最小二乘法的多項式擬合(matlab實現(xiàn))

用最小二乘法進行多項式擬合〔matlab實現(xiàn)〕西安交通大學徐彬華算法分析：對給定數(shù)據(jù)(i=0,1,2,3,..,m),一共m+1個數(shù)據(jù)點，取多項式P(x),使函數(shù)P(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，令似的使得其中，a0，a1,a2,…,an為待求未知數(shù)，n為多項式的最高次冪，由此，該問題化為求的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件：j=0,1,…,n得到：j=0,1,…,n這是一個關于a0，a1,a2,…,an的線性方程組，用矩陣表示如下：因此，只要給出數(shù)據(jù)點及其個數(shù)m，再給出所要擬合的參數(shù)n，那么即可求出未知數(shù)矩陣〔a0，a1,a2,…,an〕試驗題1編制以函數(shù)為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對以下數(shù)據(jù)作三次多項式最小二乘擬合(取權函數(shù)wi≡1)xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552總共有7個數(shù)據(jù)點，令m=6第一步：畫出數(shù)據(jù)的的散點圖，確定擬合參數(shù)n;x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x軸'ylabel'y軸'title'散點圖'holdon因此將擬合參數(shù)n設為3.第二步：計算矩陣A=注意到該矩陣為〔n+1〕*(n+1)矩陣，多項式的冪跟行、列坐標〔i,j〕的關系為i+j-2,由此可建立循環(huán)來求矩陣的各個元素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)endendend;再來求矩陣B=B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)endend第三步：寫出正規(guī)方程，求出a0,,a1…,an.B=B';a=inv(A)*B;第四步：畫出擬合曲線x=[-1.0:0.0001:2.0];z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3;plot(x,z)legend('離散點','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')title('擬合圖')總程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x軸'ylabel'y軸'title'散點圖'holdonm=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)endendend;B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)endendB=B';a=inv(A)*B;x=[-1.0:0.0001:2.0];z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4