河南省鄭州市中牟縣求實學校2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題（含答案解析）

河南省鄭州市中牟縣求實學校2023-2024學年九年級上學期

第一次月考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列判定正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

C.四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形

D.一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

2.下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A.x2+x+l=0B.4X2+2X+1=0

C.X2+12X+36=0D.x2+x-2=O

3.方程N-4=0的根是（）

A.x=2B.x=-2C.xi=2,X2=-2D.x=4

4.若一元二次方程2x（kx-4）-x2+6=0無實數(shù)根，則k的最小整數(shù)值是（）

A.-1B.0C.ID.2

5.用配方法解一元二次方程4x-5=0的過程中，配方正確的是（）

A.（x+2）2=1B.（X-2）:1C.（x+2—9D.（JC-2）2=9

6.既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

7.如圖，G,E分別是正方形ABCD的邊AB,BC的點，且AG=CE,AE1EF,AE=EF,

現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE=；GE：②△AGEgZ\ECF；③NFCD=45。；?AGBE^AECH

其中，正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2-4x+3=0的根，則該三角形的

周長可以是()

A.5B.7C.5或7D.10

9.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的

百分率相同，求每次降價的百分率.設每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確

的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315

C.560(l-2x)2=315D.560(l-x2)=315

10.如圖，長方形紙片ABCD中，4)=4,AB=\0,按如圖的方式折疊，使點8與點。

重合，折痕為EF,則DE長為()

A.4.8B.5C.5.8D.6

二、填空題

11.已知菱形的周長為40cm,兩個相鄰角度數(shù)比為1:2，則較短的對角線長為,

面積為?

12.方程(2y+l)(2y-3)=0的根是.

13.從3,0,—1,—2,一3這五個數(shù)中抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=(5-M)x和關(guān)于x

的一元二次方程(〃?+1)/+〃a+1=0中01的值.若恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象

限，且使方程有實數(shù)根，則滿足條件的m的值是.

14.如圖，己知E、F、G、H分別為菱形ABCD四邊的中點，AB=6cm,ZABC=60°,

15.菱形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示，其中點A的坐標為(1,0),點B的

坐標為(0，百)，動點P從點A出發(fā)，沿A玲B玲C玲D玲A玲B+..的路徑，在菱形的邊

試卷第2頁，共4頁

上以每秒0.5個單位長度的速度移動，移動到第2015秒時，點P的坐標為

三、解答題

16.按要求解一元二次方程：

（D4x2-8x+l=0（配方法）；

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）；

⑶3f+5（2x+l）=0（公式法）.

17.如圖，菱形中的對角線AC,相交于點。，BE//AC,CE//BD.求證:

四邊形08EC是矩形.

18.中華商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經(jīng)市場調(diào)查,

這種襯衫每件漲價4元，其銷售量就減少40件.如果商場計劃每月賺得8000元利潤，

那么售價應定為多少？這時每月應進多少件襯衫？

19.李明準備進行如下操作實驗，把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連

各圍成一個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2,李明應該怎么剪這根鐵絲？

（2）李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2,你認為他的說法正確嗎？請說

明理由.

20.在矩形ABC。中，AB=5,A￡>=12,尸是上的動點，于點E,PFYBD

21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+nz=0.

（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)〃，的取值范圍;

（2）若方程兩實數(shù)根為用，始，且滿足5打+2丫2=2,求實數(shù)，”的值.

22.閱讀下列材料.，并用相關(guān)的思想方法解決問題.

計算:'444111汨)?

x-+-+-

345

10142_J_

令;+;+;=?,則原式=（1一）__廣—f___

555-5

問題:

（1）計算:

I1111111]1-<4444、,1111、

X—+―+-H—+...-------)x(—I—H----1-...H----------)

"2^3"4"*，，-201423452015201420152342014

（2）解方程任+5*+1）任+5工+7）=7.

23.如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，連接AG、CE.

（1）求證：AG=CE；

（2）求證：AG±CE.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案.

