山東省泰安市2024屆高三下學期一輪檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2024屆高三下學期一輪檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以，故拋物線的準線方程為.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以集合，又集合，所以，故選：D.3.在平面內，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（）A.橢圓 B.物物線 C.直線 D.圓〖答案〗D〖解析〗設點，點，則，.由可得：，即.所以點的軌跡為圓.故選：D4.若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，即，所以，所以，則故選：C.5.在同一直角坐標系中，函數(shù)，且的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)過的定點分別是，當時，由復合函數(shù)單調性可知分別單調遞減、單調遞增，當時，由復合函數(shù)單調性可知分別單調遞增、單調遞減，對比選項可知，只有B符合題意.故選：B.6.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，則，又，則，所以，又，則與的夾角為.故選：.7.已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，又，，且的最小值為，所以，即，又，所以，所以，又，所以，即，因為，所以，所以，令，，解得，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：B.8.已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當周長最小時，該三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點的縱坐標為，.故選：D.二、多項選擇題9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則在復平面內對應的點在第二象限C.若，則D.若，復數(shù)在復平面內對應的點為，則直線（為原點）斜率的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設，則，若，則，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以在復平面內對應的點在第四象限，故B錯誤；對于C，設，由，可得，則，即，則，故C正確；對于D，設，則，若，則，即點在以為圓心，為半徑的圓上，設過原點與圓相切的直線為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以直線（為原點）斜率的取值范圍為，故D正確.故選：ACD10.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生學習情況．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為100的樣本，則抽取的高中生人數(shù)為70C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機變量服從二項分布，若方差，則〖答案〗BC〖解析〗對A，，故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值，故A錯誤；對B，由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為，故B正確；對C，設數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由平均值性質可知：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，解得，故C正確；對D，由題意可知，解得或，則或，故D錯誤.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則下列說法正確的是（）A. B.有最大值C. D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，令，可得，令，則，解得，所以A正確；對于B中，令，且，則，可得，若時，時，，此時函數(shù)為單調遞增函數(shù)；若時，時，，此時函數(shù)為單調遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最大值，所以B錯誤；對于C中，令，可得，即，所以，所以C正確；對于D中，令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D正確；故選：ACD.三、填空題12.二項式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．〖答案〗6〖解析〗根據(jù)題意，展開式的通項為，令，則故〖答案〗為6．13.在中，內角的對邊分別為，已知，則_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，在中，，則，變形可得，則有，即，因為，則.故〖答案〗為：.14.如圖，在水平放置底面直徑與高相等的圓柱內，放入三個半徑相等的實心小球（小球材質密度），向圓柱內注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為_______，圓柱的側面積與球的表面積的比值為_______．〖答案〗.〖解析〗根據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接，過作，垂足為，如下所示：設小球半徑為，圓柱的底面圓半徑為，根據(jù)題意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，則，又，則；故球A的體積為；圓柱的側面積，球的表面積，則；故〖答案〗為：，.四、解答題15.如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，分別是的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面所成夾角的大?。?）證明：取中點，連接因為底面為菱形，，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，（2）解：設平面的法向量為又所以即取，則為平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則平面與平面的夾角為16.某學校為了緩解學生緊張的復習生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．（1）求在1次游戲中，獲獎的概率；（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．解：（1）設“在1次游戲中摸出個紅球”為事件，設“在1次游戲中獲獎”為事件，則，且互斥，，，所以在1次游戲中，獲獎的概率.（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，，，，，，所以的分布列為：258數(shù)學期望17.已知圓與軸交于點，且經過橢圓的上頂點，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若點A為橢圓上一點，且在軸上方，為A關于原點的對稱點，點為橢圓的右頂點，直線與交于點的面積為，求直線的斜率．解：（1）圓過，，又圓過，，又，橢圓的方程為.（2）設，則，由題知且，則，，由，解得，，又，，又，，直線的斜率或.18.已知函數(shù)．（1）若，曲線在點處的切線與直線垂直，證明：；（2）若對任意的且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點．證明：（1），，，，設，則，設，則，單調遞增，又，存在使得即，，當時，單調遞減，當時，單調遞增，；（2），，在上單調遞增，又設，則，令，解得，當時，單調遞減；當時，單調遞增，當時，，即，，又，，存在，使得，又上單調遞增，函數(shù)在上存在唯一零點.19.已知各項均不為0的遞增數(shù)列的前項和為，且（，且）．（1）求數(shù)列的前項和；（2）定義首項為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”．證明：①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；②當且時，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立．（1）解：，各項均不為0且遞增，，，，，化簡得，，，，，，為等差數(shù)列，，，；（2）證明：