2023年高考數(shù)學題型猜想預測卷（上海專用）猜題20空間向量與立體幾何（拓展）

猜題20空間向量與立體幾何(拓展)

一、解答題

1.如圖，在斜三棱柱ABC-A4C中，AB1AC,AB=AC,側面88。。為菱形，且NB|BC=60。，點。

為棱AA的中點，DB、=DC,平面與。平面8BCC.設平面8QC與平面ABC的交線為，

(1)求證：//平面88CC；

(2)求二面角C-MD-8的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵

【分析1(1)分別延長4。,區(qū)4交于E,連接CE,則CE即為平面與平面ABC的交線，取中點F,

連接。兒證得平面BBCC，又可證得〃/。尸從而有//平面BBCC；

(2)以C點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出面四。C與面8Q8的法向量，用空間向量求二面角的余

弦值.

【解析】(1)

證明:分別延長耳。,84,設朋c80=E,連接CE,

則CE即為平面與平面A8C的交線，

因為力用=OC,取中點尸，連接。尸，

所以。尸_LBC，DFu平面B、CD,

因為平面片8,平面88CC,且交線為4C,

所以平面8BCC.

因為。為棱AA的中點,ABJ/AB,

所以。為用E的中點，所以〃/DF,

所以/工平面84GC;

(2)由(1)知=因為N8AC=90o,A8=AC.所以N8CE=90。，

取4G的中點G,因為側面8耳GC為菱形，且NB由C=60。，所以GC_LBC,

由(1)知EC_L平面8BCC，所以GC_LEC,分別以CBCE,CG所在直線為x，V，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

設BC=2,因為側面B8CC為菱形，且NB0C=60。，

所以4(1,0,G),E(0,2,0),8(2,0,0),

則Cg=(1,0,5/3),CE=(0,2,0),BE=(-2,2,0),BBi=(-1,0,73),

設平面BQC的法向量為機=(x,y,z),

CB,m=0X+yj3Z=0

則,所以<取〃i=(G,0,-l),

CE-m=02y=0

設平面用。B的法向量為"=(x,)，,z),

BE-n=0—x+y=0

則所以取九=(G,石』),

BBin=0-x+Gz=0

grpi>/3-A/3-1V7

所以cos<m.n>=----r=—=——,

2-V77

由圖知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為一冬.

2.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面A8C。是邊長為2的菱形，E,尸,G分別是3C,PC,A。的中點，ADV

平面DEF,PG=3,且cosNPG8=-走.

3

(1)證明：PG〃平面DEF.

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵2夜

【分析】(1)由BGHDE,EFMPB,結合面面平行的判定可得平面〃平面。EF,由面面平行的性質可

證得結論；

(2)由等腰三角形三線合?性質可說明四邊形ABCD是邊長為2,且一個內(nèi)角為g的菱形，由此可得菱形

A8CD的面積；作POJ.8G,可證得P。，平面ABC。，由角度關系可求得尸0,代入棱錐體積公式即可.

【解析】(1).E,G分別是3C,AD的中點，四邊形A8CD為菱形，.?.BE〃DG,BE=DG,

四邊形BEDG為平行四邊形，BG//DE,

又8G<z平面OEF,小匚平面/5所，BG〃平面DEF；

E,尸分別為8cpe的中點，EF//PB,

又尸平面￡>E7LEFu平面DEF,；.PB〃平面DEF,

又PBBG=B,P8,BGu平面P8G,二平面P8G〃平面DE產(chǎn)，

PGu平面PBG,PG//平面DEF.

(2)連接BQ,

AZ>_1_平面￡>所，DEu平面。￡/，.￡)E,又ADMBC,BC工DE.

E為BC的中點，:.BD=CD,又BC=CD,二△BCD為等邊三角形,

ZBCD=^-,,-.S,Br?=2S?r?=2xlx2x2x—=2x/3:

3ADLUDCIJ22、

延長8G至點。，使得POJ_8G,

由(1)知：AD_L平面P8G,又POu平面P8G,:.AD±PO,

又3GcA￡>=G,8G,AOu平面ABC。，,PO_L平面A8C￡>,

cosZ.PGB=:.cosNPGO=sinZ.PGO=——=-^―,

PO=PGsinZPGO=庭,

二%-A0CO=ABCD-P。=§X26x#=20.

