2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題94 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（原卷版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題94一元線性回歸模型及其應(yīng)用題型一求回歸直線方程例1．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知變量和正相關(guān)，則由如下表所示的觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程為A． B．C． D．規(guī)律方法求線性回歸方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)．(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)把數(shù)據(jù)制成表格xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(4)計(jì)算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi.(5)代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，公式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).))(6)寫(xiě)出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).例2．（2019·新疆·烏魯木齊市第二十中學(xué)高二期中）隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長(zhǎng)，個(gè)人購(gòu)買(mǎi)家庭轎車(chē)已不再是一種時(shí)尚車(chē)的使用費(fèi)用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長(zhǎng)多少，一直是購(gòu)車(chē)一族非常關(guān)心的問(wèn)題某汽車(chē)銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得出某款車(chē)的使用年限與所支出的總費(fèi)用（萬(wàn)元）有如表的數(shù)據(jù)資料：使用年限23456總費(fèi)用2.23.85.56.57.0(1)

在給出的坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程中的、；（3）估計(jì)使用年限為年時(shí)，車(chē)的使用總費(fèi)用是多少？（最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式，.）例3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）有一位同學(xué)家里開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部,他為了研究氣溫對(duì)熱茶銷售的影響,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣(mài)出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表如下:氣溫x/℃-504712151923273136熱茶銷售杯數(shù)y/杯15615013212813011610489937654(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱茶的銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律嗎?(3)如果近似成線性關(guān)系的話,請(qǐng)畫(huà)出一條直線來(lái)近似地表示這種線性關(guān)系;(4)試求出回歸直線方程;(5)利用(4)的回歸方程,若某天的氣溫是2℃,預(yù)測(cè)這一天賣(mài)出熱茶的杯數(shù).題型二利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例4．（2022·江西撫州·高二期末（理））保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開(kāi)始大力提倡新能源汽車(chē)，每年抽樣1000汽車(chē)調(diào)查，得到新能源汽車(chē)y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車(chē)y輛305070100110(1)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬(wàn)輛汽車(chē)，用樣本估計(jì)總體來(lái)預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年有多少新能源汽車(chē)．參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．規(guī)律方法本題已知y與x是線性相關(guān)關(guān)系，所以可求出回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．否則，若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系或它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也毫無(wú)意義.例5．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中（理））偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差，在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科班平均分的差叫某科偏差（實(shí)際成績(jī)平均分偏差）.在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，某老師為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差（單位：分）與物理偏差（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下：學(xué)生序號(hào)12345678數(shù)學(xué)偏差20151332-5-10-18物理偏差6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5(1)若與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)若該次考試該數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?28分的同學(xué)的物理成績(jī).（下面是參考數(shù)據(jù)和參考公式），回歸直線方程為，其中例6．（2022·廣東揭陽(yáng)·高二期末）從2018年1月1日起，廣東、等18個(gè)保監(jiān)局所轄地區(qū)將納入商業(yè)車(chē)險(xiǎn)改革試點(diǎn)范圍，其中最大的變化是上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，具體關(guān)系如下表：

