數(shù)學復習分類匯編函數(shù)函數(shù)的基本性質（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二節(jié)函數(shù)的基本性質——奇偶性、單調性、周期性題型15函數(shù)的奇偶性1.（2013浙江理4）已知函數(shù)，則“是函數(shù)"是的（）A.充分不必要條件B。必要不充分條件C。充分必要條件D。既不充分也不必要條件2.（2013山東理3）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，,則(）。A.B。C.D。3．(2013廣東理2）定義域為的四個函數(shù),，,中，奇函數(shù)的個數(shù)是（）.A．B．C．D．4。（2014新課標1理3）設函數(shù)，的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(）.A.是偶函數(shù)B。是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D。是奇函數(shù)5。（2015安徽理2）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是()。A。B。C.D.5。解析對于選項A，是偶函數(shù),且由得，，故A正確；對于選項B，是奇函數(shù),故B錯誤；對于選項C，的定義域為，故不具備奇偶性,故C錯誤；對于選項D，是偶函數(shù),但在實數(shù)范圍內無解，即不存在零點，故D錯誤．故選A．6。（2015福建理2）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(）.A．B．C．D．6。解析函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；和是偶函數(shù)；是奇函數(shù)．故選D．7.（2015廣東理3）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）。A．B．C．D．7.解析令,則,，即，,所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而A，B，C依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)．故選D．8。（2015全國I理13)若函數(shù)為偶函數(shù)，則。8。解析由題意可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得．9。（2016全國丙理15）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是______________.9.解析解法一:先求函數(shù)在上的解析式，再求切線方程.設，則，又，所以，，所以在點處的切線方程為，即.解法二：由函數(shù)性質來求切線方程.因為為偶函數(shù)，所以若在點處的切線方程為，則在點處的切線方程為。因此，先求出在點處的切線方程。又，得，所以在點處的切線方程為，所以在點處的切線方程為，即。題型16函數(shù)的單調性1.(2014天津理4）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是(）.A.B。C.D.2。(2014北京理2）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）。A。B.C.D.3.（2014陜西理7）下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是（）。A。B。C。 D.4.（2014大綱理22）（本小題滿分12分）函數(shù).（1）討論的單調性；(2)設，求證：。5。(2015湖南理5）設函數(shù)，則是（）。A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在上是增函數(shù)D。偶函數(shù),且在上是減函數(shù)5。解析由已知的定義域為,關于原點對稱.又因為,所以為奇函數(shù)。,當時，，即在上為增函數(shù)。故選A。6.(2015四川理9）如果函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,那么的最大值為（）。A.B。C.D.6.解析當時，拋物線的對稱軸為；當時，，即.因為,所以。由且，得；當時，拋物線開口向下，根據(jù)題意可得，，即。因為，所以.由且,得，故應舍去。要使得取得最大值，應有。所以.所以最大值為.故選B.A。B。C。D.7。（2015北京理5)已知，且，則(）.A.B。C。 D.7。C解析選項A錯誤:因為；選項B錯誤：三角函數(shù)在上不是單調的，所以不一定有。舉反例如，當時，；選項C正確：由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù),可得；選項D錯誤:舉一個反例如，,。滿足,但。故選C.8。（2016上海理22）已知,函數(shù)。（1）當時,解不等式；(2)若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（3)設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過,求的取值范圍。8.解析（1）由題意，即，整理得，即，故不等式的解為;（2）依題意，所以， ①整理得，即，②當時,方程②的解為，代入①式,成立；當時,方程②的解為，代入①式，成立；當且時，方程②的解為或，若為方程①的解,則，即,若為方程①的解，則，即.要使得方程①有且僅有一個解，則或,即.綜上，若原方程的解集有且只有一個元素,則的取值范圍為或或。(3）當時,,，所以在上單調遞減。因此在上單調遞減.故只需滿足,即，所以，即，設，則,。當時，；當時，,又函數(shù)在遞減,所以。故。故的取值范圍為。評注第（3）問還可從二次函數(shù)的角度考查，由整理得對任意成立。因為，函數(shù)的對稱軸,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.所以當時,有最小值，由，得.故的取值范圍為.9。(2017山東理15）若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調遞增,則稱函數(shù)具有性質。下列函數(shù)中所有具有性質的函數(shù)的序號為。 ① ② ③ ④9。