【十年真題】近十年（2012-2021）全國各地高考數(shù)學(xué)真題分類匯編16 統(tǒng)計(jì)（教師版）

2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編統(tǒng)計(jì)（精解精析）

一、選擇題

1.（2021年高考全國甲卷理科）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家

庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

解析：因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即

可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為604+0.02x3=0.10=10%,故B正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10+10X0.10+11X0.（M+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68（TJ7C）,

超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的

頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總

體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于各之x組距.

組距

2.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)皿卷理科）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，

并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，

其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過

《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總

數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】c

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90—80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為

70+100=0.7.故選C.

另解：記看過《西游記》的學(xué)生為集合4,看過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生為集合&則由題意可得韋恩圖：

則看過《西游記》的人數(shù)為70人，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70+100=0.7.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).根據(jù)容斥原理或韋恩圖，利用

轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.但平時(shí)對(duì)于這類題目接觸少，學(xué)生初讀題目時(shí)可能感到無從下手。

3.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國H卷理科）若a>6,則（）（）

A.ln（a-Z>）>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.\a\>\b\

【答案】C

【解析】取a=2力=1,滿足a>6,ln（a—Z?）=0,知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3">3>=3，知B

錯(cuò)，排除B；取a=l,b=-2,滿足a>>，l=\a\<\b\=2,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)槟缓瘮?shù)丁=必是

增函數(shù)，a>b,所以〃>>3,故選c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、塞函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和

運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

4.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的

成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原

始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

【答案】A

【解析】設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為X1<X2<X3<Z</</.則①原始中位數(shù)為%,去掉

最低分再，最高分而，后剩余<4，中位數(shù)仍為A正確.

-1_I

②原始平均數(shù)X=</<%3<%4，</<%），后來平均數(shù)*'=亍（％2<%3</）

平均數(shù)受極端值影響較大，是與F不一定相同，B不正確；

由②易知，C不正確；

④原極差=%9-芭，后來極差=4-%2顯然極差變小，D不正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.可不用動(dòng)筆，直接得到答案,

亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案.

5.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））某地區(qū)經(jīng)過一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)

翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入

構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【答案】A

解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a,建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a.

A項(xiàng)，種植收入37x2a-60%a=14%。>0,故建設(shè)后，種植收入增加，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

B項(xiàng)，建設(shè)后，其他收入為5%X2a=10%a,建設(shè)前，其他收入為4%a,故10%a+4%a=2.5>2,

故B項(xiàng)正確.

C項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%X2a=60%a,建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%。，故60%。+30%。=2,故C

項(xiàng)正確.

D項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為（30%+28%）X2a=58%X2aa,經(jīng)濟(jì)收入為2。，故

（58%X2a）+2a=58%>50%,故D項(xiàng)正確，因?yàn)槭沁x擇不正確的一項(xiàng).

故選：A.

6.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形

圖。以下結(jié)論不正確的是（）

（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

解析：由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故

選D.

考點(diǎn)：正、負(fù)相關(guān).

7.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)

生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生

視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

【答案】C

解析：因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)

段分層抽樣，故選C.

考點(diǎn)：（1）10.1.3分層抽樣.

難度：A

備注：高頻考點(diǎn)

二、填空題

8.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，

有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停

該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.

【答案】0.98.

【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高

3Q2

鐵個(gè)數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為——=0.98.

40

【點(diǎn)評(píng)】本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題.本題考點(diǎn)為概率

統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大.易忽視概率的估算值

不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值.

三、解答題

9.（2021年高考全國乙卷理科）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有

無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.31001029.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為嚏和7，樣本方差分別記為S：和S>

（1）求口y,S；,S；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果歹—無之2、亞屋，則認(rèn)為

-V10

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】⑴x=10,y=10.3,=0.036,Sf=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)

備有顯著提高.

A2-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7,八

解析：(1)x=--------------------------------------------------------=10,

10

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

=10.3,

y=io

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0,22+0+0.12+0.22+0.32

S；=-----------------------------------------------------------=0.036，

10

222222222

。20.2+0.1+0.2+0.3+0.2+0+0.3+0.2+0.1+0.2ni

5；=-----------------------------------=0.04.

210

⑵依題意，y-x=0.3=2x0.15=270.152=2^0.025>2^°-03^0'04=270.0076,

__->2,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

10.（2021年高考全國甲卷理科）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比

較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n{ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

解析：（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為黑=75%,

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為些=60%.

200

，八,400（150x80-120x50?400

⑵K-=—----------=上>10>6,635，

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

11.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增

力口.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)%,%川=1,2,…，20）,其中必和力分別表示第，

2020

個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得>>,=60,X.=1200,

?=11=1

202020

三（％—無產(chǎn)=80,￡（%_?）2=9000,Z（七一元）（%—歹）=800.

z=li=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（為，2,…，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

￡（%-元）（%-9）

附：相關(guān)系數(shù)后］-〃=V,—414.

住In（％-初2t

Vi=ii=i

【答案】⑴12000;（2）0.94；（3）詳見解析

解析：（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為方?=布、1200=60,

2Uj=i2U

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200x60=12000

（2）樣本（%,%）（厘,2,…，20）的相關(guān)系數(shù)為

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性,

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力，是一道容易題.

12.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天

到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2(良)51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好"；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這

天"空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)

為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bey

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

3841

k6.63510.828

【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；

（2）350；（3）有，理由見解析.

