2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第6講空間的角與距離第2課時綜合問題課件

第六講空間的角與距離第二課時綜合問題考點突破·互動探究角度1空間中的翻折問題綜合問題——多維探究(1)求證：PA⊥PB；[分析]

(1)要證PA⊥PB.由PA⊥PE知，證PA⊥平面PBE即可，也即需證PA⊥BE，又平面PAE⊥平面ABCE，故證BE⊥AE即可，這在平面圖中易證．∴AE＝BE＝2，∴AE2＋BE2＝AB2，∴AE⊥BE，∵平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面PAE，AP?平面PAE，∴BE⊥PA，又PA⊥PE，BE?平面PBE，PE?平面PBE，PE∩BE＝E，∴PA⊥平面PBE，PB?平面PBE，∴PA⊥PB.名師點撥：空間折疊問題的解題策略1．解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量．一般情況下，長度是不變量，而位置關(guān)系往往發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．2．在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形．3．解決折疊問題的關(guān)注點：平面圖形折疊成空間圖形，主要抓住變與不變的量，所謂不變的量，是指“未折壞”的元素，包括“未折壞”的邊和角，一般優(yōu)先標(biāo)出“未折壞”的直角(從而觀察是否存在線面垂直)，然后標(biāo)出其他特殊角以及所有不變的線段．【變式訓(xùn)練】(2023·河北衡水中學(xué)模擬)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝2，將△ADC沿著AC翻折，使得點D到點P處，且AP⊥BC.(1)求證：平面APC⊥平面ABC；(2)求二面角C－PA－B的平面角的正弦值．角度2空間中的探究性問題A.存在點H，使得EH⊥BGB．不存在點H，使得EH∥BDC．存在點H，使得EH∥平面BDGD．不存在點H，使得直線EH與平面BDG的所成角為30°ABC[分析]

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)動點需滿足的條件列出方程組，據(jù)方程組解的情況進行判斷．即直線EH與平面BDG所成角的最大角大于30°，所以存在點H，使得直線EH與平面BDG的所成角為30°，故D錯誤．故選ABC.2．(2024·江蘇揚州模擬)在①AE＝2，②AC⊥BD，③∠EAB＝∠EBA，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答[分析]

(1)選擇一個條件，利用面面垂直的判定定理證明；(2)假設(shè)符合條件的點F存在，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求點F的坐標(biāo)，在結(jié)論成立的條件下求解點F的坐標(biāo)，根據(jù)解的情況回答問題，這類問題有時也可通過研究圖形判斷符合條件的點存在，然后證明即可．又CD∥EG，∴AC⊥CD，又AC⊥BC，BC∩CD＝C，BC，CD?平面BCD，∴AC⊥平面BCD，∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵BD＝CD，∴DO⊥BC，又DO?平面BCD，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴DO⊥平面ABC，又OH∥AC，AC⊥BC，∴OH⊥BC；若選②，∵AC⊥BD，AC⊥BC，BC∩BD＝B，BC，BD?平面BCD，∴AC⊥平面BCD，∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，取BC中點O，AB中點H，連接DO，OH，∵BD＝CD，∴DO⊥BC，又DO?平面BCD，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴DO⊥平面ABC，又OH∥AC，AC⊥BC，∴OH⊥BC；∴平面ABC⊥平面BCD，又DO⊥BC，DO?平面BCD，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴DO⊥平面ABC，又OH∥AC，AC⊥BC，∴OH⊥BC；綜上所述：DO，OH，BC兩兩互相垂直，名師點撥：空間存在型探究性問題的解題策略借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上動點的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對象坐標(biāo)化，解題時，假設(shè)結(jié)論成立，即把結(jié)論當(dāng)條件，據(jù)此列出相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對象不存在．提醒：1.探究線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應(yīng)用.2.注意“特殊化方法”的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】(2024·福建廈門大學(xué)附中月考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB＝AF＝2DE＝2，M是線段BF上的一動點，過點M和直線AD的平面α與FC，EC分別交于P，Q兩點．角度3空間中的最值或范圍問題1.(2024·河南洛陽強基聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2BC＝6，PC⊥PD，PC＝PD，點O是CD的中點，則線段PB上的動點E到直線AO的距離的最小值為______.解法二：如圖，取AB的中點為O′.連接PO、OO′、AE.∵PC＝PD，點O是CD的中點，∴PO⊥CD.又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO?平面PCD，∴PO⊥平面ABCD.又∵OO′?平面ABCD，∴PO⊥OO′.又∵底面ABCD是矩形，O、O′是CD、AB中點，∴OO′⊥CD.∴以點O為原點，OO′、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由PC⊥PD，PC＝PD，CD＝AB＝2BC＝6，得PO＝OC＝OD＝3，AD＝BC＝3.∴A(3，－3,0)，B(3,3,0)，P(0,0,3)，2．(2023·福建泉州質(zhì)檢)如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中點，E是棱BC上的動點．(1)試確定點E的位置，使AB1∥平面DEC1；(2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC.設(shè)直線BC1與平面DEC1所成的角為θ，試在(1)的條件下，求cosθ的最小值．[解析]

