遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷及答案

2023?2024學(xué)年上學(xué)期高三年級12月聯(lián)考卷7.函數(shù)/Gr)=2sin(2x+g(|同V字)的圖象向右平移看個單位長度后關(guān)于原點對稱,若關(guān)于

x的方程/(1)=一■在［0,”)內(nèi)有兩個不同的解a,0，則cos(a—/3)=

數(shù)學(xué)A—+B./C-1D.專

8.已知a=0.8as+0.8a7+0.809,6=0.6o8+O.7。/+0.8。淖,c=e-6+e-絲+eT，貝ij

A.a>6>cB.a>c>6C.c>a>6D.6>c>a

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

考生注意：

求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得。分。

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前?考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色用水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。9.人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，即

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡“人均GDP”,常作為發(fā)展經(jīng)濟學(xué)中衡量經(jīng)濟發(fā)展狀況的指標,是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之

上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色旦水簽字筆在答題卡上一.在國家統(tǒng)計局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位:元)

各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作的數(shù)據(jù)，如圖所示，則

皆不尊。..................................................

4.茶陵正題范圍：高考范圍。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.{1,3}(0,1,2,3,{1,3}},橫線上可以填入的符號有

SA只有€R只有U

SC.A與￡都可以口=與€都不可以

2.已知復(fù)數(shù)Z=i2023Q+2D,則z=

A.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增

A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+iB.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201

3.空間不重合的三個平面可以把空間分成C.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828

A4或6或7個部分B.6或7或8個部分D.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長量最小的是2020年

C.4或7或8個部分D.4或6或7或8個部分10.已知fGr)是定義在R上的偶函數(shù)，g(z)是定義在R上的奇函數(shù)，且在

4.在二項式(右一力)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的是(-8,0］上單調(diào)遞減，則

A./(/(x))是奇函數(shù)B"(g(z))是偶函數(shù)

A.第3項B.第4項C.g(gCz))在［0,+8)上單調(diào)遞減D.g(f(z))在［0,+8)上單調(diào)遞減

C.第5項D.第3項和第4項11.已知a>0,6>0,a+26=2,則

5.已知雙曲線與一哲=l(a>0,6>0)的離心率為e,若點(2,而)與點”,2)都在雙曲線上，則A.工+2的最小值為9B./+〃的最小值為座

ababo

e=c.ab的最大值為/D.(&)"+2。的最小值為242

A.72B.&或悟

12.如圖,棱長為2的正四面體ABCD的頂點A,B,C分別在兩兩垂直的

C.2或3D.>/3三條射線a,Oy,Oz上，則

6.數(shù)學(xué)家切比雪夫曾用一組多項式闡述余弦的n倍角公式，即cos行=。(cosx),T(x)=l,

0A.三棱錐O-ABC的體積為烏

234253

T1(X)=X,T2(X)=2X-1,T3(X)=4X-3X,T4(J)=8X-8X+1,T5(X)=16X-20X

+5z,…,則cos218°=B.直線OA〃平面BCD

A?5^c*D^=2C.直線BD與OA所成的角是45°

兒8H8*8'4D.0口_|_平面ABC

【高三年級12月聯(lián)號卷?數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】243204Z【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】243204Z

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。20.(本小題滿分12分)

13.已知F為橢圓C：［+y2=l的右焦點,P為C上一點，則|PF|的最大值為.已知函數(shù)已知

14.已知S.是數(shù)列(a”｝的前〃項和,為=1,。2=1，數(shù)列｛4+&+】>是公比為2的等比數(shù)列，則(1)若a=0,求函數(shù)f(1)的單調(diào)區(qū)間；

S§=.⑵若對ViGRJGr))。,且人力)在工=0處取得極小值，求a的取值范圍.

15.已知16個邊長為1的小菱形的位置關(guān)系如圖所示,且每個小菱形的最小內(nèi)角為60°,圖中的

A,B,C,D四點均為菱形的頂點，則俞?BC=.

