2024屆湖南省長沙市明德華興中學(xué)七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市明德華興中學(xué)七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.已知x—2y=2,則3—2x+4y的值是（）

A.TB.1C.5D.7

2.單項式-2*y的系數(shù)和次數(shù)分別是（)

A.-2,3B.-2,2C.2,3D.2,2

2

3.已知單項式3m加與--加加-，，的和是單項式，那么1產(chǎn)的值是（)

3

A.1B.3C.-3D.-1

4.6=()

A.1B.2C.3D.4

5.若有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點A,B,C位置如圖，化簡⑹-\c-b\+\a+b\=()

AB0C，

A.aB.2b+aC.2c+aD._a

6.如圖所示的幾何體，從左面看是（）

AFB.土。出“干

7.設(shè)有x個人共種a棵樹苗，如果每人種6棵，則剩下4棵樹苗未種；如果每人種8棵，則缺2棵樹苗.根據(jù)題意,

列方程正確的是（）

8.有理數(shù)b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）

￡??>X

b0c

A.a>bB.\a-c\-a-c

C?一CL<—b<cD.|/?+c|=b+c

9.下列說法正確的是（）

A.〃不是代數(shù)式B.-3%2y+沖是整式

3r2-5

C.多項式三二的常數(shù)項是￡D.單項式3/y的次數(shù)是2

4

10.下列計算中，正確的是（）

A.2a-3a=aB.a3-a2=aC.3ab-4ab=-abD.2a+4a=6a2

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，ABC。為一長條形紙帶，AB//CD,將ABC。沿跖折疊，4、。兩點分別與A'、對應(yīng).若Nl=65°,

則Z2=________

12.計算：（-2）2=.

13.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中第七卷《盈不足》記載了一道

有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問大、小器各容幾何？”譯文：“今有大

容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛.問大容器、小容器的容量各是多

少斛？”（注：斛，音hG,古量器名，亦是容量單位）設(shè)大容器的容量為％斛，小容器的容量為y斛，根據(jù)題意，

可列方程組為.

一

令

二

有

斛

大

冏

‘

器

大

小

7五

小

器

日

小

器

二

大

器

各

十

副

一

容

四

容

容

襄

分

二

三

何

斛

十

i斛

之

四

大

—

七

分

器

斛

一

之

小

番

十

五

習(xí)

容

14.如圖，已知點A、B是直線/上的兩點，AB=12cm,點C在線段AB上，且BC=4cm,點P、點Q是直線上的兩

個動點，點P的速度為km/s,點Q的速度為2cm/s,點P、Q分別從點C,B同時出發(fā)沿某一方向在直線/上運動，

則經(jīng)過______s時線段PQ的長為5cm.

-ACB-

15.如圖，已知點0是直線AD上一點，射線分別是的平分線，若NA0C=18。，則/BOE

E

16.如果2a-b=-2,ab=-1,那么代數(shù)式3ab-4a+2b-5的值是.

三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）

17.（8分）已知同=8萬=36,5.b>a,求a+力的值.

18.（8分）閱讀：如圖①，：CE〃AB,/.Z1=ZA,Z2=ZB,ZACD=Z1+Z2=ZA+ZB.這是一個有用

的事實，請用這個事實，在圖②中的四邊形ABCD內(nèi)引一條和邊平行的直線，求出NA+NB+NC+ND的度數(shù).

19.（8分）如圖1,已知點C在線段AB上，線段AC=10厘米，BC=6厘米，點M,N分別是AC,BC的中點.

I1111I」」

AMCNBACB

圖1圖2

（1）求線段MN的長度；

（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結(jié)果，設(shè)AC+BC=a,其他條件不變，求MN的長度；

（3）動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B,點Q以lcm/s的速度沿AB

向左運動，終點為A,當(dāng)一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是

以另兩點為端點的線段的中點？

20.（8分）將兩塊直角三角形紙板如圖①擺放，ZACB=ZCDE=90°,ZDCE=60°,現(xiàn)將/DCE繞C點逆時針轉(zhuǎn)

動；

⑴當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖②位置時，若NACE=20。，且CM平分NACECN平分N3CD,貝1|NMOV=:

用②

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖③位置時，CM平分NACE,CN平分NBC。，求NMCN的度數(shù);

（3）當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖④位置時，CM平分ZACE,CN平分/BCD,請直接寫出NMCN的度數(shù).