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，.皿>是等邊三角形，底面ABCD是棱長為2的菱形，平面刃，平面

7T

ABCD,。是AD的中點，ZDAB=^.

(1)證明：。8，平面上4。；

(2)求點。到平面PAB的距離.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)連結判斷△A3。為等邊三角形，證明08LA。，根據(jù)面面垂直的性質判斷得到08,平

面以3.

(2)等體積法轉化%—=丫13求解.

證明：連結B。，

7T

?.?底面ABCZ)是菱形，NZM8=為等邊三角形，

又。是AD的中點，03，仞，

;平面PAD1?平面ABC。，平面上4。門平面458=4),。8匚平面458,

OB_L平面PAD.

(2)設點。到平面叢8的距離為力，易知OP=OB=石，

在中，PA=AB=2,PB=y[(>,：.SAWB=|XV6X

由%—=匕-。8,得k姮h=W布xlx/,解得/j=姮，

32325

點。到平面A48的距離為正.

5

【點睛】.

4.如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是等腰梯形，ABCD,AB^2CD=4.平面PA8L平

面4?C￡>,。為A3的中點，ZDAO=ZAOP=f^°,OA=OP,E,F,G分別為BC,PD,PC的中點.

(1)求證：平面PC￡)_L平面AFG3；

(2)求平面P￡>E與平面A8C￡>所成銳二面角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑵手

【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理以及性質定理，結合面面垂直判定定理，可得答案：

(2)建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量計算公式，可得答案.

【解析】(1)如圖所示，取A0的中點H,連接m)，HP,

在等腰梯形ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,ZZMO=60°.

???0為48的中點，即有四邊形8C。。是平行四邊形,

OD//BC,ZDOA=NCBO=ZDAO=60°.

△04。為正三角形，AAD=2,HDVAO.

在“AOP中，OA=OP=2,ZAOP=60°,

，，AOP為邊長為2的正三角形，，AP=2,PHLAO.

：.AP=AD,又尸為尸力的中點，/.AF1.PD.

VHD1A0,PHA.AO,HDcPH=H,HD,PHu平面PHD,

AO_L平面P”￡>,即AB_Z平面PHD.：P￡)u平面AABVPD.

而G為PC中點，則FG//CD〃AB,又???McAB=A,AF,ABu平面A/GB,尸。JL平面AFGB.

；u平面PCD,.?.平面PCD±平面AFGB.

(2)VPHYAB,平面PAB11平面ABC￡>,平面PLBc平面ABC￡>=AS,平面PAB,

Pa_L平面ABCD,

...由(1)知，PH,HD,AB兩兩垂直，

以H為坐標原點，HD,HB,HP所在直線分別為x軸，)，軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則"(0,0,0),P(0,0,6),。(6,0,0),E

(22

于是HP=(0,0,6)，PD=(^,0,-V3),DE=

設平面P。石的法向量為。=(x,y,z),

yf3X—y/3z=0,

取x=5,貝lj〃=（5,瘋5）,

則即＜6工5?

n-￡>￡=0,------x4--y=0,

2---2

設平面燈汨與平面ABC。所成銳二面角為。，

"P為平面A3CQ的一個法向量，

n|o?|In-HP\5G5

?COS8=COS/?,HP\=——;-------r=—7=——7==—f=

,*II\n\\HP\753x73底，

sin。=Jl-cos*=,tan。=S^n--=.

V53cos。5

???平面PDE與平面A8C0所成銳二面角的正切值為硬.

5

5.如圖，在四棱錐P-4BCD中，E為棱AD上一點,PEYAD,PA±PC,四邊形88E為矩形，且

BC=3,PE=BE=K,PF=LPC,PA"平面BEF.

4

（1）求證：必工平面/1。；

（2）求二面角尸-四-。的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）7

【分析】（1）連接AC交5E于點G,連接FG,利用線面平行的性質得RW/FG,利用平行線分線段成比

例可得線段長度，從而由勾股定理得線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證明線面垂直；

（2）利用線面關系，證明線線垂直，建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算分別確定平面43尸與

平面液的法向量，根據(jù)坐標運算得二面角的余弦值，即可確定二面角大小.

