余弦定理可得b2+c2-bc=4，即(b+c)2-3bc=4.所以b+c<4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取到最值 解法二：由正弦定理知，sinB 因?yàn)锳=，所以Be(0,)，所以B+e(,)，故‘ABC的周長l的取值范圍為(4,6].(2)若a<b且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)‘ABC周長取最小值時(shí)，求‘ABC的面積.【答案】(1)2(2)622解得：c=a(舍)或者c=a，故b=a，因?yàn)閍,b,cEN*，所以當(dāng)a=4時(shí)，周長最小，此時(shí)a=4，b=5，c=6，cosA所以sinA==，所以‘ABC的面積為bcsinA=x5x6x=.328．在‘ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A32(1)求角A的大??；(2)若a=1，求‘ABC的周長l的取值范圍.=2cosA.【答案】(1)(2)(2,3]32【詳解】（1）解：因?yàn)閏os2A32=2cosA，可得2cos2A+=2cosA， 12 π 12 π.3又因?yàn)锳E(0,π)，所以A=所以2<1+2sin(B+π)<3，故‘ABC的周長的取值范圍為(2,3].三角形涉及長度最值問題解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值在‘ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.(1)求B；sinC(2)若‘ABCsinC破解：（1）第一步：因?yàn)?a+bcosA一c=btanBsinA，整理得（2）第一步：因?yàn)椤瓵BC為銳角三角形，B=，所以0<C<，且0<一所以Ce,，sinCsinC ，2 sinCsinC 2+=.221cosC1+，2 (1)試確定‘ABC的形狀；bb破解1）第一步：在‘ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，所以sinAsinB=sin2C，由正弦定理，得.=2，所以ab=c2②,把②代入①得，b2一a2=c2，所以‘ABC是直角三角形；第二步：又ab=c2，所以2第二步：又ab=c2，所以2 =55-12.(1)求A的值；(2)若b=1，求a+c的取值范圍.：：:2A+=.:A=.sinAsinBsinCsinAsinBsinC：：22sinBsinB2sinB24sincos22tan2第三步：：ΔABC是銳角三角形，:0<B<，且C=-B<.:B=,，=,,ππ. (+1)(+1)|2l3在銳角‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為ccosB+bcosC=2acosA.(1)求角A的大??；(2)當(dāng)a=時(shí)，求的取值范圍.破解1）第一步：由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA，所以sin(C+B)=2sinAcosA，即sinA=2sinAcosA，第二步：因?yàn)閟inA豐0，所以cosA=，又Ae(0,π)，所以A=π第二步：因?yàn)椤瓵BC為銳角三角形，所以Be(,)，則B-e(-,)，已知‘ABC為銳角三角形，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1)求角A的大??；(2)若a=，求2b-c的取值范圍.破解1）第一步：在‘ABC中，由余弦定理得，b2+c2-a2=2bccosA，-a2)tanA=2bccosAtanA=2bcsinA=bc，所以sinA= ,2第二步：又因?yàn)椤瓵BC為銳角三角形，所以0<A<，所以A= π .3. 2π第二步：因?yàn)椤瓵BC為銳角三角形，所以〈，解得π 2π|0<C=2π-B<π6所以2b-c的取值范圍為(0,3).1．在銳角三角形‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(2)若b=2，求a2+c2的取值范圍.【答案】(1)B=由正弦定理邊化角可得(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBs所以sinB=，又B為銳角，則B=； 2=16-8cos2A-8cos2C=16-8cos2A-8cos2(|(π-A-|2ππ|2ππ 2所以a2+c2的取值范圍為(20,24].(1)求角A的大小；(2)已知AD是ΔABC的中線，求AD的最小值. 【答案】(1)(2)（2）因AD是ΔABC的中線，故A=(A+A),兩邊平方可得：A2=(A2+A2+2A.A)，又因b2+c2=4bc(1)求B；(2)求3a+2c的取值范圍.a（2）由正弦定理sinA 3，ππππ:ΔABC是銳角三角形，:<A<，:ππππ且與垂直，c=2.(1)求角A；(2)求a+b的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榕c垂直，即2cosAsinA-cosA+cos2A=cosAsinA-cos2A+cos2A=0，即sin2A-(1+cos2A)+cos2A=0，即sin2A+cos2A=， 2sinC2sincossintan ，根據(jù)三角形‘ABC是銳角三角形得〈，根據(jù)三角形‘ABC是銳角三角形得〈，tantantantan5．