(1)連接DC1，DE，由三棱臺ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中點可得A1C1∥AD，A1C1＝AD，所以四邊形ADC1A1為平行四邊形，故AA1∥DC1，AA1?平面DEC1，DC1?平面DEC1，故AA1∥平面DEC1，又AB1∥平面DEC1，且AB1，AA1?平面ABB1A1，AB1∩AA1＝A，所以平面ABB1A1∥平面DEC1，又平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，平面ABC∩平面DEC1＝DE，故DE∥AB，由于D是AC的中點，故E是BC的中點，故點E在邊BC的中點處，AB1∥平面DEC1.(2)因為CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC1⊥AB，又AB⊥BC1，CC1∩BC1＝C1，CC1，BC1?平面BCC1B1，故AB⊥平面BCC1B1，由于BC?平面BCC1B1，所以AB⊥CB，由(1)知：E在邊BC的中點，D是AC的中點，所以ED∥AB，進而DE⊥BC，連接B1E，由B1C1∥EC，B1C1＝EC，所以四邊形B1C1CE為平行四邊形，故CC1∥B1E，由于CC1⊥平面ABC，因此B1E⊥平面ABC，故ED，EC，EB1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)B1E＝a，名師點撥：1．空間最值、范圍問題的題型(1)切接中的最值、范圍問題；(2)截面中的最值、范圍問題；(3)路徑、距離、線面角、二面角中的最值、范圍問題．2．空間最值、范圍問題的解題策略(1)幾何法：通過證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計算它的值；(2)代數(shù)方法：分析給定圖形中的數(shù)量關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)淖宰兞考澳繕?biāo)函數(shù)，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．【變式訓(xùn)練】1．(2024·北京房山區(qū)開學(xué)考)點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，動點P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)(包括邊界)運動．若PA1∥平面AMN，則PA1長度的取值范圍是(

)B解析]

取B1C1的中點E，BB1的中點F，連接A1E，A1F，EF，取EF中點O，連接A1O，EM，∵點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，∴AA1∥BB1，AA1＝BB1，BB1∥EM，BB1＝EM，∴AA1∥EM，AA1＝EM，∴四邊形A1AME為平行四邊形，∴A1E∥AM，而在平面B1BCC1中，易證MN∥EF，∵A1E?平面AMN，AM?平面AMN，∴A1E∥平面AMN，∵EF?平面AMN，MN?平面AMN，∴EF∥平面AMN，又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面A1EF，∴平面AMN∥平面A1EF，∵動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運動，且PA1∥平面AMN，∴點P的軌跡是線段EF，[解析]

(1)證明：連接BD交AC于點O，連接PO.因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點．∵PD＝PB，所以PO⊥BD.又∵AC，PO?平面APC，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面APC.又BD?平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD.(2)解法一：過P作PH⊥AC交AC于點H，∵平面APC⊥平面ABCD，PH⊥AC，平面APC∩平面ABCD＝AC，∴PH⊥平面ABCD，∵AB⊥PD，AB⊥PH，PH，PD?平面PHD，PH∩PD＝P，∴AB⊥平面PHD，∵DH?平面PHD，∴AB⊥DH，∴H為DH，AO的交點，∵△ABD為等邊三角形，∴H為△ABD的重心，名師講壇·素養(yǎng)提升重溫高考(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設(shè)D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A－PC－B的大?。?2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，則BC⊥AB，以A為原點，AB為x軸，過A且與B