【詳解】A、對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形，故A錯誤；

B、兩條對角線相等且平分且互相垂直的四邊形是正方形，故B錯誤；

C、四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，故C正確；

D、一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形、可能是等腰梯形，故D錯誤；

故選C

【點睛】本題考查了多邊形，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

2.C

【詳解】解：A.方程尤2+彳+1=0,?.?△=1-4V0,方程無實數(shù)根；

B.方程4/+2丫+/=0，VA=4-16<0,方程無實數(shù)根；

C.方程/+⑵+36=0,*.,△=144-144=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

D.方程V+x—2=0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故選C.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式.

3.C

【分析】先移項，然后利用數(shù)的開方解答.

【詳解】解：移項得9=4,開方得x=±2,

.".xi=2,X2=-2.

故選C.

【點睛】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2—a（a>0）,ax2—b（a,b同

號且"0）,（x+a）（h>0）,a（x+b）2=c（a,c同號且存0）.法則：要把方程化為“左

平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1,再開平方取正負，分開求得方程解”；（2）運用整體思想，

會把被開方數(shù)看成整體；（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點.

4.D

【詳解】2x（履-4）-x2+6=0

答案第1頁，共12頁

(2A:-1)X2-8X+6=0,

A=(-8)2-4(2A:-1)X6<0,

?'k>—，，上2.所以選D.

6

5.D

【分析】先移項，在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得出答案.

【詳解】解：X2-4X=5,

X2-4X+22=5+22,

(X-2)2=9,

故選：D.

【點睛】此題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)犍是能正確用配方法解方程.

6.D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形,有4條對稱軸；

矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸；

菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸.

故選D.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,

圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖

重合.

7.B

【詳解】解：???四邊形是正方形，

:.NB=/DCB=90。,AB=BC,

"：AG=CE,

:?BG=BE,由勾股定理得：BE=^GE,???①錯誤；

2

BG=BE,ZB=90°,

：.ZBGE=ZBEG=45°9

：.ZAGE=135°,AZGAE+ZAEG=45°f

答案第2頁，共12頁

???ZAEF=90°,

VNBEG=45。,

：./AEG+/FEC=45。,

：.ZGAE=ZFECf

在仆GAEaiACEF中，

AG=CE

<NGAE=NCEF,

AE=EF

???②正確；

???ZAGE=ZECF=\35%

：.ZFCD=\35°-90°=45°,???③正確；

VZBGE=ZBEG=45O,ZAEG+ZFEC=45°,

AZFEC<45°,

???△GBE和不相似，，④錯誤；

即正確的有2個.

故選二

8.B

【分析】先通過解方程求出等腰三角形兩邊的長，然后利用三角形三邊關(guān)系確定等腰三角形

的腰和底的長，進而求出三角形的周長.

【詳解】x2-4x+3=0

(x-3)(x-l)=0,

x-3=0或xT=O,

所以x廣3,x2=1.

當三角形的腰為3,底為1時，三角形的周長為3+3+1=7,

當三角形的腰為1,底為3時不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去，

所以三角形的周長為7.

故答案選B

9.B

【分析】設每次降價的百分率為x,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1一降價的百分率)，

則第一次降價后的價格是560(1-x),第二次后的價格是560(1-x)2,據(jù)此即可列方程

答案第3頁，共12頁

求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，設每次降價的百分率為X,

可列方程為：560(1-X)2=315.

故選：B

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件,

這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可.

10.C

【分析】設。E=EB=x,在RJAOE中，利用勾股定理列出方程即可解決問題.

【詳解】解：：四邊形EFC,。是由四邊形EFCB翻折得到，

；.DE=EB,

設DE=EB=x,

在RtAADE中，

VZA=90°,AD=4,DE=EB=x,AE=\0-x,

%2=42+(10-X)2,

解得：x=5.8,

，OE=5.8,

故選：C.

【點睛】本題考查了翻折變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用翻折中的不變量解決問

題，學會把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考?？碱}型.

11.10cm50>^cm2

【分析】根據(jù)已知可求得菱形的邊長及其兩內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)勾股定理可求得其對角線的長,

根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積.

