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文檔簡介
2024屆杭州第二中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,3.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.4.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題5.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.26.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.7.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.8.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.已知,若則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.2511.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于每一個正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.12.已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,若點在角的終邊上,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則14.為激發(fā)學(xué)生團結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.15.若,則____.16.在的二項展開式中,所有項的二項式系數(shù)之和為256,則_______,項的系數(shù)等于________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當(dāng)時,證明:.18.(12分)已知圓外有一點,過點作直線.(1)當(dāng)直線與圓相切時,求直線的方程;(2)當(dāng)直線的傾斜角為時,求直線被圓所截得的弦長.19.(12分)已知橢圓過點,設(shè)橢圓的上頂點為,右頂點和右焦點分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點,設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.20.(12分)11月,2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦,其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過輪投球,用表示經(jīng)過第輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過計算機計算可估計得,請根據(jù)①中的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達式,并由此求出數(shù)列的通項公式.21.(12分)已知矩陣的一個特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.22.(10分)如圖,正方形所在平面外一點滿足,其中分別是與的中點.(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當(dāng)設(shè)切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.2、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時,函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.3、A【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時,若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯誤故選:A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.4、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯題.6、B【解析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項:【點睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進而利用弦長公式求得|AB|的表達式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,判別式找到解決問題的突破口.8、C【解析】
在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因為,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因為,所以,即,可化為,因為,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,10、C【解析】
通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、B【解析】
根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
由題知,又,代入計算可得.【詳解】由題知,又.故選:D【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,二倍角公式的應(yīng)用求值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14、2【解析】
根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【點睛】本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.16、81【解析】
根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得n,再利用展開式的通項公式求含項的系數(shù)即可.【詳解】由于所有項的二項式系數(shù)之和為,,故的二項展開式的通項公式為,令,求得,可得含x項的系數(shù)等于,故答案為:8;1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項式系數(shù)的性質(zhì),二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.所以是的最大值點,所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.所以是的最小值點,,則,故.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.18、(1)或(2).【解析】
(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果;(2)先求出直線方程,然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當(dāng)斜率不存在時,直線的方程為,滿足題意當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當(dāng)直線的傾斜角為時,直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式及弦長公式,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.19、(1)(2)直線過定點,該定點的坐標(biāo)為.【解析】
(1)因為橢圓過點,所以①,設(shè)為坐標(biāo)原點,因為,所以,又,所以②,將①②聯(lián)立解得(負值舍去),所以橢圓的標(biāo)準方程為.(2)由(1)可知,設(shè),.將代入,消去可得,則,,,所以,所以,此時,所以,此時直線的方程為,即,令,可得,所以直線過定點,該定點的坐標(biāo)為.20、(1)分布列見解析;(2)①;②,.【解析】
(1)經(jīng)過1輪投球,甲的得分的取值為,記一輪投球,甲投中為事件,乙投中為事件,相互獨立,計算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由兩輪的得分可計算出,計算時可先計算出經(jīng)過2輪后甲的得分的分布列(的取值為),然后結(jié)合的分布列和的分布可計算,由,代入,得兩個方程,解得,從而得到數(shù)列的遞推式,變形后得是等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項公式得,然后用累加法可求得.【詳解】(1)記一輪投球,甲命中為事件,乙命中為事件,相互獨立,由題意,,甲的得分的取值為,,,,∴的分布列為:-101(2)由(1),,同理,經(jīng)過2輪投球,甲的得分取值:記,,,則,,,,由此得甲的得分的分布列為:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項為,∴.∴.【點睛】本題考查隨機變量的概率分布列,考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查由數(shù)列的遞推式求通項公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題難點在于求概率分布列,特別是經(jīng)過2輪投球后甲的得分的概率分布列,這里可用列舉法寫出各種可能,然后由獨立事件的概率公式計算出概率.21、.【解析】
根據(jù)特征多項式可得,可得,進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式,所以,所以.因為,且,所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以
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