圖④

21.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為（0,m），點B的坐標為（-2,0）,點C的坐

標為且m,n滿足-8+（〃一6尸=0.

（1）分別求點A、點C的坐標；

（2）P點從點C出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向終點B勻速運動，連接AP,設(shè)點P的運動時間為t秒，三角形ABP

的面積為s（平方單位），求s與t的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，過點P作軸交線段CA于點Q,連接BQ,當(dāng)三角形BCQ的面積與三角形ABQ的

面積相等時，求Q點坐標.

22.（10分）每年“雙十一”購物活動，商家都會利用這個契機進行打折滿減的促銷活動.某商家平時的優(yōu)惠措施是

按所有商品標價打七折：“雙十一”活動期間的優(yōu)惠措施是:購買的所有商品先按標價總和打七五折，再享受折后每滿

200元減30元的優(yōu)惠.如標價為300元的商品，折后為225元，再減30元，即實付：300x0.75-30=195（元）.

（1）該商店標價總和為1000元的商品，在“雙十一”購買，最后實際支付只需多少元？

（2）小明媽媽在這次活動中打算購買某件商品，打折滿減后，應(yīng)付金額是507元，求該商品的標價.

（3）在（2）的條件下，若該商家出售的商品標價均為整數(shù)，小明通過計算后告訴媽媽:通過湊單（再購買少量商品）

實際支付金額只需再多付元，就可獲得最大優(yōu)惠？

23.（10分）某中學(xué)為了表彰在書法比賽中成績突出的學(xué)生，購買了鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元，其中每

支毛筆比鋼筆貴4元.

（1）求鋼筆和毛筆的單價各為多少元？

（2）①學(xué)校仍需要購買上面的兩種筆共105支（每種筆的單價不變）.陳老師做完預(yù)算后，向財務(wù)處王老師說：“我這

次買這兩種筆需支領(lǐng)2447元.”王老師算了一下，說：“如果你用這些錢只買這兩種筆，那么帳肯定算錯了."請你用

學(xué)過的方程知識解釋王老師為什么說他用這些錢只買這兩種筆的帳算錯了.

②陳老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長讓他買的一支簽字筆.如果簽字筆的單價為小于10元的整數(shù)，請通過計

算，直接寫出簽字筆的單價可能為元.

24.（12分）蛋糕點廠生產(chǎn)大小兩種月餅，下表是4型、3型、C型三種月餅禮盒中裝有大小兩種月餅數(shù)量和需要消

耗的面粉總重量的統(tǒng)計表.

面粉總重量（g）大月餅數(shù)量（個）小月餅數(shù)量（個）

幺型月餅禮盒58086

3型月餅禮盒48066

c型月餅禮盒420ab

（1）直接寫出制作1個大月餅要用g面粉，制作1個小月餅要用g面粉；

（2）直接寫出。=,b=；

（3）經(jīng)市場調(diào)研，該糕點廠要制作一批。型月餅禮盒，現(xiàn)共有面粉63000g,問制作大小兩種月餅各用多少面粉，才

能生產(chǎn)最多的C型月餅禮盒？

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、A

【分析】將3-2x+4y變形為3-2（x-2y）,然后代入數(shù)值進行計算即可.

【題目詳解】-：x-2y=2,

3-2x+4y=3-2（x-2y）=3-2x2=-l；

故選A.

【題目點撥】

本題主要考查的是求代數(shù)式的值，將x-2y=2整體代入是解題的關(guān)鍵.

2、A

【分析】根據(jù)單項式系數(shù)、次數(shù)的定義進行求解.

【題目詳解】單項式-2x2y的系數(shù)是-2,次數(shù)是3,

故選A.

【題目點撥】

本題考查了單項式系數(shù)、次數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

3、D

【解題分析】根據(jù)合并同類項法則得出機=3,1-〃=2,求出即可.

2

【題目詳解】??,單項式3a兒與的和是單項式，

3

:?m=3,1-n=2,

解得：”=-1,

.,.nm—(-1)3=_1,

故選O.

【題目點撥】

考查了單項式和合并同類項.同類項定義中的兩個“相同”：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，是易混點，因此成

了中考的常考點.

4、B

【解題分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念可得出答案.