【解析】（1）連接AC交BE于點G,連接尸G,

因為PA//平面3EF,平面PAC）平面=R4u平面PAC,所以PA//尸G,

APAFAG_PF1

又BE//CD,所以方^=~BC~~GC~~FC~3

又DE=3,所以A￡=1,AQ=4.

因為所以PA=《PE2+AE?=2，PD=y]PE2+DE2=2y/3

所以RV+PD?=452，所以以_LP￡>,

又A4，PC,PDcPC=P,PD,PCu平面PCD，所以R4，平面PCD.

(2)因為PA_L平面PC。，CDu平面PC。，所以

又ACC0,PAcA￡)=A,PAAOu平面PAD,所以CO,平面「A。，

又PEu平面24。，所以PELCZ),又PE,AD,AD8=OARC。u平面A3CO

所以PEL平面A8CD

如圖建系，

則A(l,0,0),B(0,6,0),D(-3,0,0),/-?,f,攣],

，J_733⑶

AF=,48(-1,石,0),

設平面45月的一個法向量為m=（工,y,z）,

7mJ上

AFm=0——x+——y+z=n()z=2y

則=><444n,取y=l,得帆=(6,1,2),

X=&

ABfn=Or+VJy=O

又平面47Q的一個法向量為〃=（0,0,1）,

所以cos〈九〃〉=」"=」==*,且二面角F—A8—短為銳角，

\tn\\n\202

故二面角/一AB-。的大小為;.

4

6.如圖所示的多面體是由一個直三棱柱A8O-A8Q與一個四棱錐C-88QQ拼接而成的，四邊形A8CO為

直角梯形，AD//BC,ABLAD,BC=4,AB=AD=2,￡尸分別為48,4。的中點.

（1）求證：EF〃平面BCR；

（2）若直線AB與平面BCQ所成角的正弦值為巫，求二面角-B的余弦值.

6

【答案】（1）證明見解析

⑵4

2

【分析】（1）由三角形中位線性質可得E/〃根據(jù)線面平行的判定定理可證得結論；

（2）以A為坐標原點可建立空間直角坐標系，設"=，"（加＞0）,利用線面角的向量求法可構造方程求得加,

再利用二面角的向量求法求得結果.

【解析】（1）由直三棱柱ABD-A8Q的性質知：BD//BR,

民戶分別為AB,A。的中點，,即〃8。，."/〃與烏，

（3月〃€2平面4。〃，EF＜Z平面BCR,EF〃平面BCR.

（2）由直棱柱的性質得：AA，平面A8C。，

AB,ADu平面ABC。，AAA,1AB,AA,±AD.

則以A為坐標原點，分別以AB,AD"所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示,

設的=?。?）,則A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,4,0）,耳（2,0,加）,0（0,2,加）,

.?.48=（2,0,0）,4c=（°，4，一機），5,0；=（-2,2,0）,

設平面4cq的法向量為〃=（x,y,z）,

n-B,C=4y-mz=0.、

則,令丁=機,解得：x=tn,z=4，..?〃=（八八4）；

nBlD]=-2x+2^=0

設直線AB與平面B}CD}所成角為巴

II2m\/G

則sin0=kos<A3,〃〉=ji-rr\=—■,=—,解得：m=2,

1MM2V2w2+166

，平面gcq的一個法向量"=（2,2,4）,

又3c=（0,4,0）,鶴=（-2,2,2）,

設平面BCD,的法向量為m=（4,6,c）,

m-BC=4/?=0

則<，令a=l,解得：b=0,c=l

m-BDX=-2a+2。+2c=0

II\m-n\6石

1H.W26x&2

由圖可知：二面角片-CR-B為銳二面角，，二面角B「CR-8的余弦值為史.

2

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCQ為菱形，ACLPE,PA=PD,E為棱A8的中點.

(1)證明：平面B4￡)_L平面A8C￡>；

⑵若B4=">,/5M)=60。，求二面角E—PD—A的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵迤

13

【分析】(1)根據(jù)線面、面面垂直的判定定理分析證明；

(2)建系，利用空間向量求二面角.