上一年的出險(xiǎn)次數(shù)次以上（含次）下一年保費(fèi)倍率連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打折有評(píng)估機(jī)構(gòu)從以往購(gòu)買(mǎi)了車(chē)險(xiǎn)的車(chē)輛中隨機(jī)抽取1000輛調(diào)查,得到一年中出險(xiǎn)次數(shù)的頻數(shù)分布如下(并用相應(yīng)頻率估計(jì)車(chē)輛每年出險(xiǎn)次數(shù)的概率)：一年中出險(xiǎn)次數(shù)012345次以上（含5次）頻數(shù)5003801001541（1）求某車(chē)在兩年中出險(xiǎn)次數(shù)不超過(guò)2次的概率；（2）經(jīng)驗(yàn)表明新車(chē)商業(yè)車(chē)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車(chē)價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，估計(jì)其回歸直線方程為：.（其中（萬(wàn)元）表示購(gòu)車(chē)價(jià)格，（元）表示商業(yè)車(chē)險(xiǎn)保費(fèi)）.李先生2016年1月購(gòu)買(mǎi)一輛價(jià)值20萬(wàn)元的新車(chē).根據(jù)以上信息，試估計(jì)該車(chē)輛在2017年1月續(xù)保時(shí)應(yīng)繳交的保費(fèi)，并分析車(chē)險(xiǎn)新政是否總體上減輕了車(chē)主負(fù)擔(dān).(假設(shè)車(chē)輛下一年與上一年都購(gòu)買(mǎi)相同的商業(yè)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保）題型三線性回歸分析例7．（2022·山東·日照青山學(xué)校高二期末）共享單車(chē)進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚，某市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某站點(diǎn)6天的使用單車(chē)用戶的數(shù)據(jù)如下，用兩種模型①；②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，，進(jìn)行殘差分析得到如表所示的殘差值及一些統(tǒng)計(jì)量的值：日期x（天）123456用戶y（人）132243455568模型①的殘差值－1.1－2.87.5－1.2－1.90.4模型②的殘差值0.3－5.44.3－3.2－1.63.8(1)殘差值的絕對(duì)值之和越小說(shuō)明模型擬合效果越好，根據(jù)殘差，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型？并說(shuō)明理由；(2)殘差絕對(duì)值大于3的數(shù)據(jù)認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求出（1）中所選模型的回歸方程.（參考公式：，）規(guī)律方法(1)解答線性回歸問(wèn)題，應(yīng)通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析．(2)刻畫(huà)回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適．②殘差平方和法：殘差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．③決定系數(shù)法：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回歸的效果越好．例8．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））2022年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)(1)中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益(直接收益＋國(guó)家補(bǔ)貼)的大?。剑嚎坍?huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好．用最小二乘法求線性回歸方程的截距：．例9．（2022·陜西·高新一中高三階段練習(xí)（理））2022年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將型材料更好地投入商用，擬對(duì)型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入（億元）與產(chǎn)品的直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456723468101315222740485460當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為.回歸模型模型①模型②79.1320.2(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小.附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..用最小二乘法求線性回歸方程的截距：.題型四殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用例10．（2022·河北·藁城新冀明中學(xué)高二階段練習(xí)）假定產(chǎn)品產(chǎn)量x（千件）與單位成本y（元/件）之間存在相關(guān)關(guān)系.數(shù)據(jù)如下：x234345y737271736968(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸直線方程，對(duì)于單位成本70元/件時(shí)，預(yù)報(bào)產(chǎn)量為多少；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；規(guī)律方法(1)利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)，然后通過(guò)殘差eq\o(e,\s\up6(^))1，eq\o(e,\s\up6(^))2，…，eq\o(e,\s\up6(^))n來(lái)判斷模型擬合的效果．(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高．例11．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.華為技術(shù)有限公司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入x（億元）與科技升級(jí)直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為.（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，，）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小.附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：題型五非線性回歸分析例12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷在推廣期內(nèi)，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及題干中表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù)：62.141.54253550.123.47其中，.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.(3)推廣期結(jié)束后，為更好地服務(wù)乘客，車(chē)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了100人次的乘車(chē)支付方式，得到如下結(jié)果：支付方式現(xiàn)金公交卡掃碼人次106030已知該線路公交車(chē)票價(jià)2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠，使用公交卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)：使用掃碼支付的乘客中有5人次乘客享受7折優(yōu)惠，有10人次乘客享受8折優(yōu)惠，有15人次乘客享受9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車(chē)隊(duì)每輛車(chē)每個(gè)月有1萬(wàn)人次乘車(chē)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)該車(chē)隊(duì)一輛車(chē)一年的總收入.規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算決定系數(shù)或畫(huà)殘差圖來(lái)判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫(xiě)出非線性回歸方程．例13．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國(guó)的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長(zhǎng)，居世界前列現(xiàn)收集我國(guó)近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表年份20152016201720182019編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中）.附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來(lái)幾年我國(guó)區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程；(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.例14．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤(pán)面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1-9，不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．(1)賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過(guò)50天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？(2)小明和小紅在數(shù)獨(dú)APP上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若每局不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．參考數(shù)據(jù)（其中）18450.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，），（，），…，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（文））某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）4235銷售額（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額為（

）A．73萬(wàn)元 B．81.4萬(wàn)元 C．77.1萬(wàn)元 D．74.9萬(wàn)元2．（2022·四川·高三階段練習(xí)（文））某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn)，選擇了10名志愿者，對(duì)其身高（單位：）和臂展（單位：）進(jìn)行了測(cè)量，這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示．已知這10名志愿者身高的平均值為，根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展關(guān)于身高的線性回歸方程為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．這10名志愿者的身高和臂展呈正相關(guān)關(guān)系C．這10名志愿者臂展的平均值為176.2cmD．根據(jù)回歸方程可估計(jì)身高為160cm的人的臂展為158cm3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某公司為了解某產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)銷售量y（單位：百件）的影響，收集了該公司以往的5組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)用函數(shù)模型（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合比較合適．令，得到，經(jīng)計(jì)算，x，z對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如下表所示：研發(fā)費(fèi)x581215204.55.25.55.86.5則（

