2025版高考數(shù)學一輪總復習第3章導數(shù)及其應用第1講導數(shù)的概念及運算課件

導數(shù)及其應用考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標Ⅰ，19；2023新課標Ⅱ，6利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性討論函數(shù)的單調性；由單調性求參數(shù)的取值范圍邏輯思維運算求解綜合性邏輯推理數(shù)學運算2023新課標Ⅱ，11,22利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值由函數(shù)的極值求參數(shù)范圍邏輯思維運算求解綜合性邏輯推理數(shù)學運算考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅰ，7利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性比較大小邏輯思維運算求解綜合性數(shù)學運算邏輯推理2022新高考Ⅰ，22；2021新高考Ⅱ，22利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題求值；研究不等式邏輯思維運算求解創(chuàng)新性數(shù)學運算邏輯推理考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，22利用導數(shù)證明不等式由不等式恒成立求取值范圍邏輯思維運算求解綜合性數(shù)學運算邏輯推理2022新高考Ⅰ，10利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值研究極值點、零點個數(shù)運算求解邏輯思維綜合性數(shù)學運算邏輯推理2022新高考Ⅰ，15導數(shù)的概念和運算由切線條數(shù)求取值范圍運算求解綜合性數(shù)學運算考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2021新高考Ⅰ，7；2022新高考Ⅱ，14導數(shù)的概念和運算求切線方程運算求解創(chuàng)新性數(shù)學運算2021新高考Ⅰ，22利用導數(shù)證明不等式求解函數(shù)的單調性、極值點的偏移問題邏輯思維綜合性數(shù)學運算直觀想象邏輯推理【命題規(guī)律與備考策略】本章內容為高考必考內容，多集中于考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值、不等式的證明等問題，常結合函數(shù)的零點、最值等問題綜合考查，諸如含參函數(shù)單調性問題、恒成立問題等．復習時，重點把握導數(shù)的應用，加強導數(shù)與函數(shù)的單調性、導數(shù)與函數(shù)的極值、導數(shù)與函數(shù)的最值的認知，理解化歸與轉化思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應用．第一講導數(shù)的概念及運算知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一導數(shù)的概念與導數(shù)的運算1．函數(shù)的平均變化率2．導數(shù)的概念(2)當把上式中的x0看作變量x時，f′(x)即為f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，即y′＝f′(x)＝______________________.瞬時變化率3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)C′＝______(C為常數(shù))；(2)(xn)′＝______________(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝______________；(4)(cosx)′＝________________；(5)(ax)′＝________________；0nxn－1cosx－sinxaxlna(6)(ex)′＝________；(7)(logax)′＝________；(8)(lnx)′＝______.ex4．導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝___________________________.特別地：[C·f(x)]′＝______________(C為常數(shù))．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)5．復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為______________________.即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．知識點二導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0)，切線方程為________________________.yx′＝y(tǒng)u′·ux′y－y0＝f′(x0)(x－x0)歸

納

拓

展1．奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．2．熟記以下結論：(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在曲線y＝f(x)上某點處的切線與曲線y＝f(x)過某點的切線意義相同．(

)(2)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．(

)(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(

)×√×(5)(2x)′＝x·2x－1．(

)(6)[ln(－x)]′＝(lnx)′.(

)×××[解析]

(1)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線，點P在曲線上，而過點P(x0，y0)的切線，點P可以在曲線外．(2)如圖所示，切線可以與曲線有多個公共點．(3)如圖所示，直線與曲線只有一個公共點，但不是切線．題組二走進教材2．(多選題)(選修2P75T1改編)下列函數(shù)的求導正確的是(

)D4．(選修2P82T10改編)某物體的位移s(米)與時間t(秒)的關系為s＝5－2t＋3t2，則該物體在2秒末的瞬時速度是(

)A．12米/秒

B．10米/秒C．8米/秒

D．6米/秒[解析]

利用位移的導數(shù)就是瞬時速度，求出s′，令t＝2求解即可．由題意物體的位移s(米)與時間t(秒)的關系為s＝5－2t＋3t2，則s′＝－2＋6t，當t＝2時，s′＝－2＋6×2＝10，所以該物體在2秒末的瞬時速度是10米/秒．故選B．B題組三走向高考C6．(2019·江蘇，5分)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是______________.(e,1)考點突破·互動探究導數(shù)的基本運算——自主練透1．(多選題)下列求導數(shù)運算正確的是(

)A．(2024x)′＝x2024x－1D．(x23x)′＝2x3x＋x23xln3BD2．求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝x2sinx；[解析]

(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.3．若函數(shù)f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，則f′(3)＝_______.[分析]

先求出f′(1)得出導函數(shù)的解析式，再把x＝3代入導函數(shù)解析式得f′(3)．名師點撥：導數(shù)計算的原則和方法1．原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式求導的函數(shù)的和、差、積、商再求導．2．方法：(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導；(6)復合函數(shù)：由外向內，層層求導.導數(shù)的幾何意義——多維探究角度1求切線方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為___________________.[解析]

由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0處的切線的斜率為f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切點坐標為(0,1)，所以所求的切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.2x－y＋1＝02．(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為________________________.名師點撥：求曲線的切線方程的兩種類型1．在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P(x0，y0)處的切線方程和求曲線過點P(x0，y0)的切線方程，在點P處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點P不一定是切點．2．在點P處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求過點P的曲線的切線方程的步驟為：第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．角度2求切點坐標A名師點撥：求切點坐標的方法已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．角度3導數(shù)的幾何意義如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)－3f′(3)＝(

)A．1 B．0C．2 D．4A角度4求參數(shù)的值(或范圍)(2022·全國新高考卷Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)【變式訓練】1．(角度1)(2019·全國卷Ⅱ，5分)曲線y＝2sinx＋cosx在點(π，－1)處的切線方程為(

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]

依題意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故選C．C2.(角度2)曲線y＝f(x)在點P(－1，f(－1))處的切線l如圖所示，則f′(－1)＋f(－1)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－1C3．(角度3)(2022·貴陽模擬)設函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點P(x0，f(x0))的坐標為(

)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)A4．(角度4)(2023·開封市第一次模擬考試)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]

函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．B名師講壇·素養(yǎng)提升公切線問題的模型求解曲線的公切線問題是高考的熱點題型之一．其中單一曲線的切線問題相對簡單，但對于兩條曲線的公切線問題的求解，就比單一曲線的切線問題要復雜．方法更靈活，具體的求解方法如下：方法一：利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；1．求兩條曲線的公切線(2023·黑龍江齊齊哈爾期末聯(lián)考)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝(

)C．1－ln2 D．1－2ln2C[解析]

設y＝kx＋b與y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切點分別為(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．[引申]本例中兩曲線公切線方程為____________________.y＝2x＋1－ln2【變式訓練】已知f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為________________________.y＝ex或y＝x＋12．由公切線求參數(shù)(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線也是曲線y＝g(x)的切線．(1)若