【解析】(D取A￡>的中點。，連接OP,O8,83,OE,

?.?底面ABCO為菱形，則AC13。，

又?.?QE分別為A￡>,A8的中點，則OEBD,

故ACLOE,

注意到AC_LP￡,OE\PE=E,OE,PEu平面POE,

則AC，平面POE,

OEu平面POE,則AC_LOE,

又?：PA=PD,E為棱A8的中點，則ADLOE,

ACIAO=A,ACIAO=A,AC,4￡>u平面ABC￡),

OE_L平面ABC￡),

且POu平面PAD,故平面皿>_L平面4BCD

(2)若R4=">,44)=60。，則△ABD為等邊三角形，且。為AO的中點,

故。8_L4),

由(1)得，如圖所示建立空間直角坐標系。-到z,

設4)=2,則P(0,0,^),E(-,—,0),ZX-1.0,0)，

22

uiin.c收「3百)

可得QP=(I,O,G),OE=W，o,

n-DP=x+\/3z=0

設平面尸。石的法向量〃=(x,y,z),則｛3J3，

n-DE=—xd---y=0

22,

取x=G，則產(chǎn)一3,z=-1,

所以〃=(>/3,-3,-l),

取平面PD4的法向量m=（0』,0）,

則8S，,：>=&=_之-逆，

人」|〃||加|屆13

設二面角E—P￡>—A為ee0,1）,

則cos6=,可得sin。=Vl-cos20=漢叵,

1313

所以二面角E—PD—A的正弦值為巫.

13

8.如圖，已知矩形A8CD是圓柱的軸截面，P是C。的中點，直線8尸與下底面所成角的正切值為：，矩形

A8CD的面積為12,MV為圓柱的一條母線（不與AB,8重合）.

（1）證明：BNLMP；

（2）當三棱錐8-MNP的體積最大時，求M到平面PBN的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵膂

【分析】（1）證明3N_L平面MNC即可證明結論;

（2）設PC=a,進而結合題意得〃=&,進而得VB“N產(chǎn)旦廟下，再結合基本不等式得8N=NC=3

時，三棱錐8-MNP的體積最大，最后根據(jù)等體積法求解即可.

【解析】（1）證明：連接NC,因為BC是底面圓的直徑，

所以ZBNC=90。，即BN_LNC,

又BNLMN,且.MNcNC=N,MN,NCu平面MNC,

所以8NJ_平面MNC,

又MPu平面MNC,

所以8V_LMP.

PCI

（2）解：根據(jù)題意，忘=3,設PC=a,則8c=3a,CD=2a,

又因為3cxe0=12,所以6/=12,得“=&.

所以MN=C￡>=2&,BC=3叵，

設?BN=t,則NC7BC?-BN2=J18-12，

由（1）可知8N_L平面MVP,又P到MN的距離為NC,

所以VB_MNP=*MN*NC}BN瀉*tx718^7<與x'+（7）=3五.

當，=18-*,即f=3時，取等號.

所以，當8N=NC=3時，三棱錐B-MNP的體積最大.

設M到平面PBN的距離為兒則以一砂=匕.MW，即g（；8NxNP）x人=3人,

又BN=3,NP=dNC。+C產(chǎn)=拒，

所以由?（482*'2］、力=3夜得/1=^1.

312）11

所以，M到平面PBN的距離為還1

11

9.如圖，球。是正三棱錐P-A8C和Q-A8C的外接球，M為MC的外心，直線AM與線段BC交于點

D,。為BC的中點，兩三棱錐的高之比為尸河：。加=3：1,E為%上一點,且PE:E4=5:3.

（1）證明：PELEC,

（2）求二面角E-3C-Q的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解

⑵也

14

【分析】（1）建立空間直角坐標系，求PE,EC的坐標，根據(jù)數(shù)量積的性質證明P￡_LEC；

（2）由線面垂直判定定理證明PAJ_平面BCE,求平面8CE和平面BC。的法向量，根據(jù)向量夾角公式求二

面角E-8C-Q的正弦值.

【解析】（1）過用作用"'〃8（7,交于M',易證MA,MP,兩兩垂直，建立如圖所示的空間直

角坐標系M-jqyz.

設=球。的半徑為R,

有甯=（可+閨

則在，AOM中,解得R=2.

則A(6,0,0),P(0,0,3),C-4，-|，。

PE=-PA,

8

”=（一石,0,3）,所以PE=/A=祟,0,一個

135135

PECE=--+0+—=0

648

:.PELEC.

(2)因為AO_L8C,3C_L尸。，

AD=平面PAD,

所以3C1平面B4O,又PAu平面出￡>,

:.BC1PA.