）．A． B． C． D．4．（2022·天津?yàn)I海新·高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是：（

）A．線性回歸直線一定過(guò)點(diǎn)B．?dāng)?shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，則，，…，的平均數(shù)為C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的第百分位數(shù)為D．隨機(jī)變量，其正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱5．（2022·廣西百色·高二期末（理））某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說(shuō)法正確的是（

）x23456y1925★4044A．看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B．回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實(shí)際增加6.3噸C．據(jù)此模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量為8噸時(shí)，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D．回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)（4，★）6．（2022·廣西玉林·高二期末（文））如果在一實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（

）A． B．C． D．7．（2022·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））新能源汽車(chē)是指采用非常規(guī)的車(chē)用燃料作為動(dòng)力來(lái)源（或使用常規(guī)的車(chē)用燃料、采用新型車(chē)載動(dòng)力裝置），綜合車(chē)輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車(chē)．新能源汽車(chē)包括混合動(dòng)力電動(dòng)汽車(chē)（HEV）、純電動(dòng)汽車(chē)（BEV，包括太陽(yáng)能汽車(chē)）、燃料電池電動(dòng)汽車(chē)（FCEV）、其他新能源（如超級(jí)電容器、飛輪等高效儲(chǔ)能器）汽車(chē)等．非常規(guī)的車(chē)用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2022年我國(guó)某地區(qū)新能源汽車(chē)的前5個(gè)月銷售量與月份的統(tǒng)計(jì)表：月份代碼x12345銷售量y（萬(wàn)輛）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則的值是（

）．A．0.28 B．0.32 C．0.56 D．0.648．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.為了弘揚(yáng)中國(guó)茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，為了解每壺“排骨茶”中所放茶葉克數(shù)與食客的滿意率的關(guān)系，調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，可選擇函數(shù)模型來(lái)擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：茶葉克數(shù)123454.344.364.444.454.51可求得關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司大力推進(jìn)科技創(chuàng)新發(fā)展戰(zhàn)略，持續(xù)加大研發(fā)投入（單位：萬(wàn)元），不斷提升公司的創(chuàng)新能力.2016年至2020年該公司的研發(fā)投入如下表所示：年份20162017201820192020年份編號(hào)x12345研發(fā)投入y/萬(wàn)元5193m175211若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，則（

）A．B．y與x正相關(guān)C．該公司平均每年增加研發(fā)投入約11.4萬(wàn)元D．預(yù)計(jì)2022年該公司的研發(fā)投入為292.8萬(wàn)元10．（2022·遼寧大連·高三期末）變量與變量的20對(duì)數(shù)據(jù)記為，其中，根據(jù)最小二乘法求得回歸直線方程是，變量間的相關(guān)系數(shù)為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．利用回歸直線方程計(jì)算所得的與實(shí)際值必有誤差B．回歸直線必過(guò)點(diǎn)C．若所有的點(diǎn)都在回歸直線上，則D．若變量與正相關(guān)，則11．（2022·湖北江岸·高三期末）某電子商務(wù)平臺(tái)每年都會(huì)舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷狂歡活動(dòng)，現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)了該平臺(tái)從2013年到2022年共9年“年貨節(jié)”期間的銷售額（單位：億元）并作出散點(diǎn)圖，將銷售額y看成年份序號(hào)x（2013年作為第一年）的函數(shù).運(yùn)用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合，效果如下圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．銷售額y與年份序號(hào)x正相關(guān)B．銷售額y與年份序號(hào)x線性關(guān)系不顯著C．三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果D．根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測(cè)2022年“年貨節(jié)”期間的銷售額約為2680.54億元12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，則（