【詳解】解：根據(jù)已知可得，

菱形的邊長/W=8C=C￡)=49=10cm,ZABC=60°,/B4D=120。,

二A8C為等邊三角形，

答案第4頁，共12頁

/.AC=AB=10cm,AO=CO=5cm,

在Rl/XAOB中，根據(jù)勾股定理得：BO==5>/3(cm),

/-8。=280=10限m,

2

貝ljS*加8co=gxACxBO=；x1()x1()3=50G(cm)；

故答案為：10cm,50^cm2.

【點睛】本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合.菱形的面積有兩種求法(1)利

用底乘以相應底上的高(2)利用菱形的特殊性，菱形面積=；x兩條對角線的乘積.

13

12.yi=--,y2=Q

【詳解】(2y+l)(2y-3)=0,

2y+l=0,,2y-3=0,

13

解得y/=-5，y2=~.

13.-2.

【詳解】解：?.?所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，；.5->>0,???/<5,二3,0,-1,

-2,-3中，3和-3均不符合題意，

將m=0代入(zn+Dx?+蛆+1=0中得，x2+1=0.△=-4<0,無實數(shù)根；

將a=-1代入(〃?+1)*2+"a+1=0中得，一x+l=0,x=l,有實數(shù)根，但不是一元二次方程；

將加=一2代入(巾+1)/+曜+1=0中得，X2+2x-l=0>△=4+4=8>0,有實數(shù)根.

故m=-2.

故答案為-2.

【點睛】本題考查根的判別式；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

14.96

【詳解】解：連接AC,BD,相交于點O,如圖所示，

答案第5頁，共12頁

???E、F、G、H分別是菱形四邊上的中點,

，EH=；BD=FG,EH〃BD〃FG,

EF=1AC=HG,

.??四邊形EHGF是平行四邊形，

:菱形ABCD中，AC1BD,

AEFIEH,

.??四邊形EFGH是矩形，

四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.ZABO=30°,

VAC1BD,

二NAOB=90。，

，A0=；AB=3,

AC=6,

在RSAOB中，由勾股定理得：OB=JAB2-OT=35

.*.BD=65/3,

VEH=|BD,EF=；AC,

；.EH=36，EF=3,

二矩形EFGH的面積=EF?FG=9gcm2.

故答案為：9G.

15.一旦/(0.5,--)

222

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直可求出菱形的邊長，根據(jù)點P的運動速度，當點P運

動2015秒后，找到點P的位置，根據(jù)中點坐標公式可求解.

答案第6頁，共12頁

【詳解】解：(1,0),B(0,G),

,,AB=Jr+—2.

?.?點P的運動速度為0.5米/秒，

從點A到點B所需時間=2+0.5=4秒，

...沿ATBTCTO—A所需的時間=4X4=16秒.

V2015-16=125...15,

...移動到第2015秒時，點P恰好運動到AD的中點,

￡)(0,-揚，4(1,0)

0+1_1_6+0_6

'_2-='T

???尸(卜季

故答案為：(，-*)?

【點睛】本題考查菱形中點的坐標，熟練掌握菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、圖形的規(guī)律是

解決本題的關(guān)鍵.

16.(1)%=1+烏*2=1-且；

22

c26

(2)Xj=---,x2=—；

-5+加-5-V10

【分析】(1)根據(jù)配方法的步驟解一元二次方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)公式法解方程即可.

【詳解】(1)解：4X2-8X+1=0，

?,4x2—8x=—1>

：.X2-2X+\=--+\,即：(x-l)2=-,

44

??x-1=±—,

2

答案第7頁，共12頁

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）,

.?.7x（5x+2）-6（5x+2）=0,

/.（7x-6）（5x+2）=0,

，5x+2=0或7x-6=0,

?.?X=——2=—6；

5-7

（3）3x~+5（2x+1）=0,

；?3X2+10X+5-0.