由(1)得B4J_EC,又ECBC=C,ECBCu平面8CE,

，PAJL平面BCE,

所以平面BCE的一個法向量為n.=AP=(-V3,0,3).

乂一字44，-|，。)，e(o,o,-i),

'3

/.CB=(0,3,0),CQ=

設平面BC。的法向量為丐=（x,y,z）,

CB-n2=3y=0,

則，733

CQ.%=—x+-y-z=0,

令x=2,則y=0,z=石，

.?.%=（2,0,6）為平面2口2的一個法向量.

設二面角E-8C-。的平面角為巴

???MTcosW，%）卜闔=赤3金，又同0,可，

sin6=A/1-COS26=宣ZE.

14

故二面角E-8C—Q的正弦值為通.

14

10.如圖甲，在四邊形PBCD中，PD//BC,PB=BC=CD=AD=PA.現(xiàn)將AAB尸沿AB折起得圖乙，點M

是的中點.證明：

（1）PC1AB；

（2）PC_L平面ABM.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）如圖，取A8的中點E,連接PE,CE,AC,由題意可證△P8A、△ABC是正三角形，則PE1AB.

ECA.AB.根據(jù)線面垂直的判定定理和性質即可證明；

（2）如圖，取PC的中點N,連接MMBN,則MN//AB,即A,B,N,M四點共面，得BNLPC.由（1）,

結合線面垂直的判定定理即可證明.

【解析】（1）如圖，取A8的中點E,連接尸E,CE,AC,

：AO=BC且AD//BC,故四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CDS.AB//CD.

又PB=PA=CD,

：.PA=PB=^AB,即APBA是正三角形，

J.PELAB,在圖甲中，ZPAB=60,則NABC=60",

由A3=BC,知△ABC是正三角形，故ECJLA8.

又PE\EC=E,PE、ECu平面PEC,

.?.48JL平面PEC,又PCu平面PEC,

：.ABLPC.

（2）如圖，取PC的中點N,連接MMBN,

是PD的中點，：.MN//CD.由（1）知4B〃C￡）,

：.MN//AB,：.A,B,N,仞四點共面.

;PB=BC,C.BNLPC.

由（1）ABLPC,又AB?BNB,AB.BN1平面ABNM,

；.PC_L平面ABNM,即PC_L平面ABM.

2兀

11.如圖1,在MC中，AB=AC=4,ABAC=—,E為8c的中點，尸為A3上一點，且現(xiàn)

將ABEF沿EF翻折至％B'EF,如圖2.

⑴證明：EFLAB'.

JT

（2）已知N8'E4=',求四棱錐AC瓦■的體積.

【答案】（1）證明見解析

15

⑵7

【分析】（1）根據(jù)條件，證明EFJ_平面再由線面垂直的性質得到線線垂直即可；

（2）根據(jù)條件，求出四棱錐8-ACE尸的底面面積和高，再求出四棱錐B'-ACE尸的體積即可.

【解析】（1）證明：在J1BC中，EFVAB,

：.EF1AF,EFLFB',

VAFoFB!=F,所＜Z平面4月?'，所'＜=平面4陽'，

EF工平面AFB',又AHu平面AFB',

EF1AB1.

（2）作8'用_LA8交A8于

???所/平面人用'，8川＜=平面4月?'，，創(chuàng)0，所，

又/WcEb=尸，ABu平面ACEF,EFu平面ACEF,

B'M_L平面ACEF.

在，MC中，A8=AC=4,ZBAC=y,

ZCBA=^,BC=4也,又E為斯的中點，EFLAB,

O

;.EF=?BF=3,又NB，F(xiàn)A=3,:.B'M=2.

32

7

'''四邊形ACE/的面積SACEF=SABC-SBEF=—x4x4xsin---x3xyfi=三亙，

ZlCcrHoC232,2

...四棱錐8'—ACEF的體積匕,"g=48'用。,即=lx^x^=—.

D3/iter3224

12.如圖所示，正方形明。。與矩形488所在平面互相垂直，AB=2AD=2,AQcA"=。，E為線段

A8上一點.

(1)當0E〃平面R8C,求證：E為A8的中點；

(2)在線段A8上是否存在點E,使得平面ROE，平面A。。？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)見解析；

(2)存在，當AE=g時，平面RDE，平面4DC.

