寧夏銀川一中高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）

絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題卷(銀川一中第一次模擬考試)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知z1+iA．2 B．22 C．2 3．若A． B． C．或 D．或4．有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”5．已知向量，，則A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若與的夾角為鈍角，則6．將頂點在原點，始邊為軸非負(fù)半軸的銳角的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)過后，交單位圓于點，那么的值為A． B． C． D．7．賀蘭山巖畫公園不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是巖畫公園風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為A． B．C．D．8．已知，點滿足方程，且有，則的取值范圍是A． B． C． D．9．若數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是A．B．C．D．或11．多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求．全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分．若選項中有其中個選項符合題目要求，隨機作答該題時至少選擇一個選項所得的分?jǐn)?shù)為隨機變量其中，則有A． B．C． D．12．勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是A．勒洛四面體被平面截得的截面面積是B．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13．記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則角________.14．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有________種不同的情況.（用數(shù)字作答）15．斜率為k的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓（x5）2+y2=9相切于點M，且M為線段AB的中點，則k=________.16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，則的值是________.解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．(12分)已知數(shù)列的首項a1=2，且(n≥2)．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．18．(12分)已知菱形邊長為，，以為折痕把△ABD和△CBD折起，使點到達(dá)點的位置，點到達(dá)點的位置，，不重合.（1）求證：；（2）若，求點到平面的距離.19．(12分)某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人（以下簡稱產(chǎn)品），統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合小小班幼兒使用（簡稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年營銷費用（萬元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤營銷費用，?。?參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.20．(12分)已知為坐標(biāo)原點，橢圓的上焦點是拋物線的焦點，過焦點與拋物線對稱軸垂直的直線交橢圓于兩點，且，過點的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點，記△APE面積為的面積為，求的取值范圍．21．(12分)已知函數(shù)，其中．（1）若有兩個零點，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosθ，y=2sinθ（θ為參數(shù)），以原點為極點，(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，點M的直角坐標(biāo)為1,0，求23．[選修45：不等式選講]已知均為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．銀川一中2024屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)(理科)參考答案1．【答案】C由,解得，又因為，所以，又由，可得，解得，所以，所以，2．由z1+i=1?1i=1+i3．A4．【答案】C【解析】由題意知，成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項A、B錯誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．5.【答案】B【解析】對于A，若，則有，所以，A錯誤；對于B，若，則有，所以，B正確；對于C，，所以，解得或，C錯誤；若與的夾角為鈍角，則，即，且與不能共線且反向，由A選項可知，當(dāng)時，，此時與共線且反向，所以若與的夾角為鈍角，則且，D錯誤，故選:B.6．【答案】A【詳解】由點在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，.故選A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；根據(jù)、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.【詳解】對于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，，當(dāng)時，；又過點；由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.故選：C.8.【答案】B【詳解】由題意，點且滿足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，其中，可得，則，可得雙曲線的漸近線方程為，又因為點滿足方程，即，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，即的取值范圍是.故選：B.9.【答案】A解：“，，”，取，則，為等比數(shù)列．反之不成立，為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，只有時才能成立滿足．?dāng)?shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的充分不必要條件．10.【答案】D設(shè)切點．因為，所以，所以點處的切線方程為，又因為切線經(jīng)過點，所以，即.令，則與有且僅有1個交點，，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時，，于是符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D11.【答案】B12.【答案】C對A選項結(jié)合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公式即可得到答案，而A選項的截面積為C選項的最大截面積，對B選項需要利用正四面體的高以及外接球半徑與棱長的關(guān)系，得到外接球半徑為，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，而此半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項.【詳解】對于A故A錯誤，截面示意圖如下：對于B，由對稱性知,勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心,如圖：正外接圓半徑,正四面體的高,令正四面體的外接球半徑為,在中,，解得,此時我們再次完整地抽取部分勒洛四面體如圖所示：圖中取正四面體中心為,連接交平面于點，交于點，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則由圖得，故B錯誤；對于C，顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個頂點的截面，由對A的分析知，故C正確；對于D，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切,即為勒洛四面體內(nèi)切球,所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，故D錯誤.故選：C．13.π14.54由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學(xué)排在三位置全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，故答案為：.15.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則又兩式相減得，則.設(shè)圓心為C（5，0），則kOM=，因為直線l與圓相切，所以，解得，代入得16．先對函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因為，其中，，由于函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.（1），，且，數(shù)列是以每一項均為的常數(shù)列，則，即；（2）由（1）得，，.18.（1）證明：菱形中，，設(shè)，交于點，連接，，則，，又，平面，平面，所以平面；又平面，所以；（2）因為菱形邊長為，，所以，則，又，所以，則，所以；在中，，，則，所以，所以；設(shè)點到平面的距離為，由題意，即，則.19.【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因為，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設(shè)年收益為萬元，則，設(shè)，，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時，有最大值為768，即該廠應(yīng)投入256萬元營銷費，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬元.20.【小問1詳解】因為的焦點坐標(biāo)為，所以，所以．因為，所以，化簡可得，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由（1）可知，可知過點的直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，化簡可得，設(shè)，則，，由，解得．根據(jù)弦長公式可得．因為的面積為的面積為，設(shè)點到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以，因此，因為，所以，則，從而，所以的取值范圍是．21．【解析】（1）由有兩個零點，得方程有兩個解，設(shè)，則，由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，所以的最大值為，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以可得函數(shù)的大致圖象，所以，解得，所以，有兩個零點時，的取值范圍是；設(shè)，即，則恒成立，由，，可得，下面證明當(dāng)時，，即證，令，則證，，令為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，由（1