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知asinB-bcosA=b.(1)求A；(2)若a=2，求b-2c的范圍.【答案】(1)A=（2）因?yàn)?==，則b-2c=(sinB-2sinC)，2π2π3 26．已知在‘ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acos(B-C)+acosA-2csinBcosA=0.(1)求A；(2)若‘ABC外接圓的直徑為2，求2c-b的取值范圍.【答案】(1)A=(2)(-3,6)asinBsinC=sinBcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinC=sinCsinBcosA，因?yàn)閟inC>0,sinB>0，所以sinA=cosA，所以tanA=，因?yàn)锳=(0,π)，所以A=.故2c-b=4sinC-2sinB=2(2sinC-sinB)，2π(2π)2π(2π)所以2c-b=6sin(|（C-=(-3,6)，所以2c-b的取值范圍為(-3,6).7．在‘ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acosB-bcosA-a+c=0.(1)求B的值；(2)若M為AC的中點(diǎn)，且a+c=4，求BM的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理及acosB-bcosA-a+c=0，得sinAcosB-sinBcosA-sinA+sinC=0，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以2sinAcosB-sinA=0， π .3----1---1---（2）由M為AC的中點(diǎn)，得BM=2BA+2BC，而a+c=4，22222+accosB=2-2=a所以BM的最小值為.(2)若ΔABC為鈍角三角形，求a的取值范圍.【詳解】（1）由sinB=2sinA及正弦定理，則b=2a. 三角形涉及中線長問題①中線長定理兩次余弦定理推導(dǎo)可得）+（一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值）如：在ΔABC與ΔABD同用cosB求AD②中線長常用方法②中線長常用方法AB2+AC22=AD2③已知AB+AC，求AD的范圍∵AB+AC為定值，故滿足橢圓的第一定義∴半短軸<AD＜半長軸‘ABC中，AB=2，AC=，cosB=，則BC邊上的中線AD長.解：法一：兩次余弦定理由余弦定理得：cosB=c2b2=4+4x2-64x2-27 8x8x8由余弦定理得：AD2227法二：一次余弦定理+一次中線長定理由余弦定理得：cosB=c2b2=4+4x264x227 8x8x8在ΔABC中，AB=2，AC=4．BC邊上的中線AD=2，則SΔABC=解：中線常用方法設(shè)BD=DC=x，2ΔABC中222ΔABC中2222 ,4 1,,4解：中線常用方法AB=4,AC=2，則BC邊上中線AD的長為.3AD2+DB2AB2x2122AD.DB2x2AD.DB2x2x(1)求角A的大??；(2)已知AD是ΔABC的中線，求AD的最小值.【答案】(1)(2)b2 b22a2bc ，因（2）因AD是ΔABC的中線，故=(+),兩邊平方可得：2=(2+2+2.)，即||2=(c2, 又因b2+c2=4bccsinB；這三個(gè)條件csinB；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為ΔABC的面積）.問題：在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c(1)求角B的大小；(2)AC邊上的中線BD=，求ΔABC的面積的最大值.【答案】(1)(2)2.22b2若選②：由2S=..，可得acsinB=ccosB，所以tanB=，若選③：因?yàn)閎cosC=a一csinB，正弦定理得sinBcosC=sinA一sinCsinB， 33綜上所述：選擇①②③,都有B= π .32（2）解：由2BD=BA+BC，可得4BD=c2+a2+2則ΔABC的面積的最大值為.(2)求AC邊上的中線BD的取值范圍.又Be(0,π)，所以sinB=，所以S△ABC=acsinB=；（2）因?yàn)?acosB=c，由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+所以sinAcosB=cosAsinB，所以tanA=tanB，又A,Be(0,π)，所以A=B，所以a=b，)，則2=a22(3)(3)(2)若a=1，求BC邊上的中線AD的長.2【答案】(1)B=(2)AD=12cosBsinBtanCtanAcosBsinC+cosCsinBsinC2cosAsinAsinAsinBsinC由正弦定理可得a2=2bccosA，2又∵a2=b2+c22bccsinA22bc（2）∵sin2A=2cosAsinBsinC，22，222，2 25．已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分(1)求A；【答案】(1)A=(2)AD=由正弦定理得2sinAcosB=2sinC+sinB，即2sinAcosB=2sin(A+B)+sinB，即2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB+sinB，所以2cosAsinB+sinB=0，2bc，即16=20bc，所以bc=4，因?yàn)锳D為ΔABC中BC邊的中線，26．