北京市豐臺區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題一、選擇題1已知集合，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以，.故選：A.2.若，則（）A. B.1C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，故選：B．3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.120C. D.60〖答案〗D〖解析〗的通項為：，令可得：的系數(shù)為.故選：D.4.在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì)．竹子在中國的歷史可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了．竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等．現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（）A.5.4 B.6.3C.7.2 D.13.5〖答案〗B〖解析〗∵依次成等差數(shù)列，，∴，即，又，則.故選：B.5.已知直線與圓相切，則（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗直線即，由已知直線與圓相切可得，圓圓心到的距離等于半徑1，即，解得，故選：B．6.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，令，且，解得，，令，則，則在上單調(diào)遞增，，則，則當(dāng)時，，，則滿足，即，當(dāng)時，，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞增，則時，，即；時，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.7.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗對于①中，因為二面角為直二面角，可得平面平面，又因為平面平面，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因為，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因為平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因為平面，所以，因為與不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.8.已知是兩個不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)，且時，，充分性滿足；當(dāng)時，，當(dāng)，時，是可以大于零的，即當(dāng)時，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9.在八張亞運會紀念卡中，四張印有吉祥物宸宸，另外四張印有蓮蓮．現(xiàn)將這八張紀念卡平均分配給4個人，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.18 B.19C.31 D.37〖答案〗B〖解析〗設(shè)吉祥物宸宸記為，蓮蓮記為①每人得到一張，一張，共有1種分法；②將這八張紀念卡分為四組，再分給四個人，則有種分法③將這八張紀念卡分為四組，再分給四個人，則有種分法共有：種.故選：B.10.已知函數(shù)，當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（）A.3.5 B.4C.4.5 D.5〖答案〗C〖解析〗易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.當(dāng)時，，二次函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，，因為，所以在上遞增，在上也是遞增，所以；當(dāng)時，，因為，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以或，若，則；若，則;當(dāng)時，，（因為），所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以.綜上可知：的最小值為.故選：C.第二部分非選擇題二、填空題11.雙曲線的漸近線方程________．〖答案〗〖解析〗∵雙曲線的a=2，b=1，焦點在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故〖答案〗為y=±.12.已知，則________．〖答案〗0〖解析〗因為，，所以.故〖答案〗為：0.13.矩形中，，，且分為的中點，則___．〖答案〗〖解析〗以為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，所以，.故〖答案〗為：.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為．若記點到直線的距離為，則的極大值點為___，最大值為___．〖答案〗或0.5〖解析〗由題意，，由，得，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，則的極大值點為或，∵，，∴當(dāng)，即或時，取最大值為．故〖答案〗為：或；.15.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動點與定點的距離和到定直線的距離的和為4．記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線過原點；②曲線是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；③曲線恰好經(jīng)過4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；④曲線圍成區(qū)域的面積大于．則所有正確結(jié)論的序號是______．〖答案〗①③④〖解析〗設(shè)，則，到直線l的距離，由題意可知，，，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，，.可作圖如下：由圖可知：曲線W過原點，且是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故①正確，②錯誤；曲線經(jīng)過4個點，沒有其它整點，故③正確；由，，，四邊形的面積，，，多邊形的面積曲線W圍成區(qū)域的面積大于，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三、解答題16.在△中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）在中，因為，又，所以．因為，所以．因為，所以．（2）選擇條件②：因為中，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因為，所以．所以．設(shè)點為線段的中點，在中，．因為中，，所以，即邊上的中線的長度為．選擇條件③：因為中，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因為的面積為，即，所以．設(shè)點為線段的中點，在中，．因為中，，所以，即邊上的中線的長度為．由題可知，故①不合題意.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點為中點．（1）求證：//平面；（2）點為棱上一點，直線與平面所成角的正弦值為，求的值．（1）證明：因為正方形中，．因為平面，平面，所以平面．（2）解：因為底面，正方形中，分別以的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖不妨設(shè)，因為，點為的中點，點為棱上一點，則，，，，，．所以，，．設(shè)為平面的法向量，則，．所以，令，得，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，因為，所以，所以．18.2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率．（1）當(dāng)臨界值時，求漏診率和誤診率；（2）從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機抽取2人，記隨機變量為未患病者人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結(jié)果不符合真實情況的概率．當(dāng)時，直接寫出使得取最小值時的的值．解：（1）由頻率分布直方圖可知，．（2）樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，未患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，總?cè)藬?shù)為5人．可能的取值為0，1，2．，，．隨機變量的分布列為012隨機變量的期望為．（3）由題，，時，令所以，關(guān)于的一次函數(shù)系數(shù)為，故單調(diào)遞增，則即時取最小值.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由題可得，因為在點處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意．（2）因為，令，得或．當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．20.已知橢圓．（1）求橢圓的離心率和焦點坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點，不過原點且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點，，點關(guān)于原點的對稱點為．記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．解：（1）由題意得，解得．所以橢圓E的離心率為，焦點坐標(biāo)分別為，．（2）由消去y并整理得：①其判別式得，化簡為．此時方程①可化為，解得，(由條件知異號)．記，則，所以，即點．所以O(shè)P的斜率．法一：因為，所以可設(shè)直線的方程為．由消去y并整理得：．當(dāng)其判別式大于零時，有兩個不相等的實根，設(shè)，則．因為C是A關(guān)于原點O的對稱點，所以點C的坐標(biāo)為．所以直線BC的斜率．所以．法二：記，因為點C與點A關(guān)于原點對稱，所以．因為，所以直線AB的斜率為，所以．因為點在橢圓上，所以，．兩式相減得：．所以，即，所以．所以．21.對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．（1）判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②（2）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；（3）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．（1）解：、均是周期數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）．因為，所以．所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）．（2）證明：假設(shè)不成立，則有，即對于，都有．