21.(本小題滿分12分)

2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧

運項目和9個非奧運項目.為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況，某學(xué)校進行

\XX7了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件4="了解亞運會項目”，

16.半徑為r的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高

B="學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計P(A|B)T，尸(B|A)=等.

人,球缺的體積公式為丫=/應(yīng)(3，+公).已知圓錐SO的軸截面是邊長為2的正三角形，在

(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.001的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)

圓錐內(nèi)部放置一個小球。，使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過小球與圓錐側(cè)面的切點所在

生對亞運會項目的了解情況與性別有關(guān)？

的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球。的體積之比為.

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。了解不了解合計

17.(本小題滿分10分)男生

已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,皇卷，工;二也女生

合計

(1)求A；

(2)若3c=36+ga,證明：c=26.(2)現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學(xué)生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，再從

這9名學(xué)生中隨機抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

附：犬=(開加甯京R)(6+d)，〃=a+6+c+d.

18.(本小題滿分12分)

在數(shù)列｛an｝中,q=1,蟲」+—=0.a0.0500.0100.001

a”+ia”X.3.8416.63510.828

(D求證：｛(一D"7a“｝為等差數(shù)列；

(2)求｛4｝的前〃項和S..

22.(本小題滿分12分)

已知拋物線C：y2=Zpx(/>>0)經(jīng)過Ai(4a?4a)?A(4a,—4a),A(6a?3a),A<(a,a)

19.(本小題滿分12分)z3

(a>0)中的2個點，且焦點為Fi傳+1,0卜尸2(2々+1,0)中的一個點.

如圖，已知四邊形ABCD為菱形,。E_L平面ABCD,BF_L平面ABCDfAD=BD=ED=2.

(D證明：平面BCF〃平面ADE；(1)求C的方程；

(2)若平面AFE_L平面BFC,求BF的長.(2)判斷是否存在定直線/,過直線I上任意一點尸作C的兩條切線，切點分別為M,N,恒有

PM_1_PN且直線MN過C的焦點？若存在，求出I的方程,若不存在,請說明理由.

【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】243204Z【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】243204Z

2023?2024學(xué)年上學(xué)期高三年級12月聯(lián)考卷-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

1.C{1,3}是集合的一個元素，所以{1,3}e{0,1,2,3,{1,3}},因為1.36{0,1,2,3,{1.3}},所以

{1,3}1{0*1,2,3,{1,3}},所以橫線上可以填入的符號有1與C都可以.故選C.

2.Bz=i2Q?3(H-2i)=-i(l+2i)=2-i,z=2+i.故選B.

3.D如圖所示，

所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分.故選D.

4.B二項式（五一A?的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的是第4項.故選B.

［與_白=1,

5.D由點（2,西），（e,2）在雙曲線自一g=1上,得|：則生滔《一看=0,即^^晨=.=02—1,整理

得e。5產(chǎn)+6=0,解得i=2或e2=3.當(dāng)e2=2,時,/=〃，此時方程今一%=1無解，不滿足題意；當(dāng)

e2=3時=2次,而，*~=1，解得a=\,b=J^，滿足題意.所以e=4^.故選D.

53

6.A由cosnx=Tn（cos%），得cos（5X18°）=T5（cos18°）=16cos18°—20cos18°+5cos18°,即16cos§18°—

20cos318°+5cos180=0,整理得16cos418°—20cos?18°+5=0,令2=cos218°,則16於一20方+5=0,解得t=

后，因為18。<30。,所以cos18。>亨,%=35218。〉~|~,所以,="號工故選A.

7.B函數(shù)f（G=2sin⑵+0（|cp\<號）的圖象向右平移發(fā)個單位長度后，得到函數(shù)產(chǎn)2sin（2z一（+w）

的圖象，因為所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以2sin（—十+少）=0,則有一寵+W=￡7T,%GZ,因為|9|<

戈■，所以■，所以f=2sin（2%+g）.因為xG匚0,冗），所以21+今6［彳■，竽），由"^）=

2sin（2jcH牛）=可得sin（2rrH~~牛）=5，所以2。+號+2/5+子=號><2=37,且sin（2/?H~~牛）=

—則a+廣受，所以cos（?—/?）=cos（-^—2/?）=—sin（^-+2y3）=^~.故選B.