【題目詳解】解：根據(jù)題意可得：

A/4=2>

故答案為：B.

【題目點撥】

本題考查算術(shù)平方根的概念，解題關(guān)鍵在于對其概念的理解.

5、D

【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷c、c-b,“+分與0的大小關(guān)系，再根據(jù)絕對值進行化簡，計算即可得到答案.

【題目詳解】解：由數(shù)軸可知c>0,c-b>0,a+b<0,

.,.原式=。-(c-b)-(“+/>)

=c-c+b-a-b

=-a

故選。.

【題目點撥】

本題考查數(shù)軸上的有理數(shù)和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上的有理數(shù)和絕對值的性質(zhì).

6、B

【解題分析】從左面看到的是左面位置上下兩個正方形，右面的下方一個正方形，由此得出答案即可.

【題目詳解】從左面看到的是左面位置上下兩個正方形，右面的下方一個正方形的圖形是

故選B.

【題目點撥】

此題考查簡單組合形體的三視圖.

7、D

a—4-L9

【分析】根據(jù)題意可得人數(shù)=-----或根據(jù)人數(shù)不變可得方程.

68

【題目詳解】解：設(shè)有x個人共種a棵樹苗，

根據(jù)題意，得芻二&=上2，

68

故選：D.

【題目點撥】

本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系列出方程.

8、D

【分析】根據(jù)數(shù)軸得出|Z)|<|a|,\b\<\c\,再逐個判斷即可.

【題目詳解】從數(shù)軸可知：a<b<O<c,\b\<\a\,\b\<\c\.

A.a<b,故本選項錯誤；

B.因為a-cvO,所以|a-c|=c-4，故本選項錯誤；

C.-a>-b,故本選項錯誤；

D.因為b+c>0,所以|"c|=6+c,故本選項正確.

故選D.

【題目點撥】

本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)軸得出a<%<0<c,|*|<|?|,\b\<\c\,用了

數(shù)形結(jié)合思想.

9、B

【分析】根據(jù)代數(shù)式的概念，單項式系數(shù)、次數(shù)的定義來求解.單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指

數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

【題目詳解】A.乃是代數(shù)式，該選項不符合題意；

B.-3丁,+孫是整式，該選項符合題意；

C.多項式三，的常數(shù)項是——，該選項不符合題意；

44

D.單項式3/y的次數(shù)是3,該選項不符合題意；

故選:B.

【題目點撥】

此題考查了代數(shù)式、整式、多項式的概念，注意：單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式，也是單項式，系數(shù)應(yīng)包含完整的數(shù)

字因數(shù).

10、C

【解題分析】根據(jù)合并同類項法則解答即可.

【題目詳解】解：A、2a-3a=-a,錯誤；

B、a3與-a?不是同類項，不能合并，錯誤；

C、3ab-4ab=-ab,正確；

D、2a+4a=6a,錯誤；

故選：C.

【題目點撥】

此題考查合并同類項，關(guān)鍵是根據(jù)合并同類項法則判斷.

二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)

11、50°

【解題分析】由折疊可知N3=N4=N1,可求得NAEA，，再利用鄰補角的定義可求得NL

【題目詳解】解：由題意可知N3=N4,

VAB/7CD,

.\Z3=Z4=Z1=65°,

.,.Zl=180o-65°-65°=50o,

故答案為：50°.

【題目點撥】

本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等"兩直線平行，②內(nèi)錯角相等o

兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補o兩直線平行，@a〃b,b〃c=a〃c.

12、4

【分析】根據(jù)乘法的意義計算即可.

【題目詳解】解：(—2)2=(—2)x(—2)=4.

故答案為：4.

【題目點撥】

本題考查有理數(shù)的乘方運算，理解乘方的意義是解答關(guān)鍵.

5x+y=3

13、＜

x+5y=2

【分析】根據(jù)大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，列出方程組解答即可.

5x+y=3

【題目詳解】解：根據(jù)大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛可列方程組得：《

x+5y=2

5x+y=3

故答案是：

x+5y=2

【題目點撥】

本題考查了二元一次方程組的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

14、，或1或3或1.