）A．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則樣本的相關(guān)系數(shù)B．若，，則C．若樣本數(shù)據(jù)的殘差為，則必有樣本數(shù)據(jù)的殘差為D．若越趨近于1，則的預(yù)報(bào)精度越高三、填空題13．（2022·山東青島·高三期末）已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程，其中，據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額為_(kāi)________萬(wàn)元；14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年受疫情影響，國(guó)家鼓勵(lì)員工在工作地過(guò)年.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市5個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員數(shù)與他們選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人數(shù)占比，得到如下的表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)E區(qū)外來(lái)務(wù)工人員數(shù)50004000350030002500留在當(dāng)?shù)氐娜藬?shù)占比80%90%80%80%84%根據(jù)這5個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年人員數(shù)y與外來(lái)務(wù)工人員數(shù)x的線性回歸方程為.該市對(duì)外來(lái)務(wù)工人員選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的每人補(bǔ)貼1000元，該市F區(qū)有10000名外來(lái)務(wù)工人員，根據(jù)線性回歸方程估計(jì)F區(qū)需要給外來(lái)務(wù)工人員中留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人員的補(bǔ)貼總額為_(kāi)__________萬(wàn)元.(參考數(shù)據(jù)：取)15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的兩組點(diǎn)，如果存在一條直線使這兩組點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”.對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好.某學(xué)校高三（2）班的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購(gòu)文具的費(fèi)用(單位：百元)和網(wǎng)購(gòu)圖書(shū)的費(fèi)用(單位：百元)的情況如圖所示，現(xiàn)將，，和為第Ⅰ組點(diǎn).將，和歸為第Ⅱ點(diǎn).在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購(gòu)文具與網(wǎng)購(gòu)圖書(shū)的費(fèi)用均為300元，則小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購(gòu)花銷的費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第Ⅱ組點(diǎn)位于的同側(cè)；④如果從第Ⅰ組點(diǎn)中去掉點(diǎn)，第Ⅱ組點(diǎn)保持不變，則分類效果最好的分類直線不是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.16．（2022·山東淄博·一模）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)，將其變換后得到線性回歸方程，則______．四、解答題17．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）重樓，中藥名，具有清熱解毒、消腫止痛、涼肝定驚之功效，具有極高的藥用價(jià)值.近年來(lái)，隨著重樓的藥用潛力被不斷開(kāi)發(fā)，野生重樓資源已滿足不了市場(chǎng)的需求，巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值提升了家種重樓的熱度，某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年某地家種重樓年產(chǎn)量y（單位：噸），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.年份2014201520162017201820192020年份代碼x1234567年產(chǎn)量y/噸130180320390460550630(1)根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中所求方程預(yù)測(cè)2022年該地家種重樓的年產(chǎn)量.附：回歸方程，中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.18．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））研究顯示，越來(lái)越多的“996”上班族下班后通過(guò)慢跑強(qiáng)身健體，慢跑屬于一種有氧運(yùn)動(dòng)，可以消耗人體大量熱量，堅(jiān)持慢跑可以促進(jìn)新陳代謝，增加肺活量以及增強(qiáng)心臟功能，提升人體免疫力，因此深受青年人喜愛(ài).如圖統(tǒng)計(jì)了小明這100天每天慢跑的時(shí)間情況（單位：分鐘）.(1)求m的值.(2)如表是小明的同事小強(qiáng)本月前7次慢跑的時(shí)間情況；由散點(diǎn)圖可知，小強(qiáng)的慢跑次數(shù)x和慢跑時(shí)間y（單位：分鐘）之間線性相關(guān)，①求y關(guān)于x的線性回歸方程，其中使用分?jǐn)?shù)形式表示；②根據(jù)①中的運(yùn)算結(jié)果預(yù)測(cè)小強(qiáng)第9次的慢跑時(shí)間是否會(huì)超過(guò)小明這100天慢跑的平均時(shí)間.次數(shù)x1234567慢胞時(shí)間（單位：分鐘）15182723202936參考公式：在線性回歸方程中，.19．（2022·福建福州·高三期末）為讓人民享受到更優(yōu)質(zhì)的教育服務(wù).我國(guó)逐年加大對(duì)教育的投入，下圖是我國(guó)2001年至2019年間每年普通本科招生數(shù)y（單位：萬(wàn)人）的條形圖.為了預(yù)測(cè)2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)，建立了y與時(shí)間變量t的三個(gè)回歸模型.其中根據(jù)2001年至2019年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，3，…，19）建立模型①：，相關(guān)指數(shù)；模型②：，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù).根據(jù)2014年至2019年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，3，…，6）建立模型③：，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù).(1)可以根據(jù)模型①得到2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值為671.42萬(wàn)人，請(qǐng)你也分別利用模型②?③，求2022年全國(guó)普通本科招生數(shù)的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)