【分析】(1)由題意可知。為AQ的中點，由線面平行的性質定理可得0￡〃82，即可得證；

(2)由面面垂直的性質定理可得AC,只需滿足ACLDE,即可得ACJ?平面從而有平面

ROE,平面4"C,故只需找出AC_LOE成立時，AE的長度即可.

【解析】(1)證明：因為為正方形，AOc4R=。，

所以。為A?的中點，

又因為0E〃平面R8C,平面ABRc平面RBC=3。，OEu平面ABR,

所以。E〃8R,

又因為。為AR的中點，所以E為AB的中點；

(2)存在，當AE=g時，平面。QEL平面ARC,理由如下：

設ACc0E=尸，

因為例QQ為正方形，所以力Q_LA。，

又因為40=平面"ROc平面ABC。，平面A4QQ_L平面ABC。，3。＜=平面"以。，

所以A。_L平面458,

又因為ACu平面A3CO,所以。。_LAC,

又因為在矩形ABC。中，AB=2,AD=[,

1Ap1

當AE=一時，在RtZXADE中，tanNAOE=——=-,

2AD2

在RlZXABC中，tanNBAC=叁=4，

AB2

所以ZADE=NS4C,

又因為NBAD=ZBAC+ADAC=90°,

所以ZADE+ZDAC=90°,則ZAFD=90°,

所以AC_LQE,

又因為DEIDDt=D,DE,ORu平面ROE,

所以AC,平面DQE,

又因為ACu平面AQC,所以平面3QE，平面ARC.

13.如圖，在四棱柱ABCO-AAGR中，已知底面ABC。是菱形，

AC=2BD=2AA,=4,AC,±CCt,AA,±BD,E是側棱BB,上一點.

(1)若8￡=8也，證明：CG，平面4GE；

(2)若BE=；gE,求二面角E-4G-C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵亞

10

【分析】(1)由平面ACGA得BD_LG。，進而證明CG上GE,再結合己知和判定定理即可證明；

(2)過q作￡F_LAC,垂足為尸，進而證明平面ABCO,再以。為坐標原點，08,0C所在直線

分別為X，y軸建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.

【解析】(1)證明：如圖，設AC,BO交于點。，連接C0,AC,

因為四邊形ABC。是菱形，AC=4,BD=2,

所以80,AC,BC=B?=舊.

因為A%,ACu平面ACC/,MAC=A,

所以8。2平面ACJA,

因為GOu平面ACGA，所以BCCQ,

連接BC-DC,,所以BG=￡>G，

因為AG，CG，所以C0=；AC=2,

所以8G=5G=J5.

因為BE=BIE,所以所以CG上Cg.

因為AG，GEu平面AGE,AC,ClClE=Cl,

所以CG，平面AGE.

(2)解：過C1作GF^AC,垂足為尸，

因為皮>工平面ACCM，所以8CC/,

又G尸LAC,AC,3￡>u平面ABC。，ACBD=O,所以C/_L平面ABCZ).

如圖，以。為坐標原點，OB,OC所在直線分別為x,y軸建立空間直角坐標系,

則0(0,0,0),5(1,0,0),A(O,-2,O),C(0,2,0),G(0,1,百),

所以AG=(0,3,G),CG=B4=(0,-l,省)，

因為814號所以BE=W=01.

則牛一§,旬，所以AE=[I,|,事.

易知平面ACG4的一個法向量為i=(1,0,0),設平面AGE的法向量為〃7=(x,y,z),

3y+V^z=0

AC.-m=0

則,即5Gz

AE?加=0x+—y+——z=0

33

2

令y=i,則2=-右，x=--,所以，*=

設二面角E-4G-C的大小為a,

2

所以3Vio

|cosa|=-w",

所以sina=通，即二面角E-AG-C的正弦值為觀.

14.如圖，在三棱臺ABC-OEF中，平面。平面ABC,平面。尸C4_L平面ABC,AB：BE：DE=4：5：

1.