3

【分析】由于BC=4厘米，點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)在直線上運動，當(dāng)線段PQ的長為5厘米時，可分四

種情況進行討論：點P向左、點Q向右運動；點P、Q都向右運動；點P、Q都向左運動；點P向右、點Q向左運動;

都可以根據(jù)線段PQ的長為5厘米列出方程，解方程即可.

【題目詳解】設(shè)運動時間為/秒.

①如果點P向左、點。向右運動，如圖,

APCBQ

由題意，得：t+2t=5-4,

解得;

3

②點P、。都向右運動，如圖，

?iiil

ACPBQ

由題意，得：2t-1=5—4,

解得/=1；

③點P、。都向左運動，如圖,

0APCB

由題意，得：2f—f=5+4,

解得f=9.

④點P向右、點。向左運動，如圖，

AQCPB

由題意，得：2f-4+f=5,

解得y3.

綜上所述：經(jīng)過;或1或3或1s時線段PQ的長為5厘米.

故答案為：工或1或3或1.

3

【題目點撥】

此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方

程，再求解.

15、72°

【分析】依題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NAOB的度數(shù)，由平角的性質(zhì)可求出NBOD的度數(shù)，再由角平分線的性

質(zhì)可求出NBOE的度數(shù).

【題目詳解】解：依題意：NAOB=2NAOC=36°,

VZAOB+ZBOD=180°,

；.NBOD=144°,

:.ZBOE=-NBOD=72。

2

故答案為：72。

【題目點撥】

本題考查角的運算、平角的定義、角平分線及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是充分利用角平分線和平角的定義.

16、-4

【解題分析】試題解析：2a—b=—2,ab=—T,

:.3ab-4a+2b-5=3ab-2(2a-b)-5=3x(-V)-2x(-2)-5=-4.

故答案為Y.

三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)

17、-14或-2

【分析】先根據(jù)絕對值的性質(zhì)和平方求出a,b的值，然后根據(jù)匕>。最終確定a,b的值，然后代入a+力中即可求解.

【題目詳解】因為\a\=8,b2=36

所以a=±8,Z?=±6

由b>a,得。=一8/=±6

所以a+b=6+(-8)=-2或a+b=-6+(-8)=-14

綜上所述，4+6的值為-14或-2

【題目點撥】

本題主要考查代數(shù)式求值，根據(jù)絕對值和平方的性質(zhì)求出a,b的值是解題的關(guān)鍵.

18、360°

【解題分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理.作DE〃AB,交BC于E,根

據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解.

作DE〃AB,交BC于E,由題意，ZDEB=ZC+ZEDC,

則ZA+ZB+ZC+ZADC

=ZA+ZB+ZC+ZEDC+ZADE

=ZA+ZB+ZDEB+ZADE

=360°.

19、(1)8厘米；(2)la；(3)t=4或26或三.

252

【解題分析】(1)(2)根據(jù)中點的定義、線段的和差，可得答案；

(3)根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【題目詳解】(1)I?線段AC=10厘米，BC=6厘米，點M,N分別是SC,3c的中點,

/.CM=—AC=5厘米，CN=—BC=3厘米，

22

：.MN=CM+CN=8厘米；

(2);?點N分別是AC,5c的中點，

：.CM=—AC,CN=—BC,

22

:.MN=CM+CN=—AC+—BC=-a；

222

（3）①當(dāng)0〈江5時，C是線段P。的中點，得

10-2t=6-t,解得U4；

②當(dāng)5〈在當(dāng)時，P為線段C。的中點，2t-10=16-3Z,解得u平;

③當(dāng)與〈也6時，。為線段PC的中點，6-Z=3Z-16,解得仁耳;

④當(dāng)6〈江8時，C為線段P。的中點，2f-10=f-6,解得U4（舍）,

綜上所述：U4或號或耳.

52

【題目點撥】

本題考查了線段的中點和計算，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于f的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.

20、（1）75°；②75°；75°

【分析】（1）先求出NBCD,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NACM和NBCN,根據(jù)NMCN=NACB-NACM-NBCN計

算即可得出答案；

（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出NACM=!NACE,ZBCN=^ZBCD,再根據(jù)

22

NMCN=NMCE+N6QV+4CE代入求解即可得出答案；

（3）步驟同（2）一樣.