在銳角ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答.(1)求角A；(2)已知ΔABC的面積為，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值.(2)cosCsinCsinBcosC+cosBsinCsinBcosB=sin2B，33即sin2B因?yàn)锳、=sin2B2sinAsin2B3即tanBtanC=(1tanBtanC) π .3.（2）解：因?yàn)镾ΔABC=因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，=A+A)，所以，2A=A+A，因此，AD長的最小值為.7．記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S，已知b2=+abcosC.(1)求A的值；(2)若BC邊上的中線AD=1，求ΔABC周長的最小值.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）∵ΔABC面積為SS=得b2=absinC+abcosC，b=a由正弦定理得：sinB=sinAsinC+sinAcosC，sinAcosC=sinAsinC+sinAcosC， π. π.3（2BC邊上中線AD=12A=A+=4，b222且b2+c24343π3π3a222_bc=4_2bc，:a=4_2bc，f_21 +=24_2x24+x 4_2x_24+x24_2x4+x,設(shè)g(x)=4_2x_24+x，_21 _<_21 _<:g(x)在(|（0,單調(diào)遞減，則f(x)最小值為f=2，故ΔABC周長最小值為2. π.38．已知ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c，且b=1，D為AB邊上一點(diǎn)，且經(jīng)ADC= π.3(1)若CD為中線，且(1)若CD為中線，且CD=(2)若CD為經(jīng)ACB的平分線，且ΔABC為銳角三角形，求a的取值范圍.【詳解】（1）如下圖所示，在△ADC中，設(shè)AD=x，由余弦定理得AD2+CD2_2AD.CDcos經(jīng)ADC=AC2在‘BDC中，由余弦定理得BC2=CD2+BD2-2CD.BDcos經(jīng)BDC，則a2=在‘ACD和ΔBCD中，由正弦定理得〈，在‘ACD和ΔBCD中，由正弦定理得〈，因?yàn)椤瓵BC為銳角三角形，所以A,B,C均為銳角，三角形涉及角平分線問題張角定理如圖，在ΔABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD,設(shè)AD=l，經(jīng)BAD=a,經(jīng)CAD=β(22)2(22)2clsina+blsinβ在‘ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，解：如圖所示0,0,根據(jù)張角定理3在‘ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，點(diǎn)D在BC邊上，sin經(jīng)BAC=，AD」AC，解：13130故：CD=AD2+AC2=33則4b+a的最小值為.解：法一：等面積法+基本不等式（張角定理的推導(dǎo)方法）3232方法二：張角定理+基本不等式CDa==+ ,3232則4a+c的最小值為.解：法一：等面積法+基本不等式（張角定理的推導(dǎo)方法）如圖：當(dāng)且僅當(dāng)c=2a時(shí)取等號(hào).故答案為18方法二：張角定理+基本不等式 BD++a牽牽c =+牽+=當(dāng)且僅當(dāng)c=2a時(shí)取等號(hào).故答案為18(2)若經(jīng)ABC的平分線交AC于D，且a=12，求線段BD的長度的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(4,6)故b=2ccosC，由正弦定理得sinB=2sinCcosC=sin2C.所以在‘ABC中，B=2C或B+2C=π.（2）在ΔBCD中，由正弦定理可得sinDC=s，即sinDC=s因?yàn)椤瓵BC是銳角三角形，且B=2C，|2π2所以線段BD長度的取值范圍是(4,6).2．如圖,在‘ABC中,經(jīng)CAB的平分線交BC邊于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB邊上,AE=7,AD=3,cos經(jīng)CAE=(1)求經(jīng)ADE的大小;(2)若經(jīng)ACB=,求‘CDE的面積.【答案】(1)(2)所以DE=,因?yàn)榻?jīng)ADEE(0,π),所以經(jīng)ADE=. 在△ACE中,由正弦定理得sin經(jīng)CAEsin經(jīng)ACE213,3．已知‘ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，=si.(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=2，求‘ABC面積的最小值.【答案】(1)A=(2)4sinAsinCsin又AE(0,π)，所以A=.