2024年初中升學(xué)考試真題模擬卷廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（）A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元2．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．3．（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×1034．（3分）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（）A．43° B．53° C．107° D．137°5．（3分）計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．6．（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)7．（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A． B． C． D．8．（3分）一元一次不等式組的解集為（）A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜49．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）因式分解：x2﹣1＝．12．（3分）計算：＝．13．（3分）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)R＝12Ω時，I的值為A．14．（3分）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打折．15．（3分）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．16．（10分）（1）計算：+|﹣5|+（﹣1）2023．（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（0，1）與點（2，5），求該一次函數(shù)的表達(dá)式．17．（7分）某學(xué)校開展了社會實踐活動，活動地點距離學(xué)校12km，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度．18．（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)．當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．20．（9分）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．21．（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝；b＝；c＝；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22．（12分）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．23．（12分）綜合運用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設(shè)S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．

2023年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（）A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念問題，負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的量，進(jìn)而作答．【解答】解：把收入5元記作+5元，根據(jù)收入和支出是一對具有相反意義的量，支出5元就記作﹣5元．故答案為A．【點評】本題考查負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的量，解題的關(guān)鍵是理解相反意義的含義，進(jìn)而作答．2．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．3．（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將186000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86×105．故選：B．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（）A．43° B．53° C．107° D．137°【分析】由平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝137°，故選：D．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)解解題關(guān)鍵．5．（3分）計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減．【解答】解：＝＝．故本題選：C．【點評】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．解題的關(guān)鍵是類比同分母分?jǐn)?shù)的相加減進(jìn)行計算即可．6．（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，故選：A．【點評】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計量的選擇，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．7．（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A． B． C． D．【分析】直接利用概率公式可得答案．【解答】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，∴明恰好選中“烹飪”的概率為．故選：C．【點評】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．8．（3分）一元一次不等式組的解集為（）A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4【分析】求出第一個不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由不等式x﹣2＞1得：x＞3，∴不等式的解集為3＜x＜4．故選：D．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟知解集的規(guī)律．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵＝，∴∠D＝∠ABC＝40°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角相等．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．【解答】解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設(shè)A（m，m），則B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值為﹣2，故選：B．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）因式分解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案為：（x+1）（x﹣1）．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．12．（3分）計算：＝6．【分析】本題考查二次根式的乘法計算，根據(jù)×＝和＝a（a＞0）進(jìn)行計算，【解答】解：方法一：×＝×2＝2×3＝6．方法二：×＝＝＝6．故答案為：6．【點評】本題考查二次根式的計算，考查的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運用×＝和＝a（a＞0）進(jìn)計算．13．（3分）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)R＝12Ω時，I的值為4A．【分析】直接將R＝12代入I＝中可得I的值．【解答】解：當(dāng)R＝12Ω時，I＝＝4（A）．故答案為：4．【點評】此題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的點的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵．14．（3分）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打8.8折．【分析】利潤率不能少于10%，意思是利潤率大于或等于10%，相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折后的銷售價﹣進(jìn)價）÷進(jìn)價≥10%，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設(shè)這種商品最多可以按x折銷售，則售價為5×0.1x，那么利潤為5×0.1x﹣4，所以相應(yīng)的關(guān)系式為5×0.1x﹣4≥4×10%，解得：x≥8.8．答：該商品最多可以8.8折，故答案為：8.8．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號表示為“≥”；利潤率是利潤與進(jìn)價的比值．15．（3分）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH＝（1+4）×6＝15．故答案為：15．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．16．（10分）（1）計算：+|﹣5|+（﹣1）2023．（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（0，1）與點（2，5），求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）利用立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及負(fù)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算即可．（2）將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b解方程組即可．【解答】（1）解：原式＝2+5﹣1＝6．（2）解：將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝2x+1．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，正確化簡各數(shù)，將點的坐標(biāo)代入后能正確解方程組是解題的關(guān)鍵．17．（7分）某學(xué)校開展了社會實踐活動，活動地點距離學(xué)校12km，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度．【分析】設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意得﹣＝，解得x＝12．經(jīng)檢驗，x＝12是原分式方程的解，答：乙騎自行車的速度為12km/h．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．18．（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)．當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）【分析】連接AB，取AB中點D，連接CD，根據(jù)AC＝BC，點D為AB中點，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°＝，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）．【解答】解：連接AB，取AB中點D，連接CD，如圖，∵AC＝BC，點D為AB中點，∴中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴sin50°＝，∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），答：A、B的距離大約是15.3m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．【分析】（1）由基本作圖即可解決問題；（2）由銳角的余弦求出AE的長，即可得到BE的長．【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點；（2）∵cos∠DAB＝，∴AE＝AD?cos30°＝4×＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．【點評】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖，由銳角的余弦求出AE的長．20．（9分）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）∵A1C1為正方形對角線，∴∠A1B1C1＝45°，設(shè)每個方格的邊長為1，則AB＝＝，AC＝BC＝＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到△ABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝19；b＝26.8；c＝25；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．【分析】本題考查數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)的集中和波動問題，（1）平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計算．（2）方差的實際應(yīng)用．【解答】解：（1）求中位數(shù)a首先要先排序，從小到大順序為：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10個數(shù)，中位數(shù)在第5和6個數(shù)為18和20，所以中位數(shù)為＝19，求平均數(shù)b＝＝26.8，眾數(shù)c＝25，故答案為：19，26.8，25．（2）小紅統(tǒng)計的選擇A線路平均數(shù)為22，選擇B線路平均數(shù)為26.8，用時差不太多．而方差63.2＞6.36，相比較B路線的波動性更小，所以選擇B路線更優(yōu)．【點評】本題考查數(shù)據(jù)的波動與集中程度，解題的關(guān)鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，理解方差的意義，并進(jìn)行作答．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22．（12分）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；（2）①設(shè)CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進(jìn)而得出∠EAO＝30°，從而；②設(shè)⊙O切CA′于點H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進(jìn)而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OA＝AE，設(shè)OA＝OE＝x，則OD＝OA＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得出＝1，從而求得x2＝，進(jìn)而得出⊙O的面積．【解答】（1）證明：∵點A關(guān)于BD的對稱點為A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①證明：如圖2，設(shè)CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO＝，∴tan30°＝，∴；②解：如圖3，設(shè)⊙O切CA′于點H，連接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴，∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，設(shè)AE＝OE＝x，則OD＝OA＝，∴DE＝OD﹣OE＝（）x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，＝1，∴x2＝，∴S⊙O＝π?OE2＝．【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．23．（12分）綜合運用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系