［題目詳解］解：（1）根據(jù)題意可得NBCD=NACB-NDCE-NACE=10。

又CM平分NACE,CN平分NBCD

11

ZACM=-ZACE=10°,ZBCN=-ZBCD=5°

22

:.ZMCN=ZACB-ZACM-ZBCN=75°

(2)；CM平分NACE,CN平分NBCD

11

/.ZACM=-ZACE,ZBCN=-ZBCD

22

/.ZMCN=ZMCE+ZBCN+ZBCE

=1(ZACE+NBCD)+ZBCE

=1(ZACB-ZBCE+ZDCE-ZBCE)+ZBCE

=1(ZACB+ZDCE-2ZBCE)+ZBCE

=1(90°+60°-2ZBCE)+ZBCE

=75°-ZBCE+ZBCE

=75

(3)；CM平分NACE,CN平分NBCD

11

:.ZACM=一ZACE,ZBCN=-ZBCD

22

:.ZMCN=ZMCE+Z.BCN+ZBCE

=1(ZACE+/BCD)+ZBCE

=1(ZACB-ZBCE+ZDCE-ZBCE)+ZBCE

=1(ZACB+ZDCE-2ZBCE)+ZBCE

=1(90°+60°-2NBCE)+ZBCE

=75°-ZBCE+ZBCE

=75

【題目點撥】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，難度適中，需要熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及不同角之間的等量代換.

21、(1)4(0,8),C(6,0)；(2)S=—8t+32；(3)2(3,4)

【分析】(1)由Jm—8+(〃-6)2=0可得m、n的值，進而點A、C的坐標可求解；

(2)由題意易得CP=2t,BP=8-2t,OA=8,進而4ABP的面積可求解；

(3)由題意易得04=；x8x8=32,則設(shè)AC所在直線解析式為y=代+匕，然后把點A、C代入求

解，設(shè)P(6-2f,0),則小-2人|力，進而根據(jù)三角形面積相等可進行求解.

【題目詳解】解：(Dm,n滿足：Vm-8+(?-6)2=0,

/.m—8=0,n-6=09得加=8,n-69

.?.4(0,8),C(6,0)；

(2)由(1)及題意得：

BC=6-(-2)=6+2=8,PC=2t>

BP=8-2r,Q4=8,

A5=SAABP=15P-a4=1x8-(8-2z)=4(8-2?)=-8z+32;

(3)由題意可得如圖所示:

XX

S.ARC=-2BC-OA=-288=32,

設(shè)AC所在直線解析式為y=kx+b,把C（6,0）,A（0,8）代入得:

6k+b=0

M解得

3=8

/?y=—x+8,

3

設(shè)尸（6—2f,0）,則?6_2/,|力，

。1.81832

S——BC,—t——xo8x—t——t,

△BC。23233

當(dāng)S&BCQ=—x32=16,

2

?-3

??I——9

2

???2(3,4),

【題目點撥】

本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22、(1)660元；(2)756元；(3)只需多付3元，可獲得最大優(yōu)惠

【分析】(1)根據(jù)題意列式計算即可；

(2)設(shè)該商品的標價為X元，則折后價為：0.75%元，折后每滿200元減30元的優(yōu)惠分兩種情況討論，依題意列式

計算即可；

（3）根據(jù)題意折后價當(dāng)0.75%=600時，可多享受一個折后減30元的優(yōu)惠，據(jù)此求解即可.

【題目詳解】（1）依題意得：1000x0.75=750（元），

V600<750<800,

???可再減：30x3=90（%）,

實際付款：750-90=660（元）；

（2）設(shè)該商品的標價為x元，則折后價為：0.75x元，

①當(dāng)400<0.75%<600時，

依題意得：0.75x—30x2=507,

解得：x—756,

0.75x=0.75x756=567,

符合題意；

②當(dāng)600<0.75%<800時，

依題意得：0.75x—30x3=507,

解得：％=796,

0.75x=0.75x796=597<600,

不符合題意，舍去；

綜上，該商品的標價為756元；

（3）?.?該商家出售的商品標價均為整數(shù)，

當(dāng)0.75%=600,即％=800元時，

實際付款：800x0.75-30x3=510（元），

510-507=3（元），800-756=44（元），

故只需多付3元，可多獲得44元的商品.

【題目點撥】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

23、（1）鋼筆的單價為21元，毛筆的單價為1元；⑵①見解析；②簽字筆的單價可能為2