/.a=3,b=10,c=5,

AA=102-4X3X5=40>0,

.-10±5/40-5±>/i0

??X=-----=----，

2x33

.-5+V10-5-710

【點睛】本題考查解一元二次方程.解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法,正確的計算.

17.見解析

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC1BD,由平行線的性質(zhì)可得NBOC=NOCE=NOBE=90。,

即可得證.

【詳解】證明：???菱形A8C。中的對角線AC,83相交于點0,

AC1BD,

VBE//AC,CE//BD,

：.ZBOC=Z.OCE=NOBE=90°,

四邊形OBEC是矩形.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行

線的性質(zhì)、矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

18.當售價定為60元時，每月應進400件襯衫；售價定為80元時，每月應進200件襯衫.

【詳解】試題分析：利用總利潤=單件利潤X總銷售件數(shù)，列一元二次方程，一元二次方程

有兩個解，需要分類討論.

試題解析：

答案第8頁，共12頁

設漲價4x元，則銷量為(500-40x),利潤為(10+4x),再由每月賺8000元，可得方程，

解方程即可.

解：設漲價4x元，則銷量為(500-400,利潤為(10+4%),

由題意得，(500-40x)x(10+4x)=8000,

整理得，5()00+2000x-400x-160『=8000,

解得：xi=|-,%2=y>

當xi=|■時，則漲價10元，銷量為：400件；

當X2=g時，則漲價30元，銷量為：200件.

答：當售價定為60元時，每月應進400件襯衫：售價定為80元時，每月應進200件襯衫.

19.(1)李明應該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段；(2)李明的說法正確，理由見解析.

【分析】(1)設剪成的較短的這段為xcm,較長的這段就為(40-x)cm.就可以表示出這

兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

(2)設剪成的較短的這段為mcm,較長的這段就為(40-%)cm.就可以表示出這兩個正

方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明李明的

說法錯誤，否則正確.

【詳解】解：(1)設其中一段的長度為xcm,兩個正方形面積之和為scnR

V-

B|J5=---5x+100(其中04<40),

8

當s=58時，

x2

58=——5x+100,

8

解得％=12,X2=28,

???應將之剪成12cm和28cm的兩段;

(2)兩正方形面積之和為48時，

2

48=---5x4-100,

8

整理得：X2-40X+416=0,

(-40)2-4x1x416=-64<0,

答案第9頁，共12頁

該方程無實數(shù)解，也就是不可能使得兩正方形面積之和為48cm2,李明的說法正確.

【點睛】題目主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應用，理解題意，列出相應方程及函數(shù)關(guān)

系式是解題關(guān)鍵.

【分析】連接PO,過。作人AC于M,求出AC、DM,根據(jù)三角形面積公式得出

PE+PF=DM,即可得出答案.

【詳解】解：連接P。，過。作。M工AC于

???四邊形ABCD是矩形，

AZADC=90°,AB=CD=5,AD=\2,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

:.OA=OD,

由勾股定理得：AC=4AB2+BC2=>/52+122=13-

二OA=OD=6.5,

VS=-xl2x5=-xl3xDM,

ADC22

：.DM=—,

13

??S_Q_1_Q

?^AOD-0APO丁0DPO，

：.-xAOxPE+-xODxPF=-xAOxDM,

222

PE+PF=DM=—,

13

故答案為：—.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出長和得

出PE+PF=DM.

21.(1)/n<4；(2)m=-l2.

【分析】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac>0,建立關(guān)于〃，的不等

式，求出”的取值范圍；

答案第10頁，共12頁

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到X/+/2=4,又5打+2垃=2求出函數(shù)實數(shù)根，代入機=打式2,

即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)??,方程有實數(shù)根，

/.J=(-4)2-4/n=16-4ni>0.

；?m<4.

(2)???方程兩實數(shù)根為打,xi,

/.xi+x2=4fX]X2=mf

*/5X/+2^2=2,

5X/+2X2=2(X/+X2)+3X/=2X4+3X/=2,BPx/=-2,

/?X2=6,

tn=xiX2=-12.

【點睛】本題考查了一元二次方程62