2025版高考數學一輪總復習第5章平面向量與復數第5講復數課件

第五講復數知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一復數的有關概念2．復數相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d.

a－bi|z||a＋bi|知識點二復數的幾何意義1．復平面的概念：建立平面直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面，x軸叫做________，y軸叫做________.2．實軸上的點都表示________；除了原點外，虛軸上的點都表示__________.實軸虛軸實數純虛數知識點三復數的運算1．復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________________；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復數的運算律：復數加法滿足交換律、結合律(1)交換律：z1＋z2＝__________；(2)結合律：(z1＋z2)＋z3＝__________________.z2＋z1z1＋(z2＋z3)歸

納

拓

展1．兩個虛數不能比較大小，但虛數的?？梢员容^大?。p

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測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2－x＋1＝0沒有解．()(2)原點是實軸與虛軸的交點．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．()(4)復數z＝3－2i中，虛部為－2i.()(5)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(6)若a∈C，則|a|2＝a2.()×√××××題組二走進教材2．(必修2P73T2改編)已知i為虛數單位，復數z滿足iz－5為純虛數，則z的虛部為()A．5 B．5iC．－5i D．－5DCA．E B．F

C．G D．HD題組三走向高考A．－i B．iC．0 D．1A6．(2023·新課標Ⅱ，1,5分)在復平面內，(1＋3i)·(3－i)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[解析]

(1＋3i)(3－i)＝6＋8i，對應的點(6,8)位于第一象限，故選A.A7．(2022·北京卷)若復數z滿足i·z＝3－4i，則|z|＝()A．1 B．5C．7 D．25B考點突破·互動探究復數的基本概念——自主練透1.(2020·浙江)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數單位)是實數，則a＝()A．1

B．－1

C．2

D．－2[解析]

因為a－1＋(a－2)i為實數，a∈R，所以a－2＝0.解得a＝2，故選C.C2．(2020·江蘇)已知i是虛數單位，則復數z＝(1＋i)(2－i)的實部是______.[解析]

z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的實部為3.3A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限A4．(2023·全國乙文，1,5分)|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C5．(2023·全國甲理，2,5分)設a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C復數的運算——多維探究角度1復數的乘法運算1.(2020·課標Ⅱ)(1－i)4＝()A．－4

B．4

C．－4i

D．4i[解析]

(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故選A.ADA．－2 B．－1C．1 D．2D角度2復數的除法運算A．－1

B．1

C．1－i

D．1＋iC－2角度3復數的綜合運算1.(2021·全國甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()B解法二：設z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1－i)2z＝3＋2i得(1－i)2(a＋bi)＝3＋2i，∴－2i(a＋bi)＝2b－2ai＝3＋2i，A．4 B．5C．6 D．8B3．已知z是復數，z＋2i，z(1＋i)均為實數(i為虛數單位)，且復數z2＋t在復平面上對應的點在第一，三象限角平分線上，則實數t的值是_______.[解析]

設z＝x＋yi(x，y∈R)∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意知y＝－2，z(1＋i)＝(x－2i)(1＋i)＝(x＋2)＋(x－2)i，由題意得x＝2，所以z＝2－2i，所以z2＋t＝(2－2i)2＋t＝t－8i，因為復數z2＋t在復平面上對應的點在第一，三象限角平分線上，所以t＝－8.－8名師點撥：復數運算的技巧1．復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，注意要把i的冪寫成最簡形式．2．記住以下結論，可提高運算速度．簡單的復數方程的解法1．利用復數的四則運算求解即可．2．待定系數法：設z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用復數相等的條件、列出關于a、b的方程組(復數問題實數化)求解．【變式訓練】1．(角度1)(2022·全國新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i[解析]

(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D.DA．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋iBA．i B．1＋iC．3－i D．3＋iD復數的幾何意義——師生共研1.0,3＋2i，－2＋4i在復平面內對應的點為平行四邊形OABC的頂點O，A，C.試求：(3)B點對應的復數．即B點對應的復數為1＋6i.名師點撥：復數幾何意義及應用2．|z|表示復平面內復數z對應的點到原點的距離；|z1－z2|表示復平面內復數z1、z2對應的兩點間的距離．3．由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．【變式訓練】1．(2019·全國卷Ⅰ)設復數z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1[解析]

解法一：∵z在復平面內對應的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.解法二：∵|z－i|＝1表示復數z在復平面內對應的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.CA.3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4iB名師講壇·素養(yǎng)提升與復數模有關問題的解法1.若復數z滿足|z|＝1，則|z－3＋4i|的最大值為______.[解析]