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文檔簡介
2024屆廣西北海中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.中,角的對邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.3.若函數(shù)恰有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.65.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸6.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn),使(為坐標(biāo)原點(diǎn)),且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.69.在中,角所對的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.若單位向量,夾角為,,且,則實(shí)數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-112.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.實(shí)數(shù),滿足,如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則的最小值為_______.14.如果橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在x軸上,且=,那么橢圓的方程是.15.直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于________.16.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開發(fā)商計劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長度設(shè)計到最長,求的最大值.18.(12分)在中,角的對邊分別為,若.(1)求角的大小;(2)若,為外一點(diǎn),,求四邊形面積的最大值.19.(12分)中,內(nèi)角的對邊分別為,.(1)求的大小;(2)若,且為的重心,且,求的面積.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)為曲線上位于第一,二象限的兩個動點(diǎn),且,射線交曲線分別于,求面積的最小值,并求此時四邊形的面積.21.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于,與交于,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關(guān)系,兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式,解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.2、C【解析】
先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】
求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn),函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個數(shù)的問題,難度不大.4、A【解析】
作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.5、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.6、D【解析】
利用向量運(yùn)算可得,即,由為的中位線,得到,所以,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn),則由得,即;在中,為的中位線,所以,所以;由雙曲線定義知,且,所以,解得,故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),難度一般.7、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.8、C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.9、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.10、C【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,寫出共軛復(fù)數(shù),寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析:,,對應(yīng)點(diǎn)為,在第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.11、D【解析】
利用向量模的運(yùn)算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算,求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為,確定出的值,進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時,取得最小值,此時直線為,作出直線,交于A點(diǎn),由圖象可知,目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值,所以直線也過A點(diǎn),由,得,代入,得,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.等價于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時,取得最小值,最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在解題的過程中,注意正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.14、【解析】
由題意可設(shè)橢圓方程為:∵短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在軸上∴又,∴,∴橢圓的方程為,故答案為.考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識.15、【解析】
由已知可知直線過拋物線的焦點(diǎn),求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離,進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過定點(diǎn),,而拋物線的焦點(diǎn)為,,弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.16、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(diǎn)(8,10)時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)米.【解析】
(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,取最大值,此時,的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.18、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理化簡等式可得,即;(2)根據(jù)題意,利用余弦定理可得,再表示出,表示出四邊形,進(jìn)而可得最值.【詳解】(1),由正弦定理得:在中,,則,即,,即.(2)在中,又,則為等邊三角形,又,-當(dāng)時,四邊形的面積取最大值,最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理,轉(zhuǎn)化為,分析運(yùn)算即得解;(2)由為的重心,得到,平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】(1)由,由正弦定理得C,即∴∵∴,又∵∴(2)由于為的重心故,∴解得或舍∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)面積的最小值為;四邊形的面積為【解析】
(1)將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程,將,代入曲線的極坐標(biāo)方程即可;(2)由(1)得曲線的極坐標(biāo)方程,設(shè),,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根據(jù)題意知,進(jìn)而可得四邊形的面積.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))消去參數(shù)得曲線的極坐標(biāo)方程為,即,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)依題意得的極坐標(biāo)方程為設(shè),,,則,,故,當(dāng)且僅當(dāng)(即)時取“=”,故,即面積的最小值為.此時,故所求四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段去絕對值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當(dāng)時,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點(diǎn)分段,熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵,是中檔題.22、(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可設(shè).結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為.半徑,則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與拋物
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