8.A設(shè)“工）=0.83由/（工）圖象可得，當(dāng)傷力小時/（工1〉/色》>/（嗎也），所以a=0.8-+0.8型

+0.8°-9>3X0.80'7.設(shè)gCz）=38（“〉（）），由gCG圖象可得，當(dāng)zj片七時g〈zQ［g<@><

g（丐衛(wèi)），所以5=0.60'8+0.7°-?+0.8°*<3X0.7°",因為0.8l）7>0.7°-7>0.7°8,所以a>b.設(shè)/z（z）=

Inz—1+』<0<Z<1），則，0）=上一-工）在〈0,1）上單調(diào)遞減，所以0<z<l時九（工）〉九（1）

XXX~

=0,所以lnz>l—--,0.81n0.6>《（1—言）=一條,所以0.淤黑Ae嚏，同理可得0.7a8>e-i,0.8°-8>

eT,所以a>b>c.故選A.

【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共6頁）】243204Z

9.ABD由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增,A正確；2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總

值的極差為85698-43497=42201,B正確；因為10X80%=8,所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分

位數(shù)是71828腎378=76603,C不正確；由圖中數(shù)據(jù)分析可知,2020年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長為71828

-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的,D正確.故選ABD.

10.BD對于A,不妨設(shè)f（oc）=/,g（%）=一圮，滿足題意，此時f（/（￡））=（興）2=14為偶函數(shù)，故A

錯誤；

對于B,/（g（-z））=/（—gCz））=/（g（i））,故/（gCz））為偶函數(shù)，故B正確；

對于C,g（g（z））=—（—］）=］在匚0,+8）上單調(diào)遞增，故c錯誤；

對于D,因為“其）是定義在R上的偶函數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),所以有=/（—%）,g（z）

=—g（一力），又”］）,8（1）在（一8,0口上單調(diào)遞減,且當(dāng)一支《0時，有所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可

知,/（%）="一%）,g（］）=—g（—1）在匚0,+8）上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，不妨設(shè)<冗2,則

）</（g））），所以）在匚0,+8）上單調(diào)遞減，故D正確.故選BD.

11.CD對于A,因為a>0,6>0,a+26=2,所以1+=春（—4-■）（a+26）=春（5+絲+學(xué)）>

ab乙'ab，ab/

得（5+2/\/義?紗）■，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=~|■時取等號，°H!■取得最小值■，故A錯誤；

乙\Nab，AJa04

對于8,/+加=〃+（2—2力2=5"—86+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，=春,0=鳥時,/+加取得最

00

小值卷，故B錯誤;

對于C,因為2=a+26）2拓，所以。戾號，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=l,即a=l北=為時取等號*故C正確；

對于D,（四）"+2。=潴+2拒2，^二~談=2，^==2氏當(dāng)且僅當(dāng)受=6=:，即。=1,匕=母時取等

號，故D正確.故選CD.

12.ACD對于A,易知OA2+OB2=OB2+OC2=OC?+QV=4,可得OA=OB=OC=

傷,匕"=呆呆/*晨歷=考,故A正確；

對于B,將正四面體ABCD放入正方體中，如圖所示，因為OA〃CF,CFC平面BCD

=C，所以O(shè)A與平面BCD不平行，故B錯誤；

對于C,顯然OA與BE平行，所以/DBE為異面直線BD與OA所成的角，又/DBE=45°,所以直線BD

與。A所成的角是45°,故C正確；

對于D,由C選項的分析可知在正方體中，可以得到ODJ"平面ABC,故D正確.故選ACD.

13.2+73依題意。=2,6=1"=乃，|PF|<a+c=2+73.

14.341I?數(shù)列是公比為2的等比數(shù)歹=1,恁=1,，?+?！?1=2X2”T=2%S9=ai+

48

（。2+。3）+（“4+恁）+（。6+。7）+（。8+。9）=1+22+2+2‘+2=341.