(1)求證：AD1BC；

jr

(2)若AABC是等邊三角形，試問：棱BE上是否存在一點H,使得二面角H—AC-B的平面角為§?若存在，

求出空的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在,總

【分析】(1)在平面ABC內(nèi)，過C點作直線以AB,過B點作直線m±AC,由面面垂直的性質得出加±AD,

HAD,結合線面垂直的判定以及定義得出AO，3C：

(2)以點A為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【解析】(1)在平面ABC內(nèi)，過C點作直線/_LAB,過B點作直線加_LAC,

因為平面￡＞E8AJ_平面ABC,平面OEBAc平面A8C=A8,/u平面ABC,

所以/工平面DER4.

因為45u平面DE8A,所以同理可證機_LAD.

因為/,機為相交直線，I,機＜=平面ABC,所以45_L平面A3C

又BCu平面ABC,所以AO工8c.

(2)設OE=1,則AB=4,BE=5,

易得四邊形DEBA為直角梯形，所以A￡)=J8￡；2-(AB-￡)E)2=4,

以點A為原點，以AB,A。和平面48a的一個法向量的方向分別為x軸、z軸、＞軸的正方向建立空間直

角坐標系，如圖所示，

則4(0,0,0),3(4,0,0),々2,26,0),0(0,0,4),

則AC=(2,2G,0),AB=(4,0,0),AD=(0,0,4),

i3

則BE=BA+AD+DE=+AD+-AB=--AB+AD=(-3,0,4),

44

設BH=ABE（0<2<1）,則AH=AB+BH=AB+2i5￡=（4-32,0,4A）,

易知％=（0,0,1）是平面ABC的一個法向量.

UU

設平面AHC的法向量為%=（x,y,z）,

則-，即-anL八，

取z=3G/l—4后，則工=4檢，y=

因此%=（46人-443&-46）是平面AHC的一個法向量.

7T

假設存在點目，使得二面角”-AC-B的平面角為

則嶗刎如心陷、，叱「四

31'71同|聞748A+162+3（3；1-4）

12

化簡得17萬—216/1+144=0,解得或％=12（舍去），

因此棱BE上存在一點H,使得二面角H-AC-B的平面角為W，此時歌=白.

JHB12

15.如圖，點C在直徑為A8的半圓。上，C。垂直于半圓。所在的平面，8C//平面AOE.且CD//BE.

（1）證明：平面4把，平面AC。

（2）若AC=1,ABf,異面直線40與席所成的角是45。，求三棱錐A-8CE的外接球的表面積

【答案】（1）證明見解析；

⑵6K.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明8c上平面ACD,再借助線面平行可得BC〃OE,然后利用線面垂直的

判定、面面垂直的判定推理作答.

（2）取AE的中點M,連接CM,8M,確定球心為M,再計算球半徑及表面積作答.

【解析】（1）因為點C在半圓。上，A8為直徑，則BCLAC,而8,平面ABC,BCu平面A3C,

于是C￡）J_BC,

又ACCD=C,AC,CDc?ACD,則有BC2平面AC。，由CO//BE知點民C,D,E共面，

又8C〃平面AOE,平面8a9Ec平面4）E=￡>E,3Cu平面BC￡>E,

因此8CV/DE,即有。E工平面AC。，又。E在平面ADE內(nèi)，

所以平面ADE_L平面ACD

（2）由（1）知，CDA.AC,因為CD//BE,則NADC為4。與龐:所成的角，即NADC=45,

則CD=AC=1,平行四邊形3CDE中，BE=CD=\,因為CD_L平面ABC,則有BE_L平面ABC,

ABu平面ABC,則8E_LAB,又BC_LAC,CD8C=C,CE>,BCu平面8COE,

于是AC1■平面BCDE,而CEu平面BC￡>E,從而47_LCF,取AE的中點M,連接CM,8M,如圖，

因此BM=A〃=EM=CM,則點M是三棱錐4-8CE的外接球球心，而=AB?+8序=6,

所以三棱錐A-8CE的外接球表面積S=4兀?AM2=4兀?(工AE)2=兀?AE?=6兀.

2

16.正四棱錐尸―ABCD中，AB=2,P0=3,其中0為底面中心，M為尸D上靠近P的三等分點.

(1)求四面體M-ACP的體積；

(2)是否存在側棱PB上一點N,使面CMN與面ABCO所成角的正切值為正？若存在，請描述點N的位置:

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)|

(2)存在側棱P8上一點N,使面CMV與面ABC。所成角的正切值為0,此時BN=：BP或切7=號8尸

【分析】(1)連接AC,80交于點。，過M作MQL0P于點Q,根據(jù)M位置可得MQ,以△PAC為底,

MQ為高可得四面體體積；

(2)以。為坐標原點，0C,OD,。尸分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法，結合二

面角確定點N位置.