解析：(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為----------=0.43,等級(jí)為2的

100

概率為5+10+12=0.27,等級(jí)為3的概率為6+7+8=0.21,等級(jí)為4的概率為*2±2=0.09；

100100100

100x20+300x35+500x45

(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為=350

100

(3)2x2列聯(lián)表如下:

人次＜400人次〉400

空氣質(zhì)量不好

空氣質(zhì)量好

/_100x(33x8-37x22)2

?5.820>3.841-

*—55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處

理能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200

只小鼠隨機(jī)分成A,5兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每

只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)

離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

【答案】(1)a=0.35,Z?=0.10；(2)4.05,6.00.

【官方解析】

(1)由已知得Q70=a+0.20+0.15,故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)概念和頻率分布直方圖中平均數(shù)法人計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷(理))(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某

項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種生產(chǎn)方式，為比較兩咱生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每

組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工

作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)加，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過加和不超過機(jī)的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過加不超過加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n(ad-bc)~

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】【官方解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，

用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式

的效率更高..

（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二

種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生

產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

（2）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8

大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大

致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二

種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種

生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

(2)由莖葉圖知79+81=80.

2

列聯(lián)表如下:

超過加不超過用

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

()由于Mad-bcf40(15)15-5>5)2

3=10>6.635

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x20

所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

【民間解析法一：第二種生產(chǎn)方式效率更高，因?yàn)榈诙N多數(shù)數(shù)據(jù)集中在70min80min之間，

第一種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在80min?90min之間，易知第一種完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種，故第二種

生產(chǎn)方式的效率更高。

法二：第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間為

第二種生產(chǎn)完成任務(wù)的平均時(shí)間為

第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間84＞第二種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間74.7

所以第二種生產(chǎn)方式效率更高

（2）中位數(shù)為加=79+81=8。

2

超過加不超過加

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

,40x(15x15-5x5)-

(3)由(2)可計(jì)算得K2=——-----------------L=10>6,635

20x20x20x20

所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了莖葉圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)，考察學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，貼近生活.

15.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）（12分）淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,

收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直方圖如下：

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱

產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量\50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

【答案】(1)0.4092；

(2)有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(3)52.35kgo

【命題意圖】概率統(tǒng)計(jì),獨(dú)立檢驗(yàn)等知識(shí)的綜合運(yùn)用

【基本解法】

(I)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.012X5+0.014X5+0.024X5+0.034)<5+0.040X5=0.62,

由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，

于是P(A)=0.62X0.66=0.4092

(II)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有100X0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)

量不低于50kg的有100X0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2X2列聯(lián)表如下：

箱產(chǎn)量〈50kg箱產(chǎn)量250kg合計(jì)

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

合計(jì)96104200

所以

K?>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。

(川)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0.038X5+0.046X

5+0.010X5+0.008X5=0.66>0.50,不低于55kg的頻率為0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.32<0.50,

于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到55kg之間，設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為X,則有

(55-x)X0.068+0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.50

解得x=52.3529

因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35o

【點(diǎn)評(píng)】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問題作出合理的推斷和預(yù)測(cè).獨(dú)立性檢

驗(yàn)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，隨機(jī)變量的觀測(cè)值K?越大,

說明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越大.

利用頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)即是眾數(shù)；（2）

中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率

分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

【知識(shí)拓展】首先，先表示事件，再寫出其發(fā)生的概率，將未知事件用已知事件表示，依據(jù)事件間的

關(guān)系，求出未知事件的概率.統(tǒng)計(jì)的基本原理是用樣本估計(jì)總體.獨(dú)立性檢驗(yàn)，先填2*2列聯(lián)表，再

計(jì)算K?，與參考值比較，作出結(jié)論；中位數(shù)的計(jì)算要根據(jù)中位數(shù)以左其頻率和為50%.求面積和計(jì)算

頻率.

16.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位:億噸）的折線

圖.

（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（II）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量.

77n

參考數(shù)據(jù)：Z%=9?32,Z”=40/7力2=O.55,<7?2.646.

i=li=lYi=l

X（LT）（X—y）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=,/=1

岳一茂⑶-“

Vz=li=\

S&-?。ǎ?歹）

回歸方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：b='-----------,a=y-bt.

i=l

【答案】（I）理由見解析；（11）1.82億噸.

【解析】（I）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得7=4,￡（1）2=28一寸=0.55,

1=1Vi=l

學(xué)—-悟20=40.17-4x9.32=2.89,”訴五印

因?yàn)閥與r的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與/的線性相關(guān)程度相當(dāng)高

從而可以用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系.

7

932-X4-'）（%—＞）289

（II）由y=三吆n1.331及（I）得------------=—?0.103,

7X（1）228

i=l

?=y—蘇"331-0.103x4土0.92.

所以，y關(guān)于1的回歸方程為：￡=0.92+0.10/.

將2016年對(duì)應(yīng)的，=9代入回歸方程得：$=0.92+0.10x9=1.82.

所以預(yù)測(cè)2016年我國生.活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

17.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：

千元）對(duì)年銷售量y（單位：力和年利潤z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)者和年銷售量/G

=1,2,???,8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。

46.656.36.8289.81.61469108.8

_8

表中叱=嘉，W=￡Wj。

i=l

（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d?哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？

（給出判斷即可，不必說明理由）

（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題：

⑴年宣傳費(fèi)尤=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？

（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,%）,（出,為），……，（4,v“），其回歸線v=（z+〃"的斜率和截距的最小二乘估

計(jì)分別為：

Z（Uj-〃）（v1v）__

（3=-----------,a=v-/3u.、

Z=1

【答案】（I）y=c+d石適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回