15.-6因為每個小菱形的最小內(nèi)角為60°,所以每個小菱形都可以分為兩個正三

角形.以該圖形的對稱軸為了軸，過點A作對稱軸的垂線為］軸,建立平面直角

坐標系，如圖所示，則A（—,0）,B（^-,V3）,C（—^-,—73）,。（2,—專），A

所以翁=居，—彳），炭=（—2,—2痣）,AD?炭=-9+3=—6.

【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）】243204Z

16.甘如圖所示為圓錐軸截面,M,N為小球與圓錐側(cè)面的切線上兩點，圓錐母線/=2,設(shè)內(nèi)切球O'的半徑為

小由題意ASAB是等邊三角形，則08=1,50=展,所以小球。的半徑支=。0=專.又NSQAn/SMO

=￡■，所以△SMO's/XSOA,則渭=票，解得SM=1,則M是SA中點，同理I

可得N是SB中點，所以MN=、B=1,故O'到MN的距離為則上部分球Z2TX

缺的高仁與一片=§，上部分，即較小部分球缺的體積為丫=!族(3/十九2)/k

甘X§*[3義(停)2+(得)[=繚X居,則較小部分球缺的體積與球O'A/_-

V3-7txz13

的體積之比為生：(?；=￡.

17.(1)解：由題意曰=迎先駕"，由正弦定理可得曰=尋.............................1分

csmA-rsin±>ca-\-b

即(a—6)(a+6)=c(c—6),所以c2+〃一Y=6C...............................................2分

故cosA=---詆---=~29.................................................................3分

而AG（0,冗），故A=]-....................................................................5分

（2）證明:因為3c=36+毒a,由正弦定理可得3sinC=3sinB+伍sinA,.........................6分

即3sin（第—B）—3sinB—sin號=等，

所以3^cosB|-sinB=-1-，即y^cosB-sinB=1,所以sin（-^—B）=g.....................7分

乙乙乙j乙

因為BG（0,式），所以—BG（—W，9）,貝！—_B=《，_B=￡................................8分

O00O00

故。=冗—~g---3~=~2~9

故在RtZ\ABC中,6=9,所以c=26.......................................................10分

18.(1)證明：由吐1十衛(wèi)二。,得讓^:一二.

a"+ia”a〃+ia”

因為」=l#o,所以｛4｝是首項為工=1,公比為一1的等比數(shù)列............................2分

ai(an)%

則衛(wèi)=(一1)"T,所以(-1)"-%〃=".......................................................4分

an

則(—1)"一1為一(一1尸—2々〃_]=〃—(％—[)=],

故｛(一I)"-%”)是首項為1,公差為1的等差數(shù)列..........................................6分

(2)解：由(1)知&=(-1)〃—％,

當(dāng)九為偶數(shù)時，S?=(<21+&)+(。3+々4)+…+(<2?-1+<2?)

=El+(-2)l+：3+(-4)H——^：(n-l)+(-n)l

=+------h(-l)

當(dāng)n為奇數(shù)時,S"=Sn-i+&

n—1I

=一~r+n

=展.............................................................u分

【高二年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共6頁)】243204Z

［一今，"為偶數(shù)；

故s”=<...............................................................12分

［衛(wèi)廠，附為奇數(shù).

19.⑴證明：因為DE_L平面ABCD,BF_L平面ABCD,所以DE//BF,

又DEU平面ADE,BFU平面ADE,所以BF〃平面ADE....................................2分

因為四邊形ABCD為菱形，所以BC//AD.

又ADU平面ADE,BCU平面ADE,所以BC〃平面ADE....................................4分

因為BCnBF=B,BC,BFU平面BCF,

所以平面BCF〃平面ADE..............................................................5分

(2)解:設(shè)BD交AC于點O.取EF中點H,連接0H,所以O(shè)H〃ED,OH_L底爸.