【解析】(1)

如圖所示，連接AC,BD交于點0,過M作MQL0P于點Q,

由四棱錐P-ABCD為正四棱錐，且。為底面中心,

得AC=BD=26，D0=^BD=y/2,PO上平面A88,BD1AC,

..P0A.BD,

又POIAC=A,PO,ACu平面PAC,

.?.B￡)_L平面PAC,

又MQ1.PO,則M0〃8￡>,

因為M為尸。上靠近尸的三等分點,

則MQ=-DO=—,且平面PAC,

33

如圖所示，以。為坐標原點，0C,0￡>,0P分別為x,z軸，建立空間直角坐標系,

則0（0,0,0）,B（o,-V2,o）,C（V2,0,0）,P（0,0,3）,

因為做為PD上靠近P的三等分點,

則/0,當,2,muuuir（上行）UL1

且OP=（0,0,3）,CM=,BP=（0,^,3）,

\/

lllHlULIUUUI

設8V=43尸（0W241）,BN（0,722,32）,

則N（0,VLt_a,32）,凱=34）,

設平面CMN的法向量為n=(x?,z),

-y/2x+^-y+2z=0

CMn=0

則,即

CN-n=0-V2x+（V2A-V2）y+32z=0

令y=94—6,則5=（92-10,94-6,3g-4夜）,

又由(1)得PO1平面A8C。,

uuu

則平面ABC。的法向量為OP=(0,0,3),

所以存在側棱尸5上一點N,使面CMN與面A8CD所成角的正切值為0,此時8N=18P或BN=,8P.

17.如圖，四棱錐P-A88的底面為正方形，叨，底面A8CD,M是線段PO的中點，設平面P4O與平

面P8C的交線為/.

（1）證明/〃平面BCM

（2）已知陽=4）=1,。為/上的點，若PB與平面QC。所成角的正弦值為是遠，求線段QC的長.

3

（3）在（2）的條件下，求二面角0-CQ-M的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵|QC|=6

⑶3

【分析】（1）先證明〃平面PBC,結合線面平行的性質定理可證/〃平面8CM；

（2）建立空間直角坐標系，設。（，"，0.1）,計算出平面。8的一個法向量為〃=（1,0,-加），結合尸B與平面QCQ

所成角的正弦值為是亞解出機=1,進而可得QC的長；

3

（3）分別計算二面角兩個半平面的法向量，結合空間角的向量求法即可求解.

【解析】（1）在正方形ABC。中，AD//BC,

因為40U平面P8C,BCu平面PBC,所以AO〃平面P8C,

又因為A￡>u平面尸A。，平面A4Dc平面尸8C=/,所以4）〃/,BC//1

因為BCu平面

MBC,平面M8C,所以/〃平面8cM

（2）如圖建立空間直角坐標系。一沖z,

因為PD=AD=L則有￡>（0,0,0）,C（0,l,0）,A（l,0,0）,P（0,0,l）,

，/uu

設Q（，",0,l）,則有。C=（0,l,0）,PB=（1,1,-1）,

DC?幾=0fy=0

設平面QS的法向量為鼠=x,y,z）,則，即）八，令x=l,則z=f,所以平面QCD的

/DQn=0[MIX+Z=0

一個法向量為〃=。,。,一㈤，則c°s（/"，Pcc8\）=麗n-PB=瓦1+0+討，〃

因為PB與平面所成角的正弦值為是逅，

3

所以|cos^?,4，

1'八y/3-ylm2+]3

解得機=1.所以|。。=6.

(3)由(2)可知平面QCO的一個法向量為"=(1,0,-1)

因為M是線段PO的中點，所以

于是QC=(—1J—1),MC=(0』,-g),設平面MCQ的法向量加=(x,y,z)

n\-x+y-z=0

QC-m=0.、

則<，即｛1_.令z=2,得y=l,x=-l,n?=(-l,l,2)

MCm=0y--z=0

/\tn-n-3>J3i

c°sM”六麗［=五后=一￡'所以二面角。-CQ-M的正弦值為］