（2）因?yàn)锳D是角A的平分線，則經(jīng)BAD=經(jīng)CAD=，又S‘ABC=S‘ABD+S‘ACD=AB.AD.sin經(jīng)BAD+AC.AD.sin經(jīng)CAD=(b+c)， 又S‘ABC=AB.AC.sinA=bc，所以(b+c)=bc，得到b+c=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，所以S‘ABC=bcsinA=bc之4，即‘ABC面積的最小值是4.4．在‘ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC.(1)求角A的大??；(2)若a=3，經(jīng)BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求線段AD長度的最大值.【答案】(1)A=(2)【詳解】（1）解：因?yàn)閟in2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC，22因?yàn)镾‘ABC=S‘ABD+S‘ACD， 所以，線段AD長度的最大值為AD(1)若經(jīng)ACB的平分線與邊AB交于點(diǎn)D，求的值；ADc(2)若a=2，點(diǎn)M,N分別在邊AC,BC上，‘CMN的周長為5，求MN的最小值.所以經(jīng)ACBe(0,π),:經(jīng)ACB=.（2）因?yàn)閍=2，由（1）得b= a=，由余弦定理得MN=++y2-2xycos32πx2,所以x+y<，當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，22(2)22(2)22(2)22(2)(2)5(2)5所以MN的最小值為10-15.(1)求經(jīng)ABE及BD；(2)若經(jīng)BCD=60。，求ΔBCD周長的最大值.（2）設(shè)BC=m，CD=n．在ΔBCD中，22_3mn，2，即時(shí)，?=?成立.∴ΔBCD周長的最大值為6+6.線交BC邊于D，過D作DE」AC，垂足為點(diǎn)E.(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的長.【答案】(1)A=(2):sin2B+sin2C+sinBsinC=222A,b2b22cosA=2π.3由余弦定理可得：：Ae(0,π),:A=2，即b2+c2_a2=_bc，b22_a21（2S△ABC=S△ABD+:bcsin=c.ADsin+b.ADsin,在Rt△AED中，AD=,人DAE=,:AE=ADcos=.8．已知條件：①2a=b+2ccosB；②2asinAcosBC.2從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足：.(2)若c=2，經(jīng)ABC與經(jīng)BAC的平分線交于點(diǎn)I，求ΔABI周長的最大值. 3π【答案】(1)C 3π2又Ce(0,π)，所以C=；于是asinAcosB+bsinAcosA=acosC，又Ce(0,π)，所以C2C2π2π33而經(jīng)BAC與經(jīng)ABC的平分線交于點(diǎn)I，即有經(jīng)ABI+經(jīng)BAI=，于是經(jīng)AIB= π π,2π,3BIAIAB2 在ΔABI中，由正弦定理得sin 所以BI=4sin-θ,AI=4sinθ,所以ΔABI的周長為2+4sin-θ+4sinθ則當(dāng)θ+=，即θ=時(shí)，ΔABI的周長取得最大值4+2，所以ΔABI周長的最大值為4+2.：面積最值問題技巧：正規(guī)方法：面積公式+基本不等式2222-b2=2accosB22-b2=2accosB22-a2=2bccosA牽b22秒殺方法：在ΔABC中，已知B=θ,AC=xxsinθ其中(AB+BC)max=2R.m,n分別是BA、BC的系數(shù)2xsinθ三角形面積公式①SΔABC=absinC,SΔABC=acsinB,SΔABC=bcsinA+b+c)=rl其中r,l分別為ΔABC內(nèi)切圓半徑及ΔABC的周長推導(dǎo)：將ΔABC分為三個(gè)分別以ΔABC的邊長為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式③SΔABC=2R2sinAsinBsinC=（R為ΔABC外接圓的半徑）推導(dǎo)：將a=2RsinA代入SΔABC=a2可得SΔABC=2R2sinAsinBsinC將a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC代入SΔABC=④SΔABC=a2,SΔABC=b2,SΔABC=c2推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論cosC=:SΔABC=absinC=ab=ab牽(2ab)2-a2b=2，則ΔABC的面積為()解：第一步：觀察角化邊在ΔABC中，(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC，第二步：面積公式 的內(nèi)切圓的半徑為() 解：第一步：觀察邊化角 整理得sinBsinC+cosBsinC=sinA.∴sinBsinC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC，第二步：利用三角形面積公式（內(nèi)切圓公式）ΔABCC外接圓的面積為()解：第一步：利用面積公式第二步：求a-2第三步：求圓的面積在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c0,AC=3，則ΔABC的面積最大值為.其中(AB+BC)max=2R.m,n分別是BA、BC的系數(shù)629max824