解析=1\＊GB3①在上單調遞增，故具有性質；=2\＊GB3②在上單調遞減，故不具有性質；=3\＊GB3③，令，則，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增,故不具有性質；=4\＊GB3④。令，則,所以在上單調遞增，故具有性質．綜上所述,具有性質的函數(shù)的序號為①④.題型17函數(shù)的奇偶性和單調性的綜合1.（2014新課標2理15）已知偶函數(shù)在單調遞減，。若，則的取值范圍是。2。（2014北京理18）（本小題13分)已知函數(shù)，求證：；若在上恒成立，求的最大值與的最小值。3。（2014廣東理21）設函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的定義域；（用區(qū)間表示）;（2）討論在區(qū)間上的單調性。4.（2014福建理7）已知函數(shù)則下列結論正確的是（）。A.是偶函數(shù)B.是增函數(shù)C。是周期函數(shù)D。的值域為5.（2014湖北理10）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.若，則實數(shù)的取值范圍為（）。A。B.C.D。6。（2014湖南理3）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且,則（）。A.B.C。D.7。（2014湖南理10）已知函數(shù)與圖像上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）.A。B.C。D。8。（17江蘇11）已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù)．若，則實數(shù)的取值范圍是．8.解析易知的定義域為.因為，所以是奇函數(shù)．又，且不恒成立，所以在上單調遞增．因為,所以，于是,即，解得．故填．9。（2017天津理6）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，。若,，,則a,b，c的大小關系為（）。A. B。 C. D。9。解析因為奇函數(shù)在上增函數(shù),所以當時，,從而是上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù)。，，又，則,所以，于是，即。故選C.10。(2017北京理5)已知函數(shù)，則（).A.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在上是減函數(shù)10.解析由題知，，所以為奇函數(shù).又因為是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).故選A。11。（2017全國1理5）函數(shù)在單調遞減,且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是()。A． B． C． D．11。解析因為為奇函數(shù)，所以，于是等價于,又在單調遞減，所以，所以.故選D.題型18函數(shù)的周期性1.（2014安徽理6）設函數(shù)滿足。當時，，則（）。A。B.C。D。2。（2014四川理12）設是定義在上的周期為的函數(shù)，當時，，則。3.（2016浙江理5）設函數(shù)，則的最小正周期(）.A。與有關，且與有關B.與有關，但與無關C。與無關，且與無關D.與無關，但與有關3。B解析由，的最小正周期為,的最小正周期為.當時，，此時的最小正周期是；當時，此時的最小正周期為,所以影響的最小正周期,而為常數(shù)項不影響的最小正周期.故選B。4。（2016江蘇11)設是定義在上且周期為的函數(shù),在區(qū)間上，其中，若，則的值是。4.解析由題意得，。由,可得,則.5.（2017江蘇14）設是定義在且周期為的函數(shù),在區(qū)間上，．其中集合，則方程的解的個數(shù)是．5。解析由題意，所以只需要研究內的根的情況．在此范圍內,且時，設，且互質，若，則由，可設，且互質。從而，則,此時左邊為整數(shù),右邊為非整數(shù)，矛盾,因此,于是不可能與內的部分對應相等，所以只需要考慮與每個周期內部分的交點。如圖所示，通過函數(shù)的草圖分析，圖中交點除外，其它交點均為的部分．且當時，，所以在附近只有一個交點，因而方程解的個數(shù)為個．故填．題型18函數(shù)性質的綜合1．(2013四川理10）設函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．若曲線上存在使得，則的取值范圍是（）A.B.C。D。2。（2014四川理15）以表示值域為的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù),存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間。例如，當,時，，.現(xiàn)有如下命題:①設函數(shù)的定義域為,則“"的充要條件是“，，”；②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則；④若函數(shù)有最大值，則。其中的真命題有。(寫出所有真命題的序號）3。（2014湖北理6）若函數(shù)滿足，則稱為區(qū)間上的一組正交函數(shù),給出三組函數(shù)：①；②；③，其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（）.A。B.C.D。4．（2014四川理9）已知,。現(xiàn)有下列命題：①；②；③。其中的所有正確命題的序號是（）。A．①②③B．②③C．①③D．①②5.(2014山東理15）已知函數(shù),對函數(shù)，定義關于的“對稱函數(shù)”為函數(shù)，滿足：對任意,兩個點關于點對稱，若是關于的“對稱函數(shù)"，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.6.（2015湖北理6)已知符號函數(shù)是上的增函數(shù)，，則（）．A． B．C． D．6。解析是上的增函數(shù)，當時,若;若,則,從而;若，則，從而。故選B。7。（2016山東理9）已知函數(shù)的定義域為.當時，;當時，；當時，，則().A.B.C.D。7。D解析由知,當時,的周期為，所以.又當時，，所以.于是。故選D。8。（2016全國乙理12）已知函數(shù)，為的零點，為圖像的對稱軸，且在上單調，則的最大值為（)。A。B.C。D.8.B