面ABCD以0為原點，以?！昝?而分別為①軸,y軸,z軸的正方向建立空￡

間直角坐標系，/i\\

因為AD=BD=ED=2,所以04=00=而，/：

設(shè)BF=a,則A(行,0,0),C(-73,0,0),B(0,1,0),FC0,l,a),

D(0,-1,0),E(0,-1,2)......................................6分二

所以FA=(yj,_1,—Q),EA=(yj,l,_2),

設(shè)平面EFA的一個法向量為機=Cx,y,z'),

貝?雨?FA=0^l^3x—y—az=09

、?EA=0\^f3T-\-y—2z=0,

令之=2悟，得/n=(2+〃,2乃一島,2乃)；...............................................8分

BF=(0,0,a),BC—(—A/3^,—1,0),

設(shè)平面BFC的一個法向量為〃=,方，之1),

(n?BF=Q[azi=0,

則.0r-

\n,BC—01一一例=0,

令11=1,得〃=(1,一乃,o)..........................................................10分

因為平面AFE,平面BFC,所以W-"=4a—4=0,解得。=1,

故BF的長為1......................................................................12分

20.解：（1）當(dāng)a=0時,/■〈工〉=言^,定義域為〈一口,一1〉U（一1,+8）........................1分

r/,、_1（41+4）—4e^_4j：ex。八

f3=<4工+4*=〈丘+4〉2’....................................................2分

令f（工）=0,可得工=0,

當(dāng)z變化時,/（工〉和/〈Z〉的變化情況如下：

(—oo,—l)(-1,0)0(0,+oo)

fCl)——0+

f(%)單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,』1〉，〈』1,0）；單調(diào)遞增區(qū)間為<0,+8'）..............4分

⑵因為/J〉=KE〉°對V工CR恒成立,所以a/+4z+4〉°對VzCR恒成立,

則HU；?一不解得a>L.....................................................5分

[△=42—4XQX4<0,

r

rf(x—音(a/+4久+4)—6(2ai+4)_e\z(ai+4—2a).公

/(^2+4^+4)2—(++41+4)2'......................................................................b力

令r（1）=o,可得i=o或2—■,

當(dāng)a=2時,2—!=0,

【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共6頁）】243204Z

因為f9=￡+4）2十°'（當(dāng)且僅當(dāng)工=。時'，（”）=0）

所以函數(shù)/Xz）在R上單調(diào)遞增,無極值,不滿足題意；.....................................7分

當(dāng)l<a<2時.2—~-<0,

a

/（］）和/（無）的變化情況如下：

o4(0,+8)

JC（-。。，2—9）aI，。）0

fr（力）+0—0+

“尤）單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

函數(shù)/（］）在7=0處取得極小值，滿足題意；...............................................9分

當(dāng)a>2時,2—和八上〉的變化情況如下：

X(—00,0)02」（2-十，+8）

（Da

（才）+0—0+

5單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

函數(shù)/（工）在工=0處取得極大值，不滿足題意............................................11分

綜上，實數(shù)a的取值范圍為（1,2）...........................................................12分

21.解:⑴因為A）=!，

所以對杭州亞運會項目了解的女生為得X50=30,了解亞運會項目的學(xué)生為粵=45,..............2分

T

結(jié)合男生和女生各50名，填寫2義2列聯(lián)表為：

了解不了解合計

男生153550

女生302050

合計4555100

..........................................................................................3分

零假設(shè)Ho:該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān)，

扇士尸刈砰土…川4旭2_100X（15X20—30X35）2_100_八2,”ccc一

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)=50X50X45X55=1T恃9n,091Vls828=zo.ooi,

依據(jù)a=0.001的獨立性檢驗，可以推斷Ho成立，

即該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān)......................................6分

（2）由（1）知,采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，其中男生人數(shù)為誣，X9=3（人）；

女生人數(shù)為記"X9=6（人）..........................................................7分

由題意可得，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

F（X=O）=^=^,F（X=l）=^=1j,

P（X=2）=^=^,P（X=3）=^=yj-.

Vy914l_X）/1

【高三年級12月聯(lián)考卷?數(shù)學(xué)參考答案第5頁（共6頁）】